2013年广东省深圳市中考数学试卷

这是一份2013年广东省深圳市中考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．（ab）2＝ab2
C．（a3）2＝a5D．a•a2＝a3
3．（3分）某活动中，共募得捐款32000000元，将32000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.32×108B．3.2×106C．3.2×107D．32×106
4．（3分）如图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）某校有21名同学们参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的（ ）
A．最高分B．中位数C．极差D．平均数
6．（3分）分式的值为0，则（ ）
A．x＝﹣2B．x＝±2C．x＝2D．x＝0
7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．33B．﹣33C．﹣7D．7
8．（3分）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（ ）
A．8或B．10或C．10或D．8或
10．（3分）下列命题是真命题的有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
④有三个角是直角的四边形是矩形；
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，三角形的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：4x2﹣8x+4＝ ．
14．（3分）写有“中国”、“美国”、“英国”、“韩国”的四张卡片，从中随机抽取一张，抽到卡片所对应的国家为亚洲的概率是 ．
15．（3分）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价 元．
16．（3分）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形…按这样的规律下去，第7幅图中有 个正方形．
三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）
17．（5分）计算：|﹣|+﹣4sin45°﹣．
18．（6分）解不等式组：，并写出其整数解．
19．（7分）2013年起，深圳市实施行人闯红灯违法处罚，处罚方式分为四类：“罚款20元”、“罚款50元”、“罚款100元”、“穿绿马甲维护交通”．如图是实施首日由某片区的执法结果整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）实施首日，该片区行人闯红灯违法受处罚一共 人；
（2）在所有闯红灯违法受处罚的行人中，穿绿马甲维护交通所占的百分比是 %；
（3）据了解，“罚款20元”人数是“罚款50元”人数的2倍，请补全条形统计图；
（4）根据（3）中的信息，在扇形统计图中，“罚款20元”所在扇形的圆心角等于 度．
20．（8分）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝DC，AC与BD交于点O，延长BC到E，使得CE＝AD，连接DE．
（1）求证：BD＝DE．
（2）若AC⊥BD，AD＝3，SABCD＝16，求AB的长．
21．（8分）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
22．（9分）如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y＝x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．
（1）点B的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为 ；
（2）如图2，求证：BD∥AC；
（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ＝5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．
23．（9分）如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n＝20（其中m＞0，n＞0）．
（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？
（2）如图2，在（1）的条件下，函数的图象与直线AB相交于C、D两点，若，求k的值．
（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）．
2013年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．（ab）2＝ab2
C．（a3）2＝a5D．a•a2＝a3
【分析】A、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；
B、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a2+2ab+b2，本选项错误；
B、原式＝a2b2，本选项错误；
C、原式＝a6，本选项错误；
D、原式＝a3，本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，去括号与添括号，以及同底数幂的除法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
3．（3分）某活动中，共募得捐款32000000元，将32000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.32×108B．3.2×106C．3.2×107D．32×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：32 000 000＝3.2×107，
故选：C．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称及中心对称概念，结合选项即可得出答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
5．（3分）某校有21名同学们参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的（ ）
