2003年广东省深圳市中考数学试卷

这是一份2003年广东省深圳市中考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）将695600保留两个有效数字的近似数是（ ）
A．690000B．700000C．6.9×105D．7.0×105
2．（5分）实数，sin30°，+1，2π，（）0，|﹣3|中，有理数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（5分）已知三角形的两边a＝3，b＝7，第三边是c，且a＜b＜c，则c的取值范围是（ ）
A．4＜c＜7B．7＜c＜10C．4＜c＜10D．7＜c＜13
4．（5分）某班5位同学的身高分别为155，160，160，161，169（单位：厘米），这组数据中，下列说法错误的是（ ）
A．众数是160B．中位数是160
C．平均数是161D．标准差是2
5．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．3x﹣7＞0的解集为x＞
B．关于x的方程ax＝b的解是x＝
C．9的平方根是3
D．（）与（）互为倒数
6．（5分）计算：的结果是（ ）
A．1B．C．2﹣3D．
7．（5分）一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线，若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，则这两个圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．外切D．内切
8．（5分）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0有两个实数根x1、x2，直线l经过点A（x1+x2，0）、B（0，x1•x2），则直线l的解析式为（ ）
A．y＝2x﹣3B．y＝2x+3C．y＝﹣2x﹣3D．y＝﹣2x+3
9．（5分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝CD＝5，AC＝7，BE＝3，下列命题错误的是（ ）
A．△AED∽△BEC
B．∠AEB＝90°
C．∠BDA＝45°
D．图中全等的三角形共有2对
10．（5分）如图，直线l1∥l2，AF：FB＝2：3，BC：CD＝2：1，则AE：EC是（ ）
A．5：2B．4：1C．2：1D．3：2
二、解答题（共4小题，满分50分）
11．（10分）先化简再求值：，其中x＝，y＝．
12．（10分）某工人要制造180个相同零件，在制造完40个零件后，他改进技术每天多制造15个零件，恰好共用6天全部完成，问该工人改进技术后每天制造多少个零件？
13．（12分）如图已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E、F在AB上，∠ECF＝45°．
（1）求证：△ACF∽△BEC；
（2）设△ABC的面积为S，求证：AF•BE＝2S；
（3）试判断以线段AE、EF、FB为边的三角形的形状并给出证明．
14．（18分）如图，已知A（5，﹣4），⊙A与x轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相切且于点D，
（1）求证过D、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）连接BD，求tan∠BDC的值；
（3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，
∠PFD的平分线FG交DC于G，求sin∠CGF的值．
2003年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）将695600保留两个有效数字的近似数是（ ）
A．690000B．700000C．6.9×105D．7.0×105
【分析】一个近似数的有效数字：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．
精确到十位或十位以前的数位时，要先用科学记数法表示出这个数，再进行四舍五入．
【解答】解：695600保留两个有效数字的近似数是7.0×105．
故选：D．
【点评】对于用科学记表示的数，有效数字的计算方法，与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
2．（5分）实数，sin30°，+1，2π，（）0，|﹣3|中，有理数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据有理数的概念判断．
【解答】解：是有理数；
sin30°＝是有理数；
+1是无理数；
2π是无理数；
（）0＝1是有理数；
|﹣3|＝3是有理数．
有理数有，sin30°，（）0，|﹣3|，共四个．
故选：C．
【点评】解答此题要明确有理数和无理数的概念和分类．
有理数包括正整数，负整数，正分数，负分数．
无理数是无限不循环小数．
3．（5分）已知三角形的两边a＝3，b＝7，第三边是c，且a＜b＜c，则c的取值范围是（ ）
A．4＜c＜7B．7＜c＜10C．4＜c＜10D．7＜c＜13
【分析】首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，根据a＜b＜c即可得c的取值范围．
【解答】解：根据三角形三边关系可得4＜c＜10，
∵a＜b＜c，
∴7＜c＜10．故选B．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：＞已知的两边的差，而＜两边的和．需注意本题的第三边要比其余两边较大的边要大．
4．（5分）某班5位同学的身高分别为155，160，160，161，169（单位：厘米），这组数据中，下列说法错误的是（ ）
A．众数是160B．中位数是160
C．平均数是161D．标准差是2
