【微点·一轮考点】考向06 因式分解-2023届中考数学一轮复习考点专题复习大全（全国通用）

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1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式
分解因式的一般方法：1. 提公共因式法2. 运用公式法3.十字相乘法
分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)十字相乘法可对二次三项式试一试；
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
方法一：分组分解法
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．这种分解因式的方法叫分组分解法．
例如：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
方法二：十字相乘法
一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，，，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式．即．
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【题型探究】
题型一：因式分解的定义
1．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．B．
C．D．
3．下列变形中，属于因式分解且正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：提取公因式和公式法因式分解
4．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列因式分解正确的是（ ）
A．a10b﹣a5＝a5（a2b﹣1）B．a2﹣4b2＝（a﹣2b）2
C．a6＋4a3b＋4b2＝（a3＋2b）2D．a2﹣a（b＋1）＝a（a﹣b＋1）
题型三：十字相乘法
7．把多项式x2+（p﹣q）x﹣pq分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x+p）（x+q）B．（x﹣p）（x﹣q）C．（x+p）（x﹣q）D．（x﹣p）（x+q）
8．下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)
C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)
9．将多项式因式分解，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型四：分组分解法
10．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
11．把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）．
A．（x＋y＋1）(x－y－1)B．（x＋y－1）(x－y－1)
C．（x＋y－1）(x＋y＋1)D．（x－y＋1）(x＋y＋1)
12．下列运算不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：因式分解在化简求值的应用
13．若a+b=1，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
14．如果，那么代数式的值为_______．
15．已知x＝2，x+y＝3，则x2y+xy2＝_____．
题型六：因式分解的综合问题
16．已知，实数m，n满足，．
（1）若，则_______；
（2）若，则代数式的值是______________．
17．已知，．
(1)化简；
(2)当a和b满足时，求的值．
18．材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整除；
材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数m可以被9整除，且m的百位上的数字比十位上的数字大2，则称m为“够二数”；将m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的数为，，例如：，∵，，∴是“够二数”，．
(1)判断1314，6536是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”，请计算的值；
(2)若一个四位正整数是“够二数”，且为5的倍数，请求出所有的“够二数”n的值．
【必刷基础】
一、单选题
19．在因式分解练习时，小颖做了道题如下，小颖分解不够到位的一题是（ ）
A．B．
C．D．
20．已知，，则（ ）
A．B．2C．D．4
21．解决次数较高的代数式问题时，通常可以用降次的思想方法．已知：，且，则的值是（ ）
A．1B．1C．3D．3
22．对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是( )
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
23．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
24．如图2所示的是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则长方体的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
25．如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（ ）
A．3B．-3C．2D．-2
26．若，则的值为（ ）
A．3B．-3C．1D．-1
27．分解因式：______．
28．若关于的多项式含有因式，则实数的值为______ ．
29．已知：整式，，，整式．
(1)当时，写出整式的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)求整式；
(3)嘉淇发现：当取正整数时，整式、、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
【必刷培优】
一、单选题
30．设、是实数，且求的值．
31．计算：（ ）
A．5000aB．1999aC．10001aD．10000a
32．已知，则代数式的值为（ ）
A．34B．C．26D．
33．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
34．已知整数x，y满足，则的最小值为 _____．
35．已知多项式 分解因式为 ，则bc的值为______．
36．已知，则代数式的值为 ___________．
37．因式分解：______________________．
38．若函数，当自变量分别取1，2，，100时，对应的函数值的和是 __．
三、解答题
39．两个不同的多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则成这两个多位数互为“友好数”．例如：37和82，它们各数位上的数字之和分别是，，，和82互为“友好数”．又如：123和51，它们各数位上的数字之和分别是，，，和51互为“友好数”．
(1)直接写出103的所有两位数的“友好数”；
(2)若两个不同的三位数、，，，且、、为整数）互为友好数，且是11的倍数，记，求的所有值．
40．如图：将一张矩形纸板按图中所画虚线裁剪成九张小纸板，其中有两张正方形的甲种纸板，边长为a，有两张正方形的乙种纸板，边长为b，有五张矩形的丙种纸板，边长分别为a，b（）．
