【微点·一轮考点】考向12 一元二次方程-2023届中考数学一轮复习考点专题复习大全（全国通用）

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1、一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
2、 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）
3、运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
4、配方法解一元二次方程就是将方程变形为的形式，如果q≥0，方程的根是；如果q＜0,方程无实根．
5、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，x=叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
6、一元二次方程为，其根的判别式为：，则有下列性质：
①方程有两个不相等的实数根：．
②方程有两个相等的实数根：．
③方程没有实数根．
7、一元二次方程根与系数的关系（又叫韦达定理）：如果一元二次方程（）的两根为那么，就有，（注意：运用根与系数的关系的前提是b2-4ac≥0）
【题型探究】
题型一：一元二次方程的基础概念
1．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1=0B．x2 ++3=0C．x2 + 2x +1=0D．3x2 +x +1=0
2．（2022·河南洛阳·统考二模）若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2022·四川宜宾·统考中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0B．－10C．3D．10
题型二：一元二次方程的解（开平方和配方法）
4．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）方程（9x﹣1）2＝1的解是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·山东聊城·统考中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
6．（2022·四川雅安·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3B．0C．3D．9
题型三：一元二次方程的解（公式法）
7．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且有，那么实数的取值范围是
A．B．C．D．
8．（2021·上海·九年级专题练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于的方程是常数，是“邻根方程”，令，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·北京·九年级北京师大附中校考期末）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（ ）
A．－1B．－1或C．D．1或
题型四：一元二次方程的解（因式分解）
10．（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．3或B．或9C．3或D．或6
11．（2023·全国·九年级专题练习）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022秋·九年级课时练习）已知实数a，b同时满足，则b的值是（ ）
A．2或B．2C．或6D．
题型五：一元二次方程的判别式问题
13．（2022·山东威海·模拟预测）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值不能是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．且D．且
题型六：一元二次方程根与系数的问题
16．（2022·山东济宁·三模）若是方程的两个根，则的值为（ ）
A．9B．8C．7D．5
17．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7B．C．6D．
18．（2022秋·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（ ）
A．－3B．3C．－5D．5
题型七：一元二次方程的实际问题
19．（2022·辽宁盘锦·校考一模）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
(1)求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利6000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
20．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）草莓是大家非常喜欢的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市销售草莓，第一周每千克草莓的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售草莓180千克，且第一周草莓的销量与第二周的销量之比为，该水果超市这两周草莓销售总额为11600元．
(1)第二周草莓销售单价是每千克多少元？
(2)随着草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降a元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周草莓的销量比第二周增加了20%，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周草莓总销量的，而第三周草莓的销售总额为元，求a的值．
21．（2022秋·九年级单元测试）某新建公园需要绿化的面积为，施工队在绿化了后将每天的工作量增加为原来的1.2倍，结果提前5天完成了该项目的绿化工程
(1)求该公园绿化工程原计划每天完成多少平方米？
(2)如图所示，该公园内有一块长30米，宽20米的矩形空地，准备将其修建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条等宽的矩形小道（图中阴影部分），剩余地方种植花草，要使得种植花草的面积为，那么小道的宽应为多少米？
题型八：一元二次方程的综合问题
22．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
23．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
24．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【必刷基础】
一、单选题
25．（2022·甘肃武威·统考中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
26．（2022·湖北武汉·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6B．2或8C．2D．6
27．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
28．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
29．（2022·山东泰安·统考中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
30．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根小于0，求的取值范围．
31．（2022·江苏泰州·模拟预测）用总长为的篱笆围成矩形场地．
(1)根据题意，填写下表：
(2)设矩形一边长为，矩形面积为，当x是多少时，矩形场地的面积最大？并求出矩形场地的最大面积；
(3)当矩形的长为______，宽为______时，矩形场地的面积为．
