2017年广东省深圳市中考数学试卷

这是一份2017年广东省深圳市中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣D．
2．（3分）图中立体图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系，去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨，将8200000用科学记数法表示为（ ）
A．8.2×105B．82×105C．8.2×106D．82×107
4．（3分）观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列选项中，哪个不可以得到l1∥l2？（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠5D．∠3+∠4＝180°
6．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣1或x＞3D．﹣1＜x＜3
7．（3分）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（ ）
A．10%x＝330B．（1﹣10%）x＝330
C．（1﹣10%）2x＝330D．（1+10%）x＝330
8．（3分）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至M，则∠BCM的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
9．（3分）下列哪一个是假命题（ ）
A．五边形外角和为360°
B．切线垂直于经过切点的半径
C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）
D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2
10．（3分）某共享单车前a公里1元，超过a公里的，每公里2元，若要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，a应该要取什么数（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
11．（3分）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（ ）m．
A．20B．30C．30D．40
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，tan∠OAE＝，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．（3分）因式分解：a3﹣4a＝ ．
14．（3分）在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，任意摸两个球，摸到1黑1白的概率是 ．
15．（3分）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2＝﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）＝ ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ ．
三、解答题
17．（5分）计算：|﹣2|﹣2cs45°+（﹣1）﹣2+．
18．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．
19．（7分）深圳市某学校抽样调查，A类学生骑共享单车，B类学生坐公交车、私家车等，C类学生步行，D类学生（其它），根据调查结果绘制了不完整的统计图．
（1）学生共 人，x＝ ，y＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有2000人，骑共享单车的有 人．
20．（8分）一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）直接写出一次函数y＝kx+b的表达式和反比例函数y＝（x＞0）的表达式；
（2）求证：AD＝BC．
22．（9分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH＝2，CH＝4．
（1）求⊙O的半径r的长度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．
23．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
2017年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣D．
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．
【解答】解：|﹣2|＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．
2．（3分）图中立体图形的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图是从正面看的图形解答．
【解答】解：从正面看，共有两层，下面三个小正方体，上面有一个小正方体，在中间．
故选：A．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
3．（3分）随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系，去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨，将8200000用科学记数法表示为（ ）
A．8.2×105B．82×105C．8.2×106D．82×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将8200000用科学记数法表示为：8.2×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
5．（3分）下列选项中，哪个不可以得到l1∥l2？（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠5D．∠3+∠4＝180°
【分析】分别根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴l1∥l2，故本选项错误；
B、∵∠2＝∠3，∴l1∥l2，故本选项错误；
C、∠3＝∠5不能判定l1∥l2，故本选项正确；
D、∵∠3+∠4＝180°，∴l1∥l2，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
6．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣1或x＞3D．﹣1＜x＜3
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3﹣2x＜5，得：x＞﹣1，
解不等式x﹣2＜1，得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（ ）
A．10%x＝330B．（1﹣10%）x＝330
C．（1﹣10%）2x＝330D．（1+10%）x＝330
【分析】设上个月卖出x双，等量关系是：上个月卖出的双数×（1+10%）＝现在卖出的双数，依此列出方程即可．
【解答】解：设上个月卖出x双，根据题意得
（1+10%）x＝330．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键．
8．（3分）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至M，则∠BCM的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC＝BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝25°，
∴∠BCM＝∠CAB+∠CBA＝25°+25°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
9．（3分）下列哪一个是假命题（ ）
A．五边形外角和为360°
B．切线垂直于经过切点的半径
C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）
D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、五边形外角和为360°是真命题，故A不符合题意；
B、切线垂直于经过切点的半径是真命题，故B不符合题意；
C、（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）是假命题，故C符合题意；
D、抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2是真命题，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．（3分）某共享单车前a公里1元，超过a公里的，每公里2元，若要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，a应该要取什么数（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】由于要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，根据中位数的意义分析即可
【解答】解：根据中位数的意义，
故只要知道中位数就可以了．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
11．（3分）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（ ）m．
A．20B．30C．30D．40
【分析】先根据CD＝20米，DE＝10m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBF＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：在Rt△CDE中，
∵CD＝20m，DE＝10m，
∴sin∠DCE＝＝，
∴∠DCE＝30°．
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝＝＝20m，
∴AB＝BC•sin60°＝20×＝30m．
故选：B．
方法二：可以证明△DGC≌△BGF，所以BF＝DC＝20，所以AB＝20+10＝30，
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，tan∠OAE＝，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2＝OD•OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE•OP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE＝，求得QE＝，QO＝，OE＝，由三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，，
∴△DAP≌△ABQ，
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP；
故①正确；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2＝OD•OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE•OP；故②错误；
在△CQF与△BPE中，
∴△CQF≌△BPE，
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，，
∴△ADF≌△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF；故③正确；
