中考数学专项突破之函数的实际应用 课件

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一次函数是一种重要的函数,运用一次函数解决日常生产、生活中的实际问题,考查学生对函数图象的识别能力和分析问题的能力,并且让学生更深入体会到数学来源于生活,在平时应多关注生活中所蕴含的数学知识. 本类型题主要考查与一次函数图象及性质有关的综合试题,解题的关键是利用数形结合的数学思想方法,要准确把握数量之间的对应关系,以建立相对应的一次函数模型,运用待定系数法求函数解析式,并熟练运用方程与不等式的性质解决问题.
1.解答一次函数的应用题时,应从给定的信息中抽象出一次函数关系,理清哪个是自变量,哪个是自变量的函数,再利用一次函数的图象与性质求解,同时要注意自变量的取值范围. 2.一次函数的最大(小)值：一次函数y=kx+b(k≠0)自变量x的范围是全体实数,图象是直线,因此没有最大值与最小值.实际问题中的一次函数,自变量的取值范围一般受到限制,其图象可能是线段或射线,此时就存在最大值或最小值.
某商场计划购进A,B两种型号的手机,已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机的进价多500元,每部A型号手机的售价是2 500元,每部B型号手机的售价是2 100元. (1)若商场用50 000元共购进A型号手机10部,B型号手机20部,求A,B两种型号的手机每部进价各是多少元？分析：根据两个等量关系：①每部A型号手机的进价比每部B型号手机的进价多500元；②商场用50 000元共购进A型号手机10部,B型号手机20部,构造二元一次方程组求解即可.解析：(1)设A,B两种型号的手机每部进价各是x元、y元,根据题意,得
蓝莓果实中含有丰富的养成分,经常食用蓝莓制品,还可明显地增强视力,消除眼睛疲劳.某蓝莓种植生产基地产销两旺,当天采摘的蓝莓部分加工成蓝莓汁销售(按1斤蓝莓加工成1斤蓝莓汁计算),剩下的部分直接销售,且当天加工的蓝莓汁以及剩余的蓝莓都能在当天全部售出,3斤蓝莓与2斤蓝莓汁的售价是580元,4斤蓝莓与3斤蓝莓汁的售价是840元.已知基地佣20名工人,每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作,每人每天可以采摘70斤蓝莓或加工35斤蓝莓汁. (1)请问购买1斤蓝莓多少元？购买1斤蓝莓汁多少元？解：设购买1斤蓝莓x元,购买1斤蓝莓汁y元,
反比例函数的知识在生产和生活方面经常被用到,掌握这些知识对学生参加实践活动,解决日常生活中的实际问题具有重要意义.通过学习反比例函数,学生应明确函数、方程、不等式是解决实际问题的三种重要的数学模型. 在中考考查题型中,若已知函数关系为反比例关系,可用待定系数法求解函数解析式；若不知函数关系,一般先寻找等量关系.最值问题由于其强大的兼容性,可以结合多种
函数知识进行考查,因此能更好地考查学生综合运用数学知识的能力以及对数学思想方法的掌握情况,成为近年来中考的热门题型. 解决此类问题一般有两个方面需要注意： (1)从实际问题中抽象出数学问题,建立数学模型； (2)注意在实际问题中函数自变量的取值范围,用数学知识去解决问题.
二次函数在中考数学中常常作为压轴题,具有一定的综合性和较大的难度,学生往往因缺乏思路,感到无从下手,难以拿到分数.事实上,我们只要理清思路,方法得当,稳步推进,力争少失分、多得分,同时需要心态平和,切忌急躁,当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃. 解决这类问题一般遵循这样的方法：
(1)运用转化的思想.由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性,因此在解决这类问题时,要善于把“新知识”转化为“旧知识”,把“未知”转化为“已知”,把“抽象”的问题转化为“具体”的问题,把“复杂”的问题转化为“简单”的问题. (2)综合使用分析法和综合法.就是从条件与结论出发进行联想、推理,“由已知得可知”,“从要求到需求”,通过对问题的“两边夹击”,使它们在中间的某个环节上产生联系,从而使问题得以解决.
解答此类问题可以从两个方面入手：一是解析式,二是图象特征.对于函数解析式的求法,一般用待定系数法.解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想,认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系,确定解题的思路和方法.
某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本),成功研发出一种产品.公司按订单生产(产量=销售量),第一年该产品正式投产后,生产成本为6元/件.此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式 y=-x+26. (1)求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式；分析：根据“第一年的利润=总销售额-总生产成本-研发费用”求解.解析：根据题意,得W1=yx-6y-80=(-x+26)x-6(-x+26)-80=-x2+26x+6x-156-80=-x2+32x-236. 答：这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式为W1=-x2+32x-236.
(2)该产品第一年的利润为20万元,那么该产品第一年的售价是多少？分析：将W=20代入所求函数解析式求解.解析：∵该产品第一年的利润为20万元,∴-x2+32x-236=20,∴x2-32x+256=0,∴(x-16)2=0,∴x1=x2=16. 答：该产品第一年的利润为20万元,那么该产品第一年的售价是16元/件.