【必刷培优】
一、单选题
32．（2022秋·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校联考阶段练习）若a≠b，且则的值为（ ）
A．B．1C．.4D．3
33．（2021·广西河池·统考中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
34．（2018·河北秦皇岛·统考中考模拟）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）²=182B．50+50（1+x）+50（1+x）²=182
C．50（1+2x）=182D．50+50（1+x）+50（1+2x）²=182
35．（2022·四川达州·模拟预测）如图的六边形是有甲、乙两个等腰直角三角形和丙、丁两个矩形组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若甲的直角边长为4，且甲的面积大于乙的面积，则乙的直角边长为（ ）
A．B．C．D．
36．（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法：
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则或；
③若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为2．
其中，正确说法的个数是（ ）
A．B．C．D．
37．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，正方形的对角线与相交于点O，的角平分线分别交、于M、N两点．若，则线段的长为( )
A．B．C．D．
38．（2022·四川绵阳·校考二模）已知实数满足．若，且，则的最小值是（ ）
A．6B．C．3D．0
二、填空题
39．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）若关于x的二次方程有两个相等的实数根，则 ___________．
40．（2023秋·天津南开·九年级南开中学校考期末）已知一元二次方程的两个实数根为、，且，则的值是______．
41．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则_____．
42．（2022·四川眉山·模拟预测）若实数，满足的值为______．
43．（2022·吉林长春·校考模拟预测）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利元，平均每天可售出千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少千克，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价______ 元．
44．（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，将边长为的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为的长方形，剩余的部分面积为，则根据题意可列出形式为一般式的方程为______，的值是______．
45．（2022·四川成都·统考二模）关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，且满足，则的值为______．
46．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）从这五个数中任意取出一个数记作b，则既能使函数的图象经过第二、第四象限，又能使关于x的一元二次方程的根的判别式小于零的概率为 _____．
三、解答题
47．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．
(1)该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到元？
(2)该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？
48．（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟预测）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两根与且，求的值．
49．（2022·江苏盐城·校考三模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，用480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同．
(1)今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？
(2)今年2月第一周，供应商将雪容融按每个100元的价格售出140个，将冰墩墩按每个150元的价格售出120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了个，最终商家获利5160元，求m．
50．（2022·山东济南·模拟预测）已知、为双曲线上两点，且其横坐标分别为，，分别过、作轴、轴的垂线，垂足分别为、，交点为．
(1)若矩形的面积为，求的值；
(2)随着a的取值的不同，两点不断运动，判断能否为边的中点，同时为中点？请说明理由；
(3)矩形能否成为正方形？若能，求出此时的值及正方形的边长，若不能，说明理由．
51．（2022·宁夏银川·校考三模）已知：如图，在中，，，，点P从点B出发，沿向点C匀速运动，速度为1cm/s，过点P作，交于点D．同时，点Q从点A出发，沿向点B匀速运动，速度为2cm/s．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为t（s）（），解答下列问题：
(1)当t为何值时，四边形为平行四边形？
(2)设四边形ADPQ的面积为y（），试确定y与t的函数关系式．
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若不存在，请说明理由；若存在，求出t值，并求出此时PQ的距离．
售价x（元/件）
55
60
65
销售量y（件）
700
600
500
矩形一边长
矩形面积
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、C、D选项含有一个未知数，未知数的次数是2，是一元二次方程，故选项A、C、D不符合题意；
B选项分母中含有未知数，是分式方程，故本选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，运用定义判断．
2．A
【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，m＋n＝4，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m，n分别是一元二次方程的两个根，
∴，m＋n＝4，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若，是一元二次方程（a≠0）的两根时，，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
3．A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=0，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
4．C
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
或，
解得，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．B
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
6．C
【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．
【详解】解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，

