2023年陕西省西安市曲江第一中学九年级数学第三次模拟考试题（含答案）

2023年陕西省西安市曲江第一中学九年级数学第三次模拟考试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列各数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
2．已知某种细胞的直径约为cm，请问这个数原来的数是（    ）
A．21300 B．2130000 C．0.0213 D．0.000213
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．一把直尺和一块直角三角尺（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边BC、AC分别交于点D、点E，直尺的另一边过A点且与三角尺的直角边BC交于点F，若∠CAF＝42°，则∠CDE度数为（    ）

A．62° B．48° C．58° D．72°
5．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为（    ）

A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）

A． B． C． D．2
7．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
8．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2

二、填空题
9．若分式有意义，则x的取值范围为________．
10．如图，正方形的边在正五边形的边上，则__________．

11．如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶26米，已知，则小车上升的高度是________米．

12．如图，点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一个分支于点B，以AB为底作等腰且，点C在第一象限，随着点A的运动，点C始终在双曲线上运动，则__________．

13．如图，等边中，，为上一动点，，，则最小值为________．


三、解答题
14．计算：．
15．先化简，再求值：（＋）÷，其中m＝9
16．解不等式组： ．
17．已知：及其一边上的两点，．
求作：，使，且点在内部，．

18．如图，是的中线，E是的中点，过点B作的平行线，交的延长线于点F，连接．求证：．

19．某文具店在次促销活动中规定：消费者消费满元或者超过元就可受打折优惠．期中考试后，小韦同学在该店为班级买奖品，准备买支钢笔和若干本笔记本．已知每支钢笔元，每本笔记本元，那么她至少买多少本笔记本才能享受打折优惠？
20．如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是转盘乙上的数字分别是（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．

(1)转动转盘，转盘甲指针指向负数的概率是__________；
(2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图法求满足的概率．
21．“揽月阁”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的标志性建筑，阳光明媚的一天，某校九年级一班的兴趣小组去测量揽月阁的高度．揽月阁前面有个高1米的平台，身高1.8米的小强在台上走动，当小强走到点C处，小红蹲在台下点N处，其视线通过边缘点M和小强头顶点D正好看到塔顶A点，测得米，然后小强从正前方跳下后，往前走到点E处，此时发现小强头顶F在太阳下的影子恰好和塔顶A在地面上的影子重合于点P处，测得米，米．请你根据以上数据帮助兴趣小组求出揽月阁的高度．

22．【问题背景】曲江新区某中学为配合“双减”政策，对于九年级学生进行了第一次中考一模作业反馈．

【评分标准】90分及以上为优秀：80分—89分为良好；60分—79分为及格：60分以下为不及格，将测试数据制成如图统计图．
请根据相关信息解答下面的问题：
【数据分析】
(1)扇形统计图中，“不及格”等级所在扇形圆心角的度数是__________°
(2)求参加本次测试学生的平均成绩；
(3)若参加本次测试“良好”及“优秀”等级的学生共有人，请你估计该学校九年级学生中“不及格”等级的学生的人数．
23．为了贯彻落实“精准扶贫”精神，某单位决定运送一批物资到某贫困村，货车自早上8时出发，行驶一段路程后发现未带货物清单，便立即以50km/h的速度回返，与此同时单位派车去送清单，途中相遇拿到清单后，货车又立即掉头并开到目的地，整个过程中，货车距离出发地的路程s（km）与行驶时间t（h）的函数图象如图所示．
（1）两地相距　 　千米，当货车司机拿到清单时，距出发地　 　千米．
（2）试求出途中BC段的函数表达式，并计算出中午12点时，货车离贫困村还有多少千米？

24．如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，相交于点，，连接．已知．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
25．如图，已知抛物线过点，，，其顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若P是抛物线上的一个点，是否存在点P，使得，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．
26．在四边形中，，；

