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泰安市泰山学院附属中学鲁教版七年级数学下册导学案
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这是一份数学七年级下册本册综合导学案，共132页。学案主要包含了学习目标，课前梳理，课堂练习，当堂达标，课后拓展，本章目标，知识梳理，巩固训练等内容，欢迎下载使用。
数 学
七年级 下册
目录
第七章 二元一次方程组
7.1二元一次方程组 1
7.2 解二元一次方程组(1) 3
7.2 解二元一次方程组(2) 5
7.3 二元一次方程组的应用(1) 7
7.3 二元一次方程组的应用(2) 9
7.3 二元一次方程组的应用(3) 11
7.4 二元一次方程与一次函数(1) 13
7.4 二元一次方程与一次函数(2) 15
第七章复习学案 17
第八章 平行线的有关证明
8.1定义与命题（1） 22
8.1定义与命题（2） 24
8.3 基本事实与定理 26
8.4平行线的判定定理 28
8.5平行线的性质定理 30
8.6三角形内角和定理（1） 32
8.6三角形内角和定理（2） 34
8.6三角形内角和定理（3） 36
第八章复习学案 38
第九章 概率初步
9.1感受可能性 43
9.2频率的稳定性（1） 45
9.2频率的稳定性（2） 47
9.3等可能事件的概率（1） 49
9.3等可能事件的概率（2） 51
9.3等可能事件的概率（3） 53
9.3等可能事件的概率（4） 55
第九章复习学案 57
第十章 三角形的有关证明
10.1全等三角形（1） 61
10.1全等三角形（2） 63
10.1全等三角形（3） 65
10.2等腰三角形（1） 67
10.2等腰三角形（2） 69
10.2等腰三角形（3） 71
10.2等腰三角形（4） 73
10.3直角三角形（1） 75
10.3直角三角形（2） 77
10.4线段的垂直平分线（1） 79
10.4线段的垂直平分线（2） 81
10.5角的平分线（1） 83
10.5角的平分线（2） 85
第十章复习学案 87
第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
11.1不等关系 92
11.2不等式的基本性质 94
11.3不等式的解集 96
11.4一元一次不等式（1） 98
11.4一元一次不等式（2） 100
11.5 一元一次不等式与一次函数（1） 102
11.5 一元一次不等式与一次函数（2） 104
11.6一元一次不等式组（1） 106
11.6一元一次不等式组（2） 108
11.6一元一次不等式组（3） 110
第十一章复习学案 112
7.1二元一次方程组
【学习目标】
1.了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念；
2.会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程、二元一次方程组的解.
【课前梳理】
阅读课本第2至4页的内容，思考并解答下列问题.
1.二元一次方程
含有 的方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解
适合 ，叫做这个二元一次方程的一个解.
3.二元一次方程组
叫做二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解
叫做二元一次方程组的解.
【课堂练习】
知识点一 二元一次方程及二元一次方程的解
1.判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由.
① ② ③
④ ⑤ ⑥
2. ① ② ③
哪几对是方程的解？
知识点二 二元一次方程组及二元一次方程组的解
3.已知、、都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？
① ② ③ ④
4.判断是不是二元一次方程的解.
【当堂达标】
1.下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x－y=3； ②4x+9=x－y；③+y=5； ④x=y； ⑤x2－y=2 ⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
3.方程3x+2y=5与y=1－x的公共解是（ ）
A. B. C. D.
4.已知xb+5y3a和－7x2ay2－4b是同类项，那么a, b的值是（ ）
A. B. C. D.
5.若方程组的解是，则a = ，b = .
【课后拓展】
6.若6x3m+4-9yn-4=5是二元一次方程,则m=_____ ,n=_____ .
7.若是关于x,y的二元一次方程，则__________.
8.甲种物品每个9千克，乙种物品每个4千克。现有甲种物品x个，乙种物品y个，共80千克。
（1）列出关于x,y的二元一次方程 .
（2）若x=4,则y= _____ .
（3）若有乙种物品2个，则甲种物品有___个.
7.2 解二元一次方程组(1)
【学习目标】
1.会用代入消元法解二元一次方程组;
2.了解解二元一次方程组的消元思想,初步体会数学学习的化归思想.
【课前梳理】
1.代入消元法解二元一次方程组的基本思路——“代入消元”即二元 → 一元
2.代入法解二元一次方程组的步骤
①用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出未知数的值；
④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；
⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；
⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.
【课堂练习】
知识点一 用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数
1.把下列方程写成用含x的式子表示y的形式
（1）若2x－y=3 ,则y=
（2）若3x+y－1=0，则y=
（3）若 +y＝6,则y=
知识点二 代入消元法解二元一次方程组
2.
称为代入消元法，简称代入法.
3.要把方程组 x+y=22 ①
2x+y=40 ②
转化为一元一次方程，可把①式写成 ，再代入②式，这时方程组就转
化成了一元一次方程 .
【当堂达标】
1.用代入法解方程组，先消去未知数( )最简便.
A. B. C.两个中的任何一个都一样 D.无法确定
2.已知 是方程组 的解，则a+b= ( )
A.2 B.－2 C.4 D.－4
3.方程组的解为( )
A. B. C. D.
4.解下列方程组
（1） （2）
【课后拓展】
5.已知方程,则x= ，y= .
6.若2x2ya+b与﹣xa﹣by4的和是单项式，则a，b的值分别为（ ）
A.a=3，b=1 B.a=﹣3，b=1 C.a=3，b=﹣1 D.a=﹣3，b=﹣1
7.若x－y＝5，则14－2x＋2y＝ .
8.已知a,b,c是△ABC的三边长，其中a,b是一元二次方程组的解，求c的取值范围.
7.2 解二元一次方程组(2)
【学习目标】
1.会用加减法解二元一次方程组；
2.进一步理解解二元一次方程组的消元思想，知道消元的另一途径是加减法.
【课前梳理】
1.加减消元法解方程组基本思路是 “加减消元”即二元 → 一元
2.主要步骤 (1)变形－同一个未知数的系数相同或互为相反数；
(2)加减－消去一个元；
(3)求解－分别求出两个未知数的值；
(4)写解－写出方程组的解.
【课堂练习】
知识点一 用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数
认真阅读教材8-10页内容，尝试完成下面的题目，相信你一定能行！
1.第一种是代入消元法，小明将②式用含的代数式表示，= ，再将其代入①，从而消去 .
2.第二种还是代入消元法，只不过是小刚将②式变形得 ，再代入①中.这属于“整体代换”，它比思路1有什么好处？
3.第三种是加减消元法，和互为相反数，小颖用①+②，即①式的两边分别加上②式的两边，得 ，从而消去未知数，可求出.
知识点二 用加减消元法解二元一次方程组
(1） （2）
【当堂达标】
1.用加减法方程组，若先求的值，应先将两个方程 ；若先求的值，应先将两个方程 .
2.用加减消元法解方程组时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果 ①；②；③；④，其中变形正确的是（ ）
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
3.用加减消元法解下列方程组
（1） （2）
【课后拓展】
4.已知方程组，则x－y＝ ，x＋y＝ .
5.如果关于x、y的方程组的解满足二元一次方程，求m的值.
7.3 二元一次方程组的应用(1)
【学习目标】
1.了解列二元一次方程组解应用题的步骤;
2.能正确地列二元一次方程组解应用题.
【课前梳理】
二元一次方程组解决实际问题的基本步骤
1.审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系;
2.设未知数（一般求什么设什么）;
3.找出能表示应用题全部意义的两个等量关系，列出方程组;
4.解所列方程组，得未知数的值，检验所求未知数的值是否符合题意，是否符合实际意义;
5.写出答案（包括单位名称）.
【课堂练习】
知识点一 了解列二元一次方程组解应用题的步骤
认真阅读教材13-14页内容，尝试完成下面的题目，相信你一定能行！
1.用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是
审题——设____________——找出____________——列___________——解方程组——检验___________________.
知识点二 能正确地列二元一次方程组解应用题
2.古算题 “我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问多少房间多少客？”（题目大意是 一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房．问有多少房间多少客人．）
解题思路 此题中有两个未知量------ 和 ，
两个等量关系如下
（1） =客人数
（2） =客人数
解
【当堂达标】
1.鸡兔同在一笼中，已知笼中共有腿270只，且鸡的头数比兔的头数多30只
则鸡和兔的只数分别是（ ）
A.鸡55只、兔25只 B.鸡35只、兔65只
C.鸡65只、兔35只 D.鸡45只、兔15只
2.某班有36人参加义务植树劳动，他们分为植树和挑水两组，要求挑水人数是植树人数的2倍.设有x人挑水，y人植树，则下列方程组中正确的是（ ）
3. 某景点门票价格 成人票每张70元，儿童票每张35元.小明买20张门票共花了1225元，设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
4.有一群羊，黑羊的头数比白羊的脚数少2，白羊的头数比黑羊的脚数少187，则有黑羊
头，白羊 头.
5.某停车场的收费标准如下 中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元,问中、小型汽车各有多少辆？
【课后拓展】
6.某厂共有140名生产工人，每个工人每天可生产卷筒25个或圆板20个，如果一个卷筒与两个圆板配成一套，那么每天安排多名工人生产圆板，多少名工人生产卷筒，才能使每天生产出来的产品配成最多套？
7.3 二元一次方程组的应用(2)
【学习目标】
1.会用列表的方式分析题中的已知量与未知量的关系,列出相应的二元一次方程组;
2.经历和体验列方程组解实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
【课前梳理】
用二元一次方程组分析和解决实际问题的基本过程
【课堂练习】
知识点一 用列表的方式分析题中的已知量与未知量的关系
认真阅读教材14-15页内容，尝试完成下面的题目，相信你一定能行！
1.某工厂去年的利润(总产值-总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元?
分析 设去年的总产值为万元，总支出为万元，则有
总产值/万元
总支出/万元
利润/万元
去年
200
今年
知识点二 根据已知条件列出相应的二元一次方程组
2.甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。二人的平均速度各是多少？
分析 设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米,
题中的两个相等关系 1.同向而行 甲的路程=乙的路程+
2.相向而行 甲的路程+ ___________ = _____
【当堂达标】
1.夏来临，某超市试销、两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，型风扇每台200元，型风扇每台150元，问、两种型号的风扇分别销售了多少台？若设型风扇销售了台，型风扇销季售了台，则根据题意列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2.某中学现有4200人，计划一年后初中在校生增加8％，高中在校生增加11％，这样在校生增加10％，则这所学校现在的初、高中在校生人数分别是（ ）
A. 1400和2800 B. 1900和2300 C. 2800和1400 D. 2300和1900
3.A、B两市现有42万人口，计划一年后A人口增加0.8％，B人口增加1.1％,这样两市总人口将增加1％，求现在的A市人口与B市人口？
【课后拓展】
4.已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？
5.甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，求船在静水中的速度和水流的速度.
7.3 二元一次方程组的应用(3)
【学习目标】
1.会利用二元一次方程组解决数字问题，培养分析问题和解决问题的能力;
2.能熟练地列二元一次方程组解决实际问题.
【课前梳理】
1.如果一个两位数，若个位数字是a ,十位数字是b，则这个两位数为 .
2.如果一个三位数百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，那么这个三位数可表示 .
3.是一个两位数，是一个一位数，若放在的左边，就构成了一个三位数，那么这个三位数可表示为 ，若放在的右边，则这个三位数可表示为 .
【课堂练习】
知识点一 解二元一次方程组
（1） （2）
知识点二 列二元一次方程组解决问题
认真阅读教材17-18页内容，尝试完成下面的题目，相信你一定能行！
有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对调，那么所得的新数与原数的和为143，求这个两位数.
分析 设十位上的数字为，个位上的数字为，则这个两位数为 .对调后的两位数为 .
其中有两个等量关系 （1） =5
（2） =143
解
【当堂达标】
1.一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的2倍，若交换十位上的数字与个位上的数字的位置，所得的新两位数比原两位数大18，原两位数为（ ）
A.24 B.36 C.48 D.42
2.十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，共花了400元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备（ ）钱买门票.
A. 300元 B. 310元 C. 320元 D. 330元
3.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min ，从乙地到甲地需42min ，设从甲地到乙地上坡与平路分别为xkm ,ykm ,依题意，所列方程组正确的是（ ）
4.在规定的时间内，汽车从甲地行驶去乙地，如果每小时行驶45km，就延误到达；如果每小时行驶50km，则可提前到达，则甲、乙两地间的路程是 km.
5.两个两位数的和为46，在较大的两位数的右边接着写上较小的两位数得到的四位数，同在较小的两位数的右边接着写上较大的两位数得到的四位数相比，前者要比后者大1782，求这两个两位数.
【课后拓展】
6.仙鹤和乌龟是动物中的长寿星,一天鹤父、鹤女与龟祖、龟孙在聊天,它们发现鹤父的年龄是鹤女的2倍,龟祖的年龄是龟孙的5倍,它们四位的年龄和的3倍恰好是900岁,十年后,鹤父和鹤女的年龄之和的5倍,加上龟祖、龟孙的年龄也是900岁,试求它们分别多少岁？
7.4 二元一次方程与一次函数(1)
【学习目标】
1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系;
2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解;
3.能利用解二元一次方程组的方法求两个一次函数图象的交点坐标.
【课前梳理】
1.一次函数表达式为________ ,图象是_________，在一次函数中，当＞0时，的值随的值的增大而________；当＜0时，的值随的值的增大而________.
2.以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线.
一般地，从图形的角度看，确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.
【课堂练习】
知识点一 二元一次方程与一次函数的关系
1.二元一次方程 x-y=1 可改写成一次函数 的形式.
2.以方程 x-y=1 的解为坐标的所有点组成的图象就是一次函数 的图象.
知识点二 二元一次方程组与一次函数图象的关系
3.已知 x+y=5 ,改写成一次函数为y=___ ___; 已知 2x-y=1 ,改写成一次函数为y=__ _____.
4.在同一坐标系内作出这两个函数的图象.
5.观察图象，指出它们的交点坐标.
6.解方程组
7.如果两个一次函数的图象有一个交点，那么 就是相应的二元一次方程组的解.
知识点三 根据一次函数的图象求二元一次方程组的解
8.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出了相应的两个一次函数图象如图所示，则，所求的二元一次方程组是__________________
这个方程组的解是____________________
【当堂达标】
1.直线y=3x-3与y=x+5的交点坐标是( ）
A.(3,8) B.(3,3) C.(4,9) D.(8,13)
2.若方程组没有解,由此一次函数y=2-x与y=-x的图象必定 ( )
A.重合 B.平行 C.相交 D.无法判断
3.函数y = ax－3的图象与y = bx+4的图象交于x轴上一点，那么a∶b等于（ ）
A.－4∶3 B.4∶3 C.(−3)∶(−4) D.3∶(−4)
4.已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为 .
5.如图所示，已知一次函数和的图象交于点P，根据图象可得方程组的解是_________.
【课后拓展】
6.一次函数和的图象的交点坐标为_________，则方程组的解为________.
7.下列方程组的解可以看作是图中两条直线l1和l2的交点坐标的是（ ）
A. B.
C. D.
7.4 二元一次方程与一次函数(2)
【学习目标】
1.进一步理解二元一次方程组与一次函数的关系;
2.会利用待定系数法确定一次函数表达式.
【课前梳理】
1.直线ｙ＝２ｘ-１与直线y=x+3的交点坐标是 .
2.如果直线y=2x+m和y= - x+n的交点是（１，３）,则m=____，n=______.
3.待定系数法求函数表达式步骤
一设，设出含有未知数的函数表达式 y=kx+b;
二代，把已知条件代入表达式得出方程或方程组;
三解，解方程或方程组求出待定系数k,b的值;
四写，写出该函数的解析式.
【课堂练习】
知识点一 理解二元一次方程组与一次函数的关系
1. 某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，根据题意列出方程组
知识点二 用待定系数法确定一次函数表达式
2.某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图），求与之间的函数关系式.
【当堂达标】
1.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数_____的图象相同.
2.无论m取何实数，直线y = x+ 3m与y = -x+1的交点不可能在第______象限．
3.一次函数的图象过点A(5，3)且平行于直线y = 3x−2 ，则这个函数的解析式为________．
4.若正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A ，且点A的横坐标为 -3.
（1）求该一次函数的表达式.
（2）直接写出方程组的解.
【课后拓展】
5.如图，l甲、l乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图象并回答下列问题
（1）乙出发时，与甲相距________千米；
（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车的时间为______小时；
（3）乙从出发起，经过______小时与甲相遇；
（4）甲行走的路程s(千米）与时间t(时）之间的函数关系是________；
（5）如果乙的自行车不出现故障，那么乙出发后经过______时与甲相遇，相遇处离乙的出发点______千米，并在图中标出其相遇点.
第七章复习学案
【本章目标】
1.体会二元一次方程组是刻画现实世界中的等量关系的有效模型
2.会解二元一次方程组,体会“消元”思想
3.能应用二元一次方程组解决现实生活中的实际问题
4.体会二元一次方程和一次函数的关系
【知识梳理】
1.二元一次方程
含有 的方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解
适合 ，叫做这个二元一次方程的一个解.
3.二元一次方程组
叫做二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解
叫做二元一次方程组的解.
5.代入消元法
称为代入消元法，简称代入法.
6.加减消元法
称为加减消元法，简称加减法.
7.用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是
审题——设____________——找出____________——列___________——解方程组——检验___________________.
8.待定系数法求函数表达式步骤
（1）
（2）
（3）
【课堂练习】
考点一 二元一次方程组
典型例题1.若二元一次方程组的解为，则a﹣b=
跟踪训练1.夏季来临，某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
考点二 代入消元法
典型例题2.用代入消元法解方程组
跟踪训练2.方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
考点三 加减消元法
典型例题3.用加减消元法解方程组
跟踪训练3.二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
考点四 二元一次方程组的应用
典型例题4.篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，艾美所在的球队在8场比赛中得14分．若设艾美所在的球队胜x场，负y场，则可列出方程组为 ．
跟踪训练4.我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为 尺，竿子长为 尺．
考点五 二元一次方程组与一次函数
典型例题5.某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．求该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
跟踪训练5.一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．
试分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
【巩固训练】
一 选择题
1.下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
2.下面能满足方程3x+2=2y的一组解是（ ）
A. B. C. D.
3.方程x-y=3与下列方程构成的方程组的解为的是（ ）
A. 3x-4y=16 B. x+2y=5 C. x+3y=8 D. 2(x-y)=6y
4.用加减法解方程组 下列解法不正确的是（ ）
A. ①×2-②，消去x B. ①×2-②×5，消去y
C. ①×（-2）+②，消去x D. ①×2-②×（-5），消去y
5.已知x+y=1，x-y=3，则xy的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
二 填空题
6.已知x、y满足方程组则x－y的值为_______ ．
7.已知二元一次方程2x-y+3=0，当x，y互为相反数时，x= _______ ，y= ______ ．
8.一棵树上有喜鹊和黄鹂共70只，其中喜鹊的总数比黄鹂的3倍还多2只，这棵树上有黄鹂 ________只.
三 解答题
9.已知方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为若按正确的a，b计算，求原方程组的解．
10.为鼓励居民节约用电，某市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，执行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．某家庭今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知该家庭今年4、5月份的家庭用电量分别为160千瓦时和 410千瓦时，请你依据缴费情况，计算该家庭4、5月份的电费分别为多少元？
8.1定义与命题（1）
【学习目标】
1.能说出定义、命题的含义;
2.能正确区分定义与命题;
3.能准确判段一个语句是不是命题.
【课前梳理】
判断一个语句是否是命题，要抓住两条
（1）命题必须是一个完整的句子;
（2）这个句子必须对某件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系.
【课堂练习】
预习内容 自学课本34-35页的内容，回答下面问题
知识点一 定义的概念
1.一般地，用来说明___________________________的语句叫做定义.
2.“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。”“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，”哪一个是平行四边形的定义？
3.下列属于定义的是（ ）
A.两点确定一条直线 B.等角的余角相等
C.两直线平行，同位角相等 D.线段是直线上的两点和两点之间的部分
知识点二 命题的概念，并判段一个语句是不是命题.
4.________________________，叫做命题.
5.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）对顶角相等.（ ）
（2）两直线平行，同位角相等.( )
（3）a、b两条直线平行吗？（ ）
（4）画一个角等于已知角.( )
（5）今天天气晴.（ ）
（6）王明是七年级一班学生.（ ）
（7）若a2＝ b2，则a＝b（ ）
【当堂达标】
1.下列句子属于定义的是（ ）
A.直角都相等 B.作已知角的平分线
C.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度. D.两点之间，线段最短
2.下列句子中,不是命题的是( )
A.三角形的内角和等于180度 B.两互补的角一定是邻补角
C.过一点作已知直线的平行线 D.两点确定一条直线
3.下列句子中,是命题的是( )
A.今天的天气好吗 B.作线段AB∥CD C.连接A、B两点 D.正数大于负数
【课后拓展】
4.下列句子哪些是命题？哪些不是命题？
（1） 在三角形内任取一点再作最短边的平行线.
（2） 四边形都是菱形.
（3） 有限小数是有理数.
（4） 最大的负数不存在.
（5） 相反数等于它本身的实数只有零.
（6） 有三个角是直角的四边形是长方形.
（7） 互为倒数的两数乘积为1.
（8） 今天天气真好啊！
（9） 两直线相交，有且只有一个交点.
（10） 过点A作直线CD的平行线
（11） 同旁内角相等
（12） 垂直于同一条直线的两条直线平行
（13） 同角的余角相等
（14）相等的角是对顶角
8.1定义与命题（2）
【学习目标】
1.知道命题的组成、命题的一般形式；
2.理解并掌握真命题、假命题、反例这些概念.
【课前梳理】
1.什么是定义？____________________________________________.
2.什么是命题？如何来判定一个语句是不是命题？_____________________________.
3.方法点拨
（1）有些命题没有写成“如果……，那么……”的形式，条件和结论不明显，于是应先把它写成命题的一般形式，再写条件和结论.
（2）在辨别真假命题时注意 假命题只需举一个反例即可，而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证.
【课堂练习】
知识点一 命题的组成、命题的一般形式
自学课本36-37页的内容，回答下面问题
1.命题的结构 命题通常由_______和_______组成.
2.一般地，命题都可以写成_______________________的形式，其中_______引出的是条件；______引出的是结论.
知识点二 真命题、假命题、反例的概念
3.真命题、假命题的定义 .
4.反例的概念 要判断一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，
， ，就可以说明这个命题是假命题，这种例子称为反例.
5.命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角.”的条件是 ，
结论是 ，是 命题.
6.命题“正方形的四条边都相等.”的一般形式是 ，
条件是 ，结论是 ，是 命题.
【当堂达标】
1.下列命题是真命题的是（ ）
A.-a一定是负数 B. C. 平行于同一条直线的两条直线平行
D. 有一角为80°的等腰三角形的另两个角都为50°
2.下列命题中，属于假命题的是( )
A.三角形三个内角的和等于l80° B.两直线平行，同位角相等
C.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60° D.相等的角是对顶角
3.下列各数中，可以用来说明“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是（ ）
A.32 B.16 C.8 D.4
4.命题“对顶角相等”的一般形式是 ，
条件是 ，结论是 ，是 命题.
5.命题“两直线平行，内错角相等”中，“两直线平行”是命题的________，“内错角相等”是命题的________.
6.写出下列命题的条件和结论，并判断命题的真假.
（1）垂直于同一条直线的两条直线平行.
（2）同位角相等.
（3） 角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
【课后拓展】
7.判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例.
(1)同位角相等，两直线平行.
(2)如果，那么.
8.3 基本事实与定理
【学习目标】
1.了解公理、定理的含义，并了解本套教材所采用的公理;
2.了解证明的基本格式与步骤，会证明简单的真命题.
【课前梳理】
1. 什么是真命题？
2. 通过什么来说明一个命题是真命题？
3.证明过程的每一步必须做到“有据可依”，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实或已经学过的定理.在书写证明过程中，要求把依据写在每一步推理后面的括号内，今后可以逐渐淡化.
【课堂练习】
自主学习 认真阅读课本41-43页，回答下面问题
知识点一 公理、定理的概念
1. 叫做公理.
2. 叫做定理.
知识点二 八条基本事实
知识点三 证明的基本格式与步骤
3.在等式或不等式中，一个量用相等的量来代替，简称为 .
4.证明一个命题的正确性要按 、 、 的顺序和格式写出.
【当堂达标】
1.下列说法错误的是（ ）
A.所有的命题都是定理 B.定理都是真命题
C.公理都是真命题 D.“画线段AB” 不是命题
2.下列说法中正确的是（ ）
A.命题一定是正确的 B.不正确的判断就不是命题
C.真命题都是公理 D.定理都是真命题
3.过一点画已知直线的平行线（ ）
A.有且只有一条 B.不存在
C.有两条 D.不存在或有且只有一条
4.下列语句 ：①不相交的两条直线叫平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行；③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行.正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知，，则与的关系是（ ）
A. 互余 B.互补 C.∠1 > ∠3 D.相等
6.如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是()
A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
【课后拓展】
7.证明：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.（作图，写出已知，求证，证明）
8.4平行线的判定定理
【学习目标】
1.理解并掌握平行线的判定的基本事实和定理;
2.能应用这些基本事实和定理进行一些简单地推理证明.
