2022-2023学年河北省石家庄市长安区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市长安区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列选项中的两个图形(实线部分)，不是位似图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx+9=0的一个根，则m的值为( )
A. 10B. 9C. −6D. −10
3. 如图，⊙O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是( )
A. l1
B. l2
C. l3
D. l4
4. 如图，两条直线被平行线l1，l2，l3所截，点A，B，C，D，E，F为截点，且AB=5，BC=6，EF=4，则DE的长为( )
A. 2
B. 154
C. 103
D. 4
5. 已知点A(1,y1)，B(3,y2)均在反比例函数y=kx(k为常数)的图象上，若y1>y2，则k的取值范围是( )
A. k0C. k>1D. k0)的图象上．
(1)反比例函数y=kx的表达式为 ；
(2)把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O1A1B1．
①若此时另一个反比例函数y=k1x的图象经过点A1，则k和k1的大小关系是：k k1(填“”或“=”)；
②当函数y=kx的图象经△O1A1B1一边的中点时，则a= ．
三、解答题（本大题共5小题，共44.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
在实数范围内定义新运算“△”，其规则为：a△b=a2−ab，根据这个规则，解决下列问题：
(1)求(x+2)△5=0中x的值；
(2)证明：(x+m)△5=0中，无论m为何值，x总有两个不同的值．
21. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=8.在BC的延长线上取一点B，使CE=13BC，连接AE，AE与CD交于点F．
(1)求证：△ADF∽△ECF；
(2)求DF的长．
22. (本小题8.0分)
某数学课外小组学生开展闯关游戏(游戏一共10关)，根据活动结果制成如图所示的两幅尚不完整的统计图．

(1)a= ，将条形统计图补充完整；
(2)求数学课外活动小组学生的平均闯关关数；
(3)再加入n名同学闯关，已知这n名同学的闯关关数均大于7，若加入后闯关关数的中位数与原闯关关数的中位数相等，直接写出n的最大值．
23. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，点P是AB的中点.动点M沿CB边从点C开始，向点B以每秒1个单位长度的速度运动，当点M到达点B时停止运动，以点C为圆心，CM的长为半径作圆，与AC交于点N，过点N作NQ⊥AB，垂足为点Q.设运动的时间为t秒．