(1)如图1，已知，则的度数等于__________；
(2)如图2，在四边形中，，，连接．若，求四边形的面积；
(3)如图3，已知，，，，，求线段的长度．

参考答案：
1．C
【分析】首先求出每个选项中的数各是多少；然后判断出最小的数是多少即可．
【详解】A：结果为：
B：
C：
D：
故最小的数为-2，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数大小比较的方法，幂的运算，立方根的性质和应用，绝对值计算，掌握这些方法是解题的关键．
2．D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：2.13×10-4=0.000213，
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．D
【分析】根据完全平方公式和平方差公式判断即可．
【详解】解：A、，运算错误，不符合题意；
B、，运算错误，不符合题意；
C、 ，运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
4．B
【分析】先根据平行线的性质求出∠CED，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠CDE．
【详解】解：∵DE∥AF，∠CAF=42°，
∴∠CED=∠CAF=42°，
∵∠DCE=90°，∠CDE+∠CED+∠DCE=180°，
∴∠CDE=180°-∠CED-∠DCE=180°-42°-90°=48°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和等于180°，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等是解决问题的关键．
5．C
【分析】将横坐标为1代入，即可求出对应纵坐标．
【详解】解：代入得，
则方程组的解集为：，
故选：C
【点睛】本题考查了二元一次方程组解与一次函数的交点坐标的关系，掌握相关知识是解题关键．
6．A
【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC=，CF=3，则∠ACF=90°，再利用勾股定理计算出AF=2，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．
【详解】连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠ACD=45°，FCG=45°，AC=BC=，CF=CE=3，
∴∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△ACF中，AF=，
∵H是AF的中点，
∴CH=AF= ．
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理．
7．B
【分析】根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
【详解】解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB=58.5°，
∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，
∵点A是弧EC的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
8．A
【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-=-1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜-4或x＞2时，y＜0．
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
9．．
【分析】由分式有意义的条件进行计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵分式有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不等于0．
10．18
【分析】由正方形的性质及正五边形的内角可直接进行求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，五边形是正五边形，
∴，
∴；
故答案为18．
【点睛】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键．
11．10
【分析】由题意易得该直角三角形的三边之比为5∶12∶13，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴该直角三角形的三边之比为5∶12∶13，
∴，
∵小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶26米，
∴小车上升的高度是米；
故答案为10．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
12．
【分析】根据题意得出，得出，根据的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，

点C在第一象限，随着点A的运动，点C始终在双曲线上运动，

连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且，
，，
则，
，
，
又，
，
，
，
点是双曲线 在第二象限分支上的一个动点，
，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，特殊角的正切值，正确添加辅助线，得出是解题关键．
13．
【分析】如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于H，首先证明是顶角为的等腰三角形，当的值最小时，的值最小，即可求出的最小值．
【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于H，

∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴C、D、P、E四点共圆，
∴，
∴当的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可得，当时，，此时最小，，
∵，，  
∴，，
∴，
∴，
∴的值最小为，
故答案为．
【点睛】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确判断当时最小是解题的关键．
14．
【分析】根据求一个数的立方根，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：



【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的立方根，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值是解题的关键．
15．化简的结果：，代数式的值：．
【分析】先把括号内的分式化为同分母分式，计算加减法，同时把除法运算转化为乘法运算，约分后可得化简的结果，把代入化简后的代数式进行计算即可得到答案．
【详解】解：


当时，
上式
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算顺序及法则是解题的关键．
16．
【分析】分别解每一个不等式，再求解集的公共部分即可．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法再取公共部分是解此题的关键．
17．见解析
【分析】先在∠O的内部作∠DAB=∠O，再过B点作AD的垂线，垂足为C点．
【详解】解：如图，Rt△ABC为所作．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18．证明见解析
【分析】先根据平行线的性质得到，再利用证明∴，得到，进而证明是的中位线，即可证明，即．
【详解】证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即点E为的中点，
又∵是的中线，即点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，证明，得到是解题的关键．
19．至少买本笔记本才能享受打折优惠
【分析】设买本笔记本能享受打折优惠，根据总价=单价×数量并结合消费满元或者超过元就可受打折优惠，可列一元一次不等式，求解并根据实际取值即可．
【详解】解：设买本笔记本能享受打折优惠，由题意得

解得，
∵是整数，
∴的最小值为，
所以，至少买本笔记本才能享受打折优惠．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，准确理解题意，并熟练计算是解题的关键，注意结果要符合实际．
20．(1)
(2)

【分析】（1）转盘甲被分为份，其中份标有负数，即可求出；
（2）用列表法列出同时转到两个转盘，指针所指的数字所有可能出现的结果，共有种等可能出现的结果，其中两个转盘指针所指数字之和为正数的结果有种，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵转盘甲被分为份，其中份标有负数，
∴转动转盘甲次，指针指向负数的概率是