解得：
故选C
【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．
7．C
【分析】根据求根公式求得，结合条件，可知，，进而可得的范围，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
8．C
【分析】根据“邻根方程”的定义求出，代入进行配方求出最大值即可．
【详解】解：设、是方程是常数，的两根，
解得，，
∵原方程是“邻根方程”
∴或
∴当a=2时，t有最大值，最大值为4．
故选C.
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
9．B
【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：当x>0时，有，解得， (舍去)，
x<0时，有，解得，x1=−1，x2=2(舍去)．
故选B.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程．
10．A
【分析】结合根与系数的关系以及解出方程进行分类讨论即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
,则两根为：3或-1，
当时，，
当时，，
故选：A．
【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．
11．D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可．
【详解】解：分式方程去分母得：3-a-a2+4a=-1，即a2-3a-4=0，
分解因式得：（a-4）（a+1）=0，
解得：a=-1或a=4，
经检验a=4是增根，分式方程的解为a=-1，
当a=-1时，由a＜x≤b只有4个整数解，得到3≤b＜4．
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．B
【分析】由实数a，b同时满足，先消去a，求解b，再检验即可．
【详解】解： 实数a，b同时满足，


解得：
当时，不合题意，故舍去，
所以
故选：B
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，非负数的性质，掌握加减消元法是解决本题的关键．
13．C
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出解集判断即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键．
14．D
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】根据题意得且，
解得且．
故选：．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
15．C
【分析】根据一元二次方程的定义和结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，则△≥0．
∴，
解得：a≤2且a≠1．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
16．A
【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，求解即可．
【详解】解：是方程的两个根，
则，，
∴，
，
故选：A
【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
17．B
【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．
18．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得到关于b的方程，求出b的值即可．
【详解】解：∵和是关于x的方程的两根，
∴，
∴
∴
故选：C
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-，两根之积为是解题的关键．
19．(1)
(2)这种衬衫定价为60元．
(3)售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可；
（2）由题意知，，计算求出满足要求的解即可；
（3）由题意可得，，由，求出的取值范围，然后根据二次函数的图象与性质求的最值即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，则，
解得，
∴y与x之间的函数表达式是．
（2）解：由题意知，，
解得，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为60元．
（3）解：由题意可得，
，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，
∴，
解得，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，w取得最大值，此时元，
∴售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解不等式组等知识．解题的关键在于根据题意正确的列等式与不等式．
20．(1)60；
(2)5．
【分析】（1）设第一周草莓销售单价是每千克元，第二周草莓销售单价是每千克元，然后根据题意，列出关于的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据第三周草莓的销售总额为元，列出关于的一元二次方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：设第一周草莓销售单价是每千克元，第二周草莓销售单价是每千克元，
根据题意，得，
解得，
答：第二周草莓销售单价是每千克60元；
（2）解：根据题意，3月份第三周的销售单价是60元/千克，
3月份第三周的销售量为千克，
其中会员购买的销量为：千克，非会员购买的销量为：千克；
第三周草莓的销售总额为元，
，
整理，得，
或（不符合题意，舍去），
a的值为5．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，解答此题的关键是根据题意准确列出二元一次方程组和一元二次方程．
21．(1)
(2)2米
【分析】（1）设原计划每天完成，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设小路宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）设原计划每天完成，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
答：原计划每天完成；
（2）设小路宽为，
有题意得：，
解得：（超出矩形的长，不合题意，舍去），，
即，
答：小路宽2米．
【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，明确题意，列出相应的方程是解答本题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．
【详解】（1），
∵，
∴，
该方程总有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，即．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
23．(1)k；
(2)k=3
【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即32-4（k-2）0，
解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