【课前梳理】
1. 基本事实：同位角相等，两直线
2.平行线判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角 ，那么这两条直线 ；简单地说 同旁内角 ，两直线 ；
3.平行线的判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角 ，那么这两条直线 ；简单地说 内错角 ，两直线 ；
4.小结：平行线的识别方法
【课堂练习】
自主学习课本45-46页内容，并回答下列问题
知识点一 平行线判定的基本事实
简 单 说 成 .用数学语言表示
知识点二 证明平行线的判定定理1
已知 如图，∠1，∠2是直线a和b被直线c截出的同旁内角，∠1+∠2=180
求证 a∥b
知识点三 证明平行线判定定理2
已知:如图，∠1，∠2是直线a和b被直线c截出的内错角，
∠1=∠2 求证：a∥b
【当堂达标】
1.如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件
(1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°，
其中能判定a∥b的条件是（ ）
A．(1)(3) B．(2)(4) C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4)
第1题
第2题
2.如图，如果AB∥CD，那么下面结论正确的是（ ）
A.AD∥BC B.∠1=∠2 C.∠3=∠4 D.∠A=∠C
3.如图，已知直线a，b与直线c相交，下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是（ ）
A.∠2＋∠3＝180° B.∠1＋∠5＝180° C.∠4＝∠7 D.∠1＝∠8
4.如图所示，已知∠D=∠A，∠B=∠FCB，试问ED与CF平行吗？
E D
C F
A B
【课后拓展】
5.如图，∠ABC=∠ADC，BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC，∠1=∠2，求证：DE∥FB.
8.5平行线的性质定理
【学习目标】
1.进一步理解和总结证明的基本步骤、格式和方法;
2.能应用平行线的性质定理进行简单的证明;
3.了解平行线的性质定理与判定定理在条件和结论上的区别，体会互逆的思维过程.
【课前梳理】
1.平行线的判定定理（1） （2） （3）
2.平行线的性质定理（1） （2） （3）
3.几何证明的步骤：1.根据题意，画出图形. 2.结合图形，写出已知、求证. 3.写出证明过程.
【课堂练习】
知识点一 平行线的性质定理
阅读课本第48至50页的内容，思考并解答下列问题
1.平行线的性质定理 两直线平行， 相等.
知识点二 证明平行线的性质定理
2.平行线的性质定理 两直线平行， 相等.
已知:如图 a∥b，∠1，∠2是直线a和b被直线c截出的内错角，
求证:∠1=∠2.
3.平行线的性质定理 两直线平行， 互补.
已知:如图 a∥b，∠1，∠2是直线a和b被直线c截出的同旁内角，
求证:∠1+∠2=180°.
4.如图: a∥b，∠1=68°,那么∠2的度数为 .
【当堂达标】
1.如图，AB//CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）
A．122° B．151° C．116° D．97°
2.如图2所示a∥b，∠1=1050，∠2=1400 则∠3的度数为（ ）
A.750 B.650 C.550 D.500
3.如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（ ）
A. 25° B. 30° C. 20° D. 35°
4.如图所示，已知∠1=∠2，求 ∠3与∠4的和为多少度．
【课后拓展】
5.如图①，已知AB∥DE.
（1）∠1+∠2+∠3等于多少度？请证明你的结论；
（2）当已知条件不变，而图形变为如图②时，结论改变了吗？为什么？
8.6三角形内角和定理（1）
【学习目标】
1.会用添加辅助线的方法证明三角形的内角和定理；
2.会应用三角形的内角和定理解决一些简单的几何证明问题和计算问题.
【课前梳理】
1.我们知道，三角形三个内角的和是180度，你还记得这个结论的探索
过程吗？
如图，当时，我们是把∠A撕下后移到了∠1的位置，推出b与a平行，
通过以C为顶点的三个角的和是180度，而探索出这个结论的.如果
不撕下∠A，那么你能通过作图的方法达到移动∠A的效果吗？
2.证明三角内角和定理，关键是添加辅助线
（1）构造平角； （2）构造同旁内角。
3.总结:三角形内角和定理____________________________________________
【课堂练习】
知识点一 应用三角形的内角和定理
1.∠ACD与∠ACB互补，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，
求∠ECD
、
2.在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到顶点A处，他过点A作直线PQ∥BC（如右图），他的想法可行吗？如果可行，写出证明过程.
【当堂达标】
1.如图1，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE的度数为（ ）
A.20° B.18° C.38° D.40°
2.如图2，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠C=（ ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
3.如图3，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（ ）
A．14° B．16° C． D．
4.如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27º，∠D=20º，求∠ACB与∠B的度数.
【课后拓展】
5.如图所示，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
求证 ∠BOC＝90°＋∠A .
8.6三角形内角和定理（2）
【学习目标】
1.理解三角形的外角的定义;
2.会证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”;
3.会应用三角形外角和性质进行简单证明.
【课前梳理】
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°.
推论1 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论2 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
【课堂练习】
知识点一 三角形的外角的定义
阅读课本第55至56页的内容，思考并解答下列问题
1.三角形外角的定义
知识点二 三角形的外角的特征
2.画出△ABC的一个外角.
总结:外角的特征
(1)顶点是 ．
(2)一条边是三角形的 ．
(3)另一条边是三角形某条边的 ．
知识点三 三角形的外角的性质
3.任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小有什么关系？
总结:由此可以得到三角形的外角性质
（1）
（2）
【当堂达标】
1.如图所示，∠1为三角形的外角的是( )
2.如图，△ABC中，∠A＝70°,∠B＝60°,点D在BC的延长线上，则∠ACD等于( ) A.100° B.120° C.130° D.150°
3.如图,AB∥CD,∠A+∠E=75°,则∠C为 .
4.如图，△ABC中，延长CB，则∠1 ∠A,∠1 ∠C. (填＜或＞)
5.如图，已知AB‖CD，BE平分∠ABC，
∠CDE＝150°，则∠C= .
【课后拓展】
6.如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A=55°，求∠BDC的度数．
C
A
B
D
1
2
8.6三角形内角和定理（3）
【学习目标】
1.会从复杂图形中识别三角形的外角与不相邻的两个内角;
2.能综合应用三角形内角和定理及外角性质进行有关的证明.
【课前梳理】
1.回顾三角形内角和定理及两个推论．
2.利用三角形内角和定理及外角的性质可以解决哪些类型的问题？
3.精讲点拨
（1）利用推论“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可以将分散的角集中到一个三角形中，从而运用三角形的内角和定理使问题得到解决．
（2）推论“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”是证明角不等关系的最主要的依据．
A
B
C
D
E
F
G
【课堂练习】
知识点一 应用三角形内角和定理及外角性质进行有关的证明
预习课本57-58页内容，并解答下列两个例题
1.已知：如图，五角星形的顶角分别是∠A，∠B，∠C，∠D，∠E．
若连接BC，试证明△BCE的内角和等于五角星的五个顶角和
2
A B F
1
D
E
5
C
3
4
例2 已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上的一点，延长BC到点D，连接DE．
试对∠1、∠2、∠3的大小关系进行比较．
【当堂达标】
1.如图1，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（ ）
A.25° B.60° C.35° D.45°
1. 如图2，∠1＝27º，∠2＝95º，∠3＝38º，则∠4＝_______.
3.如图3，已知∠BDC=142º，∠B =42º，∠C=20º，则∠A= .
4.已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC= .
58°
24°
32°
1
5.如图所示，求∠1的度数.
【课后拓展】
6.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部，此时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请你找出这一规律，并加以证明．
第八章复习学案
【本章目标】
1.知道通过探索得到的结论不一定正确
2.知道证明要有出发点,要步步有据
3.会证明平行线和三角形的有关结论
【知识梳理】
1.一般地，用来说明___________________________的语句叫做定义.
2.________________________，叫做命题.
3.真命题、假命题的定义 .
4.反例的概念 要判断一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，
，就可以说明这个命题是假命题，这种例子称为反例.
5. 叫做公理.
6. 叫做定理.
7.平行线的判定定理
（1）
（2）
（3）
8.平行线的性质定理
（1）
（2）
（3）
9.三角形内角和定理______________________________
10.三角形外角的定义
【典型例题】
考点一 定义、命题与真假命题
典型例题1.下列句子属于定义的是（ ）
A.直角都相等 B.作已知角的平分线
C.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度. D.两点之间，线段最短
跟踪训练1.下列句子中,不是命题的是( )
A.三角形的内角和等于180度 B.两互补的角一定是邻补角
C.过一点作已知直线的平行线 D.两点确定一条直线
跟踪训练2下列命题是真命题的是( )
A.若a2=b2，则a=b
B.若∠1+∠2=90º，则∠1与∠2互余
C.若∠α与∠β是同位角，则∠α=∠β
D.若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
考点二 基本事实与定理
典型例题2.下列语句 ①不相交的两条直线叫平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种相交和平行；③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行.正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
跟踪训练3.如图，∠B的同位角可以是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
考点三 平行线的判定定理与性质定理
典型例题3.如图1，已知直线a∥b，小杜把直角三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1=18°，则∠3的度数为________.
跟踪训练4.如图2，已知AB∥CD，能得到∠1=∠2的依据是( )
A. 两直线平行，同位角相等 B.同位角相等，两直线平行
B. 两直线平行，内错角相等 D.内错角相等，两直线平行
考点四 三角形的内角和定理
典型例题4.如图，已知AB∥CD，点E，F在直线AB，CD上，EG平分∠BEF交CD于点G，∠EGF=64°，那么∠AEF的度数为 ．
跟踪训练5.如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（ ）
A．14° B．15° C．16° D．17°
跟踪训练6.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【巩固训练】
一 选择题
1.已知在△ABC中，∠A，∠B的外角分别是120º，150º，则∠C等于( )
A.60º B.90º
C.120º D.150º
2.下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是( )
A.a=－3 B.a=－1
C.a=1 D.a=3
A
B
C
D
2
1
3.如图3，已知∠2是△ABC的一个外角，那么∠2与∠B+∠1的大小关系是( )
A.∠2＞∠B+∠1 B.∠2=∠B+∠1
C.∠2＜∠B+∠1 D.无法确定
4.下列命题是真命题的是( )
A.若a2=b2，则a=b
B.若∠1+∠2=90º，则∠1与∠2互余
C.若∠α与∠β是同位角，则∠α=∠β
D.若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
5.下列命题中，是公理的是( )
A.等角的补角相等 B.内错角相等，两直线平行
C.两点之间线段最短 D.三角形的内角和等于180º
二 填空题
5. 如图6，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=______°．
A
B
C
D
E
F
图4
7.把命题“直角三角形的两锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式是__________________
8.如图7，把一个长方形ABCD纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D＇，C＇的位置，若∠AED＇=30º， 则∠CFE=__________.
A
B
C
D
E
F
图4
三 解答题
9.如图，已知点B，D，G在同一条直线上，AB∥CD，∠1=∠2，请问BE与DF平行吗？为什么？
1
2
A
B
C
D
E
F
G
10.已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度数．
A
B
C
图6
D
A
B
C
图6
D
A
B
C
D
E
F
图4
A
B
C
D
E
F
图4
9.1感受可能性
【学习目标】
1.通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件做出准确判断
2.通过“摸球”这样一个有趣的试验，形成对随机事件发生的可能性大小作定性分析的 能力，了解影响随机事件发生的可能性大小的因素
【课前梳理】
1.思考下列事件一定会发生吗？
（1）打开电视机,正在播放动画片； （2）太阳从东方升起；
（3）今天星期三，明天星期一.
2.观察、实验、归纳和类比等方法是人们发现规律、获取一般结论的重要方法，但得到的结论不一定正确；用举反例的方法理解证明的必要性.
【课堂练习】
知识点一 归纳必然事件，不可能事件和随机事件
学习课本P136-138，思考下列问题
1.在一定条件下一定发生的事件，叫做 ；在一定条件下一定不会发生的事件，叫做 ； 和 统称为确定事件.
2.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做 ，也称为 .
3.下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)太阳从西边下山；
(2)某人的体温是100℃；
(3)a2+b2=－1(其中a,b都是有理数)；
(4)水往低处流；
(5)13个人中，至少有两个人出生的月份相同.
知识点二 分析随机事件发生的可能性大小
小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数.请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面
（1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？
（2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？
（3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？
【当堂达标】
1.下列事件是必然事件的是（ ）
A.正数大于负数 B.抛一枚硬币，正面朝上
C.明天会下雨 D.经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
2.下列说法正确的是（ ）
A．如果一件事发生的机会只有千万分之一，那么它就是不可能事件
B．如果一件事发生的机会达99.999%，那么它就是必然事件
C．如果一件事不是不可能事件，那么它就是必然事件
D．如果一件事不是必然事件，那么它就是不可能事件或随机事件
3.下列事件中，随机事件是（ ）
A.没有水分，种子仍能发芽
B.等腰三角形两个底角相等
C.从13张红桃扑克牌中任抽一张，是红桃A
D.从13张方块扑克牌中任抽一张，是红桃10
4.同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能发生的事件是( )
A.点数之和为12 B.点数之和小于3
C.点数之和大于4且小于8 D.点数之和为13
5.一个不透明的布袋里有30个球,每次摸一球,摸一次就一定摸到红球,则红球有( )
A.15个 B.20个 C.29个 D.30个
【课后拓展】
6.下列事件中
（1）袋中有5个红球，能摸到红球;
（2）袋中有4个红球，1个白球，能摸到红球;
（3）袋中有2个红球，3个白球，能摸到红球;
（4）袋中有5个白球，能摸到红球;
（5）靶命中靶心；
（6）掷一次骰子，向上一面是3点；
（7）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；
（8）抛出的篮球会下落.
是必然事件.
是随机事件.
是不可能事件.
9.2频率的稳定性（1）
【学习目标】
1.通过试验理解当试验次数较大时，试验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率;
2.在活动中进一步发展合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力.
【课前梳理】
1. 是必然事件， 是随机事件， 是不可能事件.请举例说明？
2.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值
3.经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系.
【课堂练习】
知识点一 频率的定义
认真预习课本Ｐ70-71，预习后将确定的答案用钢笔写上，不确定的答案用铅笔写上，有疑难的用红笔标注，上课前检查.
认真预习课本Ｐ70引入问题，课前合作完成课本实验；
两人一组做20次掷图钉游戏，并将数据记录在下表中
试验总次数
钉尖朝上次数
钉尖朝下次数
钉尖朝上频率（钉尖朝上次数/试验总次数）
钉尖朝下频率（钉尖朝下次数/试验总次数）
总结频率定义： 在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值 称为事件A发生的频率.
知识点二 频率的应用
射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表
射击总次数 n
10
20
50
100
200
500
1000
击中靶心次数 m
9
16
41
88
168
429
861
击中靶心频率 m/n
（1）完成上表；
（2）观察画出的折线统计图，击中靶心的频率变化有什么规律？
【当堂达标】
1.在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球,它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球实验后发现,摸到红球的频率稳定在25%附近,则口袋中白球可能有( )
A.16个 B.15个 C.13个 D.12个
2.对某班40名学生的一次数学成绩进行统计,在频率分布表中,90～120这一组的频率是0.20,那么成绩在90～120这一分数段的人数是
3.小明掷硬币的过程见下表,阅读并回答问题
抛掷结果
10次
50次
500次
5000次
出现正面次数
3
24
258
2498
出现正面频率
30%
48%
51.6%
49.96%
(1)从表中可知,当抛完10次时正面出现3次,正面出现的频率为30%,那么小明抛完10次时,得到 次反面,反面出现的频率为 .
(2) 小明抛完5000次时,反面出现的次数是 ,反面出现的频率为 .
(3)通过上面我们可以知道, 正面出现的频数与反面出现的频数之和等于 ,正面出现的频率与反面出现的频率之和等于
【课后拓展】
4.某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表
射击总次数 n
10
20
50
100
200
500[
1000
击中靶心次数 m
9
16
41
88
168
429
861
击中靶心频率 m/n
（1）完成上表；
（2）根据上表画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图；
（3）观察画出的折线统计图，击中靶心的频率变化有什么规律？
9.2频率的稳定性（2）
【学习目标】
1.通过试验让学生理解当试验次数较大时，试验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率;
2.在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力.
【课前梳理】
频率定义：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值 称为事件A发生的频率
注意：概率是一个定值，而频率随试验次数的变化而有所不同，是概率的近似值，二者不能简单地等同
【课堂练习】
知识点一 频率的应用
预习课本第73～75页内容，解答下面的问题
通过试验尝试回答问题；(以小组为单位准备一角硬币10枚)
（1）在实验次数很大时事件发生的频率，都会在一个常数附近摆动，这就是
（2）我们把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A的 ，记为 .
（3）一般的，大量重复的实验中，我们常用不确定事件A发生的 来估计事件A发生的 。
知识点二 概率是一个定值
必然事件发生的概率为 ；不可能事件发生的概率为 ；不确定事件A发生的概率P(A)是 之间的一个常数.
知识点三 频率稳定性的应用
1.给出以下结论，错误的有（ ）
①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生;②如果一件事发生的机会达到99.5%，那么它就必然发生;③如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生;④如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.小凡做了5次抛掷均匀硬币的实验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，他认为正面朝上的概率大约为,朝下的概率为，你同意他的观点吗？你认为他再多做一些实验，结果还是这样吗？
【当堂达标】
1.在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率与概率,下列说法正确的是( )
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的,与频率无关
D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
2.下列事件中发生的可能性为1的是（ ），发生的可能性为0的是（ ），发生的可能性在0～1之间的是（ ）
①今天是星期一，明天是星期日；②12月10日要下雪；③对顶角相等；④两条直接被第三条直线所截，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行.
3.小明抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5,那么，抛掷1000次硬币，你能保证恰好500次正面朝上吗？
【课后拓展】
4.某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示
实验的麦粒数 n
100
200
500
1000
2000
5000
发芽的粒数 m
94
191
473
954
1906
4748
发芽的频率 m/n
（1） 完成上表；
（2） 从这批种子中任取一粒麦子，估计它发芽的概率.
9.3等可能事件的概率（1）
【学习目标】
1.理解等可能事件的意义；
2.理解等可能事件的概率P（A）=(在一次试验中有n种可能的结果，其中A包含m种)的意义.
【课前梳理】
1.任意掷一枚均匀的硬币，可能出现哪些结果？每种结果出现的可能相同吗？正面朝上的概率是多少？
2.在一个试验中，如果每个结果出现的可能性相同，那么我们称这个试验的结果是____的.
3.一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A 发生的概率为 P（A）=___________.
【课堂练习】
知识点一 等可能事件概率的定义
一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为
P（A） =＿＿＿＿（＿＿＿＿≤ P（A）≤＿＿＿＿）
知识点二 等可能事件概率的应用
1.从一副牌中任意抽出一张
P（抽到王）= ， P（抽到红桃）= ，
P（抽到3）= ， P（抽到黑桃4）= .
2.掷一枚均匀的骰子
P(掷出“2”朝上)=_______， P(掷出奇数朝上)=_______，
P(掷出不大于2的朝上)=_________ 。
3.有5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标有1，2，2，3，4.现将它们的背面朝上，从中任意摸到一张卡片，则
P（摸到1号卡片）=＿＿＿＿， P（摸到2号卡片）=＿＿＿＿，
P（摸到3号卡片）=＿＿＿＿， P（摸到4号卡片）=＿＿＿＿，
P（摸到奇数号卡片）=＿＿＿＿， P（摸到偶数号卡片）=＿＿＿＿.
4.选取4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏．
（1） 使得摸到红球的概率为 , 摸到白球的概率也是.
（2） 使得摸到红球的概率为,摸到白球和黄球的概率都是.
【当堂达标】
1.从编号为1到100的100张卡片中任取一张，所得编号是8的倍数的概率为（ ） A. B. C. D.
2.袋中有5个黑球，3个白球和2个红球，每次摸一个球，摸出后再放回，在连续摸9次且9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率为______．
3.初一（2）班共有6名学生干部，其中4名男生，2名女生.任意抽一名学生干部去参加一个会议，其中是女生的概率为P1=_________，其中是男生的概率为P2=_________.
4.将一个各面涂有颜色的正方体，分割成同样大小的27个小正方体，从这些正方体中任取一个，恰有3个面涂有颜色的概率是( )
A. B. C. D.
5.四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、正方形、角、等腰三角形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是轴对称图形的概率为( )
A. B. C. D. 1
6.将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字母朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为______.
7.掷一枚均匀的正方体，6个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6.随意掷出
这个正方体，求下列事件发生的概率。
（1）掷出的数字是1的概率是______，
（2）掷出的数字是奇数的概率是______，
（3）掷出的数字是大于4的概率是______，
（4）掷出的数字是10的概率是______.
【课后拓展】
8.一个袋中有2个红球和3个白球，每个球除颜色外其余特征均相同。
（1）任意摸出1个球，摸到红球的概率是______；
（2）任意摸出3个球，摸到白球的概率是______.
9.把标有号码1，2，3，……，10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，求号码为小于7的奇数的概率．
9.3等可能事件的概率（2）
【学习目标】
1. 理解游戏的公平性;
2.能根据不同题目的要求设计出符合条件的摸球游戏.
【课前梳理】
等可能事件概率的定义
一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为
P（A） =＿＿＿＿（＿＿＿＿≤ P（A）≤＿＿＿＿）
【课堂练习】
知识点一 理解游戏的公平性
问题：在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外完全相同）的盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜，这个游戏对双方公平吗？
1.大部分同学都认为游戏是不公平的，小凡获胜的可能性大.
2.张阳同学坚持认为要么小明胜利，要么小凡胜利，他们获得胜利的可能性都是二分之一，所以这个游戏是公平的.
讨论：在一个双人游戏中，游戏公平与不公平最终怎样判定?
知识点二 设计符合条件的摸球游戏.
请你从除了颜色不同外其他都相同的小球中挑出10个，利用这10个球设计出同时满足下列条件的摸球游戏
1.从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是;
2.从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是.
【当堂达标】
1.一道单项选择题有A、B、C、D四个备选答案，当你不会做的时候，从中随机地选一个答案，你答对的概率是 .
2.若一个袋子中有除颜色外其余特征均相同的球，其中红球3个，黄球2个，那么摸到红球的概率是摸到黄球概率的几倍？
3.任意掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率
（1）掷出的点数大于为4的概率；
（2）掷出的点数点数为偶数的概率；
（3）掷出的点数点数大于3小于5的概率.
4.一个袋中有2个红球和3个白球，每个球除颜色外其余特征均相同.
（1）任意摸出1个球，摸到红球的概率是＿＿＿＿；
（2）任意摸出1个球，摸到红球小明胜，摸到白球小凡胜，这个游戏对双方公平吗？如果不公平，怎样改变袋中球的数量才对双方公平？
【课后拓展】
5.用4个除了颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.
（1）使得摸到红球的概率是，摸到白球的概率也是；
（2）摸到红球的概率为,摸到白球和黄球的概率都是.
9.3等可能事件的概率（3）
【学习目标】
1.会利用面积来确定某一事件发生的概率;
2.能进行简单的面积型概率计算并解决实际问题.
【课前梳理】
1. 在一个双人游戏中，游戏公平与不公平最终怎样判定?
2.等可能事件概率的定义
一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为
P（A） =＿＿＿＿（＿＿＿＿≤ P（A）≤＿＿＿＿）
【课题练习】
知识点一 探究面积型概率的计算方法
（学习要求 先自学教材82—83页中“议一议”及“想一想”的内容，并思考下列问题，再以小组为单位相互交流讨论，最后全班展示汇报）
1.教材“议一议”的分析中为什么要强调地板是由20块方砖组成？又为什么强调每块方砖除颜色外完全相同？
2.如何计算小球最终停留在黑砖上的概率？
3.完成教材“想一想”中的两个问题.
知识点二 简单的面积型概率计算的实际应用
1.自学教材中的例2，并归纳其解题的分析步骤.
2.结合例二尝试完成下题
如图，转盘被等分为12个面积相等的扇形，转动一次转盘，当转盘停止时，求指针指向阴影部分的概率.
【当堂达标】
1.有一把钥匙藏在如图一所示的16块正方形瓷砖的某一块下面，则钥匙藏在黑色瓷砖下面的概率是( )
2.如图二，一个可以自动转动的的转盘被等分为6个扇形，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是多少？
3.如图三是一个转盘，转动转盘，停止后，指针指向3的倍数概率是_______.
红
绿
红
白
绿
红
白
黑
红
绿
红
绿
白
黑
白
黑
4.如图是一个飞镖的靶子，靶子中的小正方形除颜色外
完全相同，
（1）小刚投飞镖一次，击中 色的小正方形的概率最小，
击中 色的小正方形的概率最大.
（2）P（击中红色）= .
P（击中绿色）= .
5.如图，某同学蒙上眼睛投飞镖且击中目标，求击中红色区域、黄色区域、白色区域的概率分别是多少？
【课后拓展】
6.一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是______.
9.3等可能事件的概率（4）
【学习目标】
1.了解概率的意义，了解常用的概率研究模式之一：“几何概率模型”，会进行简单的概率计算;
2.了解概率的大小与面积的关系，能设计符合要求的简单概率模型.
【课前梳理】
1.游戏的公平性;
2.概率及其计算方法.
3.等可能事件概率的定义
一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为
P（A） =＿＿＿＿（＿＿＿＿≤ P（A）≤＿＿＿＿）
4.事件A的几何概率计算公式为
P（A）=事件A发生的所有可能的结果所组成的图形的面积/所有可能结果组成的面积
【课堂练习】
知识点一 进行简单的概率计算
蓝 120° 红
如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和红色区域的概率分别是多少？
小明说：指针不是落在蓝色区域就是落在红色区域，落在蓝色色区域和红色区域的概率相等，所以P（落在蓝色区域）=P（落在红色区域）= ,
小颖说：先把红色区域等分成2份，这样转盘被等分成3个扇形区域，其中1个是蓝色，2个是红色，所以P（落在蓝色区域）= ，P（落在红色区域）= .
小刚说：利用圆心角度数计算，所以P（落在蓝色区域）= ______ ，P（落在红色区域）= ______ .
(1)你同意那个方案，请说明理由？
(2)不是等分图形的几何概率与谁有关？
【当堂达标】
1.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你到达十字路口时恰是黄灯亮的概率为______．
2.如图，在一张边长为4dm的正方形纸上做针扎随机试验，
纸上有一个半径为1dm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的
概率为______.
