第十七章 勾股定理 单元自测题 人教版八年级数学下册

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人教版八年级数学下册第十七章 勾股定理 单元自测题一、单选题1．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（　　）A．1，，2 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，3，22．下列各组数中，是勾股数的一组是(　　)  A．2，3，4 B．3，4，5C．0.3，0.4，0.5 D．4，5，63．如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形.若，，，则的值为（　　）A． B． C． D．14．下列各组数中，能成为直角三角形三边长的是（　　）A．6，8，11 B．15，9，17 C．5，12，13 D．2，4，5．在平面直角坐标系中，点 到原点的距离是（　　）A．1 B．3 C． D．6．以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（　　）A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．9，12，157．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝5．现将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．若平移的距离为3，则CG的长为（　　）A． B． C．4 D．28．下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（　　）A．1、2、3 B．7、8、9 C．6、8、10 D．5、12、209．如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则 等于(　　) A．9 B．35 C．45 D．无法计算10．今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型.如图是底面直径，是高.现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）A． B． C． D．二、填空题11．在等腰三角形中，，，则边上的高是　     　．12．如图，已知．则点A所表示的数是　     　．13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于点D，点E，连结AE，当AC=13，AB=5时，则△ABE的周长是　     　.14．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点且PCBC．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是　     　．三、作图题15．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1，请按要求画出格点三角形.（1）在图1中画出一个等腰.（2）在图2中画出一个，且其三边都不与网格线重合.四、解答题16．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．17．在中，D是BC上一点，AC=10，CD=6，AD=8，AB=17，求BC的长．18．在四边形中，，，，若在四边形的周长为，求的长度．19．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连结AE，求BE的长.20．如图，正方形网格中的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上，判断的形状，并说明理由．五、综合题21．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．（1）线段AB的长度是　     　，线段CD的长度是　     　．（2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．22．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB． （1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？23．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM= 1，MN=2，BN=，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长．
答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A：，能构成直角三角形；B：，不能构成直角三角形；C：，不能构成直角三角形；D：，不能构成直角三角形；故答案为：A．【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。2．【答案】B【解析】【解答】解：A.，不符合题意；B.，符合题意；C.不是整数，不符合题意；D.，不符合题意；故答案为：B.【分析】根据勾股定理的逆定理计算求解即可。3．【答案】A【解析】【解答】解：，，， ，，，，故答案为：A. 【分析】在Rt△ABO中，根据勾股定理算出OB的长，再根据含30°角直角三角形的性质得出AB的长，最后在Rt△BCO中，再根据勾股定理算出OA的长即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：A、62+82≠112，故选项A不符合题意；B、152+92≠172，故选项B不符合题意；C、52+122＝132，故选项C符合题意；D、22+（）2≠42，故选项D不符合题意．故答案为：C.【分析】若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断.5．【答案】C【解析】【解答】解：点P（1，3）到原点的距离=，故答案为：C.【分析】根据勾股定理求出点P（1，3）到原点的距离，即可得出答案.6．【答案】B【解析】【解答】解：A、，， ，以3，4，5为边能构成直角三角形，故A选项不符合题意；B、，，，以4，5，6为边不能构成直角三角形，故B选项符合题意；C、，，，以6，8，10为边能构成直角三角形，故C选项不符合题意；D、，，，以9，12，15为边能构成直角三角形，故D选项不符合题意；故答案为：B． 【分析】根据勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，逐项进行判断，即可得出答案.7．【答案】D【解析】【解答】由题意得：BE=3，∵∠B＝90°，AB＝BC＝5，∴∠A=∠BCA=45°，CE=BC−BE=5−3=2，由平移性质得：AB∥DE，∴∠EGC=∠A=45°=∠BCA ，∠GEC=∠B=90°，∴EG=CE=2，由勾股定理得：．故答案为：D．【分析】根据平移的性质可得∠EGC=∠A=45°=∠BCA ，∠GEC=∠B=90°，EG=CE=2，再利用勾股定理求出CG的长即可。8．【答案】C【解析】【解答】A、12+22=5，32=9，∵5≠9，∴1、2、3不能作为直角三角形的三边长；B、72+82=103，92=81，∵103≠81，∴7，8，9可以不能作为直角三角形的三边长；C、∵62+82=100，102=100，∴62+82=102，∴6、8、10能作为直角三角形的三边长；D、∵52+122=169，202=400，∴52+122≠202，∴5、12、20不能作为直角三角形的三边长．故答案为：C． 【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。