【微点·一轮考点】考向15 正比例函数与一次函数-2023届中考数学一轮复习考点专题复习大全（全国通用）

考向15 正比例函数与一次函数
【考点梳理】
1.正比例函数一般式：y=kx（k是常数且k≠0）。
2.正比例函数的图像和性质：【正比例函数的图像与性质】
y=kx
k＞0
k＜0
图像


性质
(1)直线经过第一、第三象限；
(2)y随x的增大而增大
(1)直线经过第二、第四象限；
(2)y随x的增大而减小
(3)自变量x的取值范围是全体实数；
(4)正比例函数y=kx中│k│越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；│k│越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小

3一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。
4【一次函数的图像及性质】
y=kx+b
k＞0
k＜0
b＞0
b＜0
b＞0
b＜0
图像




性质
图像经过第一、二、三象限；

图像经过第一、三、四象限；

图像经过第一、二、四象限；

图像经过第二、三、四象限；

y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
自变量x的取值范围是全体实数；
5.已知两点坐标求函数解析式：
待定系数法。解题步骤是：
（1）设解析式，（2）由题意列出方程（或方程组），（3)解这个方程（或方程组），（4）写出函数的解析式
6、当时，直线和直线平行
7、两条直线和的交点坐标就是方程组的解
【题型探究】
题型一：正比例函数的定义
1．（2022·辽宁沈阳·统考二模）若，y是x的正比例函数，则b的值是（    ）
A．0 B． C． D．
2．（2022·广西玉林·统考一模）若函数是正比例函数，则m的值是（    ）
A．m＝1 B．m＝－2 C．m＝2 D．m＞－2
3．（2021·陕西宝鸡·统考一模）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（5，b），B（a，4）两点，则a，b一定满足的关系式为（    ）
A．a﹣b＝1 B．a＋b＝9 C．a•b＝20 D．＝

题型二：正比例函数的图像和性质
4．（2022·陕西西安·校考三模）在平面直角坐标系中，点分别在三个不同的象限．若正比例函数的图象经过其中两点，则（    ）
A．2 B． C． D．
5．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，则点A（﹣3，k）在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限


6．（2021·陕西渭南·统考模拟预测）已知正比例函数y＝（2m﹣6）x的图象上一点（x0，y0），且＜0，则m的取值范围是（    ）
A．m＞3 B．m＞ C．m＜ D．m＜3
题型三：一次函数的定义
7．（2022·福建南平·统考模拟预测）如果P（2，），A（1，1），B（4，0）三点在同一直线上，则的值为（   ）
A．3 B．4 C．5 D．
8．（2022·安徽·模拟预测）已知点P（a，b）在直线y=-x+4上，且2a-5b≤0，则下列不等关系一定成立的是（    ）
A． B． C． D．



9．（2022·广东·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A(2，m)在第一象限，若点A绕原点O顺时针旋转90°的对应点B在直线y＝﹣2x+1上，则m的值为（    ）
A．﹣2 B．1 C． D．3

题型四：一次函数图像
10．（2022·山东济南·山东省实验初级中学校考模拟预测）已知一次函数与正比例函数（m，n为常数，），则函数与的图象可能是（　　）
A．B．C． D．





11．（2022·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考三模）在一次函数中，随的增大而增大，且，则在坐标系中它的大致图象是（    ）
A． B． C． D．
12．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

题型五：一次函数的性质
13．（2022·山东菏泽·校考二模）点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ）
A． B． C． D．不能确定
14．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）已知一次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ）
A．y随x的增大而减小 B．
C．的解集是 D．直线不经过第二象限
15．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（　　　   ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
题型六：一次函数和一元一次方程问题
16．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：

①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程的解为；
④当时，．
其中结论正确的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2022·江苏扬州·校考一模）如图，点A、B的坐标分别为、，点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点恰好落在x轴上，则点P的坐标是（      ）

A． B． C． D．





18．（2022·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线、、所对应的函数表达式分别为、、（k≠0且k≠1），若与x轴相交于点A，与、分别相交于点P、Q，则△APQ的面积（　　）

A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．随着k的取值变化而变化

题型七：一次函数和一元一次不等式问题
19．（2023·陕西西安·校考一模）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

20．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（　　）

A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
21．（2022·福建漳州·福建省漳州第一中学校考模拟预测）如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

题型八：一次函数和二元一次方程组问题
22．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元方程组的解是（    ）

A． B． C． D．
23．（2022·陕西·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ）
A． B． C． D．
24．（2022·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线l2：交于点A（，b），则关于x，y的方程组的解为（       ）