【分析】利用众数是出现频数最高的数据即可判断A是对的；
利用中位数的求法，可知B是对的；
利用平均数的求法可知C是对的；
利用方差的公式可求出方差，和标准差＝方差的算术平方根，从而对D作出判断．
【解答】解：因为众数是出现频数最高的数据即160厘米，所以A是对的；
对于中位数，因题中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的一个数即160厘米，所以B是对的；
根据平均数的公式得平均数为（155+160+160+161+169）＝161厘米，故C是对的；
这组数据的方差为：[（155﹣161）2+（160﹣161）2+（160﹣161）2+（161﹣161）2+（169﹣161）2]＝，标准差＝方差的算术平方根，所以标准差是，所以D是错误的．
综上，故选D．
【点评】本题考查的是平均数、众数、中位数及标准差．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．
5．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．3x﹣7＞0的解集为x＞
B．关于x的方程ax＝b的解是x＝
C．9的平方根是3
D．（）与（）互为倒数
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、3x﹣7＞0的解集为x＞，错误；
B、关于x的方程ax＝b的解是x＝需加条件a≠0，错误；
C、9的平方根是±3，错误；
D、正确；
故选：D．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（5分）计算：的结果是（ ）
A．1B．C．2﹣3D．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：∵ct45°＝1，cs60°＝，cs30°＝，tan60°＝，
∴原式＝•＝1．
故选：A．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
7．（5分）一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线，若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，则这两个圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．外切D．内切
【分析】本题可根据等腰梯形的中位线＝上下底边和的一半，得出高的长，再解出两个圆的半径和，与高的长比较；若d＝R+r则两圆外切，若d＝R﹣r则两圆内切，若R﹣r＜d＜R+r则两圆相交．
【解答】解：设AD＝x，BC＝y，
则高＝中位线＝（x+y），
两圆半径和为：x+y＝（x+y）＝高，
所以两圆外切．
故选：C．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系和等腰梯形的性质．两圆的位置关系有：外离（d＞R+r）、内含（d＜R﹣r）、相切（外切：d＝R+r或内切：d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．等腰梯形的中位线＝上下底边和的一半．
8．（5分）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0有两个实数根x1、x2，直线l经过点A（x1+x2，0）、B（0，x1•x2），则直线l的解析式为（ ）
A．y＝2x﹣3B．y＝2x+3C．y＝﹣2x﹣3D．y＝﹣2x+3
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求出A，B的坐标，代入直线的解析式，求出k，b的值，从而确定直线的解析式．
【解答】解：由题意知，x1+x2＝，x1•x2＝﹣3，
∴A（，0），B（0，﹣3），
设直线l的解析式为：y＝kx+b，把点A，点B的坐标代入，解得，k＝2，b＝﹣3，
∴直线l的解析式为：y＝2x﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了两个内容：1、一元二次方程的根与系数的关系，若方程ax2+bx+c＝0（a≠0，且a、b、c都是常数），有两个实数根x1和x2，则x1+x2＝，x1•x2＝；
②利用待定系数法求函数的解析式．
9．（5分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝CD＝5，AC＝7，BE＝3，下列命题错误的是（ ）
A．△AED∽△BEC
B．∠AEB＝90°
C．∠BDA＝45°
D．图中全等的三角形共有2对
【分析】由圆周角的推论可以知道，∠ABE＝∠DCE，∠BAE＝∠CDE，而AB＝DC，可求出△ABE≌△DCE，由此可得出三对全等三角形，也可得出BE＝CE，AE＝DE，那么AE＝4，根据勾股定理的逆定理，可知△ABE为直角三角形，即∠AEB＝90°．由此可得出其他正确的结论．
【解答】解：A、根据圆周角的推论，可得到：∠ADE＝∠BCE，∠DAE＝∠CBE，∴△AED∽△BED，正确；
B、由上面的分析可知，BE＝CE＝3，AB＝5，AE＝AC﹣CE＝4，根据勾股定理的逆定理，△ABE为直角三角形，即∠AEB＝90°，正确；
C、AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA＝45°，正确；
D、从已知条件不难得到△ABE≌△DCE、△ABC≌△DCB、△ABD≌△DCA共3对，错误．
故选：D．
【点评】此题运用了圆周角定理的推论和相似三角形的判定、性质的有关知识．还用到了勾股定理的逆定理．
10．（5分）如图，直线l1∥l2，AF：FB＝2：3，BC：CD＝2：1，则AE：EC是（ ）
A．5：2B．4：1C．2：1D．3：2
【分析】为了便于计算，可设AF＝2x，BF＝3x，BC＝2y，CD＝y，利用AG∥BD，可得△AGF∽△BDF，从而可求出AG，那么就可求出AE：EC的值．
