2023年陕西省西安市铁一滨河学校中考第三次模考数学试题（含详细答案）

这是一份2023年陕西省西安市铁一滨河学校中考第三次模考数学试题（含详细答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．计算（ ）
A．B．C．1D．0
2．如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ）
A．B．
C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．(2,0)B．(-2,0)C．(6,0)D．(-6,0)
6．如图，在中，延长至点，使，连接交于点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．比较大小：2___， ___．
10．若一个圆内接正六边形的边长是4cm，则这个正六边形的边心距=________cm．
11．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，为北门中点，从点往正北方向走30步到处有一树木，为西门中点，从点往正西方向走750步到D处正好看到处的树木，设正方形城池的边长为x步．根据题意整理成一元二次方程的一般形式________．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点（0，4），（3，4），将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，函数的图像经过点和的中点，则的值是______．
13．如图所示，，，所对的圆心角为，，，．现想在该图形内选取一点，在上选点，使得线段、、之和最短，试求的最小值________．
三、解答题
14．计算：．
15．解不等式，并把解集表示在数轴上．
16．计算：．
17．如图，中，，请用尺规作图求作，使点P在上且使与都相切．（不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，在正方形中，点P在边上，且不与点A，D重合，点H在边上，且不与点A，B重合，连接与交于点E.若，求证：
19．为了更好地保护环境，治污公司决定购买若干台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，已知购买1台A型号设备比购买1台B型号设备多5万元，购买2台A型号设备和3台B型号设备共45万元．求每台A、B型号设备的价格是多少万元？
20．保护环境，人人有责，某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动”､“趣味问答”､“模拟投放”三项活动（分别以、、来依次表示这三项活动）．活动开始前，将，，这三个字母分别写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小南同学先从中随机抽取一张卡片放回后洗匀，小晶同学从中再随机抽取一张卡片．
(1)求小南抽到参加“趣味问答”活动的概率；
(2)用列表法或画树状图法，求小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的概率．
21．西安是国家历史名城，钟楼是标志性建筑之一（如图①），它建立在一个长行基座上，喜欢数学实践活动的小明查资料得知：钟楼建于明代，是中国古代遗留下来众多钟楼中体形最大保存最完成的一座，小明决定用自己所学知识测量钟楼的高度，如图②，他在处用高1.0米的测角仪，测楼的顶的仰角为，再向前走54.5米到达处，又测得楼接的顶端的仰角为，已知基座的高度约为8.6米，请你求出西安钟楼的高度约多少米？（参考数据：，，，）
22．某校260名学生参加植树活动，活动结束后学校随机调查了部分学生每人的植树棵数，并绘制成如下的统计图①和统计图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）求本次调查获取的样本数据的平均数，并根据样本数据，估计这260名学生共植树多少棵？
23．某校为准备毕业典礼的文创纪念品，请广告公司为其制作纪念徽章和书签共1500份，纪念品出售所得利润全部纳入校园公益基金．两种文创纪念品的数量、成本价格和售价如下表：
设定制纪念徽章x个，出售纪念徽章和书签的总利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)如果定制纪念徽章和书签的总成本不少于5100元，又不高于5400，想要获得最大利润，学校需要定制纪念徽章多少个？
24．如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．
(1)求证：；
(2)若，，求及的长．
25．如图，已知抛物线与轴交于点与轴交于点，抛物线与关于原点对称，抛物线与x轴正半轴交于点．
(1)求抛物线的函表达式；
(2)在抛物线上有一点，在抛物线上对应点为，若四边形的面积为6，求出点的坐标；
26．问题提出：
(1)如图1，在中，，点为动点，在点运动过程中始终有，则外接圆的半径长为__________．
问题探究
(2)如图2，在四边形中，连接，，，，，求四边形的面积．
问题解决
(3)如图3，时规划中的休闲广场示意图，其中，，点是的中点，现计划在三形内取两点，，把四边形建成商业活动区，其余部分建成景观化区，从实用和美观的角度，要求满足，，，且景观绿化面积足够大，即商业活动区（四边形）的面尽可能小，请问四边形面积是否存在最小值？若存在，求出四边形的面积否存在最小值；若不存在，请说明理由（结果保根号）．
纪念徽章
书签
数量（个）
x
单价（元/个）
3
4.5
售价（元/个）
5
6
参考答案：
1．C
【分析】利用零指数幂法则计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】此题考查了零指数幂，熟练掌握“任何非零的数的零次方都等于1”是解本题的关键．
2．A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：该几何体的主视图为：
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．C
【分析】根据单项式乘以单项式，积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．
4．A
【分析】如图，由题意知∠BAC=90°，于是可得∠3的度数，然后根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：如图，由题意得：∠BAC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠1=25°，
∴∠3=65°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=65°．
故选：A．
【点睛】本题以学生常见的三角板和直尺为载体，主要考查了平角的定义和平行线的性质，属于常见题型，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．B
【分析】先求出平移后的解析式，继而令y=0，可得关于x的方程，解方程即可求得答案.