A． B． C． D．

题型九：一次函数的实际应用
25．（2022·山东潍坊·统考二模）如图，张华、李颖两人沿同一条笔直的公路相向而行，张华从甲地前往乙地， 李颖从乙地前往甲地． 张华先出发3分钟后李颖出发，当张华行驶6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的掉头返回甲地．拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，二人相距的路程y（米）与张华出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．李颖速度是张华提速前速度的 B．李颖的速度为240m/ min
C．两人第一次相遇的时间是分钟 D．张华最终达到乙地的时间是分钟
26．（2022·重庆沙坪坝·统考一模）甲、乙两自行车运动爱好者从A地出发前往B地，匀速骑行．甲、乙两人离A地的距离y（单位：km）与乙骑行时间x（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（    ）

A．乙骑行1h时两人相遇
B．甲的速度比乙的速度慢
C．3h时，甲、乙两人相距15km
D．2h时，甲离A地的距离为40km
27．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（    ）

A．， B．，
C．， D．，







题型十：一次函数的综合问题
28．（2023·广东佛山·校考一模）如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．

(1)求一次函数表达式；
(2)求D点的坐标；
(3)不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解．
29．（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点．

(1)求的值及点、的坐标；
(2)求的面积；
(3)若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标．






30．（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）已知如图，直线与两坐标轴分别交于点、，点关于轴的对称点是点，直线经过点，且与轴相交于点，点是直线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，再以为边向右边作正方形．

(1)①求的值；
②判断的形状，并说明理由；
(2)连接、，当的周长最短时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【必刷基础】
一、单选题
31．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考一模）正比例函数的图象经过点，，则的值为（    ）
A．3 B． C．－3 D．
32．（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟预测）将直线向上平移个单位长度后，所得直线的表达式是（　　）
A． B． C． D．
33．（2022·山东济南·统考模拟预测）如图，直线l是函数的图象．若点P（a，b）满足，且，则P点的坐标可能是（　　）

A． B． C． D．
34．（2022·宁夏银川·银川九中校考二模）一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
35．（2022·广东江门·校考一模）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．







36．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为顶点作等腰直角三角形，双曲线在第一象限内的图象经过点．设直线的表达式为，回答下列问题：

(1)求双曲线和直线的表达式；
(2)当时，求的取值范围；
(3)求的面积．


【必刷培优】
一、单选题
37．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系：折线表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则以下结论错误的是（    ）

A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为
C．轿车从西昌到雅安的速度为
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有
38．（2022·湖南株洲·统考模拟预测）一次函数在平面直角坐标系中与y轴交于点，与x轴交于点B，且的面积为6，则k的取值为（  ）．
A． B． C． D．
39．（2022·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将绕点逆时针旋转到如图的位置，的对应点恰好落在直线上，连接，则的长度为（    ）

A． B． C．2 D．
40．（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，若将直线向右平移m（m>0）个单位得到直线，直线与x轴交于C点，若△ABC的面积为6，则m的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
41．（2022·陕西西安·校考三模）如图，平行四边形ABCD的边AB在一次函数的图象上，轴，若点C的坐标是，则过顶点D的正比例函数解析式为（    ）

A． B． C． D．
42．（2022·山东日照·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
43．（2023·陕西西安·高新一中校考一模）在平面直角坐标系中，将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为，则m的值为___________．
44．（2022·广东云浮·校联考三模）已知一次函数，原点到直线的最大距离为 _____．
45．（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）如图，直线与直线的交点是，则不等式的解集是______．









46．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）如图一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C．则线段的长为______．

47．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，直线的解析式为，直线的解析式为，为上的一点，且点的坐标为，作直线轴，交直线于点，再作于点，交直线于点，作轴，交直线于点，再作，交直线于点，作轴，交直线于点，…，按此作法继续作下去，则的坐标为 ___________，的坐标为 ___________．


三、解答题
48．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）某景点投入40辆同型号电动代步车，准备成立代步车租赁公司，市运管所规定每辆代步车的日租金按10元的整数倍收取，但不得超过250元．经市场调研发现：当每辆代步车的日租金不超过150元时，40辆代步车可以全部租赁出去；当每辆代步车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的代步车数量将减少2辆．已知租赁出去的代步车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的代步车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出其他各项费用共1800元．
(1)若40辆代步车能全部租出，当每天总租金不低于总支出时，每辆代步车的日租金至少是多少元？
(2)求该代步车租赁公司一天的总利润最多是多少元？

49．（2022·辽宁盘锦·校考一模）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
售价x（元/件）
55
60
65
销售量y（件）
700
600
500

(1)求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利6000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
50．（2022·山东济宁·校考二模）【定义】如图1，A，B为直线同侧的两点，过点作关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”．