(1)观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为__________，还可以用两边的乘积表示为__________，则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式______________________________；
(2)若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为，每个丙种矩形纸板的面积为，求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和．
41．观察下列等式：
；；；…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数和三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称式”．
(1)根据上述规律填空，使式子成为“数字对称式”：
52×______=______×25；______×187=781×______．
(2)设“数字对称式”左边两位数的十位上数字为a，个位上数字为b，且，请用a、b表示“数字对称式”（只写出等式，不需证明）．
42．
(1)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
因式分解：
解：原式 第一步
第二步
第三步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是___________法．
任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______________________．
任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程．
参考答案：
1．C
【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．
【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．
2．B
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
【详解】解：A、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；
C、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．
3．A
【分析】利用因式分解的定义逐一判断即可．
【详解】A、，符合因式分解的定义，且分解正确；
B、，是整式的乘法，不是分解因式；
C、，分解因式不正确；
D、，分解因式不正确，
故选：A
【点睛】本题考查了因式分解的定义，理解掌握把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解，分解因式要分解到不能再分解为止．
4．D
【分析】利用提取公因式法、完全平方公式逐项进行因式分解即可．
【详解】解：
A、原式 = ，故本选项不符合题意；
B、原式 = ，故本选项不符合题意；
C、原式 = ，故本选项不符合题意；
D、原式 = ，故本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，属于基础题，关键是掌握因式分解的方法．
5．D
【分析】根据因式分解的定义化简判断；
【详解】解：，故此选项不合题意；
B，，无法运用平方差公式分解因式，故此选项不合题意；
C，，故此选项不合题意；
D，，故此选项符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；因式分解的结果是整式的乘积的形式且结果必须分解到不能再分解为止，这是判断是否是因式分解的根据方法．
6．C
【分析】利用提公因式法判定A和D错误，利用平方差公式判定B错误，利用完全平方公式判定C正确.
【详解】解：A．a10b﹣a5＝a5（a5b﹣1），故此选项不合题意；
B．a2﹣4b2＝（a﹣2b）（a＋2b），故此选项不合题意；
C．a6＋4a3b＋4b2＝（a3＋2b）2，故此选项符合题意；
D．a2﹣a（b＋1）＝a（a﹣b﹣1），故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握方法和步骤：一提二套三检查.
7．C
【分析】根据x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）容易得出答案．
【详解】解：x2+（p﹣q）x﹣pq＝（x+p）（x﹣q）．
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解的方法；熟练掌握x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）是解决问题的关键．
8．B
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，
【详解】A、x2－5x＋6＝x(x－5)＋6，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，是因式分解，故本选项符合题意；
C、(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)≠(x＋2)(x＋3)，故本选项不符合题意；
故选B
9．B
【分析】先运用完全平方公式展开，然后再合并，最后运用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：
=
=
=．
故选B．
【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式计算、十字相乘法因式分解等知识点，掌握运用十字相乘法进行因式分解是解答本题的关键．
10．A
【分析】根据因式分解的方法与步骤进行判断即可
【详解】解：A．原式不能分解，符合题意；
B．原式，不符合题意；
C．原式，不符合题意；
D．原式，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答的关键，注意实数范围内分解因式时2要写成．
11．A
【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．
【详解】解：原式=x2-（y2+2y+1），
=x2-（y+1）2，
=（x+y+1）（x-y-1）．
故选A．
12．B
【详解】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．
，A正确，不符合题意；
，B错误，符合题意；
，C正确，不符合题意；
，D正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题的关键．
13．D
【分析】把进行变形，代入a+b=1，计算，再次代入即可求解．
【详解】解：
故选：D
【点睛】本题考查了对式子变形求解，熟练掌握平方差公式是解题关键，本题也可以把a+b=1变形为a=1-b，代入求值．
14．4
【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式,，然后把a+b=2整体代入计算即可．
【详解】解：原式=
=
=
=，
∵a+b=2，
∴原式=2×2=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，以及因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．6y
【分析】原式提取公因式，把各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵x＝2，x+y＝3，
∴原式＝xy（x+y）＝6y，
故答案为：6y
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握计算法则是解题关键.