3.如图，在边长为25m的正方形中挖去边长为23m的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？
4.口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，其中有红球4个，绿球5个，任意摸出1个绿球的概率是，求摸出一个黄球的概率？
5.如图,三个圆的半径分别为2cm、4cm、6cm，将圆盘分为
三部分,飞镖可以落在任何一部分内,那么飞镖落在阴影部分的
概率是 .
【课后拓展】
6.一张写有密码的纸片被随意地埋在下面矩形区域内（每个方格大小相同）
（1）埋在哪个区域的可能性大？
（2）分别计算出埋在三个区域内的概率；
（3）埋在哪两个区域的概率相同.
第九章复习学案
【本章目标】
1.感受生活中的随机现象,并体会随机事件发生的可能性大小
2.通过试验感受随机事件发生的频率的稳定性,理解概率的意义
3.能求一些简单随机事件发生的概率,并能设计符合要求的简单概率试验
4.体会概率是描述随机现象的数学模型,发展数据分析观念
【知识梳理】
1.在一定条件下一定发生的事件，叫做 ；在一定条件下一定不会发生的事件，叫做 ； 和 统称为确定事件.
2.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做 ，也称为 .
3.频率的定义
4.等可能事件概率的定义
【典型例题】
考点一 确定事件与不确定事件
典型例题1.投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12
跟踪训练1.下列事件中，是必然事件的是（ ）
A.任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B.13个人中至少有两个人生肖相同
C.车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D.明天一定会下雨
考点二 频率及其稳定性
典型例题2.口袋中有9个球，其中4个红球，3个蓝球，2个白球，在下列事件中，发生的可能性为1的是（ ）
A.从口袋中拿一个球恰为红球 B.从口袋中拿出2个球都是白球
C.拿出6个球中至少有一个球是红球 D.从口袋中拿出的球恰为3红2白
跟踪训练2.小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有7根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明获胜是必然事件，则小明第一次应该取走火柴棒的根数是 ．
考点三 等可能事件的概率及其应用
典型例题3.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝。如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边均为2；3．现随机向该图形内掷一枚小针，求针尖落在阴影区域的概率．
跟踪训练3.甲、乙两人打赌，甲说，往图中的区域掷石子，它一定会落在阴影部分上，乙说决不会落在阴影部分上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明．
【巩固训练】
一 选择题
1．小华对世界杯进行了预测，他认为巴西队夺得世界杯冠军的概率是0.8.对于他的预测，下列说法正确的是（ ）
A．巴西队一定能夺冠 B．巴西队一定不能夺冠
C．巴西队夺冠的可能性比较大 D．巴西队夺冠的可能性比较小
2．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一块飞镖游戏板，其中每个小正方形的大小相等，则随意投掷一个飞镖（没有击中游戏板或击在小正方形的隔界线上则重新投掷），击中灰色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．某人在做掷硬币试验时，投掷m次，正面朝上有n次，即正面朝上的频率为，则下列说法中正确的是（ ）
A．一定等于 B．一定不等于
C．多投一次，更接近 D．投掷次数逐渐增加，稳定在附近
5．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6.小刚想给单位打电话，可电话号码中的一个数字记不清楚了，只记得6352□87，小刚在□的位置上随意选了一个数字补上，恰好是单位电话号码的概率是__________.
7.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你到达十字路口时恰是黄灯亮的概率为______．
8.甲、乙两人玩游戏，把一个均匀小正方体的每个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，随意掷出小正方体后，若朝上的数字比3大，则甲胜；若朝上的数字比3小，则乙胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？答 ________（填“公平”或“不公平”）
三、解答题
9.用四种颜色的12个球做一个游戏，如果摸到红、白、黄、绿四种颜色球的概率分别为，，，，那么四种颜色的球各有多少个？
10.一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外其他都相同，其中黄球个数是白球个数的2倍少5个.已知从袋中摸出一个球是红球的概率是.
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋中摸出一个球是白球的概率；
（3）取走10个球（其中没有红球）后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率.
10.1全等三角形（1）
【学习目标】
1.能利用相关的基本事实和定理证明两个三角形全等；
2.学会推理证明的格式与步骤.
【课前梳理】
（1）什么叫全等三角形？
（2） 全等三角形有什么性质？
（3） 有关三角形全等的基本事实有哪些？
基本事实： 的两个三角形全等.(SAS)
基本事实： 的两个三角形全等.(ASA)
基本事实： 的两个三角形全等.(SSS)
预习课本92-94页，思考并完成下列问题.
1.三角形全等判定定理“AAS”的内容是
.
【课堂练习】
知识点一 全等三角形的性质
1.如图：若△ABE≌△ACD，且AB=5，AE=3，则EC的长为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.2.5
知识点二 判断三角形全等的方法
2.下列说法错误的是（ ）
A有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B有两边和其夹角对应相等的两个三角形全等
C斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等 D有一边对应相等的两个三角形全等
知识点三 利用三角形全等证明线段或角相等
3．如图，AC和BD交于点E，AB∥CD，AB=CD，求证：BE=DE.
【当堂达标】
1.如图,已知点A,D,C,F在同一直线上,AB=DE,BC=EF,要使ΔABC≌ΔDEF,还需要添加一个条件是( )
A.∠BCA=∠F B.∠B=∠E
C.BC∥EF D.∠A=∠EDF
2.如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：AB=DE．
3.如图，已知：在ΔAFD和ΔCEB中，点A,E,F,C在同一直线上，AE=CF, AD∥BC,
AD=BC.
求证：∠D=∠B
.
【课后拓展】
A
B
D
C
E
4.如图，EC=AC, ∠BCE=∠DCA, ∠A=∠E.
求证：BC=DC.
10.1全等三角形（2）
【学习目标】
1.能利用相关的基本事实和定理证明两个三角形全等；
2.掌握推理证明的格式与步骤.
【课前梳理】
1. 全等三角形有什么性质？
2. 有关三角形全等的基本事实和判定定理有哪些？
【课堂练习】
知识点一 全等三角形的性质
1.已知△ABC≌△DEF，且△ABC周长为20，AB=8，BC=5，则DF=（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
知识点二 三角形全等性质的应用
2.如图所示∠ACB=∠DBC且AB=6,AC=10.要使△ABC≌△DEF，则需（ ）
A.BD=10 B.BC=6 C.CD=6 D.AD=10
3.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
求证：（1）△ABC≌△DEF;（2）AB∥DE.
【当堂达标】
1.如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，
求证：BD=CE
2.如图所示，已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，AB//CD．
求证：△ABE≌△CDF
【课后拓展】
3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N
求证：MN=AM+BN
10.1全等三角形（3）
【学习目标】
1.能利用相关的基本事实和定理证明两个三角形全等；
2.掌握推理证明的格式与步骤.
【课前梳理】
1. 全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边 ,对应角 .
（2）全等三角形对应边上的高 ，对应边上的中线 ，对应角的平分线 .
2.要证明两条线段（或两个角）相等，可以通过 来证明.
3.预习课本97-98页，思考并完成下列问题.
已知，如图：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明ΔABC≌ΔDEF
(1) 若以“SAS”为依据，还要添加的条件为______________；
(2) 若以“ASA”为依据，还要添加的条件为______________；
(3) 若以“AAS”为依据，还要添加的条件为______________；
【课堂练习】
知识点一 全等三角形的性质
1.如图所示，在△ABC中，D,E分别是边AC,BC上的点，若△ABC≌△EDB≌△EDC,
则∠C的度数为 .
知识点二 三角形全等证明对应角或对应边相等
2.如图AB＝AC，AD＝AE，求证：（1）∠B=∠C (2) ∠BDC＝∠BEC
【当堂达标】
1.如图所示，CD=AF, ,EF//BC.
求证：ED//AB
2.如图所示，，，为上一点，，，
交延长线于点．
求证：.
【课后拓展】
3.如图所示：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BD=AD，FD=CD .
求证：BE⊥AC .
10.2等腰三角形（1）
【学习目标】
1.能用语言表述等腰三角形的性质和判定定理;
A
B
C
2.掌握等腰三角形的性质与判定，能利用定理解决实际问题并能灵活地运用它们进行论证，提高数学思维能力和解决问题能力.
【课前梳理】
1.有两边__________的三角形叫做等腰三角形.
2.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,腰是__________,
底是_________,顶角指_______,底角指_____________;
3.等腰三角形性质定理：_______________________________ （简称“等边对等角”）；
推理格式：∵AB=AC，∴_________（等边对等角）
4.推论“三线合一”： ；
推理格式：
① ∵AB=AC,AD⊥BC, ② ∵AB=AC, BD=DC,
∴BD=DC,AD平分_____, ∴_ __⊥__ _, __ _平分_____,
③ ∵AB=AC, __平分 ____,
∴________________,
【课堂练习】
知识点一 等腰三角形边和角的应用
1.(1) 一个等腰三角形的两边长分别为5,11，则第三边长为_____，周长为____;
(2) 一个等腰三角形的两边长分别为7,10，则第三边长为_____，周长为____;
2.(1) 一个等腰三角形顶角为80°，则两底角分别为____;
(2) 一个等腰三角形的底角为80°，则顶角为____;
(3) 一个等腰三角形的其中一个角为80°，则另外两个角____.
知识点二 等腰三角形的性质:等边对等角
3.如图所示，点D为△ABC的边AB的中点，且AD=CD.
求证：∠ACB=90°.
【当堂达标】
1.已知等腰三角形三边中有两边的长分别为3,9,则这个等腰三角形的周长为( )
A.15 B.21 C.16 D.15或21
2.如图△ABC中，AB=AC，角平分线AD、BD相交于点D.
若∠ABC=80°，则∠ADB等于（ ）
A. 100° B. 110°
C. 120° D. 130°
3.如图所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=17,则线段MN的长为( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
4.已知:如图所示, ∠CAE是△ABC的外角,AD ∥BC,且∠1=∠2.
求证:AB=AC
【课后拓展】
5.如图所示，已知：△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点.
⑴ 试说明△OBC是等腰三角形；
⑵ 连接OA，试判断直线OA与线段BC的位置关系？并说明理由.
10.2等腰三角形（2）
【学习目标】
1.能够灵活运用等腰三角形有关性质、判定定理进行相关题目的证明，进一步发展推理能力；
2.熟悉文字命题证明的一般步骤及一些简单辅助线的添加．
【课前梳理】
已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC。
（1）∵AD⊥BC，
∴∠ =∠ ， = ;
（2）∵AD是底边上的中线
∴ ⊥ ，∠ = ∠ ;
（3）∵AD是顶角的平分线，
∴ ⊥ ， = .
【课堂练习】
知识点一 等腰三角形的两底角的角平分线相等
1.已知：如图所示，△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线，
求证：BD=CE
证明：
知识点二 等腰三角形两腰上的中线高线相等
2.推理论证：等腰三角形两腰上的中线(高)相等；（画图、写出已知、求证、证明过程）
已知：
求证：
证明：
归纳：等腰三角形两腰上的中线、高线、两底角的平分线 .
【当堂达标】
1.等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．30°
2.如图所示，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的
周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
B
C
D
E
A
3.如图所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC, AD=AE，
求证：∠BAD=∠CAE
4.如图所示,已知△ABC中，AB=AC,D是BC的中点.DE⊥AB于E,DF⊥AC于F
求证:DE=DF
【课后拓展】
5.如图所示，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44° B．66° C．88° D．92°
6.如图所示，四边形ABCD中，AB=AC=AD，
AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
求证：∠BDC=∠PDC
10.2等腰三角形（3）
【学习目标】
1.了解等边三角形的性质和判定方法;
2.会用等边三角形的相关性质解决简单的实际问题.
【课前梳理】
1.三边都_________的三角形是等边三角形.
2.等边三角形的三个内角都__________,并且都等于______.
3.等腰三角形的判定：有__________相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）
4.等腰三角形的性质：等腰三角形两底角_______(简称“____________”)
5.等边三角形的判定：1）三条边都____的三角形是等边三角形
2）三个_____都相等的三角形是等边三角形 .
3）有一个角等于_____的等腰三角形是等边三角形.
6.等边三角形是特殊的________三角形，它具有等腰三角形的一切性质，除此之外，它还具有每个内角都是_____的特殊性质.
7.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的________.
【课堂练习】
知识点一 等边三角形的判定
1.下列条件中，能得到等边三角形的是（ ）.
A.有两个内角是50°的三角形
B.有两边相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
知识点二 等边三角形的性质
2.△ABC是等边三角形，AE为BC边上的高，则下列结论不正确的是（ ）.
A.AB=AC=BC
B.∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
C.直线AE是△ABC唯一的一条对称轴
D.AE是∠BAC的平分线
知识点三 直角三角形的性质
3.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,若AB=6cm,则BC= .
4.等边三角形的边长为4，则它的中线长为 .
【当堂达标】
1.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
2.已知如图所示,P、Q是△ABC边BC上的两点,且PB=PQ=QC=AP=AQ,则∠BAC的度数为( )
A. 150° B. 120°
C. 100 ° D. 90°
3.如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.
4.已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求CD的长．
【课后扩展】
5.如图所示，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
10.2等腰三角形（4）
【学习目标】
1.了解反证法的概念及其基本步骤，并会用反证法证明简单的命题;
2.通过利用反证法证明命题，体会逆向思维.
【课前梳理】
1.定义、命题的概念： .
2.命题的构成、形式： .
3.真命题、假命题 ： .
4.反证法是一种重要的数学证明方法，它是先假设命题的结论_____；然后推导出与___________________________相矛盾的结果；从而证明命题的结论_______成立.
5.反证法证明题的步骤：
（1）先假设原命题的结论_____,从而假设命题的结论的反面是成立的；
（2）从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与________________相矛盾的结果；
（3）说明假设不成立，从而得到原结论正确.
※ 点拨:
①反证法是一种独特的证明方法，它的独特之处有两点:一是否定命题的结论,并且可以将这个否定的结论作为条件;二是从这个新条件出发,结合命题原有的条件一起推出矛盾,从而使问题获证; 与运用其他方法证明一样,运用反证法证明时推理的过程必须有理有据;
②常用的互为否定的表述方式：
平行——不平行； 垂直——不垂直； 等于——不等于； 都是——不都是
大于——不大于； 小于——不小于； 至少有一个——个也没有；
至少有三个——至多有两个； 至少有n个——至多有(n-1)个.
【课堂练习】
知识点一 反证法的应用
1.用反证法证明命题“三角形中三个内角至多有一个钝角”时，首先应假设
.
2.求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.
一画
（几何证明题的步骤忘了吗？“一画二写三证”）二写
C
B
A
已知（题设）：如图，在△ABC中，∠B≠∠C.
三证
求证(结论)：__________________________________.
证明：（反证法）
假设AB=AC,
根据“___________ ”定理可得∠C=∠B，
但与已知条件“___________ ”矛盾，
因此__________.
【当堂达标】
1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有三个解 D．至少有两个解
2.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应该假设这个三角形中（ ）
A. 有一个内角小于60° B. 每一个内角都小于60°
C. 有一个内角大于60° D. 每一个内角都大于60°
3.用反证法证明命题“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一步是（ ）
A.假设CD∥EF B.假设CD不平行于EF
C.已知AB∥EF D.假设AB不平行于EF
4.已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2，
c
2
1
b
a
求证：a不平行b.
证明：假设 ，
则 ，
这与 相矛盾，
所以 不成立，
所以a不平行b.
【课后拓展】
5.已知△ABC.求证△ABC中至少有一个角大于60°.
10.3直角三角形（1）
【学习目标】
1.掌握勾股定理及其逆定理的证明；
2.能运用勾股定理及其逆定理的证明解决简单的实际问题.
【课前梳理】
1.勾股定理： .
2.勾股定理逆定理： .
3.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______，那么这两个命题称为__________，其中一个命题称为另一个命题的__________.
4.互逆定理：一个命题是真命题，它的逆命题却______是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为________，其中一个定理称为另一个定理的________.
【课堂练习】
知识点一 勾股定理
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a, b为直角边，c为斜边
（1）若a=5, c=13 则b= （2）若c=25, a=24 则 b=
2.一个直角三角形的三边为三个连续的偶数，则它的三边长分别是多少 .
3.一个矩形的抽斗长为24cm，宽7cm，在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 .
知识点二 勾股定理逆定理
4.由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）.
A.a=15,b=8,c=17 B.a=12,b=14,c=15
C.a=4,b=5,c=3 D.a=7,b=24,c=25
5.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c则满足下列条件但不是直角三角形的是（ ）
A.∠A=∠B-∠C B.∠A:∠B:∠C=1:1:2
C.a:b:c=4:5:6 D.a²-c²=b²
6.若一三角形三边长为5，12，13，则这个三角形长为13的边上的高为 .
7.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c，
求证：∠C=90°.
知识点二 互逆定理
8. 下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A.两直线平行，内错角相等 B.直角三角形两锐角互余
C.对顶角相等 D.同位角相等，两直线平行
【当堂达标】
1.下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A.同旁内角互补，两直线平行 B.直角三角形的两锐角互余
C.等边三角形是等腰三角形 D.有一个外角是直角的三角形是直角三角形
2.三角形的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则三角形的面积是__________.
3.命题“两直线平行,同位角相等 ”的逆命题是： ，
它是 （填入“真”或“假”）命题.
4.一个三角形的三边的比为5:12:13，它的周长为60cm，则它的面积是__________.
5.下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有( ).
(1) ∠A+∠B=∠C (2) ∠A:∠B:∠C=3:4:5 (3) ∠A=90°-∠B
(4) a=4,b=5,c=6 （5）a=30,b=50,c=40 （6）a：b：c=7:24:25
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
6.如图是一块菜地，已知AD=8米，CD=6米，∠D=90°，AB=26米，BC=24米 .
A
C
B
D
求这块菜地的面积.
【课后拓展】
7.如图所示，在△ABC 中，已知AB = 10，BD = 6， AD = 8，AC = 17.
（1）求DC的长.
（2）判断△ABC是否是直角三角形？
（3）求△ABC的面积
10.3直角三角形（2）
【学习目标】
1.探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”定理；
2.能运用“斜边、直角边”定理证明简单的实际问题.
【课前梳理】
1.一般三角形全等判定方法有：
2.直角三角形的判定：①有一个角是_____的三角形叫做直角三角形.
②有两个角互余的三角形是_____ 三角形.
③如果三角形两边的平方___等于第三边的______，那么这个三角形是____三角形.
3.斜边和一条_________对应相等的两个______ 三角形全等.（“斜边、直角边”或“ ”）
推理格式：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°
∵AB=A′B′,BC=B′C′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
※ 注：“HL”定理是直角三角形独有的判定定理，只适合直角三角形全等的判定
【课堂练习】
知识一 判断三角形全等的方法
1.判断下列条件能否判断两直角三角形全等，并说明根据.
(1)一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两直角三角形全等. （ ）
(2)一个锐角和这个锐角相邻的一条直角边对应相等的两直角三角形全等. （ ）
(3)一锐角与斜边对应相等的两直角三角形全等. （ ）
(4)两直角边对应相等的两直角三角形全等. （ ）
2.在△ABC和△A'B'C'中，如果AB=A'B',∠B=∠B',AC=A'C',那么这两个三角形 （ ）
A.全等 B.不一定全等 C.不全等 D.面积相等，但不全等
知识点二 “HL”定理的应用
3.如图，H是线段BC的中点，∠ABH=∠DCH=90°,AH=DH,则△ABH≌______,依据是______。
【当堂达标】
1.如图所示，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，
若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，
则需要加条件 或 ；
若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，
则需要加条件 或 ．
2.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）
A.两条直角边对应相等 B.斜边和一条直角边对应相等
C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等
3.如图，∠B =∠E = 90°，AC = DF，BF = EC.
求证：BA = ED
4.已知：在△ABC中，AD⊥BC，E为AC上
一点，BE交AD于F且BF=AC，FD=CD．
求证：BE⊥AC
【课后拓展】
5.如图,在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB,DE⊥AB，垂足是E.
求证：AB=AC+CD
10.4线段的垂直平分线（1）
【学习目标】
1.能证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理；
2.能运用线段的垂直平分线的性质与判定定理解决简单的实际问题.
【课前梳理】
1.线段的垂直平分线（中垂线）：垂直且____一条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
2.线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________.
推理格式:（如图1） ∵PC⊥AB，AC=____(点P在线段AB的垂直平分线MN上),
∴ =PB
3.线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点的距离相等的点， ____________________________.
推理格式：（如图2） ∵AB = AC，
∴____点在线段BC的______________.
A
B
4.尺规作图：作线段AB的垂直平分线
【课堂练习】
知识点一 线段垂直平分线的性质定理
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.在△ABC中，AB=AC=a,AB的垂直平分线交AC于点D,若△BCD的
周长为m,试说明：BC=m-a.
【当堂达标】
1.如图所示，线段ABCD,垂足为O，CO=DO,则下列说法正确的有（ ).
①AB垂直平分CD;②CD的垂直平分线是AB；③CD 的垂直平分线是AB所在的直线；④AB的垂直平分线是CD所在的直线;⑤AB垂直平分CD;
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，AB垂直平分CD，若AC=1.6cm，BC=2.3cm，则四边形ABCD的周长是（ ）.
A.3.9 cm B.7.8 cm
C.4 cm D.4.6 cm
3.在△ABC中,AB=AC, ∠A=500,AB的垂直平分线交AC于N,则∠NBC=
4.如图，△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，若∠BAC=1280，
求∠EAG的度数.
【课后拓展】
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=2，求BE的长度．
10.4线段的垂直平分线（2）
【学习目标】
1.掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理；
2.能运用线段的垂直平分线的性质定理与判定定理证明简单问题；
3.会用尺规作图作等腰三角形.
【课前梳理】
1.尺规作图： .
2.线段垂直平分线性质： .
3.线段垂直平分线判定定理： .
4.关于线段垂直平分线性质定理的推论
(1)关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三条边的_____________线相交于_______，并且这一点到三个______的距离相等.
推理格式： ∵点P是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，
∴PA=_____=_______.
(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是______三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；
若三角形是______三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；
若三角形是______三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。
【课堂练习】
知识点一 三角形三边的垂直平分线的交点的性质
1.到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）.
A.三边垂直平分线的交点
B.三边角平分线的交点
C.三条高线的交点
D.三边中线的交点
2.随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（ ）处。
A.1 B.2 C.3 D.4
A
E
B
C
D
【当堂达标】
1.如图所示，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰
好是DE的垂直平分线，则下列结论正确的是（ ）
A.△ABC≌△AED B.△AED是等边三角形
C.∠EAB＝60° D.AD＞DE
2.已知O是锐角△ABC三边垂直平分线的交点，∠A=55°，则∠BOC的度数（ ）
A.90° B.95° C.110° D.115°
3.如图所示，△ABC的周长为30cm，AC的垂直平分线交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=5cm，则△ABD的周长是______.
4.如图所示，已知：在中，，DE的垂直平分线AC交AB于D，交AC于E.
求证：AD=BC.
【课后拓展】
5.如图所示，已知：E是的平分线上的一点，，，垂足分别是C、D. 求证：OE垂直平分CD.
10.5角的平分线（1）
【学习目标】
1.能够证明角平分线的性质定理、判定定理;
2.能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题.
【课前梳理】
1.回忆尺规作图作已知角的角平分线
点P在∠AOB的角平分线上
∵PD⊥OA，PE⊥OB,
2.角平分线的性质定理： .
推理格式：
∴PD=PE
3.角平分线的判定定理： .
推理格式：∵ PD⊥OA，PE⊥OB,PD=PE
∴ 点P在∠AOB的角平分线
【课堂练习】
知识点一 角平分线的性质定理
1.如图，点P是的∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，
已知PE=4，则点P到AB的距离是等于（ ）.
A.3 B.4 C.5 D.6
知识点二 角平分线判定定理的应用
2.如图所示，Q是∠BOA内的一点，QE⊥OB,QD⊥OA,垂足分别为点E,D,OE=OD.
求证;⑴ QE=QD；
⑵ 点Q在∠ BOA的角平分线上.
【当堂达标】
1.如图1所示，∠AOB=70°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E ，且PD＝PE则
∠DOP= .
2.如图2所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，
且DE=3cm，BD=5cm，则BC= cm.
第2题图
第1题图
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（ ）
A. mn B. mn C.2mn D.mn
4.已知：如图所示,在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上,DE = 5，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求AD 的长.
5.如图所示，已知：AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：DE=DF
【课后拓展】
6.已知:如图所示，△ABC中，AD是它的角平分线，且EB=FC，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E、F，
求证：BD=CD
10.5角的平分线（2）
O
A
B
【学习目标】
角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.
【课前梳理】
1.用直尺和圆规作角的平分线
（要求：保留作图痕迹，不写做法）
2.已知：如图△ABC，
(1)请用直尺和圆规作出三条角平分线.
A
C
(2)观察作出的这三条角平分线有什么性质：
B
【课堂练习】
知识点一: 角平分线的性质定理的应用
1.如图，△ABC的角平分线BM、CN交于点P，求证：点P到△ABC三边的距离相等.
证明：过点P 作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F. （把辅助线补充完整）
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD = .
同理：PE = .
∴PD = = .
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
知识点二: 三角形的角平分线的性质定理
2.到△ABC的三条边的距离相等的点是△ABC的（ ）.
A.三边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.三条中线的交点
3.△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC交AC边于点D,∠BDC=75°,则∠A的度数 .
【当堂达标】
1.已知△ABC中，∠A=50°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数 .
2.如图所示，DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF=_______.
3.已知:如图所示,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.
求证:BD=2CD
4.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O且∠1 =∠2
求证：OB = OC
【课后拓展】
5.已知:如图所示,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.
求证:点F在∠DAE的平分线上.
第十章复习学案
【学习目标】
1. 了解三角形全等的识别方法和三角形全等的性质，能够证明与等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线相关的性质定理和判定定理.
2. 理解互逆命题、互逆定理，体会反证法的含义.
3. 能够利用尺规作图作等腰三角形、直角三角形、已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线.
【课堂梳理】
知识点一 全等三角形
1.判断三角形全等的方法：①（三个公理）______、______、_____、②（一个定理）_____.