24．(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．
故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
25．C
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
26．A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．
【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
∴
∵是方程的两个实数根,
∵，
又
∴
把代入整理得,
解得,
故选A
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．
27．A
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
28．C
【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
29．A
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程判别式与方程根的情况，只要判定即可证得；
（2）利用十字相乘法解一元二次方程，得到或，根据此方程恰有一个根小于0，列不等式求解即可得到的取值范围．
【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，
，
，
此方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
解得或，
此方程恰有一个根小于0，
，解得．
【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式的关系、十字相乘法解一元二次方程、方程根的情况求参数范围等，熟练掌握一元二次方程的解法及判别式与方程根的情况是解决问题的关键．
31．(1)见解析
(2)当x是时，矩形场地的面积S最大，最大面积为
(3)18，12
【分析】（1）根据一边长及周长求出另一边长，再根据矩形面积公式计算可得；
（2）先表示出矩形的另一边长，再根据：矩形面积公式，可得面积S关于x的函数解析式，配方成顶点式可得其最值情况；
（3）在以上函数解析式中令，解方程可得x的值．
【详解】（1）解：若矩形一边长为，则另一边长为，
此时矩形面积为：，
若矩形一边长为，则另一边长为，
此时矩形面积为：，
若矩形一边长为，则另一边长为，
此时矩形面积为：，
完成表格如下：
（2）解：设矩形一边长为，则另一边长为，
∴矩形场地的面积，
当时，S取得最大值，最大值为，
答：当x是时，矩形场地的面积S最大，最大面积为；
（3）解：根据题意，得：，
解得：或，
∴当矩形的长为，宽为时，矩形场地的面积为，
故答案为：18，12．
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据题意表示出另一边长，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是解题的关键．
32．B
【详解】解：由得：
∴
又由可以将a，b看做是方程 的两个根
∴a+b=4，ab=1
∴
故答案为B.
【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解．
33．A
【分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．
【详解】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，
∴，
∴方程有两个不相等实数根．
故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．
34．B
【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程．
【详解】解：设二、三月份平均每月的增长率为x，则二月份生产零件个，三月份生产零件个，
则得：
．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
35．D
【分析】设乙的直角边为x，表示出其它，再用面积建立方程即可．
【详解】解：设乙的直角边为x，
依题意得：，
整理可得：，
解得：，
∵，不合题意舍去，
，符合题意，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、矩形的性质及一元二次方程的应用，列出一元二次方程是解题的关键．
36．C
【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；
②通过解方程求得方程的两个解，结合“倍根方程”的定义来求、的关系；
③由方程是倍根方程，得到，由相异两点，都在抛物线上，通过抛物线对称轴求得的值．
【详解】①由，得
，
解得，
∵或，
∴方程不是倍根方程，
故①错误；
②解方程，得
，
∵是倍根方程，
∴或，
即或，
故②正确；
③∵方程是倍根方程，
设，
∵相异两点，，都在抛物线上，
∴抛物线的对称轴，
∴，
，
∴，
故③正确，
综上所述，正确的个数是2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
37．A
【分析】过点M做于G，利用角平分线的性质定理，得，然后再利用的面积公式求解正方形的边长，从而得解．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
过点M做于G，如图所示，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
；
故选：A．
【点睛】此题考查了正方形的性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握正方形的性质与角平分线的性质定理是解答此题的关键．
38．A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式化简，然后整体代入求解即可
【详解】解：∵实数满足，
∴、是方程的两个根，
∴，
∴
∵，且，
∴的最小值是，
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
39．##
【分析】二次方程有两个相等的实数根，根据得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：∵有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得，
故答案为：
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，需要熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．
40．或##或3
【分析】由一元二次方程的两个实数根为、，利用根的判别式得出为任意实数时，方程都有解，故再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知的等式中，得到关于的方程，求出方程的解可得到的值．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根为、，
，
取任意实数，方程都有解，
，，
代入得：，
整理得：，即，
解得：，，
则的值为3或．
故答案为：3或
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程，当时，方程有解，设方程的解为，，则有，．
41．2
【分析】由根与系数的关系可得出，，结合可求出的可能值，根据方程的系数结合根的判别式可得出关于的一元二次不等式，解之即可得出的取值范围，进而可确定的值，此题得解．
【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，，