9．【答案】C【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2+MD2＝AB2-AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2-AD2+MD2，∴MC2-MB2＝（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）＝AC2-AB2 又∵AB=6，AC=9，∴MC2-MB2＝45． 故答案为：C． 【分析】在Rt△ABD和Rt△ADC中分别表示出BD2和CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别表示出BM2和MC2，然后等量代换并作差得到MC2-MB2＝AC2-AB2，再代入数据计算即可.10．【答案】D【解析】【解答】解：圆柱的展开图是长方形， AC=A′C，点C是BB′的中点，∵底面周长为20，∴BC=BB′=×20=10， 在Rt△ABC中，∴装饰带的长度最短为2AC=cm. 故答案为：D 【分析】画出圆柱的侧面展开图，可得到底面圆的周长即BB′=20cm，AC=A′C，点C是BB′的中点，可求出BC的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，利用两点之间线段最短，可知装饰带的长度最短为2AC，代入计算可求解.11．【答案】8【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于点D，，，，．故答案为：8．【分析】过点A作于点D，根据等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求出AD的长即可。12．【答案】【解析】【解答】解：OB=OA=，即数轴上点A所表示的数是，故答案为：．【分析】先利用勾股定理求出OB的长，再结合OA=OB，即可得到数轴上点A所表示的数是。13．【答案】17【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AC=13，AB=5， ∴，由作法得MN垂直平分AC，∴EA=EC，∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=5+12=17.故答案为：17. 【分析】利用勾股定理可求出BC的值，由作法得MN垂直平分AC，则EA=EC，进而可将△ABE的周长转化为AB+BC，据此计算.14．【答案】5cm【解析】【解答】解：侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为6cm，∴AC＝3cm，∵PC＝BC，∴PC＝×6＝4cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2∴ 故答案为：5cm. 【分析】 首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC＝6cm，PC＝BC，求出PC＝×6＝4cm，在Rt△ACP中，根据勾股定理求出AP的长．15．【答案】（1）解：根据等腰三角形的定义画出图形即可； （2）解：根据直角三角形的定义画出图形即可 【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及等腰三角形两腰相等，画图即可；（2）利用方格纸的特点，根据勾股定理及勾股定理的逆定理，分别以两直角边为1、3与2、4的三个直角三角形的斜边为边长的三角形是直角三角形，据此画图即可.16．【答案】解：如图，设旗杆高度为x米，则，，而，在中，，即，解得：，即旗杆的高度为17m．【解析】【分析】设旗杆高度为x米，则，，而，利用勾股定理列出方程，再求出x的值即可。17．【答案】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理可得，利用勾股定理求出BD的长，最后利用线段的和差求出BC的长即可。18．【答案】解：∵，，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∵四边形的周长为，∴，∴，∴，∴，∴．【解析】【分析】先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。19．【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝15，∵DE垂直平分线AB，∴AE＝BE，设BE＝AE＝x，则CE＝12﹣x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，AE2＝AC2+CE2，即x2＝92+（12﹣x）2，解得x＝，即BE的长为.【解析】【分析】由勾股定理求出AB=15，由DE垂直平分AB可得AE=BE，设BE＝AE＝x，则CE＝12﹣x，在Rt△ACE中，由勾股定理建立关于x方程并解之即可. 20．【答案】解：是直角三角形． 理由：由勾股定理，得；；．∵，，，∴，∴是直角三角形．【解析】【分析】利用勾股定理求出AB，BC，AC的长，再求出AB2，BC2，AC2，由此可得到AB2+BC2=AC2，然后利用勾股定理的逆定理可证得结论.21．【答案】（1）；2（2）解：以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，理由：∵AB=，CD=2，EF=，∴CD2+EF2=（2）2+（）2=8+5=13=AB2，∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．【解析】【解答】解：（1）由图可得，AB==，CD==2，故答案为：，2； 【分析】（1）利用勾股定理求出AB和CD的长即可；（2）利用勾股定理的逆定理判断即可。22．【答案】（1）解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km， 152+202=252， ∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，∵AC×BC=AB×CD，∴CD=AC×BC÷AB=12（km）．故修建的公路CD的长是12km；（2）解：在Rt△BDC中，BD= =16（km）， 一辆货车从C处经过D点到B处的路程=CD+BD=12+16=28（km）．故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，再结合三角形的面积求出CD的长即可；（2）先利用勾股定理求出BD的长，再利用线段的和差求解即可。23．【答案】（1）解：N是线段AB的勾股分割点，理由如下： ∵ AM= 1，MN=2， BN=，∴AM2 +BN2 =MN2∴以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，∴M，N是线段AB的勾股分割点．（2）解：∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，有两种情况： ①MN为斜边时，有AM2+ BN2 = MN2设BN=x，则52+x2=(7-x)2，∴x=②BN为斜边时，有BN2 =AM2 +MN2设BN=x，则52+(7-x)2=x2，∴x=， 综上，BN的长为或.-【解析】【分析】（1）N是线段AB的勾股分割点，理由如下：由于较小两边的平方和等于最大边长的平方，根据勾股定理的逆定理判断出以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，从而结合勾股分割点的定义即可得出答案；（2）分类讨论：①MN为斜边时，设BN=x，则MN=（7-x），根据勾股定理建立方程，求解即可；②BN为斜边时，设BN=x，则MN=（7-x），根据勾股定理建立方程，求解即可，综上即可得出答案