2023年广东省佛山市南海区桂城街道中考数学一模试题（含答案）

这是一份2023年广东省佛山市南海区桂城街道中考数学一模试题（含答案），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6B．﹣C．6D．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．在某市举办的主题为“英雄武汉”的网络演讲比赛中，七位选手的得分分别为：88，84，87，90，86，92，94，则这组数据的中位数是（ ）
A．86B．88C．90D．92
4．若∠α=30°，则∠α的补角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
5．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
6．已知2a+3b＝4，则整式﹣4a﹣6b+1的值是（ ）
A．5B．3C．﹣7D．﹣10
7．如图，在等腰中，，垂直平分，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
8．如果4是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，，则的长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
10．如图，在矩形中，，，为的中点，连接、，点，点分别是、上的点，且．设的面积为，的长为，则关于的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．______．
12．正六边形的每个内角等于______________°．
13．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是_____．
14．已知|x+2y|+（x﹣4）2＝0，则x+y＝_____．
15．如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在、的位置时，乙的影子刚好在甲的影子里边，已知甲身高为米，乙身高为米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距______米．
16．从一块直径为4m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆心角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为__________．
17．在平面坐标系中，第1个正方形的位置如图所示，点的坐标为，延长交轴于点，作第2个正方形，延长交轴于点；作第3个正方形，…按这样的规律进行下去，若点、、…在直线上，则______．
三、解答题
18．解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
19．化简：．
20．如图，是直角三角形，是直角，，．
(1)过点作垂直于，垂足为；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)求的长度．
21．某物流公司承接、两种抗疫物资的运输业务，已知2月份货物运费单价为70元/吨，货物运费单价为40元/吨，共收取运费130000元；3月份由于油价下调，运费单价下降为：货物50元/吨，货物30元/吨；该物流公司3月承接的种货物和种数量与2月份相同，3月份共收取运费95000元．
(1)该物流公司2月份运输两种货物各多少吨？
(2)该物流公司预计4月份运输这两种货物3300吨，且货物的数量不大于货物的2倍，在运费单价与3月份相同的情况下，该物流公司4月份最多将收到多少运费？
22．我国在2020年11月1日启动第七次人口普查．为了调查学生对人口普查知识的了解程度，湖州市某学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题．
（1）本次抽样调查的人数是______人；
（2）若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”人口普查知识的人数约为多少？
（3）根据调查结果，学校准备开展关于人口普查知识竞赛，某班要从“非常了解”的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其它差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
23．如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE.已知∠BAC=30°,EE⊥AB,垂足为F,连接DF；
求证:(1)AC=EF；
(2)四边形ADFE是平行四边形；
(3)AC⊥DF；
24．如图，是的直径，点是上异于、的一点，点是角平分线上一点，连接、，其中交于点，交于点，且点是的中点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点是的中点，求的值；
(3)若，，求的长．
25．如图1，已知二次函数的图象经过，，三点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点是该二次函数图象上的一点，且满足（是坐标原点），求点的坐标；
(3)如图2，点是直线上方抛物线上的一点，过点作于点，作轴交于点，求周长的最大值．
参考答案：
1．C
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【详解】解：的相反数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断．
【详解】A选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B选项，既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；
C选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
D选项，既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是本题的关键．
3．B
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【详解】解：将这组数据从小到大的顺序排列为：84，86，87，88，90，92，94，处于中间位置的是88，
则这组数据的中位数是88．
故选：B．
【点睛】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
4．D
【分析】若两个角的和为180°，则称这两个角互补，根据互补的概念即可完成求解．
【详解】解：∠α的补角为：180°-30°=150°
故选：D．
【点睛】本题考查了互补的概念，掌握此概念是关键．
5．C
【分析】求出∠3即可解决问题；
【详解】解：如图，
∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，
∴∠3=55°，
由平行可得∠2=∠3=55°，
故选C．
【点睛】此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
6．C
【分析】整式可变形为，然后把代入变形后的算式，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：，
∴，
故选：．
【点睛】此题主要考查了代数式求值的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
7．B
【分析】先根据三角形内角和定理可求出，利用线段垂直平分线的性质求出，即可求出的度数．
【详解】解：∵．
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的定理内容是解题的关键．
8．A
【分析】把代入方程求出，得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：∵4是方程的一个根，
而两根之和为，
∴方程的另一个根是，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解一元一次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
9．B
【分析】根据矩形的性质和含的直角三角形的性质得出，进而求出，再依据中位线的性质推知．
【详解】解：四边形是矩形，，交于点，，，
，
，即．
．
又、分别为、的中点，
是的中位线，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．
10．A
【分析】证明为等边三角形，再利用，即可求解．
【详解】解：，为的中点，则，
在中，，，则，
同理可得，
故为等边三角形，则，
，则，
在中，过点作于点，
则，
则，
该函数为开口向下的抛物线，时，的最大值为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，有一定的综合性，难度适中．
11．1
【分析】分别计算绝对值和负指数幂，再相加即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值的求法和负指数幂的运算法则．
12．120
【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，
∴正六边形的每个内角为：，
故答案为：120
13．
【分析】过点O作OCAB的延长线于点C，构建直角三角形ACO，利用勾股定理求出斜边OA的长，即可解答．