A．最高分B．中位数C．极差D．平均数
【分析】由于有21名同学参加百米竞赛，要取前11名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【解答】解：共有21名学生参加预赛，取前11名，所以小颖需要知道自己的成绩是否进入前11．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，
第11名的成绩是这组数据的中位数，所以小颖知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：B．
【点评】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（3分）分式的值为0，则（ ）
A．x＝﹣2B．x＝±2C．x＝2D．x＝0
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：由题意，得
x2﹣4＝0，且x+2≠0，
解得x＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．33B．﹣33C．﹣7D．7
【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数，求出a与b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵点P（﹣20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，
∴a＝﹣13，b＝20，
∴a+b＝﹣13+20＝7．
故选：D．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8．（3分）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先表示出爸爸和小朱的速度，再根据题意可得等量关系：小朱走1440米的时间＝爸爸走1440米的时间+10分钟，根据等量关系，表示出爸爸和小朱的时间，根据时间关系列出方程即可．
【解答】解：设小朱速度是x米/分，则爸爸的速度是（x+100）米/分，由题意得：
＝+10，
即：＝+10，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，表示出爸爸和小朱的时间各走1440米所用时间，再由时间关系找出相等关系，列出方程．
9．（3分）如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（ ）
A．8或B．10或C．10或D．8或
【分析】根据三角函数可以计算出BC＝4，AC＝2，再根据中位线的性质可得CD＝AD＝，CF＝BF＝2，DF＝1，然后拼图，出现两种情况，一种是拼成一个矩形，另一种拼成一个平行四边形，进而算出周长即可．
【解答】解：由题意可得：AB＝2，
∵∠C＝30°，
∴BC＝4，AC＝2，
∵图中所示的中位线剪开，
∴CD＝AD＝，CF＝BF＝2，DF＝1，
如图1所示：拼成一个矩形，矩形周长为：1+1+2++＝4+2；
如图2所示，可以拼成一个平行四边形，周长为：2+2+2+2＝8，
故选：D．
【点评】此题主要考查了图形的剪拼，关键是根据画出图形，要考虑全面，不要漏解．
10．（3分）下列命题是真命题的有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
④有三个角是直角的四边形是矩形；
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案．
【解答】解：①对顶角相等正确，是真命题；
②两直线平行，内错角相等正确，是真命题；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形应该是相似，而不是全等，原命题错误，是假命题；
④有三个角是直角的四边形是矩形，正确，是真命题；
⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原命题错误，是假命题，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例．
11．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先根据二次函数图象得出a，c的值，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限．
【解答】解：根据二次函数开口向上则a＞0，根据﹣c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，
故一次函数y＝ax+c的大致图象经过一、二、三象限，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的值是解题关键．
12．（3分）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，三角形的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD＝BE，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍求出AB，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC＝BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝1，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝，
在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝×＝，
∴sinα＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：4x2﹣8x+4＝ 4（x﹣1）2 ．
【分析】先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：4x2﹣8x+4＝4（x2﹣2x+1）＝4（x﹣1）2．
故答案为：4（x﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14．（3分）写有“中国”、“美国”、“英国”、“韩国”的四张卡片，从中随机抽取一张，抽到卡片所对应的国家为亚洲的概率是 ．