(3)第二年,该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发,使产品的生产成本降为5元/件.为保持市场占有率,公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,另外受产能限制,销售量无法超过12万件.请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元.分析：先列出第二年的利润W2与x的函数解析式,再结合x≤16及y≤12求解.解析：依题意,得W2=yx-5y-20=(-x+26)x-5(-x+26)-20=-x2+31x-150,∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,∴x≤16.
某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本.已知：两种笔记本的进价之和为10元,甲种笔记本每本获利2元,乙种笔记本每本获利1元,马阳光同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了47元. (1)甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？解：设甲种笔记本的进价是m元,乙种笔记本的进价是(10-m)元.由题意得4(m+2)+3(10-m+1)=47,解得m=6.答：甲种笔记本的进价是6元,乙种笔记本的进价是4元. (2)该文具店购入这两种笔记本共60本,花费不超过296元,则购买甲种笔记本多少本时该文具店获利最大？
解：设购入甲种笔记本n本,则6n+4(60-n)≤296,解得n≤28.答：购入甲种笔记本最多28本,此时获利最大. (3)店主经统计发现平均每天可售出甲种笔记本350本和乙种笔记本150本.如果甲种笔记本的售价每提高1元,则每天将少售出50本甲种笔记本；如果乙种笔记本的售价每提高1元,则每天少售出40本乙种笔记本,为使每天获取的利润更多,店主决定把两种笔记本的价格都提高x元,在不考虑其他因素的条件下,当x定为多少元时,才能使该文具店每天销售甲、乙两种笔记本获取的利润最大？解：设把两种笔记本的价格都提高x元的总利润为W元.则W=(2+x)(350-50x)+(1+x)(150-40x)=-90(x-2)2+1 210,∵a<0,∴抛物线开口向下,∴x=2时,W最大=1 210,∴x=2时,最大利润为1 210元.
函数综合应用题的基本类型是根据实际背景材料来确定函数关系式,解题策略是利用函数的增减性来解决问题,这类问题通常与方程或不等式进行联合考查.一般先建立方程(不等式)等模型,然后建立函数关系式,最后确定自变量的取值范围来确定最佳选择.其中建立方程(不等式)在这类问题中属于基础考点,确定自变量的范围是解决问题的关键.从近几年各地的数学考试试卷来看,我们发现函数类(尤其是一次函数)应用题所占的比例相当大,函数类应用题已成为各地中考命题的热点.
这类问题通常是从函数图象或图表中得出需要的信息,然后利用待定系数法求出函数解析式,再利用解析式解决问题.它不同于单纯的基础函数,其自变量的取值范围往往有较多的限制条件.通过分析题中的数量关系直接得出函数解析式,再进行运用.　　　　
解决这类问题一般遵循这样的方法： (1)函数关系式一般根据函数、数据、几何图形、实际背景四种方式确定,其中前两种要用待定系数法,后两种要找图形与实际问题中的等量关系. (2)求最大值、最小值、变化趋势时要用函数性质,求一个数值时需转化为方程,求几种方案或最优方案或一个范围时要转化为不等式.
(3)当x为何值时,月利润w有最大值,最大值为多少？分析：分别求出每段函数的最大值,再比较取出w的最大值.解析：①当1≤x≤8,x为整数时,w= -x2+16x+80= -(x-8)2+144,当x≤8,w随x的增大而增大,∴当x=8时,w最大值= -(8-8)2+144=0+144=144(万元)；②当9≤x≤10,x为整数时,w=(-x+20)2,当x<20时,w随x的增大而减小,∴当x=9时,w最大值=(-9+20)2=121(万元)；③当11≤x≤12,x为整数时,w= -10x+200,∵k=-10,∴w随x的增大而减小,
∴当x=11时,w最大值= -10×11+200=90(万元).∵90＜121＜144,∴当x=8时,w取最大值144万元.【高分点拨】本题主要考查二次函数的应用,掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的前提,利用二次函数的性质求得所对应的自变量的取值范围是解题的关键.
4.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时每分钟上升10 ℃,加热到100 ℃停止加热,水温开始下降,此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系,直至水温降至30 ℃,饮水机关机,饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.若在水温为30 ℃时接通电源,水温y(℃)与时间x(min)的关系如图所示.(1)分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；解：由题意可得,当0≤x≤7时,设y关于x的函数关系式为y=kx+b,
6.为了支持大学生创业,某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款.小王利用这笔贷款,注册了一家淘宝网店,招收5名员工,销售一种火爆的电子产品,并约定用该网店经营的利润,逐月偿还这笔无息贷款.已知该产品的成本为每件4元,员工每人每月的工资为4千元,该网店还需每月支付其他费用1万元.该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示.(1)求该网店每月利润W(万元)与销售单价x(元)之间的函数解析式；