2.全等三角形的性质：①线段相等：对应边相等、对应边上的_______、对应中线、______
相等.
②角相等： 相等.
注：利用全等三角形证明线段或角相等
知识点二 等腰三角形
3.等腰三角形性质：①定理： .(等边对等角）
②推论： .（三线合一）
4.等腰三角形的判断方法：①定义： .
②定理： .(等角对等边）
知识点三 等边三角形
5.等边三角形概念： .
6.等边三角形的性质：①等边三角形的三条边______.（边）
②等边三角形的三个内角都等于______.（角）
7.等边三角形的判定：①______相等的三角形是等边三角形.
②三个角相等的三角形是 .
③有一个角等于____的等腰三角形是等边三角形.
注：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质.
知识点四 直角三角形
8.直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角 .
②直角三角形两条直角边的平方和等于 .
③在直角三角形中，如果有一个锐角等于____，那么它所对的直角边等于斜边的 .
9.直角三角形的判定：①有两个角 的三角形是直角三角形.
②如果三角形两边的平方和等于 ，那么这个三角形为直角三角形.
10.直角三角形全等的判定方法：（HL） .
注：（HL）只适用于直角三角形.
知识点五 线段垂直平分线
11.段垂直平分线的定理： .
12.线段垂直平分线的逆定理： .
13.三角形垂直平分线定理： .
知识点六 角平分线
14.角平分线的定理： .
15.角平分线的逆定理： .
16.三角形角平分线定理： .
注：若一个点到三角形三边以及到三角形三个顶点的距离相等，这个点一定为三角形三边垂直平分线与三个内角角平分线的交点.
【典型例题】
考点一 等腰三角形
典型例题1.(2018.绥化）已知等腰三角形的一个外角为130°，
则它的顶角的度数为 .
跟踪训练1.△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是 .
典型例题2.(2018.南通）一个等腰三角形的两边长分别为4cm,9cm
则它的周长为 .
跟踪训练2.等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为 .
考点二 线段的垂直平分线
典型例题3.（2018.黄冈）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是 .
跟踪训练3.（2018.吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则△BEC的周长是 .
典型例题4.已知O是锐角△ABC三边垂直平分线的交点，∠A=55°，则∠BOC的度数 .
跟踪训练4.如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为 ．
跟踪训练5.如图所示AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
考点三 线段的垂直平分线
典型例题5.（2016.浙江）在△ABC中，∠C ＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到线AB的距离是 .
跟踪训练6.如图，点D为∠AOB的平分线OC上的一点，DE⊥AO于点E．若DE＝4，则D到OB的距离为 .
考点四 勾股定理及其逆定理
典型例题6.AB⊥CD，且AB＝CD，E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝8，BF＝6，AD＝10，则EF的长为 .
跟踪训练7.下列各组线段能构成直角三角形的是（ ）
A.30,40,50 B.7,12,13 C.5,9,12 D.3,4,6
【巩固训练】
一． 选择题
1. 以下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的有（ ）
①3，4，5；②；③0.3，0.4，0.5；④10，13，16
A .1个 B.2个 C .3个 D .4个
2. 如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，AD＝AC，∠BAC的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
3.如图，△ABC是等腰直角三角形AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是底边BC上的高．BC＝10米，则AD的长是（ ）
A．5米 B．5米 C．8米 D．10米
4.如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
5.AD∥BC，∠D=，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的关系是（ ）
A．PD>PC B．PD
6.如图，AB∥CD，∠BED＝63°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB的度数是（ ）
A．147° B．147.5° C．148° D．148.5°
7. 如图，AE∥CD，△ABC为等边三角形，若∠CBD＝15°，则∠EAC的度数是（ ）
A．60° B．45° C．55° D．75°
8．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
二.填空题
9．在△ABC中，∠C=90º，BD是∠ABC的平分线.已知，AC=32，且AD：DC=5：3，则点D到AB的距离为_______.
10.如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S：S：S等于______.
三．解答题
11．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
12.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．
11.1不等关系
【学习目标】
1.体会现实世界中有各种各样的数量关系存在,不等关系是其中的一种;
2.了解不等式及其概念,会用不等式表示数量之间的不等关系.
【课前梳理】
1.等式：_________________________ 的式子叫做等式.
2.正数都________ 0，负数都________ 0，非负数包括________.
3.如图，用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆，
（1）如果要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？
（2） 如果要使圆的面积不小于100 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？
（3） 当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？
（4）你能得到什么猜想？改变l的取值再试一试？
分析：正方形的面积等于边长的平方.圆的面积是πR 2，其中R是圆的半径.两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于. “不小于”就是大于或等于.
归纳小结：一般地，用 “〈”（或“≤”），“〉”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.
【课堂练习】
知识点一 不等式的定义
1.有下列数学表达式：①3<0;②4x+5>0;③x=3;④x²+x;⑤x≠-4⑥x+2>x+1.其中是不等式的有 个.
解题技巧：判断所给的式子是否为不等式，关键看式子中是否含有不等号.
注意：用符号“≠”连接的式子也叫不等式.
知识点二 列不等式
2.用适当的符号表示下列关系
⑴a是负数；
⑵a-1不是正数；
⑶5减去a的值至少是8；
⑷m是不大于6的数
⑸x与2的差不小于-1
3.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了x道题，则根据题意可列不等式 .
【当堂达标】
1.下列式子中，其中是不等式的有 .
（1）；（2）；（3）xy≥a-3；（4）5a-3b+c；（5）a-2b≠1;
(6)x≤－1;(7)y=2x+1；（8）
2.若a是有理数，下列式子：①｜a｜>0；②a2+10>0；③-a<0；④｜a-5｜≥0中，一定成立的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.x与3的和的一半是负数，用不等式表示为（ ）
A. B. C. D.
4.亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节约30元，直到他至少有300元.设x个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是（ ）
A.30x-45≥30 B.30x+45≥300 C.30x-45≤300 D.30x+45≤300
5.下列按条件列出的不等式中，正确的是（ ）．
A.a不是负数，则a＞0 B.a与3的差不等于1，则a—3＜1
C.a是不小于0的数，则a＞0 D.a与 b的和是非负数，则a＋b≥0
6.有理数a与b在数轴上的位置如图，用“＞”或“＜”填空：
a
b
0
（1）a 0； （2）b 0；
（3）a b； （4）a ＋b 0；
（5）a－b 0．
7.用不等式表示：
（1）a的2倍与3的和大于7 ；
（2）x的一半与2的差不大于5 ；
（3）m与n的积是非正数 ；
（4）m与2的和是负数 ；
（5）x的绝对值是非负数 ；
（6）x的2倍与3的差不小于6 ；
（7）x的一半比它与6的差小 ；
【课后拓展】
8. 一件商品案成本价x元提高30%标价，又以九折销售，则此时售价仍不低于270元，请你写出该商品的成本价应满足的不等式.
9.一个两位数的十位数字是x，个位数字比十位数字小2，并且这个两位数大于50，用不等式表示数量关系．
11.2不等式的基本性质
【学习目标】
1.经历探索的过程，根据等式的基本性质类比发现不等式的基本性质；
2.会运用不等式的基本性质进行简单的不等式变形.
【课前梳理】
1.不等式的定义： .
2.等式的基本性质： .
.
3.阅读课本第139--140页内容,完成下列练习:用 > 或 < 符号填空.
(1) 5>3 , 5+2 3+2, 5-2 3-2
(2) -1<3, -1+2 3+2, -1-3 3-3
(3) 6>2, 6×5 2×5, 6×(-5) 2×(-5)
(4) -2<3, (-2)×6 3×6, (-2)×(-6) 3×(-6)
(5）－4 ＞－6 （－4）÷2 （－6）÷2，
（－4）×（－2） （－6）×（－2）
归纳得出：①不等式的基本性质
不等式性质１：不等式两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向 ;
不等式性质２：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 ;
不等式性质３：不等式两边都乘以（或乘以）同一个负数，不等号的方向 .
②不等式的其他性质：
①对称性：若，则；若，则；
②传递性：若，且，则；
③若，，则；
④若，，则；
【课堂练习】
知识点一 不等式的基本性质1
1.如果2a>3b,那么2a+c 3b+c.
知识点二 不等式的基本性质2
2.满足不等式x<1的非负整数是 .
知识点三 不等式的基本性质3
3.已知a>b,要使am-a
【当堂达标】
1.若，则下列不等式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若由，得到，则一定有（ ）
A.a>0 B.a<0 C.a≠0 D.a为任意实数
3.不等式变形为，那么a的取值范围为（ ）
A.a≤0 B.a<0 C.a≥0 D.a>0
4.若则比较a,-a,b,-b之间的大小关系正确的是（ ）
5.下列变形不正确的是 （ ）．
A.若a＞b，则b＜a B.若－a＞－b，则b＞a
C.由－2x＞a，得x＞ D.由x＞－y，得x＞－2y
6.已知a＞b，用“＜”或“＞”填空
(1)a+4 b+4 (2)a-3 b-3
(3)2a a+b (4)-2a-3 -2b-3
7.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式. (1)x-6＜5 (2)3x+4＜-3 (3)- ＞ (4)-2x-4＜2
【课后拓展】
8.若将“”变形为“”，则a的取值范围为 .
9.若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是 .
11.3不等式的解集
【学习目标】
1.理解不等式的解与解集的意义；会判断一个数是否为不等式的解；
2.会利用数形结合思想在数轴上表示不等式的解集，体会不等式的解集与数轴的关系.
【课前梳理】
1.数轴的三要素： .
2.不等式的定义： .
3.不等式的基本性质:
.
4.能使 的未知数的值，叫做不等式的解.
5.一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解集.
6.求 的过程叫做解不等式。解不等式的依据是 .
7.在数轴上表示一个不等式的解集时，要注意两点：一是确定“界点”；有等号用 ，没有等号用 。二是确定“方向”；大于或大于等于向 边画，小于或小于等于向 边画。
【课堂练习】
知识点一 不等式的解
1.判断下列哪些数能使不等式成立：
⑴ 2；⑵ 3；⑶ ；⑷ ；⑸ 5；⑹ 7；
知识点二 不等式的解集
2.下列四种说法中，正确的有（ ）.
① 是不等式的一个解；
② 是不等式的一个解；
③ 是不等式的解集；
④ 范围内的任何一个数都能使不等式成立，所以是不等式的解集；
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
注：不等式的解是一个集合，一个范围，它包含不等式的每一个解.
知识点三 不等式的解集的表示方法
3.在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x＜4； （2）x≤2；
（3）x≥0； （4）-2 ≤x＜2.
【当堂达标】
1.下列说法：①8是y-1>6的解集;②m>3是不等式m-1>2的解;③x>4是不等式x+3>6的解集;④不等式x+1<2有无数个整数解,其中正确的是_________(填序号)
2.下列说法正确的是 （ ）．
A. x=4不是不等式2x＞7的一个解
B. x=4是不等式 2x＞7 的解集
C. 不等式 2x＞7 的解集是x＞4
D. 不等式 2x＞7 的解集是x＞
3.下列说法中，错误的是（ ）
A. 不等式 x ＜5的正整数解有无数多个
B. 不等式 x ＞－5 的负整数解有有限个
C. 不等式 －2x＞8 的解集是x＜－4
D. －40是不等式 2x＜－10的一个解
4.两个不等式的解集分别是x＜1和x≥1，分别在数轴上表示出来.
5.写出下列各图所表示的不等式的解集：
（1）；
（2）.
6.用不等式表示下列数量关系，再用数轴表示出来：
(1)x小于-1； (2)x不小于-1；
(3)a是正数； (4)b是非负数.
（5）不小于-2且不超过3的数.
【课后拓展】
7.不等式－4≤x＜2的所有整数解的和是( )
A.－4 B.－6 C.－8 D.－9
8.当a________时，x＞表示ax＞b的解集
9.不等式2x－1≥5的最小整数解为________.
10.如果不等式(a－4)x＜b的解集是x＜，那么a的取值范围是________.
11.4一元一次不等式（1）
【学习目标】
1.理解一元一次不等式和解不等式的概念.
2.掌握解一元一次不等式的步骤，会解一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集.
【课前梳理】
1. 不等式的解： .
2. 不等式的解集: .
3.一元一次方程: .
4.解一元一次方程的步骤: ① ;② ;
③ ; ④ ;⑤ ;
5.一元一次不等式:不等式左右两边都是 ，只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，系数不等于 的不等式.
6.解一元一次不等式的一般步骤是：
① ;② ;③ ;
④ ;⑤ ;
注：解不等式要记住四句话：去分母时都乘到，移项切记要变号，乘除负数要仔细，改变方向莫忘掉.
【课堂练习】
知识点一 一元一次不等式的判别
1.下列各式中，哪些是一元一次不等式？哪些不是，试说明理由.
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
注：一元一次不等式的判别方法：①含有一个未知数②未知数的最高次数是1
③不等式 ④左右两边都是整式
知识点二 一元一次不等式的解法
2.不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
3.求下列不等式，并把它们的解表示在数轴上
⑴ ⑵
【当堂达标】
1.下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A. B. C. D.4x－3＜2y－7
2.若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 .
3.不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4.解下列不等式，并把它的解集表示在数轴上
(1) (2) ≥
【课后拓展】
5.不等式2x－1≥3x一5的正整数解的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围 .若未知数x、y满足，则m的取值范围 .
7.若2（x＋1）－5＜3（x－1）＋4的最小整数解是方程x－mx＝5的解，求代数式的值.
11.4一元一次不等式（2）
【学习目标】
1.初步认识一次不等式的应用价值，发展分析问题，解决问题的能力,积累利用一元一次不等式解决简单问题的能力.
【课前梳理】
1.一元一次不等式的概念：
.
2.解一元一次不等式的步骤：① ;② ;
③ ; ④ ;⑤ ;
3.列一元一次不等式解应用题的其一般步骤：① ;② ;
③ ; ④ ;⑤ ;
注：根据题意列出不等式的关键是寻找题目中的不等关系，类似于列方程解应用题时
寻找等量关系.
【课堂练习】
知识点一 列不等式解实际问题
1.用甲，乙两种原料配制成某种饮料，已知甲种原料每千克含有500单位的维生素c,
乙种原料每千克含有200单位的维生素c，现配制这种饮料10千克，要求至少含有
4100单位的维生素c，若所需甲种原料的质量为千克，则应该满足的关系( ).
A. B.
C. D.
2.某养殖场要修建一个周长为60m的矩形围栏，要求长度比宽度至少多2m,则养殖场围
栏的长度至少为 .
3.某校举行百科知识抢答赛，共有20道题，规定答对一题记10分，答错或放弃一题记－4分，九年级1班代表队的得分目标为不低于88分，则这个队至少要答对多少道题才能达到目标要求？
【当堂达标】
1.初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元．在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数 （ ）
A.至多6人 B.至少6人 C.至多5人 D.至少5人
2. 小红准备用60元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小红最多能买 瓶甲饮料.
3.某市自来水公司按如下标准收取水费，若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.2元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元.小童家每月的水费不少于15元，那么她家这个月的用水量至少是多少？
【课后拓展】
4.现用甲、乙两种运输车将抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重，乙种运输车载重，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）
A.4辆 B.5辆 C.6辆 D.7辆
5.某人10∶10离家赶11∶00的火车，已知他家离车站10公里，他离家后先以3公里/时的速度走了5分钟，然后乘公共汽车去车站，公共汽车每小时至少走______公里才能不误当次火车.
6.一个工程队原定在10天内至少要挖土600立方米，在前两天一共完成了120立方米，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务.以后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？
11.5 一元一次不等式与一次函数（1）
【学习目标】
1.通过作函数图象，观察函数图象，进一步理解函数的概念，并从中初步体会一元一次不等式和一元一次函数的内在联系.
2.感知不等式、函数、方程的不同作用和内在联系.
【课堂梳理】
1.一次函数的表达式: ,它的图像是一条 .
2.一次函数y=3x-6与x轴的交点坐标是 ,
与y轴的交点坐标是 .
3. 作出函数的图象，并由图象回答下列问题：
（1）x为何值时，?
（2）x为何值时，?
（3）x为何值时，?
归纳：用图像法解型不等式的步骤
①将一元一次不等式化成标准形式，即；
②在平面直角坐标系中画出一次函数的图像，确定图像与轴的交点；
③图像在轴上方的部分所对应的自变量的取值范围就是的解集
图像在轴下方的部分所对应的自变量的取值范围就是的解集
4.作出函数的图象，并由图象回答下列问题：
（1）当x取何值时，?
（2）当x取何值时，?
（3）当x取何值时，?
归纳：利用图像法解型不等式的步骤：
①把不等式转化成的形式；
②画出函数的图像；
③在函数图像上，对应的的取值范围就是的解集；
在函数图像上，对应的的取值范围就是的解集；
在函数图像上，对应的的值就是的解；
【课堂练习】
知识点一 一元一次不等式与一次函数的关系
1.已知，当时，的取值范围 .
2.已知不等式－x＋5＞3x－3的解集是x＜2，则直线y＝－x＋5与y＝3x－3的交点坐标是_________．
【当堂达标】
1.已知一次函数y＝kx＋b的图像，如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（ ）
A.y＞0 B.y＜0 C.－2＜y＜0 D.y＜－2
2.如图，已知函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是_______________.
3.一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3 时，y1＜y2中，正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
4.直线与直线在同一平面直角坐标系中
的图象如图所示，求关于的不等式的解集．
【课后拓展】
5.函数 y1= 2x - 5 和 y2 = x - 2 的图象如图所
示，观察图象回答下列问题：
（1）x 取何值时，y1 = y2？
（2）x 取何值时，y1 > y2？
（3）x 取何值时，y1 < y2？
11.5 一元一次不等式与一次函数（2）
【学习目标】
1.会根据题意列出一次函数表达.
2.综合运用不等式的知识解决简单的实际问题.
【课前梳理】
1.一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2的图像交点坐标即为方程组 的解.
2.一次函数y1=－x+3与y2=－3x+12的图象的交点坐标是（ ， ），当x________时，y1>y2；当x________时，y1
①把不等式转化成的形式；
②画出函数的图像；
③在函数图像上， 对应的的取值范围就是的解集；
在函数图像上，对应的的取值范围就是 的解集；
在函数图像上，对应的的值就是 的解；
【课堂练习】
知识点一 利用不等式，函数解决实际问题
1.友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
【当堂达标】
1.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知，当x________时，选用个体车较合算.
2.如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象.下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时，买乙家的合算；③买3件时，买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元.其中正确的说法是（ ）.
A.①② B.②③④
C.②③ D.①②③
3.甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）乙队开挖到30m时，用了 h．开挖6h时甲队比乙队多挖了 m；
（2）请你求出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
【课后拓展】
4.某校校长暑假将带领校、市级“三好学生”去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部票价6折优惠”，若全票价为240元．
(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费．(表达式)
(2)当学生数量是多少时，两家旅行社的收费一样？
(3)就学生数x讨论，哪家旅行社更优惠．
11.6一元一次不等式组（1）
【学习目标】
1.理解一元一次不等式组及其解集的意义；
2.会解一元一次不等式组，学会利用数轴求不等式组的解集.
【课前梳理】
1.在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x＞5； (2)x＜-2； (3)x≥-2； (4)x≤2；
2.解不等式2x+1＞x并把它的解集表示在数轴上.
3.一元一次不等式： .
4.关于 的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组.
5.一元一次不等式组里的各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫做 .
【课堂练习】
知识点一 一元一次不等式组的判别
1.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）.
A. B.
C. D.
知识点二 解一元一次不等式组
2.不等式组的解集是 ．
3.解下列不等式组
① ②
【当堂达标】
1.下列不等式组：① ② ③④. 其中一元一次不等式组的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2.在平面直角坐标系内，P（2x－6,x－5）在第四象限，则x的取值范围为（ ）
A.3＜x＜5 B.－3＜x＜5 C.－5＜x＜3 D.－5＜x＜－3
3.不等式组的整数解的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3 D.4个
4.不等式组的最大整数解是（ ）．
A. x =－2 B. x =2 C. x =3 D. x =4
5.解下列不等式组
（1） （2） （3）
【课后拓展】
6.若关于x的不等式 整数解共有2个，则m的取值范围是（ ）
A.3＜m＜4 B.3＜m≤4 C.3≤m≤4 D.3≤m＜4
7. 若关于x、y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围.
11.6一元一次不等式组（2）
【学习目标】
1.进一步理解一元一次不等式组及其解的意义.
2.学会解一元一次不等式组，学会利用数轴求不等式组的解集.
【课前梳理】
1.一元一次不等式组： .
2.一元一次不等式组的解集： .
3.解不等式： .
4解一元一次不等式组的步骤：先分别求出 的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的 ，就是这个不等式组的解集.
5.确定一元一次不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了.
【课堂练习】
知识点一 同大取大型
1.解不等式组
知识点二 同小取小型
2.解不等式组
知识点三 无解型
3.已知关于的不等式组 无解，则a的取值范围 .
【当堂达标】
1.不等式组的解集为（ ）．
（A）x ＞1 （B）x ＞ （C）x ≥1 （D）x ≥
2.若不等式组有解，则a的取值范围是 ．
3.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
4.解下列不等式组并在数轴上表示出解集.
（1） （2）
5.解不等式组：，并写出不等式组的正整数解.
【课后拓展】
6.已知关于x的不等式组 的整数解共有6个，则a的取值范围是 ．
11.6一元一次不等式组（3）
【学习目标】
1.学会解一元一次不等式组并利用数轴表示不等式组的解集.
2.总结一元一次不等式组解集的四种情况与一元一次不等式组的实际应用.
【课前梳理】
1.解一元一次不等式组的步骤：先分别求出 的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的 ，就是这个不等式组的解集.
2.确定一元一次不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了.
3. 列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤：
①审：审题，明确题中各数量之间的关系；②设：设未知数（只能设一个未知数）；
③找：找出表示题意的所有不等关系 ； ④列：列出一元一次不等式组；
⑤解：求出一元一次不等式组的解集 ； ⑥答：写出符合题意的答案.
【课堂练习】
知识点一 一元一次不等式的应用
1.攀枝花市出租车的收费标准是：起步价5元（即行驶距离不超过2千米都需付5元车费），超过2千米以后，每增加1千米，加收1.8元（不足1千米按1千米计）．某同学从家乘出租车到学校，付了车费24.8元．求该同学的家到学校的距离在什么范围？
知识点二 解一元一次不等式组
2.求不等式 的整数解.
【当堂达标】
1.若关于的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
a b
c d
2 3
4 5
2.我们定义 =ad+bc, 例如 =2×5+3×4=22,若x满足
-4 2
3 x
−2⩽ <2,则整数x的值有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3.解下列不等式组，并在数轴上表示解集.
⑴ ⑵
【课后拓展】
3x−y+a−2=0
2x+y−2a=0
4.以方程组 的解为坐标的点在第四象限，求a的取值范围。
第十一章复习学案
【本章目标】
1.理解不等式（组）的解及解集的含义；会解简单的一元一次不等式，并会在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式组，并会在数轴上确定其解集；初步体会数形结合的思想.
2.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际含义，检验结果的合理性.
3.初步体会不等式，方程，函数之间的内在联系与区别.
【知识梳理】
知识点一 一元一次不等式与一元一次不等式组的概念
1. 不等式： .
2. 不等式的解： .
3. 不等式的解集： .
4. 解不等式（组）： .
5. 一元一次不等式：不等式的左右两边都是______，只含有_____未知数，并且未知数的 ，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
6. 一元一次不等式组：一般地，关于_____未知数的几个 合在一起，就组成了一元一次不等式组.
7. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的解集.
知识点二 不等式的性质
8.不等式的基本性质1：
9.不等式的基本性质2：
10.不等式的基本性质3：
11.不等式的其他性质：①若a>b,则b a(对称性）
②若a>b,且b>c，则a c(传递性）
③若ab,且ba,则a b
④若a²0，则a=______
知识点三 一元一次不等式与一元一次不等式组的解法和应用
12.解题步骤： ①去分母
②去括号
③移项、合并同类项
④系数化为1
13.解集的确定:①数轴法 ②口诀法
14.应用：①与一次函数的综合应用 ②实际应用
考点一 不等式的基本性质
典型例题1.（2018.广西）若m>n，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
跟踪练习1.若a>b,则下列不等式变形错误的是（ ）
A. B.
C. D.
跟踪练习2.如果t>0,那么a+t与a的大小关系（ ）
A. B.
C. D.不能确定
考点二 解一元一次不等式
典型例题2.（2018.东莞）不等式的解集（ ）
A. B. C. D.
跟踪练习3.不等式的解是（ ）
A. B. C. D.
跟踪练习4.不等式的解是______.
考点三 解一元一次不等式组
典型例题3.（2018.襄阳）不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D.空集
跟踪练习5.解下列不等式组
① ②
考点四 利用数轴表示不等式的解集
典型例题4.(2018 辽宁省铁岭市)不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
跟踪练习6.已知不等式≤＜，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
跟踪练习7.把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
考点五 利用不等式求字母的值或取值范围
典型例题5.（2018.眉山）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围（ ）
跟踪练习8.若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
跟踪练习9.已知点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3 B．﹣3＜a＜1 C．a＞﹣3 D．a＞1
考点六 一次函数与一元一次不等式
典型例题6.已知不等式ax+b＞0的解集是x＜﹣2，则函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
．
【巩固训练】
一．选择题
1.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D.
4.如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P，下面四个结论中正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0
C．当x＜0时，y1＞y2 D．当x＞2时，y1＜y2
5.在等腰△ABC中，AB=AC,其中周长为24cm,则AB边的取值范围是（ ）
6.一元一次不等式组的最大整数解是（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 D．0
二.填空题
7．不等式组的解集是 ．
8.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ．
9.不等式组的所有整数解的积为 .
