2008年广东省深圳市中考数学试卷

这是一份2008年广东省深圳市中考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）4的平方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．16
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a5C．（a2）3＝a5D．a10÷a2＝a5
3．（3分）2008年北京奥运会全球共选拔21 880名火炬手，创历史记录．将这个数据精确到千位，用科学记数法表示为（ ）
A．22×103B．2.2×105C．2.2×104D．0.22×105
4．（3分）如图，圆柱的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是（ ）
A．众数是80B．中位数是75C．平均数是80D．极差是15
7．（3分）今年财政部将证券交易印花税税率由3‰调整为1‰（1‰表示千分之一）．某人在调整后购买100 000元股票，则比调整前少交证券交易印花税多少元（ ）
A．200元B．2000元C．100元D．1000元
8．（3分）下列命题中错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
9．（3分）把二次函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+2B．y＝﹣（x+1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣（x+1）2﹣2
10．（3分）如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）有5张质地相同的卡片，它们的背面都相同，正面分别印有“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”、“妮妮”五种不同形象的福娃图片．现将它们背面朝上，卡片洗匀后，任抽一张是“欢欢”的概率是 ．
12．（3分）分解因式：ax2﹣4a＝ ．
13．（3分）如图，直线OA与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝ ．
14．（3分）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是 ．
15．（3分）观察表一，寻找规律．表二，表三分别是从表一中选取的一部分，则a+b的值为 ．
表一：
表二：
表三：
三、解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）计算：|﹣3|+•tan30°﹣﹣（2008﹣π）0．
17．（7分）先化简代数式÷，然后选取一个合适的a值，代入求值．
18．（7分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．
19．（8分）某商场对今年端午节这天销售A、B、C三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制如图所示的统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）哪一种品牌粽子的销售量最大？
（2）补全条形统计图；
（3）写出A品牌粽子在图中所对应的圆心角的度数；
（4）根据上述统计信息，明年端午节期间该商场对A、B、C三种品牌的粽子如何进货？请你提一条合理化的建议．
20．（8分）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cs∠BFA＝，求△ACF的面积．
21．（9分）“震灾无情人有情”．民政局将全市为四川受灾地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．
（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．则民政局安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元．民政局应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
22．（10分）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．
2008年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）4的平方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．16
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的一个平方根．
【解答】解：∵（±2 ）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故选：A．
【点评】本题主要考查平方根的定义，解题时利用平方根的定义即可解决问题．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a5C．（a2）3＝a5D．a10÷a2＝a5
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a2•a3＝a5，正确；
C、应为（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；
D、应为a10÷a2＝a10﹣2＝a8，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并．
3．（3分）2008年北京奥运会全球共选拔21 880名火炬手，创历史记录．将这个数据精确到千位，用科学记数法表示为（ ）
A．22×103B．2.2×105C．2.2×104D．0.22×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于21 880有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．
【解答】解：将21 880这个数据精确到千位，用科学记数法表示为2.2×104．
故选：C．