16． 7 42或252##252或42
【分析】（1）将已知式子因式分解代入得出，然后利用两个完全平方公式之间的关系求解即可；
（2）利用（1）中结论得出或，然后分两种情况，将原式化简代入求值即可．
【详解】解：（1）∵m+n=3，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵m>n，
∴，
∴；
（2）
，
由（1）得或
解得：或
当m=5，时，
∵，
∴，
∴m+p=2，
∴原式
；
当，n=5时，
∵，
∴，
∴，
∴原式
；
∴代数式的值为42或252；
故答案为：①7；②42或252．
【点睛】题目主要考查因式分解的运用，求代数式的值及完全平方公式与平方差公式，熟练掌握运算法则进行变换是解题关键．
17．(1)
(2)10
【分析】（1）用a，b表示出代数式，化简即可；
（2）根据已知式子求出a，b，代入（1）的结果即可；
(1)
∵，，
∴，
，
；
(2)
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
【点睛】本题主要考查了整式化简求值，准确利用二次根式非负性求解是解题的关键．
18．(1)1314是是“够二数”， F（1314）＝﹣1；6536不是“够二数”；
(2)n＝7758．
【分析】（1）根据“够二数”的定义进行判断求解即可；
（2）根据“够二数”的定义得出a＋b＋c＋d＝9x，其中x是正整数，且x≠0，则b－c＝2，表示出，代入b＝c＋2得＝a－d＋2，则＝，其中y是整数，得 c＝5，b＝7，＝，其中y是整数，，其中x≠0，且是整数，a+d+12＝9x，a，d是正整数，得到x≠1，从x＝2开始进行分析即可得到答案．
(1)
解：∵ 1+3+1+4＝9＝9×1，3－1＝2，
∴1314是“够二数”，
∴此时＝4131，
∴F（1314）＝＝﹣1，
∵6+5+3+6＝20，20不能被9整除，
∴6536不是“够二数”；
(2)
解：∵一个四位正整数是“够二数”，
∴a＋b＋c＋d＝9x，其中x是正整数，且x≠0，则b－c＝2，
∴b＝c＋2，则1＜c＜7，
∴，
∴
，
将b＝c＋2代入得，
＝
＝a－d＋2，
∴＝，其中y是整数，
∴ c＝5，b＝7，
∴ ，
∴（a－d＋2）y＝1，
∵y是整数，
∴a－d＋2＝1，即a＝d－1，
∴，其中x≠0，且是整数，
∵a+d+12＝9x，a，d是正整数，
∴ x≠1，
当x＝2时，，解得，不合题意，舍去；
当x＝3时，，解得，符合题意，此时n＝7758；
当x＝4时，，解得，此时d＝，不合题意，舍去；
∴ 随着x的增大，d也增大，不符合题意，
综上所述，n＝7758．
【点睛】此题考查了新定义运算、因式分解、解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键．
19．D
【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可．
【详解】解：A. ，正确，不符合题意；
B. ，正确，不符合题意；
C. ，正确，不符合题意；
D. ，原式分解错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，在因式分解的过程中，有公因式一定要先提公因式，分解一定要分到不能再分解为止．
20．A
【分析】先对所求的式子进行因式分解，再整体代入计算即可．
【详解】解：，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的因式分解、代数式求值，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用是解决本题的关键．
21．A
【分析】首先解方程，然后利用整体代入的思想把换成，多次代入即可求解．
【详解】解：，
，
，
，






．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了分解因式的实际运用，同时也考查了解一元二次方程，有一定的综合性．
22．A
【分析】根据立方差公式即可求解．
【详解】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，
将上式中的b用-b替换，整理得：
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故选：A．
【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握立方差公式是解题的关键．
23．B
【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可．
【详解】解：A、ax+ay=a(x+y)，故选项计算错误；
B、3a+3b=3(a+b)，选项计算正确；
C、，选项计算错误；
D、不能进行因式分解，选项计算错误；
故选：B．
【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
24．C
【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】解：∵S主视图=x2+2x=x（x+2），
S左视图=x2+x=x（x+1），
∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，
则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2．
所以长方体的表面积为：

故选C．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
25．B
【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解．
【详解】解：∵
∴
故
故选B
【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．
26．B
【分析】利用完全平方公式将进行因式分解，再利用算术平方根和完全平方的非负性解题即可．
【详解】解：
，
，
解得： ，
．
故选B．
【点睛】本题考查了用完全平方公式法进行因式分解： ，算数平方根以及完全平方的非负性，熟练掌握用公式法进行因式分解以及非负数的性质是解题的关键．
27．
【分析】先用完全平方公式分解，再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握公式法分解因式是解决本题的关键．
28．1
【分析】设另一个多项式为，再利用整式的乘法进行整理得得到对应各项系数，然后求得的值．
【详解】解：设多项式的另一个因式是，则，
∴，
∴，．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了因式分解的综合应用，设出另一个因式，再利用整式的乘法找到各项系数，使之对应相等是解答本题的关键．
29．(1)
(2)
(3)正确，理由见解析
【分析】根据题意可得，，把代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；
把，，代入中，可得，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；
先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．
（1）
解：，
当时，
原式

；
故答案为：；
（2）



；
（3）