10.若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，则a的取值范围是 ．
三．解答题
11.①解不等式组： ②解不等式组：
12.某车间有20名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.已知每加工一个甲种零件获利16元，每加工一个乙种零件获利24元.自己设计一个问题，根据题目中的条件列出不等式，并解答.
数 学
七年级 下册
目录
第七章 二元一次方程组
7.1二元一次方程组 1
7.2 解二元一次方程组(1) 3
7.2 解二元一次方程组(2) 5
7.3 二元一次方程组的应用(1) 7
7.3 二元一次方程组的应用(2) 9
7.3 二元一次方程组的应用(3) 11
7.4 二元一次方程与一次函数(1) 13
7.4 二元一次方程与一次函数(2) 15
第七章复习学案 17
第八章 平行线的有关证明
8.1定义与命题（1） 22
8.1定义与命题（2） 24
8.3 基本事实与定理 26
8.4平行线的判定定理 28
8.5平行线的性质定理 30
8.6三角形内角和定理（1） 32
8.6三角形内角和定理（2） 34
8.6三角形内角和定理（3） 36
第八章复习学案 38
第九章 概率初步
9.1感受可能性 43
9.2频率的稳定性（1） 45
9.2频率的稳定性（2） 47
9.3等可能事件的概率（1） 49
9.3等可能事件的概率（2） 51
9.3等可能事件的概率（3） 53
9.3等可能事件的概率（4） 55
第九章复习学案 57
第十章 三角形的有关证明
10.1全等三角形（1） 61
10.1全等三角形（2） 63
10.1全等三角形（3） 65
10.2等腰三角形（1） 67
10.2等腰三角形（2） 69
10.2等腰三角形（3） 71
10.2等腰三角形（4） 73
10.3直角三角形（1） 75
10.3直角三角形（2） 77
10.4线段的垂直平分线（1） 79
10.4线段的垂直平分线（2） 81
10.5角的平分线（1） 83
10.5角的平分线（2） 85
第十章复习学案 87
第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
11.1不等关系 92
11.2不等式的基本性质 94
11.3不等式的解集 96
11.4一元一次不等式（1） 98
11.4一元一次不等式（2） 100
11.5 一元一次不等式与一次函数（1） 102
11.5 一元一次不等式与一次函数（2） 104
11.6一元一次不等式组（1） 106
11.6一元一次不等式组（2） 108
11.6一元一次不等式组（3） 110
第十一章复习学案 112
7.1二元一次方程组
【学习目标】
1.了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念；
2.会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程、二元一次方程组的解.
【课前梳理】
阅读课本第2至4页的内容，思考并解答下列问题.
1.二元一次方程
含有 的方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解
适合 ，叫做这个二元一次方程的一个解.
3.二元一次方程组
叫做二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解
叫做二元一次方程组的解.
【课堂练习】
知识点一 二元一次方程及二元一次方程的解
1.判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由.
① ② ③
④ ⑤ ⑥
2. ① ② ③
哪几对是方程的解？
知识点二 二元一次方程组及二元一次方程组的解
3.已知、、都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？
① ② ③ ④
4.判断是不是二元一次方程的解.
【当堂达标】
1.下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x－y=3； ②4x+9=x－y；③+y=5； ④x=y； ⑤x2－y=2 ⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
3.方程3x+2y=5与y=1－x的公共解是（ ）
A. B. C. D.
4.已知xb+5y3a和－7x2ay2－4b是同类项，那么a, b的值是（ ）
A. B. C. D.
5.若方程组的解是，则a = ，b = .
【课后拓展】
6.若6x3m+4-9yn-4=5是二元一次方程,则m=_____ ,n=_____ .
7.若是关于x,y的二元一次方程，则__________.
8.甲种物品每个9千克，乙种物品每个4千克。现有甲种物品x个，乙种物品y个，共80千克。
（1）列出关于x,y的二元一次方程 .
（2）若x=4,则y= _____ .
（3）若有乙种物品2个，则甲种物品有___个.
7.2 解二元一次方程组(1)
【学习目标】
1.会用代入消元法解二元一次方程组;
2.了解解二元一次方程组的消元思想,初步体会数学学习的化归思想.
【课前梳理】
1.代入消元法解二元一次方程组的基本思路——“代入消元”即二元 → 一元
2.代入法解二元一次方程组的步骤
①用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出未知数的值；
④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；
⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；
⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.
【课堂练习】
知识点一 用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数
1.把下列方程写成用含x的式子表示y的形式
（1）若2x－y=3 ,则y=
（2）若3x+y－1=0，则y=
（3）若 +y＝6,则y=
知识点二 代入消元法解二元一次方程组
2.
称为代入消元法，简称代入法.
3.要把方程组 x+y=22 ①
2x+y=40 ②
转化为一元一次方程，可把①式写成 ，再代入②式，这时方程组就转
化成了一元一次方程 .
【当堂达标】
1.用代入法解方程组，先消去未知数( )最简便.
A. B. C.两个中的任何一个都一样 D.无法确定
2.已知 是方程组 的解，则a+b= ( )
A.2 B.－2 C.4 D.－4
3.方程组的解为( )
A. B. C. D.
4.解下列方程组
（1） （2）
【课后拓展】
5.已知方程,则x= ，y= .
6.若2x2ya+b与﹣xa﹣by4的和是单项式，则a，b的值分别为（ ）
A.a=3，b=1 B.a=﹣3，b=1 C.a=3，b=﹣1 D.a=﹣3，b=﹣1
7.若x－y＝5，则14－2x＋2y＝ .
8.已知a,b,c是△ABC的三边长，其中a,b是一元二次方程组的解，求c的取值范围.
7.2 解二元一次方程组(2)
【学习目标】
1.会用加减法解二元一次方程组；
2.进一步理解解二元一次方程组的消元思想，知道消元的另一途径是加减法.
【课前梳理】
1.加减消元法解方程组基本思路是 “加减消元”即二元 → 一元
2.主要步骤 (1)变形－同一个未知数的系数相同或互为相反数；
(2)加减－消去一个元；
(3)求解－分别求出两个未知数的值；
(4)写解－写出方程组的解.
【课堂练习】
知识点一 用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数
认真阅读教材8-10页内容，尝试完成下面的题目，相信你一定能行！
1.第一种是代入消元法，小明将②式用含的代数式表示，= ，再将其代入①，从而消去 .
2.第二种还是代入消元法，只不过是小刚将②式变形得 ，再代入①中.这属于“整体代换”，它比思路1有什么好处？
3.第三种是加减消元法，和互为相反数，小颖用①+②，即①式的两边分别加上②式的两边，得 ，从而消去未知数，可求出.
知识点二 用加减消元法解二元一次方程组
(1） （2）
【当堂达标】
1.用加减法方程组，若先求的值，应先将两个方程 ；若先求的值，应先将两个方程 .
2.用加减消元法解方程组时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果 ①；②；③；④，其中变形正确的是（ ）
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
3.用加减消元法解下列方程组
（1） （2）
【课后拓展】
4.已知方程组，则x－y＝ ，x＋y＝ .
5.如果关于x、y的方程组的解满足二元一次方程，求m的值.
7.3 二元一次方程组的应用(1)
【学习目标】
1.了解列二元一次方程组解应用题的步骤;
2.能正确地列二元一次方程组解应用题.
【课前梳理】
二元一次方程组解决实际问题的基本步骤
1.审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系;
2.设未知数（一般求什么设什么）;
3.找出能表示应用题全部意义的两个等量关系，列出方程组;
4.解所列方程组，得未知数的值，检验所求未知数的值是否符合题意，是否符合实际意义;
5.写出答案（包括单位名称）.
【课堂练习】
知识点一 了解列二元一次方程组解应用题的步骤
认真阅读教材13-14页内容，尝试完成下面的题目，相信你一定能行！
1.用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是
审题——设____________——找出____________——列___________——解方程组——检验___________________.
知识点二 能正确地列二元一次方程组解应用题
2.古算题 “我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问多少房间多少客？”（题目大意是 一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房．问有多少房间多少客人．）
解题思路 此题中有两个未知量------ 和 ，
两个等量关系如下
（1） =客人数
（2） =客人数
解
【当堂达标】
1.鸡兔同在一笼中，已知笼中共有腿270只，且鸡的头数比兔的头数多30只
则鸡和兔的只数分别是（ ）
A.鸡55只、兔25只 B.鸡35只、兔65只
C.鸡65只、兔35只 D.鸡45只、兔15只
2.某班有36人参加义务植树劳动，他们分为植树和挑水两组，要求挑水人数是植树人数的2倍.设有x人挑水，y人植树，则下列方程组中正确的是（ ）
3. 某景点门票价格 成人票每张70元，儿童票每张35元.小明买20张门票共花了1225元，设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
4.有一群羊，黑羊的头数比白羊的脚数少2，白羊的头数比黑羊的脚数少187，则有黑羊
头，白羊 头.
5.某停车场的收费标准如下 中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元,问中、小型汽车各有多少辆？
【课后拓展】
6.某厂共有140名生产工人，每个工人每天可生产卷筒25个或圆板20个，如果一个卷筒与两个圆板配成一套，那么每天安排多名工人生产圆板，多少名工人生产卷筒，才能使每天生产出来的产品配成最多套？
7.3 二元一次方程组的应用(2)
【学习目标】
1.会用列表的方式分析题中的已知量与未知量的关系,列出相应的二元一次方程组;
2.经历和体验列方程组解实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
【课前梳理】
用二元一次方程组分析和解决实际问题的基本过程
【课堂练习】
知识点一 用列表的方式分析题中的已知量与未知量的关系
认真阅读教材14-15页内容，尝试完成下面的题目，相信你一定能行！
1.某工厂去年的利润(总产值-总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元?
分析 设去年的总产值为万元，总支出为万元，则有
总产值/万元
总支出/万元
利润/万元
去年
200
今年
知识点二 根据已知条件列出相应的二元一次方程组
2.甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。二人的平均速度各是多少？
分析 设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米,
题中的两个相等关系 1.同向而行 甲的路程=乙的路程+
2.相向而行 甲的路程+ ___________ = _____
【当堂达标】
1.夏来临，某超市试销、两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，型风扇每台200元，型风扇每台150元，问、两种型号的风扇分别销售了多少台？若设型风扇销售了台，型风扇销季售了台，则根据题意列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2.某中学现有4200人，计划一年后初中在校生增加8％，高中在校生增加11％，这样在校生增加10％，则这所学校现在的初、高中在校生人数分别是（ ）
A. 1400和2800 B. 1900和2300 C. 2800和1400 D. 2300和1900
3.A、B两市现有42万人口，计划一年后A人口增加0.8％，B人口增加1.1％,这样两市总人口将增加1％，求现在的A市人口与B市人口？
【课后拓展】
4.已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？
5.甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，求船在静水中的速度和水流的速度.
7.3 二元一次方程组的应用(3)
【学习目标】
1.会利用二元一次方程组解决数字问题，培养分析问题和解决问题的能力;
2.能熟练地列二元一次方程组解决实际问题.
【课前梳理】
1.如果一个两位数，若个位数字是a ,十位数字是b，则这个两位数为 .
2.如果一个三位数百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，那么这个三位数可表示 .
3.是一个两位数，是一个一位数，若放在的左边，就构成了一个三位数，那么这个三位数可表示为 ，若放在的右边，则这个三位数可表示为 .
【课堂练习】
知识点一 解二元一次方程组
（1） （2）
知识点二 列二元一次方程组解决问题
认真阅读教材17-18页内容，尝试完成下面的题目，相信你一定能行！
有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对调，那么所得的新数与原数的和为143，求这个两位数.
分析 设十位上的数字为，个位上的数字为，则这个两位数为 .对调后的两位数为 .
其中有两个等量关系 （1） =5
（2） =143
解
【当堂达标】
1.一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的2倍，若交换十位上的数字与个位上的数字的位置，所得的新两位数比原两位数大18，原两位数为（ ）
A.24 B.36 C.48 D.42
2.十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，共花了400元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备（ ）钱买门票.
A. 300元 B. 310元 C. 320元 D. 330元
3.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min ，从乙地到甲地需42min ，设从甲地到乙地上坡与平路分别为xkm ,ykm ,依题意，所列方程组正确的是（ ）
4.在规定的时间内，汽车从甲地行驶去乙地，如果每小时行驶45km，就延误到达；如果每小时行驶50km，则可提前到达，则甲、乙两地间的路程是 km.
5.两个两位数的和为46，在较大的两位数的右边接着写上较小的两位数得到的四位数，同在较小的两位数的右边接着写上较大的两位数得到的四位数相比，前者要比后者大1782，求这两个两位数.
【课后拓展】
6.仙鹤和乌龟是动物中的长寿星,一天鹤父、鹤女与龟祖、龟孙在聊天,它们发现鹤父的年龄是鹤女的2倍,龟祖的年龄是龟孙的5倍,它们四位的年龄和的3倍恰好是900岁,十年后,鹤父和鹤女的年龄之和的5倍,加上龟祖、龟孙的年龄也是900岁,试求它们分别多少岁？
7.4 二元一次方程与一次函数(1)
【学习目标】
1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系;
2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解;
3.能利用解二元一次方程组的方法求两个一次函数图象的交点坐标.
【课前梳理】
1.一次函数表达式为________ ,图象是_________，在一次函数中，当＞0时，的值随的值的增大而________；当＜0时，的值随的值的增大而________.
2.以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线.
一般地，从图形的角度看，确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.
【课堂练习】
知识点一 二元一次方程与一次函数的关系
1.二元一次方程 x-y=1 可改写成一次函数 的形式.
2.以方程 x-y=1 的解为坐标的所有点组成的图象就是一次函数 的图象.
知识点二 二元一次方程组与一次函数图象的关系
3.已知 x+y=5 ,改写成一次函数为y=___ ___; 已知 2x-y=1 ,改写成一次函数为y=__ _____.
4.在同一坐标系内作出这两个函数的图象.
5.观察图象，指出它们的交点坐标.
6.解方程组
7.如果两个一次函数的图象有一个交点，那么 就是相应的二元一次方程组的解.
知识点三 根据一次函数的图象求二元一次方程组的解
8.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出了相应的两个一次函数图象如图所示，则，所求的二元一次方程组是__________________
这个方程组的解是____________________
【当堂达标】
1.直线y=3x-3与y=x+5的交点坐标是( ）
A.(3,8) B.(3,3) C.(4,9) D.(8,13)
2.若方程组没有解,由此一次函数y=2-x与y=-x的图象必定 ( )
A.重合 B.平行 C.相交 D.无法判断
3.函数y = ax－3的图象与y = bx+4的图象交于x轴上一点，那么a∶b等于（ ）
A.－4∶3 B.4∶3 C.(−3)∶(−4) D.3∶(−4)
4.已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为 .
5.如图所示，已知一次函数和的图象交于点P，根据图象可得方程组的解是_________.
【课后拓展】
6.一次函数和的图象的交点坐标为_________，则方程组的解为________.
7.下列方程组的解可以看作是图中两条直线l1和l2的交点坐标的是（ ）
A. B.
C. D.
7.4 二元一次方程与一次函数(2)
【学习目标】
1.进一步理解二元一次方程组与一次函数的关系;
2.会利用待定系数法确定一次函数表达式.
【课前梳理】
1.直线ｙ＝２ｘ-１与直线y=x+3的交点坐标是 .
2.如果直线y=2x+m和y= - x+n的交点是（１，３）,则m=____，n=______.
3.待定系数法求函数表达式步骤
一设，设出含有未知数的函数表达式 y=kx+b;
二代，把已知条件代入表达式得出方程或方程组;
三解，解方程或方程组求出待定系数k,b的值;
四写，写出该函数的解析式.
【课堂练习】
知识点一 理解二元一次方程组与一次函数的关系
1. 某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，根据题意列出方程组
知识点二 用待定系数法确定一次函数表达式
2.某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图），求与之间的函数关系式.
【当堂达标】
1.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数_____的图象相同.
2.无论m取何实数，直线y = x+ 3m与y = -x+1的交点不可能在第______象限．
3.一次函数的图象过点A(5，3)且平行于直线y = 3x−2 ，则这个函数的解析式为________．
4.若正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A ，且点A的横坐标为 -3.
（1）求该一次函数的表达式.
（2）直接写出方程组的解.
【课后拓展】
5.如图，l甲、l乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图象并回答下列问题
（1）乙出发时，与甲相距________千米；
（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车的时间为______小时；
（3）乙从出发起，经过______小时与甲相遇；
（4）甲行走的路程s(千米）与时间t(时）之间的函数关系是________；
（5）如果乙的自行车不出现故障，那么乙出发后经过______时与甲相遇，相遇处离乙的出发点______千米，并在图中标出其相遇点.
第七章复习学案
【本章目标】
1.体会二元一次方程组是刻画现实世界中的等量关系的有效模型
2.会解二元一次方程组,体会“消元”思想
3.能应用二元一次方程组解决现实生活中的实际问题
4.体会二元一次方程和一次函数的关系
【知识梳理】
1.二元一次方程
含有 的方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解
适合 ，叫做这个二元一次方程的一个解.
3.二元一次方程组
叫做二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解
叫做二元一次方程组的解.
5.代入消元法
称为代入消元法，简称代入法.
6.加减消元法
称为加减消元法，简称加减法.
7.用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是
审题——设____________——找出____________——列___________——解方程组——检验___________________.
8.待定系数法求函数表达式步骤
（1）
（2）
（3）
【课堂练习】
考点一 二元一次方程组
典型例题1.若二元一次方程组的解为，则a﹣b=
跟踪训练1.夏季来临，某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
考点二 代入消元法
典型例题2.用代入消元法解方程组
跟踪训练2.方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
考点三 加减消元法
典型例题3.用加减消元法解方程组
跟踪训练3.二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
考点四 二元一次方程组的应用
典型例题4.篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，艾美所在的球队在8场比赛中得14分．若设艾美所在的球队胜x场，负y场，则可列出方程组为 ．
跟踪训练4.我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为 尺，竿子长为 尺．
考点五 二元一次方程组与一次函数
典型例题5.某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．求该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
跟踪训练5.一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．
试分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
【巩固训练】
一 选择题
1.下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
2.下面能满足方程3x+2=2y的一组解是（ ）
A. B. C. D.
3.方程x-y=3与下列方程构成的方程组的解为的是（ ）
A. 3x-4y=16 B. x+2y=5 C. x+3y=8 D. 2(x-y)=6y
4.用加减法解方程组 下列解法不正确的是（ ）
A. ①×2-②，消去x B. ①×2-②×5，消去y
C. ①×（-2）+②，消去x D. ①×2-②×（-5），消去y
5.已知x+y=1，x-y=3，则xy的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
二 填空题
6.已知x、y满足方程组则x－y的值为_______ ．
7.已知二元一次方程2x-y+3=0，当x，y互为相反数时，x= _______ ，y= ______ ．
8.一棵树上有喜鹊和黄鹂共70只，其中喜鹊的总数比黄鹂的3倍还多2只，这棵树上有黄鹂 ________只.
三 解答题
9.已知方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为若按正确的a，b计算，求原方程组的解．
10.为鼓励居民节约用电，某市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，执行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．某家庭今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知该家庭今年4、5月份的家庭用电量分别为160千瓦时和 410千瓦时，请你依据缴费情况，计算该家庭4、5月份的电费分别为多少元？
8.1定义与命题（1）
【学习目标】
1.能说出定义、命题的含义;
2.能正确区分定义与命题;
3.能准确判段一个语句是不是命题.
【课前梳理】
判断一个语句是否是命题，要抓住两条
（1）命题必须是一个完整的句子;
（2）这个句子必须对某件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系.
【课堂练习】
预习内容 自学课本34-35页的内容，回答下面问题
知识点一 定义的概念
1.一般地，用来说明___________________________的语句叫做定义.
2.“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。”“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，”哪一个是平行四边形的定义？
3.下列属于定义的是（ ）
A.两点确定一条直线 B.等角的余角相等
C.两直线平行，同位角相等 D.线段是直线上的两点和两点之间的部分
知识点二 命题的概念，并判段一个语句是不是命题.
4.________________________，叫做命题.
5.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）对顶角相等.（ ）
（2）两直线平行，同位角相等.( )
（3）a、b两条直线平行吗？（ ）
（4）画一个角等于已知角.( )
（5）今天天气晴.（ ）
（6）王明是七年级一班学生.（ ）
（7）若a2＝ b2，则a＝b（ ）
【当堂达标】
1.下列句子属于定义的是（ ）
A.直角都相等 B.作已知角的平分线
C.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度. D.两点之间，线段最短
2.下列句子中,不是命题的是( )
A.三角形的内角和等于180度 B.两互补的角一定是邻补角
C.过一点作已知直线的平行线 D.两点确定一条直线
3.下列句子中,是命题的是( )
A.今天的天气好吗 B.作线段AB∥CD C.连接A、B两点 D.正数大于负数
【课后拓展】
4.下列句子哪些是命题？哪些不是命题？
（1） 在三角形内任取一点再作最短边的平行线.
（2） 四边形都是菱形.
（3） 有限小数是有理数.
（4） 最大的负数不存在.
（5） 相反数等于它本身的实数只有零.
（6） 有三个角是直角的四边形是长方形.
（7） 互为倒数的两数乘积为1.
（8） 今天天气真好啊！
（9） 两直线相交，有且只有一个交点.
（10） 过点A作直线CD的平行线
（11） 同旁内角相等
（12） 垂直于同一条直线的两条直线平行
（13） 同角的余角相等
（14）相等的角是对顶角
8.1定义与命题（2）
【学习目标】
1.知道命题的组成、命题的一般形式；
2.理解并掌握真命题、假命题、反例这些概念.
【课前梳理】
1.什么是定义？____________________________________________.
2.什么是命题？如何来判定一个语句是不是命题？_____________________________.
3.方法点拨
（1）有些命题没有写成“如果……，那么……”的形式，条件和结论不明显，于是应先把它写成命题的一般形式，再写条件和结论.
（2）在辨别真假命题时注意 假命题只需举一个反例即可，而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证.
【课堂练习】
知识点一 命题的组成、命题的一般形式
自学课本36-37页的内容，回答下面问题
1.命题的结构 命题通常由_______和_______组成.
2.一般地，命题都可以写成_______________________的形式，其中_______引出的是条件；______引出的是结论.
知识点二 真命题、假命题、反例的概念
3.真命题、假命题的定义 .
4.反例的概念 要判断一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，
， ，就可以说明这个命题是假命题，这种例子称为反例.
5.命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角.”的条件是 ，
结论是 ，是 命题.
6.命题“正方形的四条边都相等.”的一般形式是 ，
条件是 ，结论是 ，是 命题.
【当堂达标】
1.下列命题是真命题的是（ ）
A.-a一定是负数 B. C. 平行于同一条直线的两条直线平行
D. 有一角为80°的等腰三角形的另两个角都为50°
2.下列命题中，属于假命题的是( )
A.三角形三个内角的和等于l80° B.两直线平行，同位角相等
C.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60° D.相等的角是对顶角
3.下列各数中，可以用来说明“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是（ ）
A.32 B.16 C.8 D.4
4.命题“对顶角相等”的一般形式是 ，
条件是 ，结论是 ，是 命题.
5.命题“两直线平行，内错角相等”中，“两直线平行”是命题的________，“内错角相等”是命题的________.
6.写出下列命题的条件和结论，并判断命题的真假.
（1）垂直于同一条直线的两条直线平行.
（2）同位角相等.
（3） 角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
【课后拓展】
7.判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例.
(1)同位角相等，两直线平行.
(2)如果，那么.
8.3 基本事实与定理
【学习目标】
1.了解公理、定理的含义，并了解本套教材所采用的公理;
2.了解证明的基本格式与步骤，会证明简单的真命题.
【课前梳理】
1. 什么是真命题？
2. 通过什么来说明一个命题是真命题？
3.证明过程的每一步必须做到“有据可依”，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实或已经学过的定理.在书写证明过程中，要求把依据写在每一步推理后面的括号内，今后可以逐渐淡化.
【课堂练习】
自主学习 认真阅读课本41-43页，回答下面问题
知识点一 公理、定理的概念
1. 叫做公理.
2. 叫做定理.
知识点二 八条基本事实
知识点三 证明的基本格式与步骤
3.在等式或不等式中，一个量用相等的量来代替，简称为 .
4.证明一个命题的正确性要按 、 、 的顺序和格式写出.
【当堂达标】
1.下列说法错误的是（ ）
A.所有的命题都是定理 B.定理都是真命题
C.公理都是真命题 D.“画线段AB” 不是命题
2.下列说法中正确的是（ ）
A.命题一定是正确的 B.不正确的判断就不是命题
C.真命题都是公理 D.定理都是真命题
3.过一点画已知直线的平行线（ ）
A.有且只有一条 B.不存在
C.有两条 D.不存在或有且只有一条
4.下列语句 ：①不相交的两条直线叫平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行；③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行.正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知，，则与的关系是（ ）
A. 互余 B.互补 C.∠1 > ∠3 D.相等
6.如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是()
A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
【课后拓展】
7.证明：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.（作图，写出已知，求证，证明）
8.4平行线的判定定理
【学习目标】
1.理解并掌握平行线的判定的基本事实和定理;
2.能应用这些基本事实和定理进行一些简单地推理证明.
【课前梳理】
1. 基本事实：同位角相等，两直线
2.平行线判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角 ，那么这两条直线 ；简单地说 同旁内角 ，两直线 ；
3.平行线的判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角 ，那么这两条直线 ；简单地说 内错角 ，两直线 ；
4.小结：平行线的识别方法
【课堂练习】
自主学习课本45-46页内容，并回答下列问题
知识点一 平行线判定的基本事实
简 单 说 成 .用数学语言表示
知识点二 证明平行线的判定定理1
已知 如图，∠1，∠2是直线a和b被直线c截出的同旁内角，∠1+∠2=180
求证 a∥b
知识点三 证明平行线判定定理2
已知:如图，∠1，∠2是直线a和b被直线c截出的内错角，
∠1=∠2 求证：a∥b
【当堂达标】
1.如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件
(1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°，
其中能判定a∥b的条件是（ ）
A．(1)(3) B．(2)(4) C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4)
第1题
第2题
2.如图，如果AB∥CD，那么下面结论正确的是（ ）
A.AD∥BC B.∠1=∠2 C.∠3=∠4 D.∠A=∠C
3.如图，已知直线a，b与直线c相交，下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是（ ）
A.∠2＋∠3＝180° B.∠1＋∠5＝180° C.∠4＝∠7 D.∠1＝∠8
4.如图所示，已知∠D=∠A，∠B=∠FCB，试问ED与CF平行吗？
E D
C F
A B
【课后拓展】
5.如图，∠ABC=∠ADC，BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC，∠1=∠2，求证：DE∥FB.