(1)当⊙C与AB相切时，求t的值；
(2)用含t的代数式表示NQ的长；
(3)当⊙C与线段PQ有交点时，直接写出线段NQ所扫过的面积．
24. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象L：y=(x−h)2−1(h为常数)与y轴的交点为C.已知点A(−4,1)，B(0,1)，P(−2,−1)．
(1)当L经过点P时，该二次函数的表达式为 ，此时图象L的顶点坐标为 ；
(2)设点C的纵坐标为yc，求yc的最小值，当yc取最小值时，图象L上有两点(x1,y1)，(x2,y2)，若x10，
故选：B．
根据题意可知y随x的增大而减小，进而即可求解．
本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵s甲2>s乙2，
∴成绩较为稳定的班级是乙班．
故选：B．
根据方差的意义判断．方差越小，波动越小，越稳定．
本题考查方差的意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
7.【答案】B
【解析】解：∵AD是半圆O的直径，
∴∠ABD=90°．
∵∠ADB=20°，
∴∠BAD=90°−20°=70°．
∵四边形ABCD内接于半圆O，
∴∠C=180°−∠BAD=110°．
故选：B．
由直径所对圆周角为直角可知∠ABD=90°，结合题意可求出∠BAD=70°，最后根据圆内接四边形的性质即可求出∠C=180°−∠BAD=110°．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．掌握直径所对圆周角为直角和圆内接四边形的对角互补是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵x=−2时，y=−2；x=−3时，y=−2，
∴该二次函数的对称轴为x=−2+(−3)2=−52，
∴当x=0时，y的值和当x=−5时，y的值相等．
∵当x=−5时，y=4，
∴当x=0时，y=4，
∴a的值为4．
故选：A．
根据表格可求出该抛物线的对称轴为x=−52，从而得出当x=0时，y的值和当x=−5时，y的值相等，即得出a的值为4．
本题考查二次函数的对称性．掌握二次函数图象关于其对称轴对称是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，tanα=BCAC=13，
∵AC=6m，
∴BC=2m，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=62+22=210(m)，
故选：C．
根据正切的定义求出BC，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记正切的定义是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由题意可知ABDE=86=43，BCEF=129=43，
∴ABDE=BCEF．
∵∠B=∠E，
∴△ABC∽△DEF，故①能判定△ABC与△DEF相似，不符合题意；
由②∠A=∠F判不能判定△ABC与△DEF相似，符合题意；
∵BCAC=EFDF，ABDE=BCEF，
∴ABDE=BCEF=ACDF，
∴△ABC∽△DEF，故③能判定△ABC与△DEF相似，不符合题意；
∵AC9=DF12，
∴ACDF=912=34，
∴ABDE=BCEF≠ACDF，
∴④不能判定△ABC与△DEF相似，符合题意．
故选：D．
由题意易求ABDE=BCEF，再根据三角形相似的判定定理逐项判断即可
本题考查三角形相似的判定．熟练掌握三角形相似的判定定理是解题关键．
11.【答案】A
【解析】解：甲在解方程时，方程两边同除(2x−1)，导致少了一个解，
所以从甲开始就错了．
正确的解法为：移项得(2x−1)2−3(2x−1)=0，分解因式得(2x−1)(2x−1−3)=0，
解之得x=12或x=2，
故选：A．
甲在进行计算时，方程两边同除(2x−1)，导致方程少了一个解，可得选项．
本题考查一元二次方程的解法，注意同乘同除时式子是否为零是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=12∠AOB=45°，
∴sinC=sin45°=22．
故选：D．
根据圆周角定理得出∠ACB=12∠AOB=45°，进而即可求解．
本题考查了圆周角定理，求特殊角的正弦值，掌握以上知识是解题的关键．
13.【答案】B
【解析】解：设改造农田x亩，则总成本为900x+18x2+600x，总销售额为7000x，
∴可列方程为y=7000x−(900x+18x2+600x)．
故选：B．
设改造农田x亩，根据题意可求出改造的x亩农田的总成本和总销售额，再根据收益=总销售额−总成本，即可列出方程．
本题考查二次函数的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
14.【答案】B
【解析】解：根据题意可得，
AC′//B′D，
∵B′D⊥AB，
∴∠C′AD=∠C′AB′+∠B′AB=90°，
∵∠C′AD=α，
∴α+2α=90°，
∴α=30°，
∵AC=4，
∴AD=AC⋅cs30°=4×32=23，
∴AB=2AD=43，
∴BB′的长度l=nπr180=60×π×43180=433．
故选：B．
根据旋转的性质可得AC′//B′D，则可得∠C′AD=∠C′AB′+∠B′AB=90°，即可算出α的度数，根据已知可算出AD的长度，根据弧长公式即可得出答案．
本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．
15.【答案】A
【解析】解：如图所示，设矩形ABCD的边AB为x米，则宽BC为(40−2x)米，

根据题意得：(40−2x)x=196，
即：−2x2+40x=196，
解得：x1=10+2,x2=10−2，
而40−2x≤18，
∴x≥11，
∴x=10+2，
所以只有一种围法，
故选：A．
设矩形ABCD的边AB为x米，则宽BC为(40−2x)米，根据矩形面积公式列方程，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】C
【解析】解：∵△FEC∽△BAC，
∴CEAC=FCBC，
∵AC=6，BC=8，CF=2，
∴CE6=28，
∴CE=32，故①正确；
如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．

∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴AFAB=FMBC，
∵AC=6，BC=8，CF=2，
∴AF=4，AB=AC2+BC2=10，
∴410=FM8，
∴FM=165，
∵PF=CF=2，
∴PM=165−2=65，
∴点P到边AB距离的最小值是65.故②正确；
综上，①和②都正确．
故选：C．
利用相似三角形的性质求解可求得CE=32；延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，证明△AFM∽△ABC，利用相似三角形的性质求出FM即可解决问题．
本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解第②题的关键是正确找到点P位置．
17.【答案】y=2(x−1)2−3 (1,−3)
【解析】解：将抛物线y=2x2先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后得到一条新的抛物线：y=2(x−1)2−3，其顶点坐标为：(1,−3)；
故答案为：y=2(x−1)2−3，(1,−3)．
根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，求出解析式，写出顶点坐标即可．
本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则，是解题的关键．
18.【答案】135 42
【解析】解：(1)∠A8=(8−2)×180°8=135°，
故答案为：135°；
(2)连接OA6，OA4，

∵∠A6OA4=360°÷8×2=90°，
∴A4A6=42+42=42，
故答案为：42．
(1)根据多边形内角和公式求出角的度数；
(2)求出∠A6OA4=360°÷8×2=90°，再根据勾股定理即可求得．
此题考查了正多边形内角和勾股定理，解题的关键是熟悉正多边形内角和公式和勾股定理．
19.【答案】y=43x < 1或3
【解析】解：(1)如图所示，过点A作AC⊥OB于C，

∵(4,0)，
∴OB=4，
∵△AOB是等边三角形，
∴OC=BC=12OB=2,OA=OB=4，
∴AC=OA2−OC2=23，
∴A(2,23)，
∵点A在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，
∴23=k2，
∴k=43，
∴反比例函数y=kx的表达式为y=43x，
故答案为：y=43x；
(2)①∵把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O1A1B1，
∴A1(2+a,23)，
∵反比例函数y=k1x的图象经过点A1，
∴23=k12+a，
∴k1=23(2+a)，
∵a>0，
∴2+a>2，
∴k1>43=k，
故答案为：0，得到2+a>2，则k1>43=k；
(3)分当函数y=kx的图象经过O1A1的中点时，当函数y=kx的图象经过A1B1的中点时，两种情况利用两点中点坐标公式和待定系数法求解即可．
本题主要考查的待定系数法求反比例函数的解析式，坐标与图形变化—平移，等边三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意可得：(x+2)△5=(x+2)2−5(x+2)=0，
整理得：x2−x−6=0，
解得：x1=−2，x2=3．
故x的值为−2或3；
(2)证明：由题意可得：(x+m)△5=(x+m)2−5(x+m)=0，
整理得：x2+(2m−5)x+m2−5m=0，
∴Δ=b2−4ac=(2m−5)2−4(m2−5m)=25>0．
∴无论m为何值，方程x2+(2m−5)x+m2−5m=0总有两个不相等的实数根，即无论m为何值，x总有两个不同的值．
【解析】(1)根据题意的运算法则可得出关于x的一元二次方程，解出该方程的解即可；
(2)根据题意的运算法则可得出关于x的一元二次方程，再根据其根的判别式计算，即可证明．
本题考查解一元二次方程，由一元二次方程根的判别式判断其根的情况．读懂题意，掌握新定义的运算法则是解题关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD/​/BC，即AD/​/BE，
∴∠DAF=∠CEF，∠ADF=∠ECF，
∴△ADF∽△ECF；
(2)解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD=8，
∴CE=13AD，即ADCE=3．
∵△ADF∽△ECF，
∴ADCE=DFCF，即DFCF=3．
∵CD=DF+CF，
∴DF=34CD=6．
【解析】(1)由平行四边形的性质可得出AD/​/BE，从而得出∠DAF=∠CEF，∠ADF=∠ECF，即证明△ADF∽△ECF；
(2)由平行四边形的性质可得出AD=BC，AB=CD=8，即得出ADCE=3，再根据相似三角形的性质可得出ADCE=DFCF，即DFCF=3，最后结合CD=DF+CF，即可求出DF的长．
本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理及其性质是解题关键．
22.【答案】15
【解析】解：(1)6÷30%=20(人)，320=0.15=15%，
∴a=15；
故答案为：15；
闯过9关的学生人数为：20×20%=4(人)，补全条形图，如图所示：