【运用】
(1)如图2，在平面直角坐标系中，已知，两点．，，三点中，点________是点，关于直线的等角点；
(2)已知：如图3，矩形的顶点，分别在轴、轴上，，，矩形的对角线相交于点，点为点和点关于轴的“等角点”．求的面积．

参考答案：
1．C
【分析】根据y是x的正比例函数，可知，即可求得b值．
【详解】解：∵y是x的正比例函数，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，掌握其定义是解题的关键．
2．B
【分析】直接利用正比例函数的定义进而得出答案．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴2m＋4＝0，且1-m≠0，
解得m＝－2．
故选B．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．
3．C
【分析】设该正比例函数是y＝kx（k≠0），将A、B两点的坐标分别代入，通过整理求得a，b一定满足的关系式．
【详解】设该正比例函数是y＝kx（k≠0），则b＝5k，4＝ak．
∴＝，
∴ab＝20.
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的概念，关键是清楚图象经过点，则点的坐标满足函数解析式．
4．B
【分析】先根据正比例函数的性质得到正比例函数经过点B从而求出正比例函数解析式，然后代入点C的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵三个点的坐标分别为，且三个点在不同的象限，
∴点A在第一象限时，点C在第二象限，
∴正比例函数不可能同时经过A、C两点，即正比例函数经过点B，
∴，
∴，
∴正比例函数解析式为，
∴正比例函数经过二、四象限，
∴点C在正比例函数图象上，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象的性质，确定正比例函数经过点B是解题的关键．
5．C
【分析】根据正比例函数y＝kx，y的值随着x值的增大而减小，可得，然后根据直角坐标系中每个象限的点的坐标特点即可得到答案．
【详解】解：正比例函数y＝kx，
∵y的值随着x值的增大而减小，
∴，
∴点A（﹣3，k）在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图像与系数的关系、每个象限内点的坐标的特点，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
6．D
【分析】由，利用正比例函数的性质可得出2m-6＜0，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵正比例函数y＝（2m﹣6）x的图象上一点（x0，y0），且＜0，
∴2m﹣6＜0，
∴m＜3．
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，正比例函数图象经过第一、三象限；当k＜0时，正比例函数经过第二、四象限”是解题的关键．
7．D
【分析】先设直线的解析式为y=kx+b（k≠0），再把A（1，1），B（4，0）代入求出k、b的值，进而得出直线AB的解析式，把点P（2，m）代入求出m的值即可．
【详解】解：设直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（1，1），B（4，0）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+，
∵P（2，m）在直线AB上，
∴m=（）×2+=，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标特点，求一次函数解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式，是解答此题的关键．
8．A
【分析】结合选项可知，只要判断a和b的正负即可．点在直线上，代入可得到a和b的关系式．再代入中，判断得结论．
【详解】在直线上




解得：
又且

故选：A
【点睛】本题主要考查一次函数上点的坐标的特征，不等式的基本性质等，判断出a和b的正负是解决问题的关键．
9．C
【分析】由点A的坐标，利用旋转的性质可求出点B的坐标（可以利用全等三角形找出），由点B在直线y＝﹣2x+1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．
【详解】解：由题画出草图，如图，
可知,
∴，
∴点A（2，m）绕原点O顺时针旋转90°的对应点B的坐标为（m，﹣2）．

∵点B在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2＝﹣2m+1，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了点关于原点旋转的坐标特点及一次函数，解题关键是熟练掌握点关于原点旋转的解题方法，即构造全等三角形．
10．A
【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、由一次函数的图象得：，则；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项正确，符合题意；
B、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确，不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
11．B
【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数，y随着x的增大而增大，
∴．
∵，
∴，
∴此函数图象经过一、三、四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知函数中，当时函数的图象经过第一、三、四象限是解答此题的关键．
12．D
【分析】先根据两条直线的图象得到，，，，然后再进行判定求解．
【详解】解：∵一次函数与的图象分别为直线和直线，
∴，，，，
∴，，，，
故A，B，C项均错误，D项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与k和b符号的关系，掌握当直线与y轴交于正半轴上时，；当直线与y轴交于负半轴时， 是解答关键．
13．A
【分析】首先根据得到随的增大而减小，进而判断即可．
【详解】解：∵，
∴随的增大而减小，
又∵点，点是一次函数图象上的两个点，且，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是牢记“当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小”．
14．C
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，故选项A错误；
∵一次函数y＝2x＋b的图象经过点（0，4），
∴b＝4，故选项B错误；
∵一次函数y＝2x＋b随x的增大而增大，经过点（0，4），
∴2x＋b＞4的解集是x＞0，故选项C正确；
∵k＞0，b＞0，
∴一次函数y＝2x＋4的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合是求解的关键．
15．D
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵直线y=−2x+3
∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5
∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=−2x+3上的三个点，且x1