8.5平行线的性质定理
【学习目标】
1.进一步理解和总结证明的基本步骤、格式和方法;
2.能应用平行线的性质定理进行简单的证明;
3.了解平行线的性质定理与判定定理在条件和结论上的区别，体会互逆的思维过程.
【课前梳理】
1.平行线的判定定理（1） （2） （3）
2.平行线的性质定理（1） （2） （3）
3.几何证明的步骤：1.根据题意，画出图形. 2.结合图形，写出已知、求证. 3.写出证明过程.
【课堂练习】
知识点一 平行线的性质定理
阅读课本第48至50页的内容，思考并解答下列问题
1.平行线的性质定理 两直线平行， 相等.
知识点二 证明平行线的性质定理
2.平行线的性质定理 两直线平行， 相等.
已知:如图 a∥b，∠1，∠2是直线a和b被直线c截出的内错角，
求证:∠1=∠2.
3.平行线的性质定理 两直线平行， 互补.
已知:如图 a∥b，∠1，∠2是直线a和b被直线c截出的同旁内角，
求证:∠1+∠2=180°.
4.如图: a∥b，∠1=68°,那么∠2的度数为 .
【当堂达标】
1.如图，AB//CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）
A．122° B．151° C．116° D．97°
2.如图2所示a∥b，∠1=1050，∠2=1400 则∠3的度数为（ ）
A.750 B.650 C.550 D.500
3.如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（ ）
A. 25° B. 30° C. 20° D. 35°
4.如图所示，已知∠1=∠2，求 ∠3与∠4的和为多少度．
【课后拓展】
5.如图①，已知AB∥DE.
（1）∠1+∠2+∠3等于多少度？请证明你的结论；
（2）当已知条件不变，而图形变为如图②时，结论改变了吗？为什么？
8.6三角形内角和定理（1）
【学习目标】
1.会用添加辅助线的方法证明三角形的内角和定理；
2.会应用三角形的内角和定理解决一些简单的几何证明问题和计算问题.
【课前梳理】
1.我们知道，三角形三个内角的和是180度，你还记得这个结论的探索
过程吗？
如图，当时，我们是把∠A撕下后移到了∠1的位置，推出b与a平行，
通过以C为顶点的三个角的和是180度，而探索出这个结论的.如果
不撕下∠A，那么你能通过作图的方法达到移动∠A的效果吗？
2.证明三角内角和定理，关键是添加辅助线
（1）构造平角； （2）构造同旁内角。
3.总结:三角形内角和定理____________________________________________
【课堂练习】
知识点一 应用三角形的内角和定理
1.∠ACD与∠ACB互补，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，
求∠ECD
、
2.在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到顶点A处，他过点A作直线PQ∥BC（如右图），他的想法可行吗？如果可行，写出证明过程.
【当堂达标】
1.如图1，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE的度数为（ ）
A.20° B.18° C.38° D.40°
2.如图2，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠C=（ ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
3.如图3，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（ ）
A．14° B．16° C． D．
4.如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27º，∠D=20º，求∠ACB与∠B的度数.
【课后拓展】
5.如图所示，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
求证 ∠BOC＝90°＋∠A .
8.6三角形内角和定理（2）
【学习目标】
1.理解三角形的外角的定义;
2.会证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”;
3.会应用三角形外角和性质进行简单证明.
【课前梳理】
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°.
推论1 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论2 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
【课堂练习】
知识点一 三角形的外角的定义
阅读课本第55至56页的内容，思考并解答下列问题
1.三角形外角的定义
知识点二 三角形的外角的特征
2.画出△ABC的一个外角.
总结:外角的特征
(1)顶点是 ．
(2)一条边是三角形的 ．
(3)另一条边是三角形某条边的 ．
知识点三 三角形的外角的性质
3.任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小有什么关系？
总结:由此可以得到三角形的外角性质
（1）
（2）
【当堂达标】
1.如图所示，∠1为三角形的外角的是( )
2.如图，△ABC中，∠A＝70°,∠B＝60°,点D在BC的延长线上，则∠ACD等于( ) A.100° B.120° C.130° D.150°
3.如图,AB∥CD,∠A+∠E=75°,则∠C为 .
4.如图，△ABC中，延长CB，则∠1 ∠A,∠1 ∠C. (填＜或＞)
5.如图，已知AB‖CD，BE平分∠ABC，
∠CDE＝150°，则∠C= .
【课后拓展】
6.如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A=55°，求∠BDC的度数．
C
A
B
D
1
2
8.6三角形内角和定理（3）
【学习目标】
1.会从复杂图形中识别三角形的外角与不相邻的两个内角;
2.能综合应用三角形内角和定理及外角性质进行有关的证明.
【课前梳理】
1.回顾三角形内角和定理及两个推论．
2.利用三角形内角和定理及外角的性质可以解决哪些类型的问题？
3.精讲点拨
（1）利用推论“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可以将分散的角集中到一个三角形中，从而运用三角形的内角和定理使问题得到解决．
（2）推论“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”是证明角不等关系的最主要的依据．
A
B
C
D
E
F
G
【课堂练习】
知识点一 应用三角形内角和定理及外角性质进行有关的证明
预习课本57-58页内容，并解答下列两个例题
1.已知：如图，五角星形的顶角分别是∠A，∠B，∠C，∠D，∠E．
若连接BC，试证明△BCE的内角和等于五角星的五个顶角和
2
A B F
1
D
E
5
C
3
4
例2 已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上的一点，延长BC到点D，连接DE．
试对∠1、∠2、∠3的大小关系进行比较．
【当堂达标】
1.如图1，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（ ）
A.25° B.60° C.35° D.45°
1. 如图2，∠1＝27º，∠2＝95º，∠3＝38º，则∠4＝_______.
3.如图3，已知∠BDC=142º，∠B =42º，∠C=20º，则∠A= .
4.已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC= .
58°
24°
32°
1
5.如图所示，求∠1的度数.
【课后拓展】
6.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部，此时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请你找出这一规律，并加以证明．
第八章复习学案
【本章目标】
1.知道通过探索得到的结论不一定正确
2.知道证明要有出发点,要步步有据
3.会证明平行线和三角形的有关结论
【知识梳理】
1.一般地，用来说明___________________________的语句叫做定义.
2.________________________，叫做命题.
3.真命题、假命题的定义 .
4.反例的概念 要判断一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，
，就可以说明这个命题是假命题，这种例子称为反例.
5. 叫做公理.
6. 叫做定理.
7.平行线的判定定理
（1）
（2）
（3）
8.平行线的性质定理
（1）
（2）
（3）
9.三角形内角和定理______________________________
10.三角形外角的定义
【典型例题】
考点一 定义、命题与真假命题
典型例题1.下列句子属于定义的是（ ）
A.直角都相等 B.作已知角的平分线
C.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度. D.两点之间，线段最短
跟踪训练1.下列句子中,不是命题的是( )
A.三角形的内角和等于180度 B.两互补的角一定是邻补角
C.过一点作已知直线的平行线 D.两点确定一条直线
跟踪训练2下列命题是真命题的是( )
A.若a2=b2，则a=b
B.若∠1+∠2=90º，则∠1与∠2互余
C.若∠α与∠β是同位角，则∠α=∠β
D.若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
考点二 基本事实与定理
典型例题2.下列语句 ①不相交的两条直线叫平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种相交和平行；③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行.正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
跟踪训练3.如图，∠B的同位角可以是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
考点三 平行线的判定定理与性质定理
典型例题3.如图1，已知直线a∥b，小杜把直角三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1=18°，则∠3的度数为________.
跟踪训练4.如图2，已知AB∥CD，能得到∠1=∠2的依据是( )
A. 两直线平行，同位角相等 B.同位角相等，两直线平行
B. 两直线平行，内错角相等 D.内错角相等，两直线平行
考点四 三角形的内角和定理
典型例题4.如图，已知AB∥CD，点E，F在直线AB，CD上，EG平分∠BEF交CD于点G，∠EGF=64°，那么∠AEF的度数为 ．
跟踪训练5.如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（ ）
A．14° B．15° C．16° D．17°
跟踪训练6.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【巩固训练】
一 选择题
1.已知在△ABC中，∠A，∠B的外角分别是120º，150º，则∠C等于( )
A.60º B.90º
C.120º D.150º
2.下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是( )
A.a=－3 B.a=－1
C.a=1 D.a=3
A
B
C
D
2
1
3.如图3，已知∠2是△ABC的一个外角，那么∠2与∠B+∠1的大小关系是( )
A.∠2＞∠B+∠1 B.∠2=∠B+∠1
C.∠2＜∠B+∠1 D.无法确定
4.下列命题是真命题的是( )
A.若a2=b2，则a=b
B.若∠1+∠2=90º，则∠1与∠2互余
C.若∠α与∠β是同位角，则∠α=∠β
D.若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
5.下列命题中，是公理的是( )
A.等角的补角相等 B.内错角相等，两直线平行
C.两点之间线段最短 D.三角形的内角和等于180º
二 填空题
5. 如图6，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=______°．
A
B
C
D
E
F
图4
7.把命题“直角三角形的两锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式是__________________
8.如图7，把一个长方形ABCD纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D＇，C＇的位置，若∠AED＇=30º， 则∠CFE=__________.
A
B
C
D
E
F
图4
三 解答题
9.如图，已知点B，D，G在同一条直线上，AB∥CD，∠1=∠2，请问BE与DF平行吗？为什么？
1
2
A
B
C
D
E
F
G
10.已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度数．
A
B
C
图6
D
A
B
C
图6
D
A
B
C
D
E
F
图4
A
B
C
D
E
F
图4
9.1感受可能性
【学习目标】
1.通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件做出准确判断
2.通过“摸球”这样一个有趣的试验，形成对随机事件发生的可能性大小作定性分析的 能力，了解影响随机事件发生的可能性大小的因素
【课前梳理】
1.思考下列事件一定会发生吗？
（1）打开电视机,正在播放动画片； （2）太阳从东方升起；
（3）今天星期三，明天星期一.
2.观察、实验、归纳和类比等方法是人们发现规律、获取一般结论的重要方法，但得到的结论不一定正确；用举反例的方法理解证明的必要性.
【课堂练习】
知识点一 归纳必然事件，不可能事件和随机事件
学习课本P136-138，思考下列问题
1.在一定条件下一定发生的事件，叫做 ；在一定条件下一定不会发生的事件，叫做 ； 和 统称为确定事件.
2.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做 ，也称为 .
3.下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)太阳从西边下山；
(2)某人的体温是100℃；
(3)a2+b2=－1(其中a,b都是有理数)；
(4)水往低处流；
(5)13个人中，至少有两个人出生的月份相同.
知识点二 分析随机事件发生的可能性大小
小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数.请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面
（1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？
（2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？
（3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？
【当堂达标】
1.下列事件是必然事件的是（ ）
A.正数大于负数 B.抛一枚硬币，正面朝上
C.明天会下雨 D.经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
2.下列说法正确的是（ ）
A．如果一件事发生的机会只有千万分之一，那么它就是不可能事件
B．如果一件事发生的机会达99.999%，那么它就是必然事件
C．如果一件事不是不可能事件，那么它就是必然事件
D．如果一件事不是必然事件，那么它就是不可能事件或随机事件
3.下列事件中，随机事件是（ ）
A.没有水分，种子仍能发芽
B.等腰三角形两个底角相等
C.从13张红桃扑克牌中任抽一张，是红桃A
D.从13张方块扑克牌中任抽一张，是红桃10
4.同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能发生的事件是( )
A.点数之和为12 B.点数之和小于3
C.点数之和大于4且小于8 D.点数之和为13
5.一个不透明的布袋里有30个球,每次摸一球,摸一次就一定摸到红球,则红球有( )
A.15个 B.20个 C.29个 D.30个
【课后拓展】
6.下列事件中
（1）袋中有5个红球，能摸到红球;
（2）袋中有4个红球，1个白球，能摸到红球;
（3）袋中有2个红球，3个白球，能摸到红球;
（4）袋中有5个白球，能摸到红球;
（5）靶命中靶心；
（6）掷一次骰子，向上一面是3点；
（7）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；
（8）抛出的篮球会下落.
是必然事件.
是随机事件.
是不可能事件.
9.2频率的稳定性（1）
【学习目标】
1.通过试验理解当试验次数较大时，试验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率;
2.在活动中进一步发展合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力.
【课前梳理】
1. 是必然事件， 是随机事件， 是不可能事件.请举例说明？
2.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值
3.经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系.
【课堂练习】
知识点一 频率的定义
认真预习课本Ｐ70-71，预习后将确定的答案用钢笔写上，不确定的答案用铅笔写上，有疑难的用红笔标注，上课前检查.
认真预习课本Ｐ70引入问题，课前合作完成课本实验；
两人一组做20次掷图钉游戏，并将数据记录在下表中
试验总次数
钉尖朝上次数
钉尖朝下次数
钉尖朝上频率（钉尖朝上次数/试验总次数）
钉尖朝下频率（钉尖朝下次数/试验总次数）
总结频率定义： 在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值 称为事件A发生的频率.
知识点二 频率的应用
射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表
射击总次数 n
10
20
50
100
200
500
1000
击中靶心次数 m
9
16
41
88
168
429
861
击中靶心频率 m/n
（1）完成上表；
（2）观察画出的折线统计图，击中靶心的频率变化有什么规律？
【当堂达标】
1.在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球,它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球实验后发现,摸到红球的频率稳定在25%附近,则口袋中白球可能有( )
A.16个 B.15个 C.13个 D.12个
2.对某班40名学生的一次数学成绩进行统计,在频率分布表中,90～120这一组的频率是0.20,那么成绩在90～120这一分数段的人数是
3.小明掷硬币的过程见下表,阅读并回答问题
抛掷结果
10次
50次
500次
5000次
出现正面次数
3
24
258
2498
出现正面频率
30%
48%
51.6%
49.96%
(1)从表中可知,当抛完10次时正面出现3次,正面出现的频率为30%,那么小明抛完10次时,得到 次反面,反面出现的频率为 .
(2) 小明抛完5000次时,反面出现的次数是 ,反面出现的频率为 .
(3)通过上面我们可以知道, 正面出现的频数与反面出现的频数之和等于 ,正面出现的频率与反面出现的频率之和等于
【课后拓展】
4.某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表
射击总次数 n
10
20
50
100
200
500[
1000
击中靶心次数 m
9
16
41
88
168
429
861
击中靶心频率 m/n
（1）完成上表；
（2）根据上表画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图；
（3）观察画出的折线统计图，击中靶心的频率变化有什么规律？
9.2频率的稳定性（2）
【学习目标】
1.通过试验让学生理解当试验次数较大时，试验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率;
2.在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力.
【课前梳理】
频率定义：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值 称为事件A发生的频率
注意：概率是一个定值，而频率随试验次数的变化而有所不同，是概率的近似值，二者不能简单地等同
【课堂练习】
知识点一 频率的应用
预习课本第73～75页内容，解答下面的问题
通过试验尝试回答问题；(以小组为单位准备一角硬币10枚)
（1）在实验次数很大时事件发生的频率，都会在一个常数附近摆动，这就是
（2）我们把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A的 ，记为 .
（3）一般的，大量重复的实验中，我们常用不确定事件A发生的 来估计事件A发生的 。
知识点二 概率是一个定值
必然事件发生的概率为 ；不可能事件发生的概率为 ；不确定事件A发生的概率P(A)是 之间的一个常数.
知识点三 频率稳定性的应用
1.给出以下结论，错误的有（ ）
①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生;②如果一件事发生的机会达到99.5%，那么它就必然发生;③如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生;④如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.小凡做了5次抛掷均匀硬币的实验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，他认为正面朝上的概率大约为,朝下的概率为，你同意他的观点吗？你认为他再多做一些实验，结果还是这样吗？
【当堂达标】
1.在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率与概率,下列说法正确的是( )
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的,与频率无关
D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
2.下列事件中发生的可能性为1的是（ ），发生的可能性为0的是（ ），发生的可能性在0～1之间的是（ ）
①今天是星期一，明天是星期日；②12月10日要下雪；③对顶角相等；④两条直接被第三条直线所截，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行.
3.小明抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5,那么，抛掷1000次硬币，你能保证恰好500次正面朝上吗？
【课后拓展】
4.某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示
实验的麦粒数 n
100
200
500
1000
2000
5000
发芽的粒数 m
94
191
473
954
1906
4748
发芽的频率 m/n
（1） 完成上表；
（2） 从这批种子中任取一粒麦子，估计它发芽的概率.
9.3等可能事件的概率（1）
【学习目标】
1.理解等可能事件的意义；
2.理解等可能事件的概率P（A）=(在一次试验中有n种可能的结果，其中A包含m种)的意义.
【课前梳理】
1.任意掷一枚均匀的硬币，可能出现哪些结果？每种结果出现的可能相同吗？正面朝上的概率是多少？
2.在一个试验中，如果每个结果出现的可能性相同，那么我们称这个试验的结果是____的.
3.一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A 发生的概率为 P（A）=___________.
【课堂练习】
知识点一 等可能事件概率的定义
一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为
P（A） =＿＿＿＿（＿＿＿＿≤ P（A）≤＿＿＿＿）
知识点二 等可能事件概率的应用
1.从一副牌中任意抽出一张
P（抽到王）= ， P（抽到红桃）= ，
P（抽到3）= ， P（抽到黑桃4）= .
2.掷一枚均匀的骰子
P(掷出“2”朝上)=_______， P(掷出奇数朝上)=_______，
P(掷出不大于2的朝上)=_________ 。
3.有5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标有1，2，2，3，4.现将它们的背面朝上，从中任意摸到一张卡片，则
P（摸到1号卡片）=＿＿＿＿， P（摸到2号卡片）=＿＿＿＿，
P（摸到3号卡片）=＿＿＿＿， P（摸到4号卡片）=＿＿＿＿，
P（摸到奇数号卡片）=＿＿＿＿， P（摸到偶数号卡片）=＿＿＿＿.
4.选取4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏．
（1） 使得摸到红球的概率为 , 摸到白球的概率也是.
（2） 使得摸到红球的概率为,摸到白球和黄球的概率都是.
【当堂达标】
1.从编号为1到100的100张卡片中任取一张，所得编号是8的倍数的概率为（ ） A. B. C. D.
2.袋中有5个黑球，3个白球和2个红球，每次摸一个球，摸出后再放回，在连续摸9次且9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率为______．
3.初一（2）班共有6名学生干部，其中4名男生，2名女生.任意抽一名学生干部去参加一个会议，其中是女生的概率为P1=_________，其中是男生的概率为P2=_________.
4.将一个各面涂有颜色的正方体，分割成同样大小的27个小正方体，从这些正方体中任取一个，恰有3个面涂有颜色的概率是( )
A. B. C. D.
5.四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、正方形、角、等腰三角形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是轴对称图形的概率为( )
A. B. C. D. 1
6.将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字母朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为______.
7.掷一枚均匀的正方体，6个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6.随意掷出
这个正方体，求下列事件发生的概率。
（1）掷出的数字是1的概率是______，
（2）掷出的数字是奇数的概率是______，
（3）掷出的数字是大于4的概率是______，
（4）掷出的数字是10的概率是______.
【课后拓展】
8.一个袋中有2个红球和3个白球，每个球除颜色外其余特征均相同。
（1）任意摸出1个球，摸到红球的概率是______；
（2）任意摸出3个球，摸到白球的概率是______.
9.把标有号码1，2，3，……，10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，求号码为小于7的奇数的概率．
9.3等可能事件的概率（2）
【学习目标】
1. 理解游戏的公平性;
2.能根据不同题目的要求设计出符合条件的摸球游戏.
【课前梳理】
等可能事件概率的定义
一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为
P（A） =＿＿＿＿（＿＿＿＿≤ P（A）≤＿＿＿＿）
【课堂练习】
知识点一 理解游戏的公平性
问题：在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外完全相同）的盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜，这个游戏对双方公平吗？
1.大部分同学都认为游戏是不公平的，小凡获胜的可能性大.
2.张阳同学坚持认为要么小明胜利，要么小凡胜利，他们获得胜利的可能性都是二分之一，所以这个游戏是公平的.
讨论：在一个双人游戏中，游戏公平与不公平最终怎样判定?
知识点二 设计符合条件的摸球游戏.
请你从除了颜色不同外其他都相同的小球中挑出10个，利用这10个球设计出同时满足下列条件的摸球游戏
1.从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是;
2.从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是.
【当堂达标】
1.一道单项选择题有A、B、C、D四个备选答案，当你不会做的时候，从中随机地选一个答案，你答对的概率是 .
2.若一个袋子中有除颜色外其余特征均相同的球，其中红球3个，黄球2个，那么摸到红球的概率是摸到黄球概率的几倍？
3.任意掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率
（1）掷出的点数大于为4的概率；
（2）掷出的点数点数为偶数的概率；
（3）掷出的点数点数大于3小于5的概率.
4.一个袋中有2个红球和3个白球，每个球除颜色外其余特征均相同.
（1）任意摸出1个球，摸到红球的概率是＿＿＿＿；
（2）任意摸出1个球，摸到红球小明胜，摸到白球小凡胜，这个游戏对双方公平吗？如果不公平，怎样改变袋中球的数量才对双方公平？
【课后拓展】
5.用4个除了颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.
（1）使得摸到红球的概率是，摸到白球的概率也是；
（2）摸到红球的概率为,摸到白球和黄球的概率都是.
9.3等可能事件的概率（3）
【学习目标】
1.会利用面积来确定某一事件发生的概率;
2.能进行简单的面积型概率计算并解决实际问题.
【课前梳理】
1. 在一个双人游戏中，游戏公平与不公平最终怎样判定?
2.等可能事件概率的定义
一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为
P（A） =＿＿＿＿（＿＿＿＿≤ P（A）≤＿＿＿＿）
【课题练习】
知识点一 探究面积型概率的计算方法
（学习要求 先自学教材82—83页中“议一议”及“想一想”的内容，并思考下列问题，再以小组为单位相互交流讨论，最后全班展示汇报）
1.教材“议一议”的分析中为什么要强调地板是由20块方砖组成？又为什么强调每块方砖除颜色外完全相同？
2.如何计算小球最终停留在黑砖上的概率？
3.完成教材“想一想”中的两个问题.
知识点二 简单的面积型概率计算的实际应用
1.自学教材中的例2，并归纳其解题的分析步骤.
2.结合例二尝试完成下题
如图，转盘被等分为12个面积相等的扇形，转动一次转盘，当转盘停止时，求指针指向阴影部分的概率.
【当堂达标】
1.有一把钥匙藏在如图一所示的16块正方形瓷砖的某一块下面，则钥匙藏在黑色瓷砖下面的概率是( )
2.如图二，一个可以自动转动的的转盘被等分为6个扇形，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是多少？
3.如图三是一个转盘，转动转盘，停止后，指针指向3的倍数概率是_______.
红
绿
红
白
绿
红
白
黑
红
绿
红
绿
白
黑
白
黑
4.如图是一个飞镖的靶子，靶子中的小正方形除颜色外
完全相同，
（1）小刚投飞镖一次，击中 色的小正方形的概率最小，
击中 色的小正方形的概率最大.
（2）P（击中红色）= .
P（击中绿色）= .
5.如图，某同学蒙上眼睛投飞镖且击中目标，求击中红色区域、黄色区域、白色区域的概率分别是多少？
【课后拓展】
6.一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是______.
9.3等可能事件的概率（4）
【学习目标】
1.了解概率的意义，了解常用的概率研究模式之一：“几何概率模型”，会进行简单的概率计算;
2.了解概率的大小与面积的关系，能设计符合要求的简单概率模型.
【课前梳理】
1.游戏的公平性;
2.概率及其计算方法.
3.等可能事件概率的定义
一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为
P（A） =＿＿＿＿（＿＿＿＿≤ P（A）≤＿＿＿＿）
4.事件A的几何概率计算公式为
P（A）=事件A发生的所有可能的结果所组成的图形的面积/所有可能结果组成的面积
【课堂练习】
知识点一 进行简单的概率计算
蓝 120° 红
如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和红色区域的概率分别是多少？
小明说：指针不是落在蓝色区域就是落在红色区域，落在蓝色色区域和红色区域的概率相等，所以P（落在蓝色区域）=P（落在红色区域）= ,
小颖说：先把红色区域等分成2份，这样转盘被等分成3个扇形区域，其中1个是蓝色，2个是红色，所以P（落在蓝色区域）= ，P（落在红色区域）= .
小刚说：利用圆心角度数计算，所以P（落在蓝色区域）= ______ ，P（落在红色区域）= ______ .
(1)你同意那个方案，请说明理由？
(2)不是等分图形的几何概率与谁有关？
【当堂达标】
1.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你到达十字路口时恰是黄灯亮的概率为______．
2.如图，在一张边长为4dm的正方形纸上做针扎随机试验，
纸上有一个半径为1dm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的
概率为______.
3.如图，在边长为25m的正方形中挖去边长为23m的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？
4.口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，其中有红球4个，绿球5个，任意摸出1个绿球的概率是，求摸出一个黄球的概率？
5.如图,三个圆的半径分别为2cm、4cm、6cm，将圆盘分为
三部分,飞镖可以落在任何一部分内,那么飞镖落在阴影部分的
概率是 .