嘉淇的发现正确，理由如下：


，
，
当取正整数时，整式、、满足一组勾股数．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．
30．
【分析】根据已知式子利用完全平方公式因式分解，根据非负数的性质求得的值，代入代数式，根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵
即
∴
∴，
解得：，
∴
【点睛】本题考查了完全平方公式因式分解，非负数的性质，二次根式的性质化简，求得的值是解题的关键．
31．D
【分析】先提取公因式，再运用平方差公式即可求解．
【详解】
，
故选：D．
【点睛】本题考查了运用提取公因式和平方差公式对代数式进行化简的知识，掌握平方差公式是解答本题的关键．
32．C
【分析】先化简代数式，再整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵
∴
∴原式=10×3－4
=26
故选C．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值、平方差公式、提取公因式、整体代入等知识点，掌握整体代入是解答本题的关键．
33．A
【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可；
③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可．
【详解】①当时，若，则
∴或者，故①错误；
②等式化简后为
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，即
∴，故②正确；
③若，，则两个方程相加得：，
∴
∴ ，故③错误；
④整理得：
∴
∵整数解
∴，，，
∴，， ，， ，，，，，
∴ 整数解共9对，故④错误；
综上所述，结论正确的有②；
故选：A．
【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．
34．
【分析】原式可变形为，然后因式分解为，从而得到，进而分析得出
，，则答案可得．
【详解】解：，
变形为，
∴，
∴，
∴，
∵x，y均为整数，，
∴最小值时，，
∴最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到．
35．24
【分析】利用整式的乘法去括号合并同类项后，对比各项系数相等即可．
【详解】∵ 分解因式为
∴
∴ ，
∴
故答案是24
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，以及多项式相等时对应各项系数相等，正确利用公式计算是关键．
36．4
【分析】先根据完全平方公式将因式分解，再将代入，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了用完全平方公式因式分解求代数式的值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
37．
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式化简．
【详解】
，
故答案为．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．分解因式三步骤：一提公因式，二套公式，三检查．分解因式时要先考虑能否用提公因式法，然后考虑公式法．若多顶式有两顶，可考虑用平方差公式；若多顶式有三顶，可考虑用完全平方公式．
38．390
【分析】将x2-100x+196分解为：（x-2）（x-98），然后可得当2≤x≤98时函数值为0，再分别求出x=1，99，100时的函数值即可．
【详解】二次函数与轴交点为，，
当，时，
，
当，时，
，
当，，时，函数的函数值为正数，
时，
，
当时，
，
当时，
，
自变量分别取1，2，，100时，对应的函数值的和是：
．
故答案为：390．
【点睛】本题考查函数值的知识及十字相乘法分解因式，有一定难度，关键是将x2-100x+196分解为：（x-2）（x-98）进行解答．
39．(1)13、22、31、40
(2)
【分析】（1）根据新定义进行解答便可；
（2）根据新定义列出、、的方程，得，是11的倍数，得是整数，从而求得的值，进而求得、的值，便可求得结果．
【详解】（1）解：，，，，，
的所有两位数的“友好数”为13、22、31、40；
（2）解：、，
，
是11的倍数，
是11的倍数，
即是11的倍数，
为整数，
是整数，
，
是整数，
，为整数，
，为整数，
，
，
，
，，且、为整数，
，或，，
或240，，
、为两个不同的三位数，
，，
．
即．
【点睛】本题主要考查了新定义，整除的问题，关键是读懂题意，应用新定义解决问题．
40．(1)， ，
(2)
【分析】（1）根据图形可得九张小纸板面积的和；根据图形可知用两边的乘积表示为；根据等面积法即可得出
（2）根据题中条件可以得到，，恒等变形即得，结合几何意义即可得到，从而求得结论．
【详解】（1）解：观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为；根据图形可知用两边的乘积表示为；根据等面积法即可得出；
故答案为：， ，；
（2）解：根据题意可得：，，
∴，，即，
∴，
∵，，
∴，
∴矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和为．
【点睛】本题考查看图写代数式以及因式分解得实际应用，看懂图形，读懂题意，利用因式分解恒等变形得到要求的量是解决问题的关键．
41．(1)275，572；71，17
(2)
【分析】（1）根据题意可得三位数中间的数等于两数的和，根据这一规律然后进行填空，从而得出答案；
（2）根据题意得出一般性的规律，然后根据多项式的计算法则进行说明理由．
（1）
根据题意：52×275=572×25；71×187=781×17；
故答案为：275，572，71，17；
（2）
“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.
证明如下：
∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）
=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），
右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）
=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），
∴左边=右边.
∴“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，同时考查了列代数式，去括号，整式的加减运算，因式分解的应用，根据已知信息，掌握利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数是解题的关键．
42．(1)0
（1）
任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法；
任务二：小明因式分解的结果不彻底，还可以进行因式分解；
任务三：原式
=
故答案为：任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底（或a2−b2还可以进行因式分解）；任务三：8(a+b)(a−b)．