【详解】根据函数图象平移规律，可知向上平移6个单位后得函数解析式应为，
此时与轴相交，则，
∴，即，
∴点坐标为(-2，0)，
故选B.
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，先出平移后的解析式是解题的关键.
6．B
【分析】由平行四边形的性质得到，，推出，，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：在中，
∴，
∵，
∴，即，
在中，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7．C
【分析】根据弧中点的定义可得进而得到，然后根据三角形内角和定理可得，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答．
【详解】解：∵点A是中优弧的中点，
∴
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质、圆的内接四边形性质等知识点，掌握圆的内角四边形对角互补成为解答本题的关键．
8．A
【分析】根据二次函数的对称轴求得b值，从而得出函数的解析式，将一元二次方程在的范围内有实数根可以看做抛物线与直线有交点，再由时的临界函数值及对称轴处的函数值得出t的取值范围即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线．
∴，
解得：，
∴，
∴一元二次方程有实数根可以看做抛物线与直线有交点，
∵方程在的范围内有实数根，
当时，；
当时，；
当时，；
∴t的取值范围是．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点及交点与一元二次方程的实数根的关系，明确二次函数的相关性质是解题的关键．
9． < >
【分析】①将算术平方根外的数字移到平方根内，再进行比较；
②先比交．利用不等式性质两边都减1，再都除以3即可
【详解】①，，
，
，
，
②，
∴，
∴，
故答案为：①<；②>．
【点睛】本题考查实数的大小比较问题，掌握实数比较大小的方法和不等式的性质，还会用不等式的性质解题是关键．
10．
【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形的性质解答即可．
【详解】解：如图，AB=4cm，
过点O作OG⊥AB于G，
∵此多边形是正六边形，
∴，
∴，
∴（cm），
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，三角函数，正确掌握正六边形的性质是解题的关键．
11．
【分析】设正方形城池的边长为步，，根据比例性质列方程即可．
【详解】解：设正方形城池的边长为步，则，
，
，
，
，即，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程和相似三角形的应用，构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长是解题的关键．
12．6
【分析】作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，设AC=EO=BD=a，表示出四边形ACEO的面积，再根据三角形中位线的性质得出FG，EG，即可表示出四边形HFGO的面积，然后根据k的几何意义得出方程，求出a，可得答案．
【详解】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意，得AC=EO=BD，
设AC=EO=BD=a，
∴四边形ACEO的面积是4a．
∵F是DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG是△EDQ的中位线，
∴，，
∴四边形HFGO的面积为，
∴，
解得，
∴k=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确的作出辅助线构造矩形是解题的关键．
13．##
【分析】连接，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，以为边，向左作等边，作于K．首先求出，，求出的最小值，再证明，根据，即可解决问题．
【详解】解：连接，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，以为边，向左作等边，连接，作于K．
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系与等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用发现，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
14．
【分析】首先计算二次根式的乘法，绝对值和乘方，然后求和即可．
【详解】
．
【点睛】此题考查了二次根式的乘法，绝对值和乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
15．x≤4
【分析】首先去分母，然后去括号，移项合并同类项系数化成1即可求解．
【详解】解：去分母得：3（3x﹣2）≥5（2x+1）﹣15，
去括号得：9x﹣6≥10x+5﹣15，
移项，合并同类项得：﹣x≥﹣4，
则x≤4．
【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
16．．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，正确对分式进行通分、约分是关键．
17．详见解析
【分析】作的角平分线交于点P，以P为圆心，为半径作即可．
【详解】解：如图，即为所求作．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．证明见解析
【详解】由“”可证，可得，由余角的性质可得结论.