【课后拓展】
6.一张写有密码的纸片被随意地埋在下面矩形区域内（每个方格大小相同）
（1）埋在哪个区域的可能性大？
（2）分别计算出埋在三个区域内的概率；
（3）埋在哪两个区域的概率相同.
第九章复习学案
【本章目标】
1.感受生活中的随机现象,并体会随机事件发生的可能性大小
2.通过试验感受随机事件发生的频率的稳定性,理解概率的意义
3.能求一些简单随机事件发生的概率,并能设计符合要求的简单概率试验
4.体会概率是描述随机现象的数学模型,发展数据分析观念
【知识梳理】
1.在一定条件下一定发生的事件，叫做 ；在一定条件下一定不会发生的事件，叫做 ； 和 统称为确定事件.
2.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做 ，也称为 .
3.频率的定义
4.等可能事件概率的定义
【典型例题】
考点一 确定事件与不确定事件
典型例题1.投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12
跟踪训练1.下列事件中，是必然事件的是（ ）
A.任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B.13个人中至少有两个人生肖相同
C.车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D.明天一定会下雨
考点二 频率及其稳定性
典型例题2.口袋中有9个球，其中4个红球，3个蓝球，2个白球，在下列事件中，发生的可能性为1的是（ ）
A.从口袋中拿一个球恰为红球 B.从口袋中拿出2个球都是白球
C.拿出6个球中至少有一个球是红球 D.从口袋中拿出的球恰为3红2白
跟踪训练2.小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有7根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明获胜是必然事件，则小明第一次应该取走火柴棒的根数是 ．
考点三 等可能事件的概率及其应用
典型例题3.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝。如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边均为2；3．现随机向该图形内掷一枚小针，求针尖落在阴影区域的概率．
跟踪训练3.甲、乙两人打赌，甲说，往图中的区域掷石子，它一定会落在阴影部分上，乙说决不会落在阴影部分上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明．
【巩固训练】
一 选择题
1．小华对世界杯进行了预测，他认为巴西队夺得世界杯冠军的概率是0.8.对于他的预测，下列说法正确的是（ ）
A．巴西队一定能夺冠 B．巴西队一定不能夺冠
C．巴西队夺冠的可能性比较大 D．巴西队夺冠的可能性比较小
2．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一块飞镖游戏板，其中每个小正方形的大小相等，则随意投掷一个飞镖（没有击中游戏板或击在小正方形的隔界线上则重新投掷），击中灰色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．某人在做掷硬币试验时，投掷m次，正面朝上有n次，即正面朝上的频率为，则下列说法中正确的是（ ）
A．一定等于 B．一定不等于
C．多投一次，更接近 D．投掷次数逐渐增加，稳定在附近
5．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6.小刚想给单位打电话，可电话号码中的一个数字记不清楚了，只记得6352□87，小刚在□的位置上随意选了一个数字补上，恰好是单位电话号码的概率是__________.
7.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你到达十字路口时恰是黄灯亮的概率为______．
8.甲、乙两人玩游戏，把一个均匀小正方体的每个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，随意掷出小正方体后，若朝上的数字比3大，则甲胜；若朝上的数字比3小，则乙胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？答 ________（填“公平”或“不公平”）
三、解答题
9.用四种颜色的12个球做一个游戏，如果摸到红、白、黄、绿四种颜色球的概率分别为，，，，那么四种颜色的球各有多少个？
10.一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外其他都相同，其中黄球个数是白球个数的2倍少5个.已知从袋中摸出一个球是红球的概率是.
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋中摸出一个球是白球的概率；
（3）取走10个球（其中没有红球）后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率.
10.1全等三角形（1）
【学习目标】
1.能利用相关的基本事实和定理证明两个三角形全等；
2.学会推理证明的格式与步骤.
【课前梳理】
（1）什么叫全等三角形？
（2） 全等三角形有什么性质？
（3） 有关三角形全等的基本事实有哪些？
基本事实： 的两个三角形全等.(SAS)
基本事实： 的两个三角形全等.(ASA)
基本事实： 的两个三角形全等.(SSS)
预习课本92-94页，思考并完成下列问题.
1.三角形全等判定定理“AAS”的内容是
.
【课堂练习】
知识点一 全等三角形的性质
1.如图：若△ABE≌△ACD，且AB=5，AE=3，则EC的长为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.2.5
知识点二 判断三角形全等的方法
2.下列说法错误的是（ ）
A有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B有两边和其夹角对应相等的两个三角形全等
C斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等 D有一边对应相等的两个三角形全等
知识点三 利用三角形全等证明线段或角相等
3．如图，AC和BD交于点E，AB∥CD，AB=CD，求证：BE=DE.
【当堂达标】
1.如图,已知点A,D,C,F在同一直线上,AB=DE,BC=EF,要使ΔABC≌ΔDEF,还需要添加一个条件是( )
A.∠BCA=∠F B.∠B=∠E
C.BC∥EF D.∠A=∠EDF
2.如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：AB=DE．
3.如图，已知：在ΔAFD和ΔCEB中，点A,E,F,C在同一直线上，AE=CF, AD∥BC,
AD=BC.
求证：∠D=∠B
.
【课后拓展】
A
B
D
C
E
4.如图，EC=AC, ∠BCE=∠DCA, ∠A=∠E.
求证：BC=DC.
10.1全等三角形（2）
【学习目标】
1.能利用相关的基本事实和定理证明两个三角形全等；
2.掌握推理证明的格式与步骤.
【课前梳理】
1. 全等三角形有什么性质？
2. 有关三角形全等的基本事实和判定定理有哪些？
【课堂练习】
知识点一 全等三角形的性质
1.已知△ABC≌△DEF，且△ABC周长为20，AB=8，BC=5，则DF=（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
知识点二 三角形全等性质的应用
2.如图所示∠ACB=∠DBC且AB=6,AC=10.要使△ABC≌△DEF，则需（ ）
A.BD=10 B.BC=6 C.CD=6 D.AD=10
3.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
求证：（1）△ABC≌△DEF;（2）AB∥DE.
【当堂达标】
1.如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，
求证：BD=CE
2.如图所示，已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，AB//CD．
求证：△ABE≌△CDF
【课后拓展】
3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N
求证：MN=AM+BN
10.1全等三角形（3）
【学习目标】
1.能利用相关的基本事实和定理证明两个三角形全等；
2.掌握推理证明的格式与步骤.
【课前梳理】
1. 全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边 ,对应角 .
（2）全等三角形对应边上的高 ，对应边上的中线 ，对应角的平分线 .
2.要证明两条线段（或两个角）相等，可以通过 来证明.
3.预习课本97-98页，思考并完成下列问题.
已知，如图：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明ΔABC≌ΔDEF
(1) 若以“SAS”为依据，还要添加的条件为______________；
(2) 若以“ASA”为依据，还要添加的条件为______________；
(3) 若以“AAS”为依据，还要添加的条件为______________；
【课堂练习】
知识点一 全等三角形的性质
1.如图所示，在△ABC中，D,E分别是边AC,BC上的点，若△ABC≌△EDB≌△EDC,
则∠C的度数为 .
知识点二 三角形全等证明对应角或对应边相等
2.如图AB＝AC，AD＝AE，求证：（1）∠B=∠C (2) ∠BDC＝∠BEC
【当堂达标】
1.如图所示，CD=AF, ,EF//BC.
求证：ED//AB
2.如图所示，，，为上一点，，，
交延长线于点．
求证：.
【课后拓展】
3.如图所示：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BD=AD，FD=CD .
求证：BE⊥AC .
10.2等腰三角形（1）
【学习目标】
1.能用语言表述等腰三角形的性质和判定定理;
A
B
C
2.掌握等腰三角形的性质与判定，能利用定理解决实际问题并能灵活地运用它们进行论证，提高数学思维能力和解决问题能力.
【课前梳理】
1.有两边__________的三角形叫做等腰三角形.
2.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,腰是__________,
底是_________,顶角指_______,底角指_____________;
3.等腰三角形性质定理：_______________________________ （简称“等边对等角”）；
推理格式：∵AB=AC，∴_________（等边对等角）
4.推论“三线合一”： ；
推理格式：
① ∵AB=AC,AD⊥BC, ② ∵AB=AC, BD=DC,
∴BD=DC,AD平分_____, ∴_ __⊥__ _, __ _平分_____,
③ ∵AB=AC, __平分 ____,
∴________________,
【课堂练习】
知识点一 等腰三角形边和角的应用
1.(1) 一个等腰三角形的两边长分别为5,11，则第三边长为_____，周长为____;
(2) 一个等腰三角形的两边长分别为7,10，则第三边长为_____，周长为____;
2.(1) 一个等腰三角形顶角为80°，则两底角分别为____;
(2) 一个等腰三角形的底角为80°，则顶角为____;
(3) 一个等腰三角形的其中一个角为80°，则另外两个角____.
知识点二 等腰三角形的性质:等边对等角
3.如图所示，点D为△ABC的边AB的中点，且AD=CD.
求证：∠ACB=90°.
【当堂达标】
1.已知等腰三角形三边中有两边的长分别为3,9,则这个等腰三角形的周长为( )
A.15 B.21 C.16 D.15或21
2.如图△ABC中，AB=AC，角平分线AD、BD相交于点D.
若∠ABC=80°，则∠ADB等于（ ）
A. 100° B. 110°
C. 120° D. 130°
3.如图所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=17,则线段MN的长为( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
4.已知:如图所示, ∠CAE是△ABC的外角,AD ∥BC,且∠1=∠2.
求证:AB=AC
【课后拓展】
5.如图所示，已知：△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点.
⑴ 试说明△OBC是等腰三角形；
⑵ 连接OA，试判断直线OA与线段BC的位置关系？并说明理由.
10.2等腰三角形（2）
【学习目标】
1.能够灵活运用等腰三角形有关性质、判定定理进行相关题目的证明，进一步发展推理能力；
2.熟悉文字命题证明的一般步骤及一些简单辅助线的添加．
【课前梳理】
已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC。
（1）∵AD⊥BC，
∴∠ =∠ ， = ;
（2）∵AD是底边上的中线
∴ ⊥ ，∠ = ∠ ;
（3）∵AD是顶角的平分线，
∴ ⊥ ， = .
【课堂练习】
知识点一 等腰三角形的两底角的角平分线相等
1.已知：如图所示，△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线，
求证：BD=CE
证明：
知识点二 等腰三角形两腰上的中线高线相等
2.推理论证：等腰三角形两腰上的中线(高)相等；（画图、写出已知、求证、证明过程）
已知：
求证：
证明：
归纳：等腰三角形两腰上的中线、高线、两底角的平分线 .
【当堂达标】
1.等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．30°
2.如图所示，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的
周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
B
C
D
E
A
3.如图所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC, AD=AE，
求证：∠BAD=∠CAE
4.如图所示,已知△ABC中，AB=AC,D是BC的中点.DE⊥AB于E,DF⊥AC于F
求证:DE=DF
【课后拓展】
5.如图所示，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44° B．66° C．88° D．92°
6.如图所示，四边形ABCD中，AB=AC=AD，
AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
求证：∠BDC=∠PDC
10.2等腰三角形（3）
【学习目标】
1.了解等边三角形的性质和判定方法;
2.会用等边三角形的相关性质解决简单的实际问题.
【课前梳理】
1.三边都_________的三角形是等边三角形.
2.等边三角形的三个内角都__________,并且都等于______.
3.等腰三角形的判定：有__________相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）
4.等腰三角形的性质：等腰三角形两底角_______(简称“____________”)
5.等边三角形的判定：1）三条边都____的三角形是等边三角形
2）三个_____都相等的三角形是等边三角形 .
3）有一个角等于_____的等腰三角形是等边三角形.
6.等边三角形是特殊的________三角形，它具有等腰三角形的一切性质，除此之外，它还具有每个内角都是_____的特殊性质.
7.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的________.
【课堂练习】
知识点一 等边三角形的判定
1.下列条件中，能得到等边三角形的是（ ）.
A.有两个内角是50°的三角形
B.有两边相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
知识点二 等边三角形的性质
2.△ABC是等边三角形，AE为BC边上的高，则下列结论不正确的是（ ）.
A.AB=AC=BC
B.∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
C.直线AE是△ABC唯一的一条对称轴
D.AE是∠BAC的平分线
知识点三 直角三角形的性质
3.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,若AB=6cm,则BC= .
4.等边三角形的边长为4，则它的中线长为 .
【当堂达标】
1.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
2.已知如图所示,P、Q是△ABC边BC上的两点,且PB=PQ=QC=AP=AQ,则∠BAC的度数为( )
A. 150° B. 120°
C. 100 ° D. 90°
3.如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.
4.已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求CD的长．
【课后扩展】
5.如图所示，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
10.2等腰三角形（4）
【学习目标】
1.了解反证法的概念及其基本步骤，并会用反证法证明简单的命题;
2.通过利用反证法证明命题，体会逆向思维.
【课前梳理】
1.定义、命题的概念： .
2.命题的构成、形式： .
3.真命题、假命题 ： .
4.反证法是一种重要的数学证明方法，它是先假设命题的结论_____；然后推导出与___________________________相矛盾的结果；从而证明命题的结论_______成立.
5.反证法证明题的步骤：
（1）先假设原命题的结论_____,从而假设命题的结论的反面是成立的；
（2）从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与________________相矛盾的结果；
（3）说明假设不成立，从而得到原结论正确.
※ 点拨:
①反证法是一种独特的证明方法，它的独特之处有两点:一是否定命题的结论,并且可以将这个否定的结论作为条件;二是从这个新条件出发,结合命题原有的条件一起推出矛盾,从而使问题获证; 与运用其他方法证明一样,运用反证法证明时推理的过程必须有理有据;
②常用的互为否定的表述方式：
平行——不平行； 垂直——不垂直； 等于——不等于； 都是——不都是
大于——不大于； 小于——不小于； 至少有一个——个也没有；
至少有三个——至多有两个； 至少有n个——至多有(n-1)个.
【课堂练习】
知识点一 反证法的应用
1.用反证法证明命题“三角形中三个内角至多有一个钝角”时，首先应假设
.
2.求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.
一画
（几何证明题的步骤忘了吗？“一画二写三证”）二写
C
B
A
已知（题设）：如图，在△ABC中，∠B≠∠C.
三证
求证(结论)：__________________________________.
证明：（反证法）
假设AB=AC,
根据“___________ ”定理可得∠C=∠B，
但与已知条件“___________ ”矛盾，
因此__________.
【当堂达标】
1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有三个解 D．至少有两个解
2.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应该假设这个三角形中（ ）
A. 有一个内角小于60° B. 每一个内角都小于60°
C. 有一个内角大于60° D. 每一个内角都大于60°
3.用反证法证明命题“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一步是（ ）
A.假设CD∥EF B.假设CD不平行于EF
C.已知AB∥EF D.假设AB不平行于EF
4.已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2，
c
2
1
b
a
求证：a不平行b.
证明：假设 ，
则 ，
这与 相矛盾，
所以 不成立，
所以a不平行b.
【课后拓展】
5.已知△ABC.求证△ABC中至少有一个角大于60°.
10.3直角三角形（1）
【学习目标】
1.掌握勾股定理及其逆定理的证明；
2.能运用勾股定理及其逆定理的证明解决简单的实际问题.
【课前梳理】
1.勾股定理： .
2.勾股定理逆定理： .
3.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______，那么这两个命题称为__________，其中一个命题称为另一个命题的__________.
4.互逆定理：一个命题是真命题，它的逆命题却______是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为________，其中一个定理称为另一个定理的________.
【课堂练习】
知识点一 勾股定理
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a, b为直角边，c为斜边
（1）若a=5, c=13 则b= （2）若c=25, a=24 则 b=
2.一个直角三角形的三边为三个连续的偶数，则它的三边长分别是多少 .
3.一个矩形的抽斗长为24cm，宽7cm，在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 .
知识点二 勾股定理逆定理
4.由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）.
A.a=15,b=8,c=17 B.a=12,b=14,c=15
C.a=4,b=5,c=3 D.a=7,b=24,c=25
5.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c则满足下列条件但不是直角三角形的是（ ）
A.∠A=∠B-∠C B.∠A:∠B:∠C=1:1:2
C.a:b:c=4:5:6 D.a²-c²=b²
6.若一三角形三边长为5，12，13，则这个三角形长为13的边上的高为 .
7.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c，
求证：∠C=90°.
知识点二 互逆定理
8. 下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A.两直线平行，内错角相等 B.直角三角形两锐角互余
C.对顶角相等 D.同位角相等，两直线平行
【当堂达标】
1.下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A.同旁内角互补，两直线平行 B.直角三角形的两锐角互余
C.等边三角形是等腰三角形 D.有一个外角是直角的三角形是直角三角形
2.三角形的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则三角形的面积是__________.
3.命题“两直线平行,同位角相等 ”的逆命题是： ，
它是 （填入“真”或“假”）命题.
4.一个三角形的三边的比为5:12:13，它的周长为60cm，则它的面积是__________.
5.下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有( ).
(1) ∠A+∠B=∠C (2) ∠A:∠B:∠C=3:4:5 (3) ∠A=90°-∠B
(4) a=4,b=5,c=6 （5）a=30,b=50,c=40 （6）a：b：c=7:24:25
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
6.如图是一块菜地，已知AD=8米，CD=6米，∠D=90°，AB=26米，BC=24米 .
A
C
B
D
求这块菜地的面积.
【课后拓展】
7.如图所示，在△ABC 中，已知AB = 10，BD = 6， AD = 8，AC = 17.
（1）求DC的长.
（2）判断△ABC是否是直角三角形？
（3）求△ABC的面积
10.3直角三角形（2）
【学习目标】
1.探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”定理；
2.能运用“斜边、直角边”定理证明简单的实际问题.
【课前梳理】
1.一般三角形全等判定方法有：
2.直角三角形的判定：①有一个角是_____的三角形叫做直角三角形.
②有两个角互余的三角形是_____ 三角形.
③如果三角形两边的平方___等于第三边的______，那么这个三角形是____三角形.
3.斜边和一条_________对应相等的两个______ 三角形全等.（“斜边、直角边”或“ ”）
推理格式：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°
∵AB=A′B′,BC=B′C′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
※ 注：“HL”定理是直角三角形独有的判定定理，只适合直角三角形全等的判定
【课堂练习】
知识一 判断三角形全等的方法
1.判断下列条件能否判断两直角三角形全等，并说明根据.
(1)一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两直角三角形全等. （ ）
(2)一个锐角和这个锐角相邻的一条直角边对应相等的两直角三角形全等. （ ）
(3)一锐角与斜边对应相等的两直角三角形全等. （ ）
(4)两直角边对应相等的两直角三角形全等. （ ）
2.在△ABC和△A'B'C'中，如果AB=A'B',∠B=∠B',AC=A'C',那么这两个三角形 （ ）
A.全等 B.不一定全等 C.不全等 D.面积相等，但不全等
知识点二 “HL”定理的应用
3.如图，H是线段BC的中点，∠ABH=∠DCH=90°,AH=DH,则△ABH≌______,依据是______。
【当堂达标】
1.如图所示，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，
若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，
则需要加条件 或 ；
若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，
则需要加条件 或 ．
2.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）
A.两条直角边对应相等 B.斜边和一条直角边对应相等
C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等
3.如图，∠B =∠E = 90°，AC = DF，BF = EC.
求证：BA = ED
4.已知：在△ABC中，AD⊥BC，E为AC上
一点，BE交AD于F且BF=AC，FD=CD．
求证：BE⊥AC
【课后拓展】
5.如图,在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB,DE⊥AB，垂足是E.
求证：AB=AC+CD
10.4线段的垂直平分线（1）
【学习目标】
1.能证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理；
2.能运用线段的垂直平分线的性质与判定定理解决简单的实际问题.
【课前梳理】
1.线段的垂直平分线（中垂线）：垂直且____一条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
2.线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________.
推理格式:（如图1） ∵PC⊥AB，AC=____(点P在线段AB的垂直平分线MN上),
∴ =PB
3.线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点的距离相等的点， ____________________________.
推理格式：（如图2） ∵AB = AC，
∴____点在线段BC的______________.
A
B
4.尺规作图：作线段AB的垂直平分线
【课堂练习】
知识点一 线段垂直平分线的性质定理
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.在△ABC中，AB=AC=a,AB的垂直平分线交AC于点D,若△BCD的
周长为m,试说明：BC=m-a.
【当堂达标】
1.如图所示，线段ABCD,垂足为O，CO=DO,则下列说法正确的有（ ).
①AB垂直平分CD;②CD的垂直平分线是AB；③CD 的垂直平分线是AB所在的直线；④AB的垂直平分线是CD所在的直线;⑤AB垂直平分CD;
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，AB垂直平分CD，若AC=1.6cm，BC=2.3cm，则四边形ABCD的周长是（ ）.
A.3.9 cm B.7.8 cm
C.4 cm D.4.6 cm
3.在△ABC中,AB=AC, ∠A=500,AB的垂直平分线交AC于N,则∠NBC=
4.如图，△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，若∠BAC=1280，
求∠EAG的度数.
【课后拓展】
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=2，求BE的长度．
10.4线段的垂直平分线（2）
【学习目标】
1.掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理；
2.能运用线段的垂直平分线的性质定理与判定定理证明简单问题；
3.会用尺规作图作等腰三角形.
【课前梳理】
1.尺规作图： .
2.线段垂直平分线性质： .
3.线段垂直平分线判定定理： .
4.关于线段垂直平分线性质定理的推论
(1)关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三条边的_____________线相交于_______，并且这一点到三个______的距离相等.
推理格式： ∵点P是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，
∴PA=_____=_______.
(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是______三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；
若三角形是______三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；
若三角形是______三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。
【课堂练习】
知识点一 三角形三边的垂直平分线的交点的性质
1.到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）.
A.三边垂直平分线的交点
B.三边角平分线的交点
C.三条高线的交点
D.三边中线的交点
2.随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（ ）处。
A.1 B.2 C.3 D.4
A
E
B
C
D
【当堂达标】
1.如图所示，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰
好是DE的垂直平分线，则下列结论正确的是（ ）
A.△ABC≌△AED B.△AED是等边三角形
C.∠EAB＝60° D.AD＞DE
2.已知O是锐角△ABC三边垂直平分线的交点，∠A=55°，则∠BOC的度数（ ）
A.90° B.95° C.110° D.115°
3.如图所示，△ABC的周长为30cm，AC的垂直平分线交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=5cm，则△ABD的周长是______.
4.如图所示，已知：在中，，DE的垂直平分线AC交AB于D，交AC于E.
求证：AD=BC.
【课后拓展】
5.如图所示，已知：E是的平分线上的一点，，，垂足分别是C、D. 求证：OE垂直平分CD.
10.5角的平分线（1）
【学习目标】
1.能够证明角平分线的性质定理、判定定理;
2.能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题.
【课前梳理】
1.回忆尺规作图作已知角的角平分线
点P在∠AOB的角平分线上
∵PD⊥OA，PE⊥OB,
2.角平分线的性质定理： .
推理格式：
∴PD=PE
3.角平分线的判定定理： .
推理格式：∵ PD⊥OA，PE⊥OB,PD=PE
∴ 点P在∠AOB的角平分线
【课堂练习】
知识点一 角平分线的性质定理
1.如图，点P是的∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，
已知PE=4，则点P到AB的距离是等于（ ）.
A.3 B.4 C.5 D.6
知识点二 角平分线判定定理的应用
2.如图所示，Q是∠BOA内的一点，QE⊥OB,QD⊥OA,垂足分别为点E,D,OE=OD.
求证;⑴ QE=QD；
⑵ 点Q在∠ BOA的角平分线上.
【当堂达标】
1.如图1所示，∠AOB=70°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E ，且PD＝PE则
∠DOP= .
2.如图2所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，
且DE=3cm，BD=5cm，则BC= cm.
第2题图
第1题图
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（ ）
A. mn B. mn C.2mn D.mn
4.已知：如图所示,在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上,DE = 5，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求AD 的长.
5.如图所示，已知：AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：DE=DF
【课后拓展】
6.已知:如图所示，△ABC中，AD是它的角平分线，且EB=FC，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E、F，
求证：BD=CD
10.5角的平分线（2）
O
A
B
【学习目标】
角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.
【课前梳理】
1.用直尺和圆规作角的平分线
（要求：保留作图痕迹，不写做法）
2.已知：如图△ABC，
(1)请用直尺和圆规作出三条角平分线.
A
C
(2)观察作出的这三条角平分线有什么性质：
B
【课堂练习】
知识点一: 角平分线的性质定理的应用
1.如图，△ABC的角平分线BM、CN交于点P，求证：点P到△ABC三边的距离相等.
证明：过点P 作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F. （把辅助线补充完整）
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD = .
同理：PE = .
∴PD = = .
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
知识点二: 三角形的角平分线的性质定理
2.到△ABC的三条边的距离相等的点是△ABC的（ ）.
A.三边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.三条中线的交点
3.△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC交AC边于点D,∠BDC=75°,则∠A的度数 .
【当堂达标】
1.已知△ABC中，∠A=50°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数 .
2.如图所示，DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF=_______.
3.已知:如图所示,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.
求证:BD=2CD
4.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O且∠1 =∠2
求证：OB = OC
【课后拓展】
5.已知:如图所示,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.
求证:点F在∠DAE的平分线上.
第十章复习学案
【学习目标】
1. 了解三角形全等的识别方法和三角形全等的性质，能够证明与等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线相关的性质定理和判定定理.
2. 理解互逆命题、互逆定理，体会反证法的含义.
3. 能够利用尺规作图作等腰三角形、直角三角形、已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线.
【课堂梳理】
知识点一 全等三角形
1.判断三角形全等的方法：①（三个公理）______、______、_____、②（一个定理）_____.
2.全等三角形的性质：①线段相等：对应边相等、对应边上的_______、对应中线、______
相等.