【点评】把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．
规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；
（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
注意本题精确到千位，
4．（3分）如图，圆柱的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左边看时，圆柱是一个圆，
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6．（3分）某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是（ ）
A．众数是80B．中位数是75C．平均数是80D．极差是15
【分析】根据平均数，中位数，众数，极差的概念逐项分析．
【解答】解：A、80出现的次数最多，所以众数是80，A正确；
B、把数据按大小排列，中间两个数为80，80，所以中位数是80，B错误；
C、平均数是＝80，C正确；
D、极差是90﹣75＝15，D正确．
故选：B．
【点评】此题考查学生对平均数，中位数，众数，极差的理解．
7．（3分）今年财政部将证券交易印花税税率由3‰调整为1‰（1‰表示千分之一）．某人在调整后购买100 000元股票，则比调整前少交证券交易印花税多少元（ ）
A．200元B．2000元C．100元D．1000元
【分析】调整前所交证券交易印花税﹣调整后所交证券交易印花税，即为比调整前少交证券的交易印花税．
【解答】解：根据题意得，调整后比调整前少交证券交易印花税100000×（3‰﹣1‰）＝200元．
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算的实际应用．
8．（3分）下列命题中错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据平行四边形和矩形的性质和判定进行判定．
【解答】解：根据平行四边形和矩形的性质和判定可知：选项A、B、C均正确．D中说法应为：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
故选：D．
【点评】本题利用了平行四边形和矩形的性质和判定方法求解．
9．（3分）把二次函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+2B．y＝﹣（x+1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣（x+1）2﹣2
【分析】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），先向右平移1个单位，再向上平移2个单位那么新抛物线的顶点为（1，2）．
可设新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k代入2得：y＝﹣（x﹣1）2+2．
故选：A．
【点评】抛物线平移不改变a的值，利用平移规律解答．
10．（3分）如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接AC，根据题意可得△ABC为等边三角形，从而可得到∠A的度数，再根据弧长公式求得弧BC的长度．
【解答】解：连接AC，可得AB＝BC＝AC＝1，则∠BAC＝60°，根据弧长公式，可得
弧BC的长度等于＝，故选C．
【点评】此题主要考查菱形、等边三角形的性质以及弧长公式的理解及运用．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）有5张质地相同的卡片，它们的背面都相同，正面分别印有“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”、“妮妮”五种不同形象的福娃图片．现将它们背面朝上，卡片洗匀后，任抽一张是“欢欢”的概率是 ．
【分析】让“欢欢”的张数除以卡片的总张数即为所求的概率．
【解答】解：因为共有正面分别印有“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”、“妮妮”五种不同形象的福娃图片，所以任抽一张是“欢欢”的概率是．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
12．（3分）分解因式：ax2﹣4a＝ a（x+2）（x﹣2） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣4a，
＝a（x2﹣4），
＝a（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．（3分）如图，直线OA与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝ 4 ．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：由题意得：S△OAB＝|k|＝2；
又由于反比例函数在第一象限，k＞0；
则k＝4．
故答案为：4．
【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
14．（3分）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是 10 ．
【分析】本题首先要明确奶站应建在何处，点A关于x轴的对称点A1的坐标是（0，﹣3），则线段A1B与x轴的交点就是奶站应建的位置．从A、B两点到奶站距离之和最小时就是线段A1B的长．通过点B向x轴作垂线与过A1和x轴平行的直线交于C，根据勾股定理就可求出．
【解答】解：点A关于x轴的对称点A1的坐标是（0，﹣3），过点B向x轴作垂线与过A1和x轴平行的直线交于C，
则A1C＝6，BC＝8，
∴A1B＝＝10
∴从A、B两点到奶站距离之和的最小值是10．
故填10．
【点评】本题考查了轴对称的应用；正确确定奶站的位置是解题的关键，确定奶站的位置这一题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．
15．（3分）观察表一，寻找规律．表二，表三分别是从表一中选取的一部分，则a+b的值为 37 ．
表一：
表二：