(2)解：数学课外活动小组的平均闯关关数 5×2+6×5+7×6+8×3+9×420=7.1；
答：数学课外活动小组的平均闯关关数为7.1；
(3)解：原闯关成绩分别为：5，5，6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，
∴中位数为 7+72=7；
∵再加入n名同学闯关，这n名同学的闯关关数均大于7，若中位数仍然为7，
∴当数据中的最后一个7为中位数时，此时n最大，
∵最后一个7排在第13位，
∴加上n名同学后的数据个数为：25个，
∴n的最大值为：25−20=5．
(1)利用闯过7关的学生人数除以所占百分比，求出总人数，利用闯过8关的学生人数除以总人数，求出a的值，利用总人数乘以闯过9关的学生所占的百分比，求出闯过9关的学生人数，补全条形图即可；
(2)利用平均数的计算公式进行计算即可．
(3)先将原数据进行排序，求出中位数为7，再根据加入后闯关关数的中位数与原闯关关数的中位数相等，得到当原数据中最后一个7为新的数据的中位数时，n的值最大，即可得出结论．
本题考查条形图和扇形图的综合应用，平均数和中位数．通过统计图，有效的获取信息，熟练掌握平均数的计算公式以及中位数的定义，是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图所示，设⊙C与AB相切于D，连接CD，

∴CD⊥AB，
∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=AB2−AC2=3，
∵S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=3×45=125，
∴CM=CD=125，
∴t=125；
(2)由题意得，CN=CM=t，
∴AN=AC−CN=4−t，
∵在Rt△ABC中，sinA=BCAB=35，
∴在Rt△AQN中，NQ=AN⋅sinA=12−3t5；
(3)如图所示，当⊙C恰好经过点P的时，连接CP，

∵∠ACB=90°，AB=5，点P为AB的中点，
∴CM1=CP=12AB=2.5，
∴t=2.5，
∴N1Q1=12−3t5=0.9，AN1=AC−CN1=1.5，
∴AQ1=AN12−N1Q12=1.2；
如图所示，当⊙C恰好经过点B的时，
∴CM2=CB=3，
∴t=3，
∴N2Q2=12−3t5=0.6，AN2=AC−CN2=1，
∴AQ2=AN22−N2Q22=0.8，
∴Q1Q2=AQ1−AQ2=0.4，
∵⊙C与线段PQ有交点，
∴线段NQ所扫过的面积即为梯形N1Q1Q2N2的面积，
∴线段NQ所扫过的面积=0.9+0.62×0.4=0.3．
【解析】(1)如图所示，设⊙C与AB相切于D，连接CD，由切线的性质可得CD⊥AB，利用勾股定理求出BC=3，再利用三角形面积法求出CD的长即可得到答案；
(2)先求出AN=4−t，在Rt△ABC中，sinA=35，则在Rt△AQN中，NQ=AN⋅sinA=12−3t5；
(3)如图所示，当⊙C恰好经过点P的时，连接CP，求出N1Q1=0.9，AQ1=1.2；如图所示，当⊙C恰好经过点B的时，求出N2Q2=0.6，AQ2=0.8，则Q1Q2=0.4，再由⊙C与线段PQ有交点，得到线段NQ所扫过的面积即为梯形N1Q1Q2N2的面积，据此求解即可．
本题主要考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
24.【答案】y=(x+2)2−1 (−2,−1)
【解析】解：(1)把P(−2,−1)代入到y=(x−h)2−1中得：
−1=(−2−h)2−1，
解得：h=−2，
∴二次函数解析式为：y=(x+2)2−1，
∴此时图象L的顶点坐标为(−2,−1)，
故答案为：y=(x+2)2−1，(−2,−1)；
(2)令x=0，则：y=(0−h)2−1=h2−1，
∴yc=h2−1，
∴当h=0时，yc最小，最小值为−1，
∴此时二次函数解析式为y=x2−1，
∴此时二次函数开口向上，对称轴为y轴，
∴当x