【微点·一轮考点】考向11 分式方程-2023届中考数学一轮复习考点专题复习大全（全国通用）

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1.分式方程的定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).：使最简公分母为零的整式方程的根不是原方程的根（是增根），使最简公分母不为零的整式方程的根是原方程的根。（简称：一化二解三检验）
【题型探究】
题型一：分式方程的定义
1．（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）下列方程：①；②；③；④（为已知数），其中分式方程有（ ）
A．个B．个C．个D．个
2．（2021·全国·九年级专题练习）下列结论正确的是（ ）
A．是分式方程B．方程＝1无解
C．方程的根为x＝0D．解分式方程时，一定会出现增根
3．（2021·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考一模）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程的根为2；③方程的最简公分母为；④是分式方程．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型二：解分式方程
4．（2022·河南洛阳·统考一模）方程的解为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·山东滨州·统考二模）在如图解分式方程：的4个步骤中，根据等式基本性质的是（ ）
A．①③B．①②C．②③D．①④
6．（2022·江苏连云港·校考三模）解分式方程：
题型三：分式方程解的问题
7．（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组恰有4个整数解，则满足条件的所有整数值之和为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·重庆璧山·统考一模）已知的不等式组有且只有4个整数解，并且使得关于的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）从，，，0，1，3这六个数中，随机抽一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的m的值的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型四：分式方程无解问题
10．（2022·黑龙江佳木斯·统考三模）已知关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）
A．1或B．1或3C．D．1
11．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A．3B．7C．D．3或7
12．（2022·四川泸州·校考一模）已知关于x的方程无解，则实数m的取值是（ ）
A．B．C．D．
题型五：列分式方程
13．（2022·浙江丽水·模拟预测）为响应承办“绿色奥运”的号召，某校计划组织七年级部分同学参加义务植树棵．由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了，结果每人比原计划少栽了棵．若设原计划有人参加这次植树活动，则根据题意可列出方程为（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·浙江温州·统考一模）同学聚餐预定的酒席价格为2400元，但有两位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付40元，设原来有x人参加聚餐，由题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022·山东淄博·统考中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型六：分式方程的实际应用问题
16．（2022·广东广州·校考二模）荔枝是岭州四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．某水果超市用4000元购进一批荔枝，面市后供不应求．超市又用1万元购进第二批这种荔枝，所购数量是第一批的2倍，因每斤进价贵了2元．
(1)第一批荔枝每斤进价为多少元？
(2)超市销售两批荔枝售价相同，两批全部售完后要求获利不少于4000元，则每斤售价至少为多少元？
17．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）某商店决定购进，两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件种纪念品比每件种纪念品的进价高30元．用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同．
(1)求，两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如下表，
①当为何值时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进，型纪念品共200件，其中型纪念品的件数小于型纪念品的件数，但不小于50件．若型纪念品的售价为元/件时，商场将，型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求的值．
18．（2022·山东泰安·校考二模）“冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某旗舰店销售“冰墩墩”毛绒玩具总额为24000元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为8000元，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多40元，并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量的2倍．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？
(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为100元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共800个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的3倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过57600元．为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．
【必刷基础】
一、单选题
19．（2022·湖南株洲·校考二模）分式方程的解为，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
20．（2023·重庆黔江·校联考模拟预测）若关于x的方程的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．0B．1C．2D．3
