苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列教学设计

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列教学设计，共7页。教案主要包含了新课导入，新知探究，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.理解等比数列的通项公式的意义；
2.会利用等比数列的通项公式解决相关问题；
3.通过等比数列的通项公式的推导，培养学生数学抽象、逻辑推理等素养.
教学重难点
重点：等比数列的通项公式．
难点：等比数列的通项公式的推导．
教学过程
一、新课导入
回顾：前面我们学习了等比数列，你能说出等比数列的概念吗？
答案：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么称这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示.
由此定义可知，对等比数列{an}，若公比为q，有
anan−1=q(n≥2)或 an+1an=q.
追问：类比等差数列的学习过程，接下来我们应该研究什么呢？
答案：等比数列的通项公式.
二、新知探究
问题1：设an是首项为2，公比为3的等比数列，则你能写出第n项an吗？
答案： a2=2×3，
a3=2×3×3=2×3²，
a4=2×3²×3=2×3³，
…
an= 2×3n−1.
问题2：如果数列an是等比数列，且已知它的首项a1和公比q，你能尝试根据定义推导出它的通项公式吗？
方法1：由等比数列的定义，可知：
a2a1=a3a2=a4a3=…=anan−1=…q.
从而，
a2=a1q，
a3=a2q=a1qq=a1q²，
a4=a3q=a1q²q=a1q³，
…
由此得到 an=a1qn−1.
当n=1时，a1=a1q1−1=a1q0=a1.
所以，这个公式对n=1时也成立.
这就是说：若首项是a1，公比是q，则等比数列an的通项公式为
an=a1qn−1(a1≠0，q≠0).
思考：我们知道等差数列还可以用累加法推导出通项公式，由类比的思想方法，从运算角度出发，还可以用什么方法推导出等比数列的通项公式呢？
方法2：根据等比数列的定义，可得
a2a1=q，
a3a2=q，
a4a3=q，
……
anan−1=q.
把以上各式依次相乘，得
a2a1·a3a2·a4a3·…·anan−1=q·q·q·…·q=qn−1 .
由此得到 an=a1qn−1.
当n=1时，a1=a1q1−1=a1q0=a1.
所以，这个公式对n=1时也成立.
等比数列的通项公式
若首项是a1，公比是q，则等比数列an的通项公式为an=a1qn−1(a1≠0，q≠0).
练一练：你能分别写出下列数列的通项公式吗？
1，2，4，8，16，32，64，128. ①
12，14，18，116，132，…. ②
答案:数列①：an=2n−1；数列②： an=(12)n.
问题3：若已知等比数列an的通项公式为an=3×2n−3，能否求出首项a1和公比q.
答案：a1=3×21−3=34，
a2=3×22−3=32，
所以 q=a2a1=3234=2.
思考：能否画出上面的等比数列an=3×2n−3的图象？
追问1：类比等差数列的图象，想一想an=3×2n−3的图象与哪个函数有关？
答案：an=3×2n−3=38×2n是一个常数与指数式的乘积，与函数y=38×2x有关.
追问2：an=38×2n的图象有什么特征？
答案：它是函数y=38×2x的图象上一些间隔的点(n，an)，自变量取正整数.
问题4：对于等比数列an=a1qn−1(a1≠0，q≠0)，当公比 q 满足什么条件时可以与相应的指数函数建立联系？
答案：an=a1qn−1=a1q·qn，当q>0 且 q≠1时，an与n之间的函数关系可表示为
fx= a1q·qx(x∈N*)，图象为fx上一些间隔的点，且自变量取正整数，如图所示：
思考：如果一个数列an的通项公式为an=aqn，其中a，q都是不为0的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？
答案：是等比数列.证明如下：
由an=aqn得an+1=aqn+1，
所以an+1an=aqn+1aqn=q，
因为q是不为0的常数，
所以数列an是等比数列.
问题5：类比等差数列，等比数列也有下标和性质吗？
等比数列an中，若m，n，r，s∈N*，且m+n=r+s，则am·an=ar·as．
证明：设公比为q，因为an=a1qn−1，
所以am·an=a1qm−1·a1qn−1=a1²qm+n−2，
ar·as=a1qr−1·a1qs−1=a1²qr+s−2.
