【微点·一轮考点】考向08 二次根式-2023届中考数学一轮复习考点专题复习大全（全国通用）

这是一份【微点·一轮考点】考向08 二次根式-2023届中考数学一轮复习考点专题复习大全（全国通用），共24页。

1、二次根式：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，表示a的算术平方根,其中=0
2、 理解并掌握下列结论：
（1）是非负数（双重非负性）； （2）；
（3）；
口诀：平方再开方，出来带“框框”
3、二次根式的乘法：，反之亦成立
4、二次根式的除法：，反之亦成立
5、满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
（1)被开方数不含分母，（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式。
6、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。
【题型探究】
题型一：二次根式的概念和性质
1．（2022·湖北黄石·统考中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．且
2．（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）若，则等于（ ）
A．1B．5C．D．
3．（2022·湖北黄石·校联考模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型二：二次函数的化简
4．（2022·河北·统考中考真题）下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河北·九年级专题练习），那么的值是（ ）
A．6B．9C．12D．27
6．（2022·四川绵阳·统考三模）已知，则xy＝（ ）
A．3B．－6C．±6D．±3
题型三：二次根式的乘除
7．（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）计算：等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·天津南开·二模）计算的结果等于______．
9．（2022·河北唐山·统考二模）已知，则a＝______；b＝__．
题型四：二次根式的加减
10．（2022·黑龙江哈尔滨·校考一模）计算：_____．
11．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．
12．（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）计算的结果是______．
题型五：分母的有理化
13．（2022·河北保定·统考一模）已知，．则
（1）________；
（2）________．
14．（2022·广东中山·统考二模）小明喜欢构建几何图形，利用“数形结合”的思想解决代数问题．在计算时，如图，在中，，延长使，连接，得，所以，类比小明的方法，计算的值为________．
15．（2020·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）已知实数 的整数部分是m，小数部分是n，则 ＝_____．
题型六：二次根式的比较大小
16．（2021·四川成都·统考二模）比较大小：___
17．（2020·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）比较大小：__________（填“＞”、“=”、“＜”）
18．（2021·陕西宝鸡·统考一模）比较大小：﹣_____﹣2．（填“”或“”）
题型七：二次根式的化简求值问题
19．（2023·江西·九年级专题练习）先化简，再求值：，其中．
20．（2022·四川广元·统考一模）先化简，再求值：，其中，．
21．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）先化简，再求值：，其中x＝2+tan30°．
【必刷基础】
一、单选题
22．（2023·广西玉林·一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2022·福建泉州·校考三模）在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·上海松江·校考三模）下列式子属于同类二次根式的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
25．（2022春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期中）如图，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠后，恰好是等腰直角三角形，若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
26．（2021·广西百色·统考二模）将一组数，2，，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，，；
，，4，，；
…
若2的位置记为，的位置记为，则这个数的位置记为（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·山东青岛·统考中考真题）计算的结果是（ ）
A．B．1C．D．3
28．（2022·河北廊坊·统考二模）一次函数的图象如图所示，则使式子有意义的的值可能为（ ）
A．－3B．－1C．－2D．2
29．（2021·北京·统考中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________．
30．（2018·江苏苏州·校联考中考模拟）若x满足|2017-x|+ =x， 则x-20172=________
31．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
32．（2022春·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.
【必刷培优】
一、单选题
33．（2021·广东·统考中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6B．C．12D．
34．（2021·湖南娄底·统考中考真题）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A．B．C．10D．4
35．（2021·内蒙古·统考中考真题）若，则代数式的值为（ ）
A．7B．4C．3D．
36．（2020·河北·统考中考真题）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4
二、填空题
37．（2019·广西柳州·中考模拟）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．
38．（2021·四川眉山·统考中考真题）观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算______．
39．（2022·湖北荆州·统考中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
40．（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考三模）已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则______，______．
41．（2019·江苏·校考中考模拟）若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为_____．
42．（2022·四川遂宁·统考中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．
三、解答题
43．（2021·四川成都·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
44．（2022·安徽·统考二模）阅读下列解题过程：
＝＝-1；
＝＝-；
＝＝-＝2-；
…
解答下列各题：
（1）＝ ；
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝ ．
（3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）．
45．（2019·福建泉州·统考中考模拟）先化简，再求值：，其中.
46．（2013·贵州黔西·中考真题）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋ ＝( ＋ )2；
（3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值．
参考答案：
1．B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：依题意，
∴且
故选B
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．
2．A
【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：x＝2，
故y＝-3，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键．
3．C
【分析】根据二次根式、立方根、分式的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，得
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式、立方根、分式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
4．B
【分析】根据二次根式的性质判断即可．
【详解】解：A.，故错误；
B.，故正确；
C.，故错误；
D.，故错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
5．D
【分析】由二次根式的性质、二次根式的减法运算法则进行计算，即可得到答案．
【详解】解：，
∴，，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的减法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题．
6．B
【分析】利用二次根式的被开方数具有非负性求出x的值后，再求出y的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及性质，解题关键是求出x的值与y的值．
7．A
【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，，，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
8．4
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解：
=
=13-9
=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
9． 2 6
【分析】先将化为最简二次根式，再利用二次根式的乘法法则解题．
【详解】解：
故答案为：2，6．
【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简计算，涉及最简二次根式、二次根式的乘法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
10．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】解：原式
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
11．20
【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；
【详解】解：∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键．
12．
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的减法法则，即可求解．
【详解】=
故答案是：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键．
13． 14 11
【分析】根据分母有理化得到，将x和y分别代入（1）（2）中根据二次根式的混合运算法则计算求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴（1）