21．（2022·甘肃平凉·校考三模）年北京冬奥会的比赛场馆分为个赛区，分别是北京赛区、延庆赛区、张家口赛区，个赛区之间均有高速铁路和高速公路相通，北京赛区清河高铁站与张家口赛区太子城高铁站之间的高速铁路里程为，高速公路里程为，已知从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少用，“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的倍，求“复兴号”列车和汽车的平均速度．设汽车的平均速度是，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
22．（2022·重庆·模拟预测）若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（ ）
A．6B．8C．11D．14
23．（2023·全国·九年级专题练习）小明和小亮在解答“解分式方程：”的过程如框，对他们的解答过程（每一步只对上一步负责）有以下判断，判断错误的是（ ）
A．小明的步骤①错误，漏乘B．小明的步骤②、③、④都正确
C．小明的步骤⑤错误D．小亮的解答完全正确
24．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考三模），两地相距千米，一辆大汽车从地开出小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
25．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）若数a使关于x的分式方程有非负整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．0D．2
26．（2022·浙江衢州·模拟预测）某项工程，甲工程队先做天后，由于另有任务不做，由乙工程队接替，结果乙队再做天就恰好完成任务．已知乙队单独完成任务的时间是甲队的倍．请问：
(1)甲队单独做需要多少天才能完成任务？
(2)若甲工程队先做天后，由乙工程队接替，结果乙队再做天就恰好完成任务．其中，都是正整数，且甲队做的时间不到天，乙队做的时间不到天，那么两队实际各做了多少天？
27．（2022·江苏无锡·统考一模）若关于的方程有增根，则的值为（ ）
A．－5B．0C．1D．2
28．（2022·吉林长春·校考模拟预测）2022年北京冬奥会是我国又一次举办的大型国际奥林匹克运动盛会．为了增加学生相关知识，某校开展“冬奥会知识竞赛”活动并计划购买大小两种型号的吉祥物玩偶作为奖品．已知大型号的单价比小型号的单价多元，且学校用元购买小型号的数量是用元购买大型号数量的三倍．
(1)求两种型号玩偶的单价；
(2)为了让更多同学参与竞赛活动，学校决定购进这两种型号吉祥物玩偶共个，但总费用不超过元求最多可购买大型号吉祥物玩偶的个数．
29．（2022·吉林长春·模拟预测）为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小明建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用厚型纸单面打印，总质量为克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用薄型纸双面打印，总质量为克．已知每页薄型纸比厚型纸轻克，求例子中的厚型纸每页的质量．墨的质量忽略不计提示：总质量每页纸的质量纸张数．
【必刷培优】
一、单选题
30．（2022·重庆·统考二模）若关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数m的和是（ ）
A．7B．10C．13D．21
31．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A．B．且
C．D．且
32．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考一模）已知关于x的分式方程的解为整数，且关于y的不等式，有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数m的和为（ ）
A．B．C．D．
33．（2022·重庆沙坪坝·统考一模）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．4B．2C．0D．
二、填空题
34．（2022·辽宁丹东·校考二模）若关于的方程有增根，则的值是______．
35．（2022·海南海口·海口市第九中学校考模拟预测）如果分式的值为，则的值为___________．
36．（2022·山东济宁·三模）分式方程的解是正数，则m的取值范围为___________
37．（2022·宁夏吴忠·校考三模）一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x千米，则根据题意所列方程正确的是___________________．
38．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是__________．
39．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）一个不透明的口袋中装有5个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出的值为_________．
40．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工件产品，根据题意可列方程为_________．
三、解答题
41．（2022·宁夏银川·校考三模）某零售商店第一次用1000元购进一批雪绒绒挂件若干个，第二次用1800购进冰墩墩挂件是购进雪绒绒挂件数量的，而冰墩墩挂件的进货单价比雪绒绒挂件的进货单价多1元．
(1)求该商店购进的雪绒绒和冰墩墩数量各多少个？
(2)该商店两种挂件的零售价都是10元/个，雪绒绒挂件中有10个因为损坏不能售出，其余都已售出，则冰墩墩挂件要至少售出多少个，才能使这两次的总利润不低于2020元？
42．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示1天内爸爸去过A、B、C三地．已知A到B的路程为160公里，比B到C的路程少200公里，小明爸爸驾车从A到B的平均车速和B到C的平均车速比为8：9，从A到B的时间比从B到C的时间少2小时．
(1)求A到B的平均车速；
(2)从B到C时，若小明的爸爸至少要提前40分钟到达，则平均车速应满足什么条件？
43．（2022·宁夏吴忠·校考一模）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际，用3000元购进两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同，已知A种粽子单价是B种粽子单价的1.2倍．
(1)求两种粽子单价各多少？
(2)商场准备再次购进两种粽子共2600个，要求B种粽子数量不超过A种粽子数量的3倍，那么要购进多少个A种粽子最省钱？（已知两种粽子进价不变）
44．（2022·宁夏银川·校考二模）某校为了鼓励学生增加书籍阅读量，计划从书店购进A，B两种图书各若干本免费赠阅．每本A图书的价格比每本B图书的价格多10元，若在书店购买时每1本A图书和1本B图书可以组成一个套装，每个套装购买时可以享受八折优惠．