【分析】由有“中国”、“美国”、“英国”、“韩国”的四张卡片，卡片所对应的国家为亚洲的有“中国”、“韩国”，利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵有“中国”、“美国”、“英国”、“韩国”的四张卡片，卡片所对应的国家为亚洲的有“中国”、“韩国”，
∴从中随机抽取一张，抽到卡片所对应的国家为亚洲的概率是：＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价 2750 元．
【分析】设空调的标价为x元，根据销售问题的数量关系利润＝售价﹣进价＝进价×利润率建立方程求出其解就可以了．
【解答】解：设空调的标价为x元，由题意，得
80%x﹣2000＝2000×10%，
解得：x＝2750．
故答案为：2750．
【点评】本题是一道关于销售问题的运用题，考查了利润＝售价﹣进价＝进价×利润率在实际问题中的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
16．（3分）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形…按这样的规律下去，第7幅图中有 140 个正方形．
【分析】观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4＝5个正方形，第三个有1+4+9＝14个正方形，…从而得到答案．
【解答】解：观察图形发现第一个有1个正方形，
第二个有1+4＝5个正方形，
第三个有1+4+9＝14个正方形，
…
第n个有：n（n+1）（2n+1）个正方形，
第7个有1+4+9+16+25+36+49＝140个正方形，
故答案为：140．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细关系图形并找到规律，本题采用了穷举法．
三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）
17．（5分）计算：|﹣|+﹣4sin45°﹣．
【分析】本题涉及绝对值、负指数幂、特殊角的三角函数值、0指数幂等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝|﹣2|+﹣4×﹣1
＝2+3﹣2﹣1
＝2．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值、负指数幂、特殊角的三角函数值、0指数幂等考点的运算．
18．（6分）解不等式组：，并写出其整数解．
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＞﹣，
∴不等式组的解集为：﹣＜x＜2，
即不等式组的整数解为：0、1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
19．（7分）2013年起，深圳市实施行人闯红灯违法处罚，处罚方式分为四类：“罚款20元”、“罚款50元”、“罚款100元”、“穿绿马甲维护交通”．如图是实施首日由某片区的执法结果整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）实施首日，该片区行人闯红灯违法受处罚一共 200 人；
（2）在所有闯红灯违法受处罚的行人中，穿绿马甲维护交通所占的百分比是 65 %；
（3）据了解，“罚款20元”人数是“罚款50元”人数的2倍，请补全条形统计图；
（4）根据（3）中的信息，在扇形统计图中，“罚款20元”所在扇形的圆心角等于 72 度．
【分析】（1）根据罚款100元的有10人，占的比例是5%，即可求得调查的总人数；
（2）百分比的定义即可求解；
（3）求得先“罚款20元”人数是“罚款50元”人数的和，然后根据“罚款20元”人数是“罚款50元”人数的2倍，即可求得各自的人数，从而作出统计图；
（4）利用360度乘以对应的比例即可求得．
【解答】解：（1）10÷5%＝200（人）．
故答案是：200；
（2）×100%＝65%，故答案是：65；
（3）“罚款20元”人数是“罚款50元”人数的和是：200﹣10﹣130＝60（人），
则罚款20元”人数是40人，“罚款50元”人数是20．
；
（4）“罚款20元”所在扇形的圆心角等于360×＝72°．
故答案是：72．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（8分）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝DC，AC与BD交于点O，延长BC到E，使得CE＝AD，连接DE．
（1）求证：BD＝DE．
（2）若AC⊥BD，AD＝3，SABCD＝16，求AB的长．
【分析】（1）由AD∥BC，CE＝AD，可得四边形ACED是平行四边形，即可证得AC＝DE，又由等腰梯形的性质，可得AC＝BD，即可证得结论；
（2）首先过点D作DF⊥BC于点F，可证得△BDE是等腰直角三角形，由SABCD＝16，可求得BD的长，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，CE＝AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB＝DC，
∴AC＝BD，
∴BD＝DE．
（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE＝AD＝3，AC∥DE，
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DE，
∵BD＝DE，
∴S△BDE＝BD•DE＝BD2＝BE•DF＝（BC+CE）•DF＝（BC+AD）•DF＝S梯形ABCD＝16，
∴BD＝4，
∴BE＝BD＝8，
∴DF＝BF＝EF＝BE＝4，
∴CF＝EF﹣CE＝1，
∴由勾股定理得AB＝CD＝＝．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、平行四边形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
21．（8分）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
【分析】根据已知得出旗杆高度，进而得出GM＝MH，再利用勾股定理求出半径即可．
【解答】解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，
∴8米高旗杆DE的影子为：12m，
∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，
∴GH＝12﹣3﹣1＝8（m），
∴GM＝MH＝4m．