②角相等： 相等.
注：利用全等三角形证明线段或角相等
知识点二 等腰三角形
3.等腰三角形性质：①定理： .(等边对等角）
②推论： .（三线合一）
4.等腰三角形的判断方法：①定义： .
②定理： .(等角对等边）
知识点三 等边三角形
5.等边三角形概念： .
6.等边三角形的性质：①等边三角形的三条边______.（边）
②等边三角形的三个内角都等于______.（角）
7.等边三角形的判定：①______相等的三角形是等边三角形.
②三个角相等的三角形是 .
③有一个角等于____的等腰三角形是等边三角形.
注：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质.
知识点四 直角三角形
8.直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角 .
②直角三角形两条直角边的平方和等于 .
③在直角三角形中，如果有一个锐角等于____，那么它所对的直角边等于斜边的 .
9.直角三角形的判定：①有两个角 的三角形是直角三角形.
②如果三角形两边的平方和等于 ，那么这个三角形为直角三角形.
10.直角三角形全等的判定方法：（HL） .
注：（HL）只适用于直角三角形.
知识点五 线段垂直平分线
11.段垂直平分线的定理： .
12.线段垂直平分线的逆定理： .
13.三角形垂直平分线定理： .
知识点六 角平分线
14.角平分线的定理： .
15.角平分线的逆定理： .
16.三角形角平分线定理： .
注：若一个点到三角形三边以及到三角形三个顶点的距离相等，这个点一定为三角形三边垂直平分线与三个内角角平分线的交点.
【典型例题】
考点一 等腰三角形
典型例题1.(2018.绥化）已知等腰三角形的一个外角为130°，
则它的顶角的度数为 .
跟踪训练1.△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是 .
典型例题2.(2018.南通）一个等腰三角形的两边长分别为4cm,9cm
则它的周长为 .
跟踪训练2.等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为 .
考点二 线段的垂直平分线
典型例题3.（2018.黄冈）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是 .
跟踪训练3.（2018.吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则△BEC的周长是 .
典型例题4.已知O是锐角△ABC三边垂直平分线的交点，∠A=55°，则∠BOC的度数 .
跟踪训练4.如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为 ．
跟踪训练5.如图所示AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
考点三 线段的垂直平分线
典型例题5.（2016.浙江）在△ABC中，∠C ＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到线AB的距离是 .
跟踪训练6.如图，点D为∠AOB的平分线OC上的一点，DE⊥AO于点E．若DE＝4，则D到OB的距离为 .
考点四 勾股定理及其逆定理
典型例题6.AB⊥CD，且AB＝CD，E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝8，BF＝6，AD＝10，则EF的长为 .
跟踪训练7.下列各组线段能构成直角三角形的是（ ）
A.30,40,50 B.7,12,13 C.5,9,12 D.3,4,6
【巩固训练】
一． 选择题
1. 以下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的有（ ）
①3，4，5；②；③0.3，0.4，0.5；④10，13，16
A .1个 B.2个 C .3个 D .4个
2. 如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，AD＝AC，∠BAC的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
3.如图，△ABC是等腰直角三角形AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是底边BC上的高．BC＝10米，则AD的长是（ ）
A．5米 B．5米 C．8米 D．10米
4.如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
5.AD∥BC，∠D=，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的关系是（ ）
A．PD>PC B．PD
6.如图，AB∥CD，∠BED＝63°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB的度数是（ ）
A．147° B．147.5° C．148° D．148.5°
7. 如图，AE∥CD，△ABC为等边三角形，若∠CBD＝15°，则∠EAC的度数是（ ）
A．60° B．45° C．55° D．75°
8．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
二.填空题
9．在△ABC中，∠C=90º，BD是∠ABC的平分线.已知，AC=32，且AD：DC=5：3，则点D到AB的距离为_______.
10.如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S：S：S等于______.
三．解答题
11．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
12.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．
11.1不等关系
【学习目标】
1.体会现实世界中有各种各样的数量关系存在,不等关系是其中的一种;
2.了解不等式及其概念,会用不等式表示数量之间的不等关系.
【课前梳理】
1.等式：_________________________ 的式子叫做等式.
2.正数都________ 0，负数都________ 0，非负数包括________.
3.如图，用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆，
（1）如果要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？
（2） 如果要使圆的面积不小于100 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？
（3） 当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？
（4）你能得到什么猜想？改变l的取值再试一试？
分析：正方形的面积等于边长的平方.圆的面积是πR 2，其中R是圆的半径.两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于. “不小于”就是大于或等于.
归纳小结：一般地，用 “〈”（或“≤”），“〉”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.
【课堂练习】
知识点一 不等式的定义
1.有下列数学表达式：①3<0;②4x+5>0;③x=3;④x²+x;⑤x≠-4⑥x+2>x+1.其中是不等式的有 个.
解题技巧：判断所给的式子是否为不等式，关键看式子中是否含有不等号.
注意：用符号“≠”连接的式子也叫不等式.
知识点二 列不等式
2.用适当的符号表示下列关系
⑴a是负数；
⑵a-1不是正数；
⑶5减去a的值至少是8；
⑷m是不大于6的数
⑸x与2的差不小于-1
3.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了x道题，则根据题意可列不等式 .
【当堂达标】
1.下列式子中，其中是不等式的有 .
（1）；（2）；（3）xy≥a-3；（4）5a-3b+c；（5）a-2b≠1;
(6)x≤－1;(7)y=2x+1；（8）
2.若a是有理数，下列式子：①｜a｜>0；②a2+10>0；③-a<0；④｜a-5｜≥0中，一定成立的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.x与3的和的一半是负数，用不等式表示为（ ）
A. B. C. D.
4.亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节约30元，直到他至少有300元.设x个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是（ ）
A.30x-45≥30 B.30x+45≥300 C.30x-45≤300 D.30x+45≤300
5.下列按条件列出的不等式中，正确的是（ ）．
A.a不是负数，则a＞0 B.a与3的差不等于1，则a—3＜1
C.a是不小于0的数，则a＞0 D.a与 b的和是非负数，则a＋b≥0
6.有理数a与b在数轴上的位置如图，用“＞”或“＜”填空：
a
b
0
（1）a 0； （2）b 0；
（3）a b； （4）a ＋b 0；
（5）a－b 0．
7.用不等式表示：
（1）a的2倍与3的和大于7 ；
（2）x的一半与2的差不大于5 ；
（3）m与n的积是非正数 ；
（4）m与2的和是负数 ；
（5）x的绝对值是非负数 ；
（6）x的2倍与3的差不小于6 ；
（7）x的一半比它与6的差小 ；
【课后拓展】
8. 一件商品案成本价x元提高30%标价，又以九折销售，则此时售价仍不低于270元，请你写出该商品的成本价应满足的不等式.
9.一个两位数的十位数字是x，个位数字比十位数字小2，并且这个两位数大于50，用不等式表示数量关系．
11.2不等式的基本性质
【学习目标】
1.经历探索的过程，根据等式的基本性质类比发现不等式的基本性质；
2.会运用不等式的基本性质进行简单的不等式变形.
【课前梳理】
1.不等式的定义： .
2.等式的基本性质： .
.
3.阅读课本第139--140页内容,完成下列练习:用 > 或 < 符号填空.
(1) 5>3 , 5+2 3+2, 5-2 3-2
(2) -1<3, -1+2 3+2, -1-3 3-3
(3) 6>2, 6×5 2×5, 6×(-5) 2×(-5)
(4) -2<3, (-2)×6 3×6, (-2)×(-6) 3×(-6)
(5）－4 ＞－6 （－4）÷2 （－6）÷2，
（－4）×（－2） （－6）×（－2）
归纳得出：①不等式的基本性质
不等式性质１：不等式两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向 ;
不等式性质２：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 ;
不等式性质３：不等式两边都乘以（或乘以）同一个负数，不等号的方向 .
②不等式的其他性质：
①对称性：若，则；若，则；
②传递性：若，且，则；
③若，，则；
④若，，则；
【课堂练习】
知识点一 不等式的基本性质1
1.如果2a>3b,那么2a+c 3b+c.
知识点二 不等式的基本性质2
2.满足不等式x<1的非负整数是 .
知识点三 不等式的基本性质3
3.已知a>b,要使am-a
【当堂达标】
1.若，则下列不等式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若由，得到，则一定有（ ）
A.a>0 B.a<0 C.a≠0 D.a为任意实数
3.不等式变形为，那么a的取值范围为（ ）
A.a≤0 B.a<0 C.a≥0 D.a>0
4.若则比较a,-a,b,-b之间的大小关系正确的是（ ）
5.下列变形不正确的是 （ ）．
A.若a＞b，则b＜a B.若－a＞－b，则b＞a
C.由－2x＞a，得x＞ D.由x＞－y，得x＞－2y
6.已知a＞b，用“＜”或“＞”填空
(1)a+4 b+4 (2)a-3 b-3
(3)2a a+b (4)-2a-3 -2b-3
7.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式. (1)x-6＜5 (2)3x+4＜-3 (3)- ＞ (4)-2x-4＜2
【课后拓展】
8.若将“”变形为“”，则a的取值范围为 .
9.若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是 .
11.3不等式的解集
【学习目标】
1.理解不等式的解与解集的意义；会判断一个数是否为不等式的解；
2.会利用数形结合思想在数轴上表示不等式的解集，体会不等式的解集与数轴的关系.
【课前梳理】
1.数轴的三要素： .
2.不等式的定义： .
3.不等式的基本性质:
.
4.能使 的未知数的值，叫做不等式的解.
5.一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解集.
6.求 的过程叫做解不等式。解不等式的依据是 .
7.在数轴上表示一个不等式的解集时，要注意两点：一是确定“界点”；有等号用 ，没有等号用 。二是确定“方向”；大于或大于等于向 边画，小于或小于等于向 边画。
【课堂练习】
知识点一 不等式的解
1.判断下列哪些数能使不等式成立：
⑴ 2；⑵ 3；⑶ ；⑷ ；⑸ 5；⑹ 7；
知识点二 不等式的解集
2.下列四种说法中，正确的有（ ）.
① 是不等式的一个解；
② 是不等式的一个解；
③ 是不等式的解集；
④ 范围内的任何一个数都能使不等式成立，所以是不等式的解集；
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
注：不等式的解是一个集合，一个范围，它包含不等式的每一个解.
知识点三 不等式的解集的表示方法
3.在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x＜4； （2）x≤2；
（3）x≥0； （4）-2 ≤x＜2.
【当堂达标】
1.下列说法：①8是y-1>6的解集;②m>3是不等式m-1>2的解;③x>4是不等式x+3>6的解集;④不等式x+1<2有无数个整数解,其中正确的是_________(填序号)
2.下列说法正确的是 （ ）．
A. x=4不是不等式2x＞7的一个解
B. x=4是不等式 2x＞7 的解集
C. 不等式 2x＞7 的解集是x＞4
D. 不等式 2x＞7 的解集是x＞
3.下列说法中，错误的是（ ）
A. 不等式 x ＜5的正整数解有无数多个
B. 不等式 x ＞－5 的负整数解有有限个
C. 不等式 －2x＞8 的解集是x＜－4
D. －40是不等式 2x＜－10的一个解
4.两个不等式的解集分别是x＜1和x≥1，分别在数轴上表示出来.
5.写出下列各图所表示的不等式的解集：
（1）；
（2）.
6.用不等式表示下列数量关系，再用数轴表示出来：
(1)x小于-1； (2)x不小于-1；
(3)a是正数； (4)b是非负数.
（5）不小于-2且不超过3的数.
【课后拓展】
7.不等式－4≤x＜2的所有整数解的和是( )
A.－4 B.－6 C.－8 D.－9
8.当a________时，x＞表示ax＞b的解集
9.不等式2x－1≥5的最小整数解为________.
10.如果不等式(a－4)x＜b的解集是x＜，那么a的取值范围是________.
11.4一元一次不等式（1）
【学习目标】
1.理解一元一次不等式和解不等式的概念.
2.掌握解一元一次不等式的步骤，会解一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集.
【课前梳理】
1. 不等式的解： .
2. 不等式的解集: .
3.一元一次方程: .
4.解一元一次方程的步骤: ① ;② ;
③ ; ④ ;⑤ ;
5.一元一次不等式:不等式左右两边都是 ，只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，系数不等于 的不等式.
6.解一元一次不等式的一般步骤是：
① ;② ;③ ;
④ ;⑤ ;
注：解不等式要记住四句话：去分母时都乘到，移项切记要变号，乘除负数要仔细，改变方向莫忘掉.
【课堂练习】
知识点一 一元一次不等式的判别
1.下列各式中，哪些是一元一次不等式？哪些不是，试说明理由.
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
注：一元一次不等式的判别方法：①含有一个未知数②未知数的最高次数是1
③不等式 ④左右两边都是整式
知识点二 一元一次不等式的解法
2.不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
3.求下列不等式，并把它们的解表示在数轴上
⑴ ⑵
【当堂达标】
1.下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A. B. C. D.4x－3＜2y－7
2.若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 .
3.不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4.解下列不等式，并把它的解集表示在数轴上
(1) (2) ≥
【课后拓展】
5.不等式2x－1≥3x一5的正整数解的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围 .若未知数x、y满足，则m的取值范围 .
7.若2（x＋1）－5＜3（x－1）＋4的最小整数解是方程x－mx＝5的解，求代数式的值.
11.4一元一次不等式（2）
【学习目标】
1.初步认识一次不等式的应用价值，发展分析问题，解决问题的能力,积累利用一元一次不等式解决简单问题的能力.
【课前梳理】
1.一元一次不等式的概念：
.
2.解一元一次不等式的步骤：① ;② ;
③ ; ④ ;⑤ ;
3.列一元一次不等式解应用题的其一般步骤：① ;② ;
③ ; ④ ;⑤ ;
注：根据题意列出不等式的关键是寻找题目中的不等关系，类似于列方程解应用题时
寻找等量关系.
【课堂练习】
知识点一 列不等式解实际问题
1.用甲，乙两种原料配制成某种饮料，已知甲种原料每千克含有500单位的维生素c,
乙种原料每千克含有200单位的维生素c，现配制这种饮料10千克，要求至少含有
4100单位的维生素c，若所需甲种原料的质量为千克，则应该满足的关系( ).
A. B.
C. D.
2.某养殖场要修建一个周长为60m的矩形围栏，要求长度比宽度至少多2m,则养殖场围
栏的长度至少为 .
3.某校举行百科知识抢答赛，共有20道题，规定答对一题记10分，答错或放弃一题记－4分，九年级1班代表队的得分目标为不低于88分，则这个队至少要答对多少道题才能达到目标要求？
【当堂达标】
1.初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元．在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数 （ ）
A.至多6人 B.至少6人 C.至多5人 D.至少5人
2. 小红准备用60元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小红最多能买 瓶甲饮料.
3.某市自来水公司按如下标准收取水费，若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.2元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元.小童家每月的水费不少于15元，那么她家这个月的用水量至少是多少？
【课后拓展】
4.现用甲、乙两种运输车将抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重，乙种运输车载重，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）
A.4辆 B.5辆 C.6辆 D.7辆
5.某人10∶10离家赶11∶00的火车，已知他家离车站10公里，他离家后先以3公里/时的速度走了5分钟，然后乘公共汽车去车站，公共汽车每小时至少走______公里才能不误当次火车.
6.一个工程队原定在10天内至少要挖土600立方米，在前两天一共完成了120立方米，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务.以后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？
11.5 一元一次不等式与一次函数（1）
【学习目标】
1.通过作函数图象，观察函数图象，进一步理解函数的概念，并从中初步体会一元一次不等式和一元一次函数的内在联系.
2.感知不等式、函数、方程的不同作用和内在联系.
【课堂梳理】
1.一次函数的表达式: ,它的图像是一条 .
2.一次函数y=3x-6与x轴的交点坐标是 ,
与y轴的交点坐标是 .
3. 作出函数的图象，并由图象回答下列问题：
（1）x为何值时，?
（2）x为何值时，?
（3）x为何值时，?
归纳：用图像法解型不等式的步骤
①将一元一次不等式化成标准形式，即；
②在平面直角坐标系中画出一次函数的图像，确定图像与轴的交点；
③图像在轴上方的部分所对应的自变量的取值范围就是的解集
图像在轴下方的部分所对应的自变量的取值范围就是的解集
4.作出函数的图象，并由图象回答下列问题：
（1）当x取何值时，?
（2）当x取何值时，?
（3）当x取何值时，?
归纳：利用图像法解型不等式的步骤：
①把不等式转化成的形式；
②画出函数的图像；
③在函数图像上，对应的的取值范围就是的解集；
在函数图像上，对应的的取值范围就是的解集；
在函数图像上，对应的的值就是的解；
【课堂练习】
知识点一 一元一次不等式与一次函数的关系
1.已知，当时，的取值范围 .
2.已知不等式－x＋5＞3x－3的解集是x＜2，则直线y＝－x＋5与y＝3x－3的交点坐标是_________．
【当堂达标】
1.已知一次函数y＝kx＋b的图像，如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（ ）
A.y＞0 B.y＜0 C.－2＜y＜0 D.y＜－2
2.如图，已知函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是_______________.
3.一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3 时，y1＜y2中，正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
4.直线与直线在同一平面直角坐标系中
的图象如图所示，求关于的不等式的解集．
【课后拓展】
5.函数 y1= 2x - 5 和 y2 = x - 2 的图象如图所
示，观察图象回答下列问题：
（1）x 取何值时，y1 = y2？
（2）x 取何值时，y1 > y2？
（3）x 取何值时，y1 < y2？
11.5 一元一次不等式与一次函数（2）
【学习目标】
1.会根据题意列出一次函数表达.
2.综合运用不等式的知识解决简单的实际问题.
【课前梳理】
1.一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2的图像交点坐标即为方程组 的解.
2.一次函数y1=－x+3与y2=－3x+12的图象的交点坐标是（ ， ），当x________时，y1>y2；当x________时，y1
①把不等式转化成的形式；
②画出函数的图像；
③在函数图像上， 对应的的取值范围就是的解集；
在函数图像上，对应的的取值范围就是 的解集；
在函数图像上，对应的的值就是 的解；
【课堂练习】
知识点一 利用不等式，函数解决实际问题
1.友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
【当堂达标】
1.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知，当x________时，选用个体车较合算.
2.如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象.下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时，买乙家的合算；③买3件时，买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元.其中正确的说法是（ ）.
A.①② B.②③④
C.②③ D.①②③
3.甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）乙队开挖到30m时，用了 h．开挖6h时甲队比乙队多挖了 m；
（2）请你求出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
【课后拓展】
4.某校校长暑假将带领校、市级“三好学生”去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部票价6折优惠”，若全票价为240元．
(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费．(表达式)
(2)当学生数量是多少时，两家旅行社的收费一样？
(3)就学生数x讨论，哪家旅行社更优惠．
11.6一元一次不等式组（1）
【学习目标】
1.理解一元一次不等式组及其解集的意义；
2.会解一元一次不等式组，学会利用数轴求不等式组的解集.
【课前梳理】
1.在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x＞5； (2)x＜-2； (3)x≥-2； (4)x≤2；
2.解不等式2x+1＞x并把它的解集表示在数轴上.
3.一元一次不等式： .
4.关于 的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组.
5.一元一次不等式组里的各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫做 .
【课堂练习】
知识点一 一元一次不等式组的判别
1.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）.
A. B.
C. D.
知识点二 解一元一次不等式组
2.不等式组的解集是 ．
3.解下列不等式组
① ②
【当堂达标】
1.下列不等式组：① ② ③④. 其中一元一次不等式组的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2.在平面直角坐标系内，P（2x－6,x－5）在第四象限，则x的取值范围为（ ）
A.3＜x＜5 B.－3＜x＜5 C.－5＜x＜3 D.－5＜x＜－3
3.不等式组的整数解的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3 D.4个
4.不等式组的最大整数解是（ ）．
A. x =－2 B. x =2 C. x =3 D. x =4
5.解下列不等式组
（1） （2） （3）
【课后拓展】
6.若关于x的不等式 整数解共有2个，则m的取值范围是（ ）
A.3＜m＜4 B.3＜m≤4 C.3≤m≤4 D.3≤m＜4
7. 若关于x、y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围.
11.6一元一次不等式组（2）
【学习目标】
1.进一步理解一元一次不等式组及其解的意义.
2.学会解一元一次不等式组，学会利用数轴求不等式组的解集.
【课前梳理】
1.一元一次不等式组： .
2.一元一次不等式组的解集： .
3.解不等式： .
4解一元一次不等式组的步骤：先分别求出 的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的 ，就是这个不等式组的解集.
5.确定一元一次不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了.
【课堂练习】
知识点一 同大取大型
1.解不等式组
知识点二 同小取小型
2.解不等式组
知识点三 无解型
3.已知关于的不等式组 无解，则a的取值范围 .
【当堂达标】
1.不等式组的解集为（ ）．
（A）x ＞1 （B）x ＞ （C）x ≥1 （D）x ≥
2.若不等式组有解，则a的取值范围是 ．
3.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
4.解下列不等式组并在数轴上表示出解集.
（1） （2）
5.解不等式组：，并写出不等式组的正整数解.
【课后拓展】
6.已知关于x的不等式组 的整数解共有6个，则a的取值范围是 ．
11.6一元一次不等式组（3）
【学习目标】
1.学会解一元一次不等式组并利用数轴表示不等式组的解集.
2.总结一元一次不等式组解集的四种情况与一元一次不等式组的实际应用.
【课前梳理】
1.解一元一次不等式组的步骤：先分别求出 的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的 ，就是这个不等式组的解集.
2.确定一元一次不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了.
3. 列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤：
①审：审题，明确题中各数量之间的关系；②设：设未知数（只能设一个未知数）；
③找：找出表示题意的所有不等关系 ； ④列：列出一元一次不等式组；
⑤解：求出一元一次不等式组的解集 ； ⑥答：写出符合题意的答案.
【课堂练习】
知识点一 一元一次不等式的应用
1.攀枝花市出租车的收费标准是：起步价5元（即行驶距离不超过2千米都需付5元车费），超过2千米以后，每增加1千米，加收1.8元（不足1千米按1千米计）．某同学从家乘出租车到学校，付了车费24.8元．求该同学的家到学校的距离在什么范围？
知识点二 解一元一次不等式组
2.求不等式 的整数解.
【当堂达标】
1.若关于的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
a b
c d
2 3
4 5
2.我们定义 =ad+bc, 例如 =2×5+3×4=22,若x满足
-4 2
3 x
−2⩽ <2,则整数x的值有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3.解下列不等式组，并在数轴上表示解集.
⑴ ⑵
【课后拓展】
3x−y+a−2=0
2x+y−2a=0
4.以方程组 的解为坐标的点在第四象限，求a的取值范围。
第十一章复习学案
【本章目标】
1.理解不等式（组）的解及解集的含义；会解简单的一元一次不等式，并会在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式组，并会在数轴上确定其解集；初步体会数形结合的思想.
2.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际含义，检验结果的合理性.
3.初步体会不等式，方程，函数之间的内在联系与区别.
【知识梳理】
知识点一 一元一次不等式与一元一次不等式组的概念
1. 不等式： .
2. 不等式的解： .
3. 不等式的解集： .
4. 解不等式（组）： .
5. 一元一次不等式：不等式的左右两边都是______，只含有_____未知数，并且未知数的 ，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
6. 一元一次不等式组：一般地，关于_____未知数的几个 合在一起，就组成了一元一次不等式组.
7. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的解集.
知识点二 不等式的性质
8.不等式的基本性质1：
9.不等式的基本性质2：
10.不等式的基本性质3：
11.不等式的其他性质：①若a>b,则b a(对称性）
②若a>b,且b>c，则a c(传递性）
③若ab,且ba,则a b
④若a²0，则a=______
知识点三 一元一次不等式与一元一次不等式组的解法和应用
12.解题步骤： ①去分母
②去括号
③移项、合并同类项
④系数化为1
13.解集的确定:①数轴法 ②口诀法
14.应用：①与一次函数的综合应用 ②实际应用
考点一 不等式的基本性质
典型例题1.（2018.广西）若m>n，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
跟踪练习1.若a>b,则下列不等式变形错误的是（ ）
A. B.
C. D.
跟踪练习2.如果t>0,那么a+t与a的大小关系（ ）
A. B.
C. D.不能确定
考点二 解一元一次不等式
典型例题2.（2018.东莞）不等式的解集（ ）
A. B. C. D.
跟踪练习3.不等式的解是（ ）
A. B. C. D.
跟踪练习4.不等式的解是______.
考点三 解一元一次不等式组
典型例题3.（2018.襄阳）不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D.空集
跟踪练习5.解下列不等式组
① ②
考点四 利用数轴表示不等式的解集
典型例题4.(2018 辽宁省铁岭市)不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
跟踪练习6.已知不等式≤＜，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
跟踪练习7.把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
考点五 利用不等式求字母的值或取值范围
典型例题5.（2018.眉山）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围（ ）
跟踪练习8.若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
跟踪练习9.已知点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3 B．﹣3＜a＜1 C．a＞﹣3 D．a＞1
考点六 一次函数与一元一次不等式
典型例题6.已知不等式ax+b＞0的解集是x＜﹣2，则函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
．
【巩固训练】
一．选择题
1.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D.
4.如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P，下面四个结论中正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0
C．当x＜0时，y1＞y2 D．当x＞2时，y1＜y2
5.在等腰△ABC中，AB=AC,其中周长为24cm,则AB边的取值范围是（ ）
6.一元一次不等式组的最大整数解是（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 D．0
二.填空题
7．不等式组的解集是 ．
8.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ．
9.不等式组的所有整数解的积为 .
10.若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，则a的取值范围是 ．
三．解答题
11.①解不等式组： ②解不等式组：
12.某车间有20名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.已知每加工一个甲种零件获利16元，每加工一个乙种零件获利24元.自己设计一个问题，根据题目中的条件列出不等式，并解答.
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