(1)若学校购买每个套装的费用不超过120元，那么B图书的最高售价不能超过多少元？
(2)若用1040元购买的套装中B图书的数量与用600元单独购买B图书的数量相同，那么B图书的售价是多少？
45．（2022·江苏盐城·校考三模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，用480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同．
(1)今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？
(2)今年2月第一周，供应商将雪容融按每个100元的价格售出140个，将冰墩墩按每个150元的价格售出120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了个，最终商家获利5160元，求m．
售价（元/件）
销售量（件）
100
小明的解法：
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
系数化为得：⑤
是原分式方程的解⑥
小亮的解法：
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
系数化为得：⑤
摸球的总次数
100
500
1000
2000
…
摸出红球的次数
19
101
199
400
…
摸出红球的频率
0.190
0.202
0.199
0.200
…
参考答案：
1．B
【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程；
【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键．
2．B
【分析】根据分式方程的定义和分式方程的增根的意义即可判断．
【详解】解：A．原方程中分母不含未知数，不是分式方程，
所以A选项不符合题意；
B．解方程，得x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是原方程的增根，
所以原方程无解，
所以B选项符合题意；
C．解方程，得x＝0，
经检验x＝0是原方程的增根，
所以原方程无解，
所以C选项不符合题意；
D．解分式方程时，不一定会出现增根，
只有使分式方程分母的值为0的根是增根，
所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根、分式方程的定义，解决本题的关键是掌握分式方程的相关知识．
3．B
【分析】根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答．
【详解】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；
方程的根为x=2，故②正确；
方程的最简公分母为2x(x-2)，故③错误；
是分式方程，故④正确；
故选：B．
【点睛】此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键．
4．D
【分析】直接利用解分式方程的一般步骤解分式方程即可求解．
【详解】
解：去分母，得，
∴，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，
故选：D
【点睛】本题考查了分式方程的解法，注意：解分式方程时，一定不能漏掉检验．
5．A
【分析】根据解分式方程的步骤，等式的性质即可求解．
【详解】①两边同时乘以，，
②去括号，
③移项，两边同时加，，
④合并同类项得，
经检验，是原方程的解．
故①，③根据等式的基本性质，
故选A
【点睛】本题考查了解分式方程，等式的性质，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
6．
【分析】将分式方程去分母，化为整式方程求解，再检验即可．
【详解】解：，
等号两边同时乘，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验是原分式方程的解，
∴该方程的解为．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意验算．
7．D
【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解为正整数确定出的值，表示出不等式组的解集，由不等式组恰好有7个整数解，得到的值相加即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程解为正整数，且，得到
，
，
解得：，
不等式组整理得：，
解得：，
由不等式组有解且恰有4个整数解，得到整数解为4，3，2，1，
，
，
则满足题意的值只能为，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
8．B
【分析】利用不等式组的整数解和分式方程的整数解确定m的值即可．
【详解】解：不等式组的解为：．
∵关于x的不等式组有且只有四个整数解，
∴，
∴，
∴整数m的值为：．
关于y的分式方程的解为：．
∵分式方程有可能产生增根3，
∴．
∴．
∵关于y的分式方程的解为整数，
∴或．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，考虑分式方程可能产生增根的情况是解题要注意之处．
9．B
【分析】根据不等式组的解集为，求得，根据分式方程有非负整数解，求得取值范围，即可求解．
【详解】解：解不等式组可得
∵不等式组的解集为，
∴，
由可得：，
解得
由题意可得，，且
可得：，且
此时的取值为，，
又∵为整数，
∴的取值为，，个数为2
故选：B
【点睛】此题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．A
【分析】根据分式方程无解，需要对化简之后的整式进行讨论，可能是整式方程无解，也可能是整式方程的解是原分式方程的增根，即可求解．
【详解】解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
∵分式方程无解，
∴1-3m=0或x=2，
∴，
将x=2代入，得，
解得m=1，
综上，m的值是1或．
故选A．
【点睛】本题主要考查的是利用分式方程无解求参数的值，理解分式方程无解的解题方法是解题关键．
11．D
【分析】将分式方程化为整式方程，一次项系数为0时整式方程无解则分式方程无解，整式方程的解使分式方程的分母为0时分式方程也无解；
【详解】解：去分母得：7-mx=-3（x-1）
去括号得：7-mx=-3x+3
移项合并得：（3-m）x=-4
当m=3时，0x=4，整式方程无解，分式方程也无解，
当x=1时，m=7，分式的分母为0，分式方程无解，
∴m=3或m=7时，分式方程无解，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据分式方程无解确定字母参数，掌握分式方程无解的情况是解题关键．
12．D
【分析】分式方程无解的情况有两种：一是去分母之后得到的整式方程无解；二是去分母后得到的整式方程有解，但这个解又使分式方程的最简公分母为0，此时分式方程也无解．根据这两种情况分析解答即可．
【详解】解：原方程两边同乘以，得：，