，
故答案为：14；
（2）



，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算法则，理解相关知识是解答关键．
14．
【分析】仿照题意构造含15度角的直角三角形进行求解即可．
【详解】解：如图，在中，，延长使，连接，
∴∠BAD=∠D，，
∴，
∴，
∵∠ABC=∠BAD+∠D，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，正确理解题意构造出含15度角的直角三角形是解题的关键．
15．．
【分析】根据估算无理数大小得出的整数部分m的值，小数部分n的值为﹣m，把m、n代入分式中，应用分母有理化的方法进行化简，即可得到答案．
【详解】解：∵1＜＜2，
∴m＝1，n＝，
∴
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
16．＜
【分析】直接利用二次根式的性质分别变形，进而比较得出答案．
【详解】解：=
=
∵＞
∴
∴＜
故答案为：＜．
【点睛】此题主要考查了二次根式的分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
17．＞
【分析】先将这两个数分别平方，通过比较两个数的平方的大小即可得解．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴
故答案为：＞
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，两个二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的正的式子的值就大，负的式子就小．
18．
【分析】首先利用二次根式的性质可得2＝，再比较大小即可．
【详解】解：∵2＝＝＞，
∴﹣＞﹣2，
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了二次根式的大小比较，准确计算是解题的关键．
19．；
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：
．
当时，原式．
【点睛】此题主要考查了分式的化简以及二次根式混合运算，正确化简分式是解题关键．
20．；7
【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入，即可求解．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式．
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式、二次根式及乘法公式的运用．
21．；
【分析】先根据异分母分式的加减化简括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据特殊角的三角函数值求得的值，代入化简结果进行计算即可．
【详解】解：
原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
22．D
【分析】利用二次根式的加减运算法则进行计算，然后作出判断．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，掌握运算法则是解题关键．
23．C
【分析】根据被开方数大于等于0，列式求解即可．
【详解】解：根据题意得：，解得．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
24．A
【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：、与是同类二次根式，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
25．D
【分析】根据翻折过程补全图形，然后根据矩形的性质和勾股定理即可解决问题．
【详解】解：由折叠补全图形如图所示，
四边形是矩形，
，，，
由第一次折叠得：，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
由第二次折叠知，，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
26．C
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．
【详解】解：这组数据可表示为：,…
∵，
∴为第4行，第3个数字．
故选：C．
【点睛】此题考查的是数字的变化规律以及二次根式的化简，找出其中的规律是解题的关键．
27．B
【分析】把括号内的每一项分别乘以 再合并即可．
【详解】解：

故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键．
28．B
【分析】通过一次函数图象可以得出：，解得：．使式子有意义的条件为：，解得：且．将两个关于k的解集综合，得到k的范围是：且．根据所求范围即可得出答案选B．
【详解】解：由图象得：，解得：
由题意得：若使式子有意义，则，解得：且
综上所述，k的取值范围是：且．
A、-3不在k的取值范围内，不符合题意；
B、-1在k的取值范围内，符合题意；
C、-2不在k的取值范围内，不符合题意；
D、2不在k的取值范围内，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查知识点为，一次函数图象与一次函数系数的关系、使二次根式有意义的条件，零指数幂中底数的范围．熟练掌握以上知识点，是解决此题的关键．
29．
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得：；
故答案：为．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
30．2018
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解得出x的取值范围，再根据绝对值的意义化简即可得出方程 =2017，将方程的两边同时平方即可解决问题．
【详解】解：由条件知，x-2018≥0， 所以x≥2018，|2017-x|=x-2017.
所以x-2017+ =x，即 =2017，
所以x-2018=20172 ，
所以x-20172=2018，
故答案为：2018．
【点睛】本题主要考查了二次根式的内容，根据二次根式有意义的条件找到x的取值范围是解题的关键．
31．，
【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为，再代入求值．
【详解】解：
．
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
32．
【分析】直接利用数轴判断得出：a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，进而化简即可．
【详解】由数轴，得，，，.
则原式.
【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，数轴，解题关键在于利用数轴进行解答.
33．A
【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵，
∴，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．
34．D
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
35．C
【分析】先将代数式变形为，再代入即可求解．
【详解】解：．
故选：C
【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．
36．B
【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．
【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：；
B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：；
C、∵3+4≠5，则不符合题意；
D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：；
∵，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题．
37．2
【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【详解】解：由数轴可得：0＜a＜2，
则a+
=a+
=a+（2﹣a）
=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a的取值范围．
38．
【分析】根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．
【详解】解：由题意可知，，
＝1+1+1+…+1﹣2021
＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021
＝2020+1﹣﹣2021
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
39．2
【分析】先由得到，进而得出a和b，代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴，．
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．
40． ； ；
【分析】将因式分解求得，则可化简得，根据，为有理数，可得，也为有理数，故当时候，只有，，据此求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵，为有理数，
∴，也为有理数，
故当时候，只有，，
∴，，
故答案是：，；
【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．
41．4
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．
【详解】解：∵b＝+﹣2，
∴
∴1-2a=0，
解得：a=，则b=-2，
故ab=（）-2=4．
故答案为4．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．
42．2
【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴可得：，
则
∴
=
=
=
=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
43．，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
44．（1）；（2）；（3）2020
【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；
（2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；
（3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】（1）
＝
＝
＝
故答案为：；
（2）
故答案为：；
（3）（+…+）×（+1）
＝（+…+）×（+1）
＝（）×（+1）
＝
＝2020．
【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解．
45． ．
【详解】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
详解：原式=÷（﹣）
=÷
=•
=﹣
=
当m=﹣2时，原式=﹣
=﹣
=﹣1+2
=．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
46．（1），；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13．
【分析】根据题意进行探索即可.
【详解】（1）∵，
∴，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．
故答案为m2＋3n2，2mn．
（2）设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．
故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．
（3）由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．
∵4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．
【点睛】本题考查二次根式的运算.根据题意找出规律是解决本题的关键.