∵BP＝1，AB＝3，
∴AP＝4，
∵△PBE∽△PAD，
∴，
∴BE＝，∴QE＝，
∵△QOE∽△PAD，
∴，
∴QO＝，OE＝，
∴AO＝5﹣QO＝，
∴tan∠OAE＝＝，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题
13．（3分）因式分解：a3﹣4a＝ a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
14．（3分）在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，任意摸两个球，摸到1黑1白的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所摸到1黑1白的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：依题意画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，所摸到的球恰好为1黑1白的有4种情况，
∴所摸到的球恰好为1黑1白的概率是：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2＝﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）＝ 2 ．
【分析】根据定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：原式＝1﹣i2＝1﹣（﹣1）＝2
故答案为：2
【点评】本题考查新定义型运算，解题的关键是正确理解新定义，本题属于基础题型．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ 3 ．
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出＝＝2，可得PQ＝2PR＝2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，可得2x+3x＝3，求出x即可解决问题．
【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴＝＝2，
∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x+3x＝3，
∴x＝，
∴AP＝5x＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
17．（5分）计算：|﹣2|﹣2cs45°+（﹣1）﹣2+．
【分析】因为＜2，所以|﹣2|＝2﹣，cs45°＝，＝2，分别计算后相加即可．
【解答】解：|﹣2|﹣2cs45°+（﹣1）﹣2+，
＝2﹣﹣2×+1+2，
＝2﹣﹣+1+2，
＝3．
【点评】本题考查了有关负整数指数、特殊的三角函数值、乘方等知识的计算，属于常考题型，此类计算题要细心，熟练掌握特殊角的三角函数值，明确实数的运算法则．
18．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当x＝﹣1时，
原式＝×
＝3x+2
＝﹣1
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
19．（7分）深圳市某学校抽样调查，A类学生骑共享单车，B类学生坐公交车、私家车等，C类学生步行，D类学生（其它），根据调查结果绘制了不完整的统计图．
（1）学生共 120 人，x＝ 0.25 ，y＝ 0.2 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有2000人，骑共享单车的有 500 人．
【分析】（1）根据B类学生坐公交车、私家车的人数以及频率，求出总人数，再根据频数与频率的关系一一解决即可；
（2）求出m、n的值，画出条形图即可；
（3）用样本估计总体的思想即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意总人数＝＝120人，
x＝＝0.25，m＝120×0.4＝48，
y＝1﹣0.25﹣0.4﹣0.15＝0.20，
n＝120×0.2＝24，
（2）条形图如图所示，
（3）2000×0.25＝500人，
故答案为500．
【点评】本题考查条形图、频率分布表、样本估计总体等知识，解题的关键是记住频率＝，频率之和为1，属于中考常考题型．
20．（8分）一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
【分析】（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可．
（2）同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．
【解答】解：（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28﹣x）厘米，依题意有
x（28﹣x）＝180，
解得x1＝10（舍去），x2＝18，
28﹣x＝28﹣18＝10．
故长为18厘米，宽为10厘米；
（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，依题意有
x（28﹣x）＝200，
即x2﹣28x+200＝0，
则△＝282﹣4×200＝784﹣800＜0，原方程无实数根，
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
【点评】考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：长方形的长＝周长的一半﹣宽．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）直接写出一次函数y＝kx+b的表达式和反比例函数y＝（x＞0）的表达式；
（2）求证：AD＝BC．
【分析】（1）先确定出反比例函数的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）由（1）知，直线AB的解析式，进而求出C，D坐标，构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y＝中，得，m＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点B（a，1）代入y＝中，得，a＝8，
∴B（8，1），
将点A（2，4），B（8，1）代入y＝kx+b中，得，，
∴，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+5；
（2）∵直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
∴C（10，0），D（0，5），
如图，
过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
∵点A（2，4），B（8，1）
∴E（0，4），F（8，0），
∴AE＝2，DE＝1，BF＝1，CF＝2，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD＝＝，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BC＝＝，
∴AD＝BC．
【点评】此题是反比例函数与一次函数交点坐标问题，主要考查了待定系数法，勾股定理，解（1）的关键是掌握待定系数法求函数的解析式，解（2）的关键是构造直角三角形．
22．（9分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH＝2，CH＝4．
（1）求⊙O的半径r的长度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．
【分析】（1）在Rt△COH中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）只要证明∠CMD＝∠COA，求出sin∠COA即可；
（3）由△EHM∽△NHF，推出＝，推出HE•HF＝HM•HN，又HM•HN＝AH•HB，推出HE•HF＝AH•HB，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，连接OC．
∵AB⊥CD，
∴∠CHO＝90°，
在Rt△COH中，∵OC＝r，OH＝r﹣2，CH＝4，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5．
（2）如图1中，连接OD．
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴＝＝，
∴∠AOC＝∠COD，
∵∠CMD＝∠COD，
∴∠CMD＝∠COA，
∴sin∠CMD＝sin∠COA＝＝．
（3）如图2中，连接AM．
∵AB是直径，
∴∠AMB＝90°，
∴∠MAB+∠ABM＝90°，
∵∠E+∠ABM＝90°，
∴∠E＝∠MAB，
∴∠MAB＝∠MNB＝∠E，
∵∠EHM＝∠NHF
∴△EHM∽△NHF，
∴＝，
∴HE•HF＝HM•HN，
∵HM•HN＝AH•HB（相交弦定理），
∴HE•HF＝AH•HB＝2•（10﹣2）＝16．
【点评】本题考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；
（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF＝BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．
【解答】解：
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5，OC＝2，
∴S△ABC＝AB•OC＝×5×2＝5，
∵S△ABC＝S△ABD，
∴S△ABD＝×5＝，
设D（x，y），
∴AB•|y|＝×5|y|＝，解得|y|＝3，
当y＝3时，由﹣x2+x+2＝3，解得x＝1或x＝2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；
当y＝﹣3时，由﹣x2+x+2＝﹣3，解得x＝﹣2（舍去）或x＝5，此时D点坐标为（5，﹣3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；
（3）∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，
∴AC＝＝，BC＝＝2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，
由题意可知∠FBC＝45°，
∴∠CFB＝45°，
∴CF＝BC＝2，
∴＝，即＝，解得OM＝2，＝，即＝，解得FM＝6，
∴F（2，6），且B（4，0），
设直线BE解析式为y＝kx+m，则可得，解得，
∴直线BE解析式为y＝﹣3x+12，
联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，
∴E（5，﹣3），
∴BE＝＝．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．
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日期：2021/4/25 10:45:33；用户：初中数学；邮箱：sxljy01@xyh.cm；学号：24425668

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A
30
x
B
18
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C
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D
n
y
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C
m
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D
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