整理得：，
当时，，
当时，这个整式方程无解，即当时，原分式方程无解，
当时，2是原分式方程的增根，原方程无解，此时无解，
当时，是原分式方程的增根，原方程无解，此时的解为：，
∴当或时，原分式方程无解，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程无解的条件，解题的关键是正确理解分式方程无解的情况有两种：一是去分母之后得到的整式方程无解；二是去分母后得到的整式方程有解，但这个解又使分式方程的最简公分母为0，此时分式方程也无解．
13．C
【分析】关键描述语为：“结果每人比原计划少栽了棵”，等量关系为：原计划每人植树的数量实际每人植树的数量．
【详解】解：若设原计划有人参加这次植树活动，那么原计划每人植树的数量为：，实际每人植树的数量为：
方程应该表示为：
故选：C．
【点睛】本题考查了列分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间工作总量工作效率．
14．D
【分析】设原来有x人参加聚餐，则实际有（x﹣2）人参加聚餐，根据“总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付40元”列出方程，此题得解．
【详解】解：设原来有x人参加聚餐，则实际有（x﹣2）人参加聚餐，
根据题意，得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
15．D
【分析】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，根据单价=总价÷数量，结合总费用降低了15%，采购数量与第一次相同，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，
依题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
16．(1)第一批荔枝每斤进价为8元
(2)每斤售价至少为12元
【分析】（1 ）设第一批荔枝每斤进价为x元，则第二批荔枝每斤进价为元，根据“所购数量是第一批的2倍”，列出分式方程，解方程即可求解．
（2 ）设售价为y元，再根据盈利＝销售价﹣成本价，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）设第一批荔枝每斤进价为x元，则第二批荔枝每斤进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
答：第一批荔枝每斤进价为8元．
（2）设每斤售价为y元，
依题意可得：，
解得：，
答：每斤售价至少为12元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（ 1）找准等量关系，正确列出分式方程；（ 2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
17．(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元
(2)①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②
【分析】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
（2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②设该商场购进型纪念品件，则购进型纪念品件，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，进而得到型纪念品的最大利润，设总利润为，求出函数关系式，根据函数的性质，求出当时，的值即可．
【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，由题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
当时：；
∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元；
（2）解：①设利润为，由表格，得：
当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当售价为：元时，利润最大为：元；
当，，
∵，
∴当时，利润最大为：元；
综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元．
②设该商场购进型纪念品件，则购进型纪念品件，由题意，得：，
解得：，
由①可知：当型纪念品的售价为元时，售出型纪念品的利润最大；
设，型纪念品均全部售出后获得的总利润为：，
则：，
整理，得：，
∵，
∴，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最大值，最大值为：，
∴．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值，是解题的关键．
18．(1)冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元
(2)冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元
【分析】（1）设“冰墩墩”的销售单价是x元，可得，解方程并检验可得“冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元；
（2）设“冰墩墩”购进m个，一月份销售利润为w元，则，解得：，而，由一次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”的销售单价是x元，则“雪容融”的销售单价是元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
∴（元），
答：“冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元；
（2）解：设1月份销售利润为w元，“冰墩墩”购进m个，则“雪容融”玩具为个，
则，
解得：，
由题意得：，
∵，
∴随m的增大而减小，
∴当时，w最大值，
答：冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元．
【点睛】本题考查分式方程、一次函数及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出方程、不等式及函数关系式．
19．A
【分析】把代入原方程，关于然后解a的方程即可．
【详解】解：把代入原方程得：，解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，掌握分式方程的解的定义是解题的关键．
20．C
【分析】分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，从而得整数a的取值，进而得所有满足条件的整数a的值之积．
【详解】解：将分式方程去分母得：
解得：
∵解为负数
∴
∴
∵当时；时，，此时分式的分母为0，
∴，且；
将不等式组整理得：
∵不等式组无解
∴
∴a的取值范围为：，且
∴满足条件的整数a的值为：1，2
∴所有满足条件的整数a的值之积是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及明确不等式组解集的取法，是解题的关键．