又因为m+n=r+s，
所以am·an=ar·as．
特别地，若2p=m+n，则ap2=am·an．
练一练：递增等比数列an中，a3+a6=9，a4a5=8，则数列an的公比q为______．
答案：由等比数列的性质知a4a5=a3a6=8，
又a3+a6=9，且an是递增数列，
所以a3=1，a6=8，
所以q3=a6a3=8
所以公比q=2．
小结：解决数列问题时，首先要有运用数列性质的意识，然后仔细观察各项下标之间的关系，以寻求满足数列性质的条件，这样能简化运算过程.
设计意图：通过探究熟悉等比数列的通项公式及常用性质，并会灵活运用通项公式及性质解决相关问题.同时体会等比数列与指数函数的关系,
三、应用举例
在等比数列an中，
（1）已知a1=3，q=−2，求a6.
（2）已知a3=20，a6=160，求an.
解：（1）由等比数列的通项公式，得
a6=3×(−2)6−1=−96.
（2）（方法一）设等比数列的公比为q，那么
a1q²=20， a1q5=160.
解得 q=2，a1=5.
所以 an=a1qn−1=5×2n−1.
（方法二）设等比数列的公比为q，则有
q3=a6a3=16020=8，
解得 q=2，
所以 an=a3qn−3=20×2n−3=5×2n−1.
小结：等比数列an的通项公式an=a1qn−1可以推广到an=amqn−m.
在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列.
解：设插入3个数为a2，a3，a4.由题意得
243，a2，a3，a4，3
成等比数列.
设公比为q，则 3=243×q5−1，
解得 q=±13.
因此，所求3个数为81，27，9或−81，27，−9.
设计意图：通过例题，进一步巩固等比数列的通项公式，掌握如何利用等比数列的通项公式求解相关量．
四、课堂练习
1.已知等比数列{an}中，a1=−2，a3=−8，则an=___________．
2.在等比数列an中，已知a7a12=5，则a8a9a10a11的值为________.
3.在等比数列an中,已知a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n.
4.某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示第n (n∈N+)年这辆车的价值；
(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
参考答案：
1.解：∵a1=−2，a3=−8，
∴a3a1=q²=−8−2=4，∴q=±2，
∴an=−2×2n−1或an=−2×−2n−1，
即an=−2n或an=−2n.
2.解：∵a7a12=a8a11=a9a10=5，
∴a8a9a10a11=25.
3. 解：（方法一）由已知可得
a2+a5=a1q+a1q4=18， ①a3+a6=a1q2+a1q5=9， ②
由②①得q=12，将q的值代入①得a1=32.
又因为an=1，所以32×(12)n−1=1，
即26−n=20=1，所以n=6.
（方法二）因为a3+a6=q(a2+a5)，
所以q=12.
由a1q+a1q4=18，得a1=32.
又因为an=1，所以32×(12)n−1=1，
即26−n=20=1，所以n=6.
4.解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意得a1=10，a2=10×(1−10%)，
a3=10(1−10%)2，….
由等比数列定义知数列an是等比数列，首项a1＝10，公比q=1−10%=0.9，
所以an=a1qn−1=10×0.9n−1.
所以第n年车的价值为an=10×0.9n−1万元．
(2)当他用满3年时，车的价值为a4=10×0.94−1=7.29 (万元)．
所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元．
五、课堂小结
方法总结：
①等比数列可以通过两个独立条件确定.这两个独立条件可以是两个基本量：首项与公比，也可以是数列中的任意两项.
②在等比数列的运算中，可根据两个条件列出关于a1，q的方程组求解；也可利用各项
之间的关系直接求解．
③对于等比数列an=a1qn−1=a1q·qn，当q>0 且 q≠1时，an与n之间的函数关系可表示为fx= a1q·qx(x∈N*)，图象为fx上一些间隔的点，且自变量取正整数.
六、布置作业
教材第147页练习第3，6题．