如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．
设小桥所在圆的半径为r，
∵MN＝2m，
∴OM＝（r﹣2）m．
在Rt△OGM中，由勾股定理得：
∴OG2＝OM2+42，
∴r2＝（r﹣2）2+16，
解得：r＝5，
答：小桥所在圆的半径为5m．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用，根据已知得出关于r的等式是解题关键．
22．（9分）如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y＝x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．
（1）点B的坐标为（ 6 ， 2 ），抛物线的表达式为 y＝x2+x﹣7 ；
（2）如图2，求证：BD∥AC；
（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ＝5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．
【分析】（1）如答图1，作辅助线，证明△AOC≌△CEB，由此得到点B的坐标；再由点C、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）如答图2，作辅助线，求出△BCD三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判定其为直角三角形，从而问题得证；
（3）如答图3，利用勾股定理依次求出CQ、CF、AF的长度，然后利用垂径定理AP＝2AF求出AP的长度．
【解答】（1）解：如答图1所示，过点B作BE⊥x轴于点E．
∵AC⊥BC，
∴∠ACO+∠BCE＝90°，
∵∠ACO+∠OAC＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠OAC＝∠BCE，∠ACO＝∠CBE．
∵在△AOC与△CEB中，
∴△AOC≌△CEB（ASA）．
∴CE＝OA＝4，BE＝OC＝2，
∴OE＝OC+CE＝6．
∴B点坐标为（6，2）．
∵点C（2，0），B（6，2）在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴，
解得b＝，c＝﹣7．
∴抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣7．
（2）证明：在抛物线表达式y＝x2+x﹣7中，令y＝0，即x2+x﹣7＝0，
解得x＝2或x＝7，∴D（7，0）．
如答图2所示，过点B作BE⊥x轴于点E，则DE＝OD﹣OE＝1，CD＝OD﹣OC＝5．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD＝＝＝；
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC＝＝＝．
在△BCD中，BD＝，BC＝，CD＝5，
∵BD2+BC2＝CD2
∴△BCD为直角三角形，∠CBD＝90°，
∴∠CBD＝∠ACB＝90°，
∴AC∥BD．
（3）解：如答图3所示：
由（2）知AC＝BC＝，又AQ＝5，
则在Rt△ACQ中，由勾股定理得：CQ＝＝＝．
过点C作CF⊥PQ于点F，
∵S△ACQ＝AC•CQ＝AQ•CF，
∴CF＝＝＝2．
在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF＝＝＝4．
由垂径定理可知，AP＝2AF，
∴AP＝8．
【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理、垂径定理等知识点．本题设计考点清晰，层次合理：第（1）问主要考查全等三角形和待定系数法，第（2）问主要考查勾股定理及其逆定理，第（3）问主要考查垂径定理与勾股定理．
23．（9分）如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n＝20（其中m＞0，n＞0）．
（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？
（2）如图2，在（1）的条件下，函数的图象与直线AB相交于C、D两点，若，求k的值．
（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）．
【分析】（1）由A（m，0），B（0，n），可以表示出OA＝m，OB＝n，由三角形的面积公式就可以求出结论；
（2）由（1）的结论可以求出点A点B的坐标，就可以求出直线AB的解析式，根据双曲线的对称性就可以求出S△OBD＝S△OAC的值，再由三角形的面积公式就可以求出其值；
（3）根据平移的性质可以求得△O′C′D′∽△O′CD，再由相似三角形的性质就可以求出就可以求出S△O′C′D′和S△O′CD的面积关系，从而可以求出S与运动时间t之间的函数关系式．
【解答】解：（1）∵A（m，0），B（0，n），
∴OA＝m，OB＝n．
∴S△AOB＝．
∵m+n＝20，
∴n＝20﹣m，
∴S△AOB＝＝m2+10m＝﹣（m﹣10）2+50
∵a＝﹣＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴m＝10时，S最大＝50；
（2）∵m＝10，m+n＝20，
∴n＝10，
∴A（10，0），B（0，10），
设AB的解析式为y＝kx+b，由图象，得
，
解得：，
y＝﹣x+10．
，
∴设S△OCD＝8a．则S△OAC＝a，
∴S△OBD＝S△OAC＝a，
∴S△AOB＝10a，
∴10a＝50，
∴a＝5，
∴S△OAC＝5，
∴OA•y＝5，
∴y＝1．
1＝﹣x+10，
x＝9
∴C（9，1），
∴1＝，
∴k＝9；
（3）移动后重合的部分的面积是△O′C′D′，t秒后点O的坐标为O′（t，0），
O′A＝10﹣t，O′E＝10．
∵C′D′∥CD，
∴△O′C′D′∽△O′CD，
∴，
∴
S＝40•，
∴（0＜t＜10）．
【点评】本题考查了二次函数的最值的运用，反比例函数的图象的对称性的运用，相似三角形的相似比与面积之比的关系的运用，动点问题直线问题的运用，解答时求出函数的解析式及交点坐标是解答本题的关键．
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日期：2021/4/25 10:46:20；用户：初中数学；邮箱：sxljy01@xyh.cm；学号：24425668

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