表三：
【分析】每一竖行相隔的数是相同的，每相邻两个横行之间相隔的数也相隔1．
【解答】解：表二从竖行看，下边的数应比上面的数大3，
∴a＝14+3＝17．
表三从竖行看，下边的数比上边的数大6，那么后面那行下边的数就该比上边的数大7．
∴b＝13+7＝20
∴a+b的值为37．
【点评】关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
三、解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）计算：|﹣3|+•tan30°﹣﹣（2008﹣π）0．
【分析】按照实数的运算法则依次计算：|﹣3|＝3，tan30°＝，＝2，（2008﹣π）0＝1．
【解答】解：原式＝＝3+1﹣2﹣1＝1．
（注：只写后两步也给满分．）
【点评】本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值．涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．
17．（7分）先化简代数式÷，然后选取一个合适的a值，代入求值．
【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．要注意的是a的取值需使原式有意义．
【解答】解：方法一：原式＝
＝
＝a2+4；
方法二：原式＝
＝a（a﹣2）+2（a+2）
＝a2+4；
取a＝1，原式＝5．
（注：答案不唯一．如果求值这一步，取a＝2或﹣2，则不给分．）
【点评】考查学生分式运算能力．这类题也是一类创新题，有利于培养同学们的发散思维，其结论往往因所选x值的不同而不同，但要注意所选x的值要使a2﹣4≠0，即x≠±2．
18．（7分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．
【分析】（1）证明ABCD是等腰梯形，需证∠ADC＝∠C，而∠BDC＝∠E，而DB平分∠ADC，所以∠E＝∠BDC＝∠ADB，所以∠ADC＝2∠E＝∠C，从而可证明其是等腰梯形．
（2）根据已知得到∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5，所以∠DBC＝90°，得到DC＝2BC＝10．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，
∴∠E＝∠BDC．
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠BDC．
又∵∠C＝2∠E，
∴∠ADC＝∠BCD．
∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5，
∵在△BCD中，∠C＝60°，∠BDC＝30°，
∴∠DBC＝90°．
∴DC＝2BC＝10．
【点评】考查了等腰梯形的判定、直角三角形性质以及推理能力．
19．（8分）某商场对今年端午节这天销售A、B、C三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制如图所示的统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）哪一种品牌粽子的销售量最大？
（2）补全条形统计图；
（3）写出A品牌粽子在图中所对应的圆心角的度数；
（4）根据上述统计信息，明年端午节期间该商场对A、B、C三种品牌的粽子如何进货？请你提一条合理化的建议．
【分析】（1）从扇形统计图中得出C品牌的销售量最大，为50%；
（2）总销售量＝1200÷50%＝2400个，B品牌的销售量＝2400﹣1200﹣400＝800个，补全图形即可；
（3）A品牌粽子在图中所对应的圆心角的度数＝360°×（400÷2400）＝60°；
（4）由于C品牌的销售量最大，所以建议多进C种．
【解答】解：（1）从扇形统计图中得出C品牌的销售量最大，为50%；
（2）总销售量＝1200÷50%＝2400个，
B品牌的销售量＝2400﹣1200﹣400＝800个，
（3）A品牌粽子在图中所对应的圆心角的度数＝360°×（400÷2400）＝60°；
（4）建议：C品牌的粽子应该多进货．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（8分）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cs∠BFA＝，求△ACF的面积．
【分析】（1）利用斜边上的中线等于斜边的一半，可判断△DOB是直角三角形，则∠OBD＝90°，BD是⊙O的切线；
（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】（1）证明：连接BO，
方法一：∵AB＝AD
∴∠D＝∠ABD
∵AB＝AO
∴∠ABO＝∠AOB
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
方法二：∵AB＝AO，BO＝AO
∴AB＝AO＝BO
∴△ABO为等边三角形
∴∠BAO＝∠ABO＝60°
∵AB＝AD
∴∠D＝∠ABD
又∠D+∠ABD＝∠BAO＝60°
∴∠ABD＝30°
∴∠OBD＝∠ABD+∠ABO＝90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
方法三：∵AB＝AD＝AO
∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC＝90°
在Rt△BFA中，cs∠BFA＝
∴
又∵S△BEF＝8
∴S△ACF＝18．
【点评】本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定及性质等内容，是一个综合较强的题目，难度较大．
21．（9分）“震灾无情人有情”．民政局将全市为四川受灾地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．
（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．则民政局安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元．民政局应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