21．C
【分析】由“复兴号”列车和汽车的平均速度之间的关系，可得出“复兴号”列车的平均速度为，利用时间=路程÷速度，结合从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少用2h，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的倍，汽车的平均速度为，
“复兴号”列车的平均速度为．
依题意得：．
故选：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．A
【分析】先解一元一次不等式组并根据不等式组的解集为，得到，再解关于x的分式方程得，根据分式方程有非负整数解，得到且，得到当或1时，是非负整数，即可得到答案．
【详解】解：解不等式组，
得到，
∵该不等式组的解集为，
∴，
解关于x的分式方程，
得．
∵该分式方程有非负整数解，
∴，且，
∴且．
∵当或1时，是非负整数，
∴符合条件的m的所有值的和是6．
故选：A．
【点睛】此题考查了解分式方程和一元一次不等式组，熟练掌握运算法则求得m的取值范围是解题的关键．
23．D
【分析】观察解方程的步骤，找出出错的即可．
【详解】解：根据题意得：
小亮的解答没有检验过程，出错；
小明的步骤错误，漏乘，
小明的步骤、、都正确，
小明的步骤错误．
故选：．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
24．C
【分析】设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，根据题意可得，同样走千米，小汽车比大汽车少用小时，据此列方程．
【详解】解：设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，
由题意得，．
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
25．D
【分析】解不等式组，根据题意确定a的范围；解出分式方程，根据题意确定a的范围，根据题意计算即可．
【详解】解：，
解不等式①得：y＞﹣8，
解不等式②得：y≤a，
∴原不等式组的解集为：﹣8＜y≤a，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴a≥﹣5，
，
去分母得∶1﹣x﹣a＝x﹣3，
解得：x，
∵分式方程有非负整数解，
∴x≥0（x为整数）且x≠3，
∴为非负整数，且3，
∴a≤4且a≠﹣2，
∴符合条件的所有整数a的值为：﹣4，0，2，4，
∴符合条件的所有整数a的和是：2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
26．(1)甲队单独做需要40天才能完成任务；
(2)甲队实际做了天，乙队做了天．
【分析】（1）甲队单独做需要天才能完成任务，则乙队单独做需要天才能完成任务，总任务量为1，根据题意列分式方程，求解即可得到答案；
（2）根据题意列分式方程，整理得到，再根据、的取值范围得不等式，求整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：甲队单独做需要天才能完成任务，则乙队单独做需要天才能完成任务，由题意得：，
解得：，，
经检验，是原方程的解，
答：甲队单独做需要40天才能完成任务；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
，
，
，
且为整数，
或，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当时，，
答：甲队实际做了天，乙队做了天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，不定方程求特殊解。读懂题意，找出等量关系，列方程求解是解题关键．
27．A
【分析】根据题意可得x=2，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【详解】解：，
去分母得，m+1+2x=0，
解得：，
∵方程有增根，
∴x=2，
把x=2代入，得，
,
解得．
故选A.
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
28．(1)小型号玩偶的单价为元，大型号玩偶的单价为元
(2)
【分析】（1）设小型号玩偶的单价为元，则大型号玩偶的单价为元，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设最多购买大型号吉祥物玩偶个，根据题意列出一元一次不等式即可求解．
【详解】（1）解：设小型号玩偶的单价为元，则大型号玩偶的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
∴小型号玩偶的单价为元，大型号玩偶的单价为元；
（2）设最多购买大型号吉祥物玩偶个，
根据题意，得，
解得，
∴最多可购买大型号吉祥物玩偶个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意建立关系式是解题的关键，还要注意分式方程检验与取整问题．
29．例子中的厚型纸每页的质量为4克
【分析】设例子中的厚型纸每页的质量为x克，由题意得，，进行计算即可得．
【详解】解：设例子中的厚型纸每页的质量为x克，
由题意得，
方程两边同时乘，得
整理，得，
解得，，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即例子中的厚型纸每页的质量为4克．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程．
30．C
【分析】先求解不等式组，根据不等式组有且只有两个奇数解，求出m的一个取值范围；再根据分式方程有解的条件，即分母不为零，求出m的第二个取值范围，最后根据两个取值范围确定出正确的m值并求和．
【详解】解不等式组：
由①得：
由②得：，，
∴不等式组的解集为
∵不等式组有且只有两个奇数解
∴
解得：
∵分式方程有解，则分母不为零
∴
解分式方程：
，m≠5
解得：
∴满足条件的m值为6，7
∴所有满足条件的整数m的和是
故选C．
【点睛】本题考查求含参一元一次不等式组的解及根据条件求参数取值范围，根据分式方程有解求含参分式方程参数取值范围，解决本题的关键是根据条件求出正确的m的范围．
31．B
【分析】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵解为正数，
∴，
∴，
∵分母不能为0，
∴，
∴，解得，
综上所述：且，
故选：B．
【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．
32．B
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出m的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组至多有2个整数解确定m的值即可解答．
【详解】解：∵，
，
∴，
∴，
∵分式方程的解为整数
∴为整数，且 ，
∴，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵有解且至多有2个整数解，
∴，
∴-9≤m