【解答】证明：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．每台型号设备的价格是12万元，每台型号设备的价格是7万元
【分析】设每台型号设备的价格是万元，每台型号设备的价格是万元，根据“购买1台型号设备比购买1台型号设备多5万元，购买2台型号设备和3台型号设备共45万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每台型号设备的价格是万元，每台型号设备的价格是万元，
依题意得：，
解得：．
答：每台型号设备的价格是12万元，每台型号设备的价格是7万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：依题意知抽到参加“趣味问答”的概率为；
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的结果有1种，
小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的概率为．
【点睛】本题考查了用树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
21．西安钟楼的高度约为36米．
【分析】根据正切的定义分别用表示出，根据列出算式求出的长，计算即可．
【详解】解：由题意得，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：西安钟楼的高度约为36米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．(Ⅰ)20；20；(Ⅱ)众数和中位数分别为都为5；(Ⅲ)1378棵．
【分析】(Ⅰ)由棵数为5的人数除以占的百分比求出调查学生总数，进而确定出m的值即可；
(Ⅱ)根据条形统计图中的数据确定出众数与中位数即可；
(Ⅲ)求出本次调查获取的样本数据的平均数，并根据样本数据，估计出这260名学生共植树的棵数即可．
【详解】(Ⅰ)根据题意得：8÷40%＝20，m%＝＝20%，即m＝20，
故答案为20；20；
(Ⅱ)本次调查获取的样本数据的众数和中位数分别为都为5；
(Ⅲ)根据题意得：4×20%+5×40%+6×30%+7×10%＝0.8+2+1.8+0.7＝5.3(棵)，
则260×5.3＝1378(棵)，即估计这260名学生共植树1378棵．
【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，以及众数，弄清题中的数据是解本题的关键．
23．(1)y=0.5x+2250(0≤x≤1500)；
(2)学校需要定制纪念徽章1100个．
【分析】（1）根据题意，利用（总获利=纪念徽章个数×纪念徽章单位获利+书签个数×书签单位获利），即可得到函数解析式；
（2）根据题意可得到一个关于x的不等式组，解不等式组求出x的范围，再结合（1）中的函数关系式，根据一次函数的性质，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：y=（5-3）x+（6-4.5）（1500-x）=0.5x+2250；
∴y与x之间的函数关系式为y=0.5x+2250(0≤x≤1500)；
（2）解：由题意得：5100≤3x+4.5（1500-x）≤5400，
解得900≤x≤1100，
对于函数y=0.5x+2250，
∵k=0.5>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=1100时，y的值最大为：y=0.5×1100+2250=2800(元)．
∴学校需要定制纪念徽章1100个．
【点睛】本题考查了一次函数、不等式组在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)BF=5，
【分析】（1）根据中，，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；
（2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= AB，根据，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据，得到，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到，推出，得到，根据∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出，得到．
【详解】（1）解：∵中，，
∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，
∵，
∴∠B=∠BCF，
∴∠A=∠ACF；
（2）∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF
∴AF=CF，BF=CF，
∴AF=BF= AB，
∵，AC=8，
∴AB=10，
∴BF=5，
∵，
∴，
连接CD，∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴，
∴，
∴，
∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，
∴∠FDE=∠B，
∴DE∥BC，
∴△FDE∽△FBC，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．
25．(1)
(2)或或或
【分析】（1）将和代入求解即可；
（2）首先求出点B的坐标， 得到，然后根据题意列出，求出，然后代入求解即可．
【详解】（1）∵抛物线与轴交于点与轴交于点，
∴，解得，
∴；
（2）当时，，，，则．
∵M与N关于原点对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
当，，解得，
当，，解得．
综上所述，点M的坐标为或或或．
【点睛】此题考查了二次函数解析式，四边形面积转化成三角形面积问题，解题的关键是求出二次函数解析式．
26．(1)
(2)8
(3)四边形面积存在最小值，且为，见解析
【分析】(1)构造三角形的外接圆，运用圆心角定理，结合勾股定理计算即可．
(2) 先证明A、B、C、D四点共圆，过点A，C分别作，垂足分别为F、E，再证明，得到，结合变形计算即可．
(3) 取的中点G，连接，证明是等边三角形，，得到，计算，根据是定值，故当最大时，取得最小值，转化为定弦定角问题计算即可．
【详解】（1）如图，设外接圆的圆心为点O，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得(舍去)，
故外接圆的半径长为，
故答案为：．
（2）如图，∵，
∴A、B、C、D四点共圆，
设圆的圆心为点O，
∵，，
∴是圆的直径，，
过点A，C分别作，垂足分别为F、E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴．
（3）如图，取的中点G，连接，
∵，，点是的中点，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据题意，是定值，故当最大时，取得最小值，
设外接圆的圆心为点O，点N是优弧上一点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得(舍去)，
连接，交于点H，交圆与点M，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴M是劣弧的中点，H是的中点，
故当点F与点M重合时，最大，
∵H是的中点，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故四边形面积存在最小值，且为．
【点睛】本题考查了定弦定角的计算，垂径定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，四点共圆，熟练掌握定弦定角的计算，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，四点共圆是解题的关键．