【详解】如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，
则AC=4，OC=2，
在Rt△ACO中，AO=，
∴sin∠OAB=．
故答案为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键．
14．2
【分析】分析利用算术平方根的定义以及绝对值的性质得出x，y的值进而代入求出即可．
【详解】解：∵|x+2y|+（x﹣4）2＝0，
∴x﹣4＝0，x+2y＝0，
解得：x＝4，y＝﹣2，
则x+y＝4﹣2＝2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，能够正确得出x，y的值是解题的关键．
15．
【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答．
【详解】解：设两个同学相距米，
∵，，
∴，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
16．
【分析】连接，则可得为圆形铁皮的直径，由勾股定理可求得扇形的半径，由扇形面积公式即可计算出扇形的面积，从而求得阴影部分的面积．
【详解】解：连接，
由于剪出的是圆心角为90°的最大扇形，则是圆形铁皮的直径，
，
，，
由勾股定理得：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积、不规则图形面积，关键是清楚最大扇形所在弧的两个端点是圆的直径的两个端点．
17．
【分析】先利用一次函数求出，再用三角形相似得出，，找出规律，即可求．
【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，
，，，
正方形，正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
同理可得，，
同理可得，，
同理可得，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是求出前几个正方形的边长，找出规律．
18．，数轴表示见解析
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
19．
【分析】先把除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的加减、乘除法则是解决本题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用尺规过点作于即可．
（2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求出，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求．
（2），，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查作图基本作图，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．(1)运输货物1000吨，运输货物1500吨
(2)143000元
【分析】（1）设该物流公司2月份运输货物吨，运输货物吨，根据“该物流公司2月份共收取运费130000元，3月份共收取运费95000元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该物流公司预计4月份运输货物吨，则运输货物吨，根据货物的数量不大于货物的2倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设该物流公司4月份共收到元运费，根据总运费每吨的运费运输货物的重量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设该物流公司2月份运输货物吨，运输货物吨，
依题意，得：，
解得：．
答：该物流公司2月份运输货物1000吨，运输货物1500吨．
（2）设该物流公司预计4月份运输货物吨，则运输货物吨，
依题意，得：，
解得：．
设该物流公司4月份共收到元运费，则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值．
答：该物流公司4月份最多将收到143000元运费．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）利用一次函数的性质，解决最值问题．
22．（1）400；（2）300人；（3）不公平，理由见解析
【分析】（1）把条形统计图给出的数据相加即可得出答案；
（2）用总人数乘以“比较了解”所占的百分比即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球颜色相同与不同的情况，再利用概率公式求得其概率，比较概率的大小，即可知这个游戏规则是否公平．
【详解】解：（1）本次抽样调查的人数是：20+60+180+140=400（人），
故答案为：400；
（2）这些学生中“比较了解”人口普查知识的人数有：2000×=300（人）；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两个球颜色相同的有4种情况，两个球颜色不同的有8种情况，
∴P（颜色相同）=，P（颜色不同）=，
∴游戏规则不公平．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图．注意概率相等，则公平，否则不公平．
23．见解析
【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形；
（3）先求∠EAC=90°，由▱ADFE得AE∥DF，可以得∠AGD=90°，则AC⊥DF．
【详解】证明：(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF，AB=AE，
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵ ，
∴△AFE≌△BCA(HL)，
∴AC=EF；
(2)∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
(3)∵∠EAC=∠EAF+∠BAC=60°+30°=90°
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥FD，
∴∠EAC=∠AGD=90°，
∴AC⊥DF.
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，解题关键在于掌握各性质定义，灵活运用各定理.
24．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，利用垂直平分线的性质可得，再由等腰三角形的三线合一得到；利用角平分线的定义和圆周角定理可得，从而；利用直径所对的圆周角为直角可得，利用等量代换可得，即，结论可得；
（2）由已知可得：，则，利用，得出比例式可求线段，利用勾股定理可求，，再利用求得线段，在中，利用正弦的意义可求结论；
（3）连接，则垂直平分，利用已知和勾股定理可求，利用三角形的中位线定理可得，进而可得；利用锐角三角函数，结论可得．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
是的垂直平分线．
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
即，
，
直线是的切线．
（2）点是的中点，点是的中点，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，．
（3）连接，交于点，如图所示：
，
，
垂直平分，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，角平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，三角形相似的判定与性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线也是解题的关键．
25．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当点在轴上方时，则可知当时，满足条件，由对称性可求得点坐标；当点在轴下方时，可证得，利用的解析式可求得直线的解析式，再联立直线和抛物线的解析式可求得点坐标；
（3）首先根据表示出的周长，判断出当最大时，的周长最大，求出直线的解析式，设，，利用二次函数的最值求出的最大值，再分别求出，，可得结果．
【详解】（1）解：由题意可得，
，解得：，
抛物线解析式为；
（2）当点在轴上方时，过作交抛物线于点，如图1，
、关于对称轴对称，、关于对称轴对称，
四边形为等腰梯形，
，即点满足条件，
；
当点在轴下方时，
，
，
，
可设直线解析式为，把代入可求得，
直线解析式为，
可设直线解析式为，把代入可求得，
直线解析式为，
联立直线和抛物线解析式可得，
解得 或，
；
综上可知满足条件的点的坐标为或；
（3）的周长，
是定值，
当最大时，的周长最大，
设直线的解析式为，将，代入得：
，解得：，
直线的解析式为，
设，，
，
当时，最大值为2，
，，
，，，
轴，
，
，，
的周长最大值为．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的周长、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出点的位置是解题的关键，在（3）中用点的坐标表示出的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性强，难度较大．