【解答】解：如图所示，
∵AF：FB＝2：3，BC：CD＝2：1
∴设AF＝2x，BF＝3x，BC＝2y，CD＝y
在△AGF和△BDF中，＝
∴＝
∴AG＝2y
在△AGE和△CDE中，AE：EC＝AG：CD＝2y：y＝2：1
故选：C．
【点评】根据三角形相似，找到各对相似三角形的共公边，建立起不同三角形之间的联系，是解答此题的关键．
二、解答题（共4小题，满分50分）
11．（10分）先化简再求值：，其中x＝，y＝．
【分析】本题可先把分式化简，然后将x、y的值代入化简后的式子求值即可．
【解答】解：原式＝﹣（1﹣x2y4）﹣x2y4
＝；
当x＝，y＝时，
原式＝＝．
【点评】本题考查了分式先化简再求值的问题，注意分式混合运算的顺序．
12．（10分）某工人要制造180个相同零件，在制造完40个零件后，他改进技术每天多制造15个零件，恰好共用6天全部完成，问该工人改进技术后每天制造多少个零件？
【分析】根据题目中的“恰好共用6天全部完成”可得出相等关系，从而只要表示出原来与现在所需的时间即可列出方程．
【解答】解：设该工人改进技术后每天制造x个零件．
由题意可得：．
解之得：x＝35或10（不合题意，舍去）
经检验：x＝35是原方程的解．
答：该工人改进技术后每天制造35个零件．
【点评】找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
13．（12分）如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E、F在AB上，∠ECF＝45°．
（1）求证：△ACF∽△BEC；
（2）设△ABC的面积为S，求证：AF•BE＝2S；
（3）试判断以线段AE、EF、FB为边的三角形的形状并给出证明．
【分析】（1）对应角相等，两三角形相似；
（2）根据相似三角形的性质证明AF•BE＝AC•BC＝2S；
（3）将△ACE绕C顺时针旋转90°到△CBG，边角边证明三角形全等，得出FG＝EF，在证明△FBG为直角三角形，得出三边构成三角形的形状．
【解答】证明：（1）∵AC＝BC，∠ECF＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，∠AFC＝45°+∠BCF＝∠ECB＝45°+∠BCF．
∴∠AFC＝∠ECB．
∴△ACF∽△BEC．
（2）∵△ACF∽△BEC，
∴，
∴AF•BE＝AC•BC．
∵，
∴AF•BE＝2S．
（3）直角三角形．
提示：方法1：将△ACE绕点C顺时针旋转90°到△BCG，使得AC与BC重合，连接FG．
可以证明△FBG是直角三角形．
方法2：将△ACE和△BCF分别以CE、CF所在直线为轴折叠，
则AC、BC的对应边正好重合与一条线段CG，连接GE、GF，则△FEG是直角三角形．
方法3：由（2）可知AF•BE＝AC•BC＝．
设AE＝a，BF＝b，EF＝c．
则（a+b）（b+c）＝（a+b+c）2，化简即得a2+b2＝c2，
所以以线段AE、EF、FB为边的三角形是以线段EF为斜边的直角三角形．
【点评】综合运用了相似三角形的判定和性质，旋转的方法将AE、EF、FB巧妙地转化为三角形．
14．（18分）如图，已知A（5，﹣4），⊙A与x轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相切且于点D，
（1）求证过D、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）连接BD，求tan∠BDC的值；
（3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，
∠PFD的平分线FG交DC于G，求sin∠CGF的值．
【分析】（1）已知了A点坐标，即可得出圆的半径和OD的长，连接AB，过A作BC的垂线不难求出B、C的坐标．然后可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）可取弧BC的中点H，连接AH、AB，那么根据垂径定理和圆周角定理不难得出∠BDC＝∠BAC＝∠BAH，由此可求出∠BDC的正切值．（也可通过求弦切角∠PCO的正切值来得出∠BDC的正切值）
（3）由于∠CGF＝∠CDF+∠GFD＝∠CDF+∠CFD，而∠PCO＝∠PFD＝∠BDC，那么∠CGF＝∠CDF+∠BDC＝∠HDF，在直角三角形ADH中，DA＝AH，因此∠HDF＝45°，即∠CGF＝45°，据此可求出其正弦值．
【解答】解：（1）D（0，﹣4），B（2，0），C（8，0）；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣4
∴y＝﹣（x﹣5）2+．
（2）由垂径定理，作弧BC的中点H，连接AH、AB，则
∠BDC＝∠BAH＝∠BAC，
∴tan∠BDC＝tan∠BAH＝．
（3）由（1）可知：P（5，），
可求得直线PC的解析式为y＝﹣x+6．
设M为直线PC与y轴的交点，则M的坐标为（0，6）．
∴MD＝MC＝10，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴∠MCA＝∠MDA＝∠MDC+∠CDA＝90°，
∴∠MCO＝∠BDC＝∠PFD，
∴∠CGF＝∠GDF+∠PFD＝∠GDF+∠BDC＝∠HDF＝45°，
∵DA＝AH＝半径，
∴sin∠CGF＝sin45°＝．
【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、弦切角定理和垂径定理等知识．
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日期：2021/6/18 15:45:40；用户：初中数学；邮箱：sxljy01@xyh.cm；学号：24425668

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