【分析】（1）有两个等量关系：帐篷件数+食品件数＝320，帐篷件数﹣食品件数＝80，直接设未知数，列出二元一次方程组，求出解；
（2）先由等量关系得到一元一次不等式组，求出解集，再根据实际含义确定方案；
（3）分别计算每种方案的运费，然后比较得出结果．
【解答】解：（1）设该校采购了y件小帐篷，x件食品．
根据题意，得，
解得．
故打包成件的帐篷有200件，食品有120件；
（2）设甲种货车安排了z辆，则乙种货车安排了（8﹣z）辆．则
，
解得2≤z≤4．
则z＝2或3或4，民政局安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；
②甲车3辆，乙车5辆；
③甲车4辆，乙车4辆；
（3）3种方案的运费分别为：
①2×4000+6×3600＝29600（元）；
②3×4000+5×3600＝30000（元）；
③4×4000+4×3600＝30400（元）．
∵方案一的运费小于方案二的运费小于方案三的运费，
∴方案①运费最少，最少运费是29600元．
【点评】考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用．关键是弄清题意，找出等量或者不等关系：帐篷件数+食品件数＝320，帐篷件数﹣食品件数＝80，甲种货车辆数+乙种货车辆数＝8，得到乙种货车辆数＝8﹣甲种货车辆数，代入下面两个不等关系：甲种货车装运帐篷件数+乙种货车装运帐篷件数≥200，甲种货车装运食品件数+乙种货车装运食品件数≥120．
22．（10分）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．
【分析】（1）求二次函数的表达式，需要求出A、B、C三点坐标．已知B点坐标，且OB＝OC，可知C（0，3），tan∠ACO＝，则A坐标为（﹣1，0）．将A，B，C三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式．
（2）假设存在这样的点F（m，n），已知抛物线关系式，求出顶点D坐标，今儿求出直线CD，E是直线与x轴交点，可得E点坐标．四边形AECF为平行四边形，则CE∥AF，则两直线斜率相等，可列等式（1），CE＝AF，可列等式（2），F在抛物线上，为等式（3），根据这三个等式，即可求出m、n是否存在．
（3）分情况讨论，当圆在x轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为r，则N的坐标为（r+1，r），将其代入抛物线解析式，可求出r的值．当圆在x轴的下方时，方法同上，只是N的坐标变为（r+1，﹣r），代入抛物线解析式即可求解．
（4）G在抛物线上，代入解析式求出G点坐标，设点P的坐标为（x，y），即（x，x2﹣2x﹣3）已知点A、G坐标，可求出线段AG的长度，以及直线AG的解析式，再根据点到直线的距离求出P到直线的距离，即为三角形AGP的高，从而用x表示出三角形的面积，然后求当面积最大时x的值．
【解答】解：（1）方法一：由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0），
将A、B、C三点的坐标代入，得：
，
解得：，
所以这个二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
方法二：由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0），
设该表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
将C点的坐标代入得：a＝1，
所以这个二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）
（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，﹣3），
理由：易得D（1，﹣4），
所以直线CD的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴E点的坐标为（﹣3，0），
由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF，
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴存在点F，坐标为（2，﹣3），
方法二：易得D（1，﹣4），所以直线CD的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴E点的坐标为（﹣3，0），
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴F点的坐标为（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣4，3），
代入抛物线的表达式检验，只有（2，﹣3）符合，
∴存在点F，坐标为（2，﹣3）．
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，
设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得，
②当直线MN在x轴下方时，
设圆的半径为r（r＞0），
则N（r+1，﹣r），
代入抛物线的表达式，
解得，
∴圆的半径为或．
（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，﹣3），直线AG为y＝﹣x﹣1．
设P（x，x2﹣2x﹣3），则Q（x，﹣x﹣1），
PQ＝﹣x2+x+2．S△APG＝S△APQ+S△GPQ＝（﹣x2+x+2）×3
当x＝时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为（，﹣），S△APG的最大值为．
【点评】此题考查二次函数与x轴，y轴坐标求法，顶点坐标公式，二次函数图象与平行四边形，圆相结合，重点考查了平行四边形，圆的性质特征．
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日期：2021/6/18 15:44:14；用户：初中数学；邮箱：sxljy01@xyh.cm；学号：24425668

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