湖南省长沙市第一中学2023届高三下学期月考(七)数学试题（原卷及解析版）

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长沙市一中2023届高三月考试卷（七）数学时量：120分钟  满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 2. 若实数x，y满足，则（    ）A.  B. 1 C. 3 D. 3. 1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：）（    ）A. 5.4倍 B. 5.5倍 C. 5.6倍 D. 5.7倍4. 已知函数，设，，则成立的一个必要不充分条件是（    ）A.  B. C.  D. 5. 如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为；若两条切线与轴分别交于两点，则的最小值为（    ）A.  B.  C. 1 D. 6. 某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（    ）A. 288 B. 336 C. 576 D. 16807. 在平面直角坐标系xOy中，已知过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，以AF，为直径的圆分别与x轴交于异于F的P，Q两点，若，则线段的长为（    ）A.  B.  C.  D. 8. 若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即.若，则下列说法正确的有（    ）A.  B. C. 在上是增函数 D. 10. 2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（   ）A.  B. C. 是偶函数 D. 在区间上单调11. 在棱长为的正方体中，与平面相交于点，为内一点，且，设直线PD与所成的角为，则下列结论正确的是（    ）A.  B. 点P的轨迹是圆C. 点轨迹是椭圆 D. 的取值范围是12. 已知数列满足，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）A.  B. C.  D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设平面向量，的夹角为，且，则在上的投影向量是______.14. 若直线l：为曲线与曲线的公切线（其中为自然对数的底数， ），则实数b=___________.15. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为______.16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，、两条渐近线的夹角正切值为，则双曲线的标准方程为______；若直线与双曲线的右支交于两点，设的内心为，则与的面积的比值的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，.（1）求边b的大小；（2）求面积的最大值.18. 已知正项数列前n项和为，满足，.（1）求数列的通项公式；（2）数列为等比数列，数列满足，若，，求证：.19. 在直角梯形中，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图圆台，已知点分别在线段，上，二面角的大小为.（1）若，，，证明：平面；（2）若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值.20. 某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.（1）若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；（2）经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为，18班代表队胜的概率为，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X，求随机变量X的数学期望.21. 已知双曲线C：.（1）若点P在曲线C上，点A，B分别在双曲线C两渐近线、上，且点A在第一象限，点B在第四象限，若，，求面积的最大值；（2）设双曲线C的左、右焦点分别为、，过左焦点作直线l交双曲线的左支于G、Q两点，求周长的取值范围.22. 已知函数.（1）若，求函数的零点个数，并说明理由；（2）当时，若方程有两个实根，且，求证：.