湖南省长沙市2023年九年级下学期期中数学试题【含答案】

这是一份湖南省长沙市2023年九年级下学期期中数学试题【含答案】，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．数，，3.14，0中，最大的数是（ ）
A．B．3.14C．D．0
2．根据国家卫健委的统计，截止4月5日清明节，我国新冠确诊病例累计超486000，用科学记数法表示这一数据是（ ）
A．4.86×105B．0.486×106C．48.6×104D．4.86×106
3．下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，直线AB∥CD，，∠MPA＝32°，则的度数是（ ）
A．58°B．122°C．132°D．148°
6．如图，、为的两条弦，连接、，点为的延长线上一点，若∠CBD＝61°，则的度数为（ ）
A．B．119°C．122°D．
7．一次函数y＝－ 2021x＋2022的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了 辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．B．C．D．
9．在一个不透明纸箱中放有除数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把－25到－30这6个连续整数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，那么的最小值是（ ）
A．－84B．－85C．－86D．－87
二、填空题
11．分解因式：6x2y﹣3xy＝ .
12．如图，在中，弦的长为，圆心到弦的距离为6，则的度数为 .
13．如图，在菱形中，对角线，相交于点，为中点，AC＝3，BD＝4，则线段的长为 .
14．已知关于的一元二次方程的一个根为3，则 .
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为 ．
16．明德华兴中学自2021年下学期恢复高中办学后，街舞社按四个年级分、、、四个学习小组，小明同学根据各小组的成员人数绘制了条形统计图（1），小华同学绘制了扇形统计图（2），其中 _.
三、解答题
17．计算： .
18．先化简，再求值：，其中，.
19．人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的.九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了.
已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF.
证明：假设 （1），
过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF，
∴PQ//CD（（2）），
∵AB//CD，且AB也过点G，
∴与（（3））矛盾，
所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF.
请完成上面（1）、（2）、（3）空：
（1） ；
（2） ；
（3）请选择合理的依据（ ）
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，同位角相等
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
20．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 （结果保留小数点后一位），试估算口袋中白球有 只；
（2）如果再加入若干个白球后，使摸到白球的概率为0.9，求加入的白球数量.
21．如图，已知点是中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，且.
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若是等边三角形，且边长为，求四边形的面积.
22．高举“泰安球王”旗帜，发展全校篮球特色，为了落实好长沙市大课间训练，学校准备从体育用品商场一次性购买若干篮球和跳绳.每个篮球的价格都相同，每根跳绳的价格也相同.已知篮球的单价比跳绳单价的2倍少15元，用相同的费用，购买的跳绳数量与购买的篮球数量之比为.
（1）跳绳和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买跳绳和篮球共1600个，但要求跳绳和篮球的总费用不超过57400元，学校最多可以购买多少个篮球？
23．如图，在中，，是边上的一点，过作交于点，，连接交于点.
（1）求证：是的垂直平分线；
（2）若点为的中点，，求的长.
24．俄罗斯人与乌克兰人本是同根同源的罗斯人，现在却背道而驰，正如与，定义：叫做函数的“罗斯函数”.比如：就是的“罗斯函数”.数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称.根据上面的定义和提示，解答下列问题：
（1）的图象的对称轴是 ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出的“罗斯函数”的大致图象；
（3）若直线与轴交于点A，与轴交于点，与的“罗斯函数”图象交于、两点，过点作DE⊥x轴，垂足为点，过点C作CF⊥x轴，垂足为点F，若△AFC与△AED的面积比为1：4，求的值.
25．已知为的外接圆，，点是劣弧上一点（不与点，重合），连接，，.
（1）如图1，若是直径，将绕点逆时针旋转得到.若，求四边形的面积；
（2）如图2，若，半径为2，设线段的长为.四边形的面积为.
①求与的函数关系式；
②若点，分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置.的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化.求所有值中的最大值，并求此时四边形的面积.
1．C
2．A
3．B
4．B
5．B
6．C
7．C
8．B
9．C
10．A
11．
12．60°
13．
14．2
15．4
16．72
17．解：
.
18．解：原式
=x2 +2y2，
当x=1， 时，原式.
19．（1）∠BGF≠∠DH
（2）同位角相等，两直线平行
（3）C
20．（1）0.6；18
（2）解：设加入的白球有x 个，则白球一共有（18+x） 个，根据题意得：
解得：x=90，
经检验知，x=90是方程的解，
所以，加入的白球有90个.
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，即，
∴，.
∵点E是BC边中点，
∴BE=CE.
∴，
∴，
∴四边形ABFC是平行四边形.
∵，
∴平行四边形ABFC是矩形；
（2）解：∵，，
∴，即点为DF中点.
∵是等边三角形，且边长为，
∴，
∴，
∴，
∴.
22．（1）解：设跳绳的单价为x元，则篮球的单价为（2x−15）元，
依题意得：3x＝2（2x−15），
解得：x＝30，
∴2x−15＝2×30−15＝45，
答：跳绳的单价为30元，篮球的单价为45元.
（2）解：设购买篮球m个，则购买跳绳（1600−m）根，
依题意得：45m＋30（1600−m）≤57400，
解得：m≤，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为626.
答：学校最多可以购买626个篮球.
23．（1）证明：∵BC=BD，
∴点B在CD的垂直平分线上，∠BCD=∠BDC，
∵DE⊥AB，
∴∠BDC+∠CDE=∠BCE=90°，
∵∠BCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠CDE，
∴ED=EC，
∴点E在CD的垂直平分线上，
∴BE是的垂直平分线；
（2）解：∵∠ACB=90°，点为的中点，
∴CD=BD，
∵BC=BD，
∴BC=BD=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=∠BCD=60°，
∴∠A=∠ACD=30°，
∵BE是CD的垂直平分线，
∴∠EFC=90°，CE=DE，
∴DE=CE=2EF=2，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴AE=2DE=4，
∴AC=AE+CE=4+2=6.
答：AC的长为6.
24．（1）x轴
（2）解：的“罗斯函数”为，
∴可画出其图象大致如下：
（3）解：如图，根据题意可知，，
∴，
∴，
∴.
对于，令，则，
∴A（4，0）.
设C（），D（），
则，，
∴，整理得：.
∵，
∴，
得：
解得：.
∴.
25．（1）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵△ACD旋转得到△BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴CD＝CE＝4，∠ACD＝∠BCE，
∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝∠DCB＋∠ACD＝90°，
∴S四边形ADBC＝S△ACD＋S△BCD＝S△BCE＋S△BCD＝S△DCE＝×DC×CE＝×4×4＝8.
（2）解：①将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，如图所示：
∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC＋∠DBC＝180°，∠DBC＋∠HBC＝180°，
∴点D，B，H三点共线，
∵DC＝CH，
∴∠CDH＝60°，
∴△DCH是等腰三角形，
∴S四边形ADBC＝S△ACD＋S△BDC＝S△CDH=，
∴；
②如图，作点关于直线的对称点，作点关于的对称点，
点、关于直线对称，
，同理，，
，
当点、、、四点共线时，的周长最小，则连接交于点，交于，连接，，，，作于，
的周长最小值为，
点、关于直线对称，
，，
点、关于直线对称，
，，
，，
，，，
，，
，，
，
当有最大值时，有最大值，即有最大值，
为的弦，
为直径时，有最大值4，
的最大值为，
此时，.摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601