第04讲 直角三角形的边角关系单元复习-九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

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第04讲  直角三角形的边角关系单元复习课程标准1．了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；
2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；
3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；
4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。知识点01  锐角三角函数1．正弦、余弦、正切的定义
如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：
(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.
(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.
(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.
注意：
(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.
(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.
(4)三角函数有时还可以表示成等.
2．锐角三角函数的定义
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
（1）函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.
（2）锐角三角函数之间的关系：
余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB；
同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=
（3）30°、45°、60°角的三角函数值∠A30°45°60°sinAcosAtanA130°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.知识点02  解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：
　　　　　　　　　　　
角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
边边关系：勾股定理，即；
边角关系：锐角三角函数，即
　　
注意：
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
知识点03  解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1．解这类问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
2．常见应用问题
(1)坡度：； 坡角:.
　　　　　
(2)方位角：
　　　　　(3)仰角与俯角：
　　　　　

特别提醒：
1．解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC
 两
边两直角边(a，b)由求∠A，
∠B=90°－∠A，
 斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，
∠B=90°－∠A，
 一
边
一
角一直角边
和一锐角锐角、邻边
(如∠A，b)∠B=90°－∠A，
，锐角、对边
(如∠A，a)∠B=90°－∠A，
，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，
，2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
　　　　
把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁.
如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：
∵
∴
∵
∴
∵
∴考法01   锐角三角函数【典例1】如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（       ）A． B．C． D．【即学即练】已知，，，，那么下列各式中正确的是（       ）A． B．C． D．【典例2】如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则的值为（       ）A． B． C． D．【即学即练】如图，在中，点D在上，，垂足为C，若，则的值是（       ）A． B． C． D．考法02   特殊角三角函数值的计算【典例3】式子的值是（       ）A．0 B． C．2 D．【即学即练】（   ）A．1 B．3 C． D．【典例4】sin240°+cos240°的值为（　　）A．0 B． C．1 D．2【即学即练】的值等于（　　）A． B． C． D．1考法03   解直角三角形【典例5】如图，已知A、C两点的距离为5米，，则树高BC为（       ）A．米 B．米 C．米 D．米【即学即练】如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为45°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为60°（A，B，C三点在一条直线上），则建筑物CD的高度为（       ）A． B． C． D． 【典例6】如图，小明在距离地面米的处测得处的俯角为，处的心角为，若斜面坡度为，则斜面的长是（     ）米．A． B． C． D．【即学即练】如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东方向，则这段河的宽度为（       ）A．米 B．米 C．米 D．米考法04   三角函数的应用【典例7】如图，△ABC中，，D，E分别为CB，AB上的点，，，若，则DE的长为（       ）A． B．2 C． D．1【即学即练】如图，△ABC中，CD⊥AB，∠A=45°，∠B=60°，，则BC的长为（     ）A． B． C．2 D．4【典例8】如图，在中，，垂足为D，E为边的中点，，则（       ）A． B． C． D．【即学即练】如图，在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，将沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则的值为（       ）A． B． C． D．题组A  基础过关练1．下列三角函数的值是的是（       ）．A． B． C． D．2．在中，，，，则的值为(     )A． B． C． D．3．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（       ）A． B． C． D．4．如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，若在AC上取一点B，使∠ABD＝145°，BD＝500米，∠D＝55°．要使A、C、E成一条直线，开挖点E与点D的距离是（       ）米．A．500sin55° B．500cos55° C．500tan55° D．500cos35°5．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且，，则△ABC的形状是(     )A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定6．侦察机在P观测目标R俯角为30°，向东航行2分钟到达点Q，此时观测目标R俯角为45°，符合条件的示意图是（　　　）．A． B．C． D．7．__．8．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 ____m．9．计算：°+°10．如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，2小时后渔船到达处，测得小岛在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：） (1)求处距离小岛的距离（精确到海里）；(2)为安全起见，渔船在处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？题组B  能力提升练1．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（   ）A．30° B．45° C．60° D．90°2．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（       ）A．米 B．米 C．米 D．米3．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线，分别交、于点D、E，连接，若，，则的面积为（       ）A． B． C． D．4．矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（       ）A．3 B． C． D．5．如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，点E是BC边上的动点，点P是对角线BD上的动点，若使PC＋PE的值最小，则这个最小值为（       ）A． B．2 C． D．6．如图，在长方形ABCD中，，，点E在AB上，点F在BC上．若，，则（       ）A． B． C． D．7．计算：_____________．8．教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加杜会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°．已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计），则该公司的广告牌的高度为______米．（结果用根号表示）9．计算：(1) ；(2) ．10．如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度（结果精确到，参考数据：）题组C  培优拔尖练1．如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（     ）A． B．C． D．2．如图，点是斜边AB上的动点，点D、E分别在AC、BC边上，连结PD、PE，若，，，，则当取得最小值时AP的长是（       ）A．18 B． C． D．3．铁路道口的栏杆如图．已知栏杆长为3米，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5米（栏杆的粗细忽略不计），上升前后栏杆的夹角为，则栏杆末端上升的垂直距离CE的长为（       ）A．米 B．米 C．米 D．米4．在直角三角形ABC中，，则的值是（       ）A． B． C． D．35．如图，在中，，，于，平分，分别交、于、，为的中点，连接，则的值是（       ）A． B． C． D．6．菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E，F分别是AB，AD上的动点，且BE＝AF，连接EF，交AC于G，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③EF的最小值为2；④若BE＝1，则＝．其中正确的结论是（       ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④7．如图，绕点A顺时针旋转45°得到，若，，则图中阴影部分的面积等于______．8．在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部处测得办公楼底部处的俯角是，从综合楼底部处测得办公楼顶部处的仰角恰好是，综合楼的高为24米，则办公楼的高度约是______米．（结果精确到0.1，参考数据：，，．）9．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔120海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．(1)问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）(2)假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险．①请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？并说明理由．②如果海轮从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明理由．（参考数据：，）10．无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．(1)填空：___________度，___________度；(2)求楼的高度（结果保留根号）；(3)求此时无人机距离地面的高度．