故答案为：；
（2）同时转到两个转盘，指针所指的数字所有可能出现的结果如下：
a＼b
















共有种等可能出现的结果，其中两个转盘指针所指数字之和为正数的结果有种，
（两个转盘指针所指数字之和为正数）
【点睛】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
21．米
【分析】过点作于点，则四边形为矩形，设的长为，则，根据，可得，进而求得的长度，即的长度，根据，可得，进而根据相似三角形的性质列出比例式，解方程求解即可求出揽月阁的高度．
【详解】解：如图，过点作于点，


四边形为矩形，
设的长为，则，












解得
揽月阁的高度为米
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．(1)
(2)分
(3)人

【分析】（1）用乘以不及格的人数占比即可得到答案；
（2）利用加权平均数的定义进行求解即可；
（3）先用除以参加本次测试“良好”及“优秀”等级的学生人数占比得到参与调查的总人数，再用参与调查的总人数乘以“不及格”的学生人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：，
∴扇形统计图中，“不及格”等级所在扇形圆心角的度数是
故答案为：；
（2）解：分，
∴参加本次测试学生的平均成绩为分
（3）解：人，
∴这次参与调查的学生人数为人，
人，
∴估计该学校九年级学生中“不及格”等级的学生的人数为人．
【点睛】本题主要考查了求统计图中扇形圆心角度数，加权平均数，用样本估计总体，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．（1）172；40；（2）中午12点时，货车离贫困村还有60千米.
【分析】（1）依据函数图象中y的最大值可得到两地的距离，用80减去从2小时到2.8小时的路程即可；
（2）先求得BC段的速度，然后计算出距离贫困村的距离即可．
【详解】解：（1）当t＝5时，y＝172km，
所以两地相距172km．
80﹣50×（2.8﹣2）＝80﹣40＝40km，
所以货车司机拿到清单时，距出发地40千米．
故答案为172；40．
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（2.8，40），C（5，172），
∴，
解得，
∴直线BC 的解析式为y＝60x﹣128．
（172﹣40）÷（5﹣2.8）＝60千米/小时．
60×1＝60，
所以中午12点时，货车离贫困村还有60千米
【点睛】本题主要考查的是一次函数的应用，读懂函数图象是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，由，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到，求出为，即可得证；
（2）解直角，可得，，求出，解直角求出的长即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：∵在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
即的半径为．

【点睛】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定定理是解本题的关键．
25．(1)
(2)存在，点的坐标为或
(3)能，点的坐标为或或

【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）先求出的垂直平分线的表达式，再联立线段垂直平分线和抛物线的表达式，得到关于的方程，进而求出点的坐标．
（3）设出点的坐标，分情况讨论，①当点在线段上时，点在点上方，②当点在线段（或）延长线上时，点在点下方，根据平行四边形的性质，可由得关于的方程，进而求出点的坐标．
【详解】（1）解：将A、B、C点的坐标代入解析式，得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：存在，点的坐标为或．
如图，设为线段的中点，
∵，
∴直线为线段的垂直平分线，直线与抛物线必有两个交点，且都是满足条件的点．

∵，，
∴点的坐标为，
设的解析式为，
将点代入得，，
即直线的解析式为，
联立，
得，
解得或，
∴点的坐标为或．
（3）能，点的坐标为或或．
将配方，得，
∴顶点D的坐标为，
由，得对称轴为，
∵，，
∴直线的方程为，
联立，得，
点在直线上，设，
①当点在线段上时，点在点上方，则，
∵，
∴，
解得或（舍），
∴点的坐标为；
②当点在线段（或）延长线上时，点在点下方，则，
∵，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或，
综上所述：满足条件的点坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用线段垂直平分线的性质；解（3）的关键是平行四边形的性质得出关于的方程，要分类讨论，以防遗漏．
26．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据四边形内角和为即可求解；
（2）延长至，使得，证明，得出是等腰直角三角形，进而即可求解；
（3）过点作于点，得出，延长，使得，根据（2）可得，是等腰直角三角形，过点作于点，过点作交的延长线于点，证明，继而根据等腰直角三角形的性质的，即可得出，，进而勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵在四边形中，，，
∴，
故答案为：．
（2）解：如图所示，延长至，使得，

∵在四边形中，，
∴，
又∵，
∴
又∵
∴
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴；
（3）解：如图所示，

过点作于点，
∵，，
∴，，
∵
∴
延长，使得，
∵，
∴
由（2）可得，是等腰直角三角形，
∴
∴
过点作于点，过点作交的延长线于点，
∴
∴四边形是矩形，
∴
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，,
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
则
在中，．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和，勾股定理，等腰直角三角形的性质，矩形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．