，．
，即，
，
解得：．
关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：或，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出的值是解题的关键．
42．2或-11
【分析】分和两种情况，分别利用分式的性质结合一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：，满足，，
当时，
，是方程的两根，
，，
；
当时，
原式．
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系等知识点，正确将原式变形是解答本题的关键．
43．7.5
【分析】设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，再根据利润=每千克盈利×日销售量，列出y与x的函数关系式，然后配方求最值即可．
【详解】解：设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，
根据题意得：
当时，y取得最大值，最大值为6 125．
所以要使商场每天获利最多，每千克应涨价7.5元．
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于销售利润问题，明确利润=每千克盈利×日销售量是本题的关键，重点理解“每千克涨价一元，日销售量将减少20千克”根据所设的未知数表示此时的销售量，与二次函数的最值结合，求出结论．
44．
【分析】由正方形两边两边各剪去一个一边长为的长方形，可知余下正方形边长为，由面积等于，可列出方程化为一般式，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】由题意知，，化一般式为，
，
解得：（舍去），
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程一般式形式，根据题意列出一元二次方程是关键．
45．5
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入已知等式中，得到关于的一元二次方程，结合原方程的判别式取舍即可求解．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别是、，
，，
，
，
，
整理得：，
解得：或，
当时，，则原方程无实数解，
故．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
46．##0.4
【分析】确定使函数的图象经过第二、四象限的b的取值范围，然后确定使方程根的判别式小于零的b的取值范围，找到同时满足两个条件的b的值，利用概率公式计算即可．
【详解】解：∵函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得：；
∵关于x的一元二次方程的根的判别式小于零，
∴，
∴，
∴使函数的图象经过第二、四象限，且使方程的根的判别式小于零的b的值有为0、1，
∴此事件的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
47．(1)该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到元
(2)大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是元
【分析】（1）设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到元，根据总收入=每亩收入×种植面积列出方程求解即可；
（2）设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，列出W关于m的关系式即可得到答案．
【详解】（1）解：设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到元，
由题意得，
解得，
解得或，
∴该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到元；
（2）解：设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，
由题意得
，
∵，
∴当时，W最大，最大为，
∴大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键．
48．(1)见解析
(2) 或
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出 ，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，可以得到 ， ，再将它们代入，即可求出k的值．
【详解】（1）解：由方程，
，即，
无论k取何值时，方程总有两个实数根；
（2）解：
又 ，
把代入上式：
，
整理得：，
解得： 或．
【点睛】本题考查了一元二次方程 根的判别式（）和根与系数的关系，关键知识点：等价于方程有两个不相等的实数根；等价于方程有两个相等的实数根；等价于方程没有实根；韦达定理：，．
49．(1)每个冰墩墩的进价是120元，则每个雪容融的进价是80元
(2)10
【分析】（1）设每个冰墩墩的进价是x元，则每个雪容融的进价是元，根据“用480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同”，列出方程，即可求解；
（2）根据题意列出，求解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：设每个冰墩墩的进价是x元，则每个雪容融的进价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意；
此时，
答：每个冰墩墩的进价是120元，则每个雪容融的进价是80元；
（2）解：根据题意得：
，
，
，
解得：或（舍去），
答：．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意准确列出方程．
50．(1)
(2)能，理由见解析
(3)能，，正方形的边长为，祥见解析
【分析】（1）用含的代数式表示、，因为矩形的面积，得出含的方程即可；
（2）当为边的中点时，即，计算验证此时是否为中点即可；
（3）当矩形为正方形，即，用含的代数式表示、建立含方程，求解检验即可．
【详解】（1）解：因为、横坐标分别为，，
所以，，
由矩形的面积为得：
即，
解得：．
（2）解：若为边的中点，根据题意有：，
解得，，
则的坐标为，此时的横坐标为，
则纵坐标为，即，
而，即是中点，
故当时为边的中点同时是中点．
（3）解：若矩形为正方形，则，
因为，，
，
整理得：，
，（舍去），
故时矩形为正方形，
正方形边长为．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，关键要掌握用代数的方法解决几何问题技巧，把几何问题转化为方程求解问题．
51．(1)当时，四边形为平行四边形；
(2)；
(3)，．
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可；
（2）过点P作，证明和，根据相似三角形的性质求出、，根据梯形的面积公式计算即可；
（3）根据题意列出一元二次方程，解方程求出，根据相似三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】（1）解： ，，

当时，四边形为平行四边形
，即
解得：
答：当时，四边形为平行四边形．
（2）解：如图，过点P作，垂足为E
，

，即
解得：
，

，即
解得：


．
（3）解：否存在某一时刻t，使，则，

解得：（舍去），
则当为2s时，，此时，
作于H，则，

则．
矩形一边长
矩形面积