高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性精品当堂检测题

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一、单选题
1．某班共有 个小组，每个小组有 人报名参加志愿者活动．现从这 人中随机选出 人作为正式志愿者，则选出的 人中至少有 人来自同一小组的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】人中随机选出人，则4人都来自不同小组共有种，则选出的人中至少有人来自同一小组的概率为：.
故选：A
2．已知A，B是相互独立事件，且，，则（ ）
A．0.9B．0.12C．0.18D．0.7
【解析】因为，所以，
又A，B是相互独立事件，且，
所以，
故选：C.
3．若，，，则事件A与B的关系是（ ）.
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
【解析】由题设，，而，，
所以，故事件A与B相互独立.
故选：C
4．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，
，
甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：
．
故选：D．
5．某大学的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知大一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为、、，且他通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，
所以，即，解得.
故选: D.
6．已知事件A､B相互独立，，则（ ）
A．0.58B．0.9C．0.7D．0.72
【解析】由题意
故
故选：A
7．某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为0.3，0.4，0.3，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为0.4，0.2，0.5，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为（ ）
A．0.25B．0.35C．0.65D．0.75
【解析】根据相互独立事件的概率计算公式，可得：
他们参观党史博物馆的当天下雨的概率为，
所以不下雨的概率为.
故选：C.
8．若随机事件满足，，，则事件与的关系是（ ）
A．互斥B．相互独立C．互为对立D．互斥且独立
【解析】因为， ，
又因为，所以有，所以事件与相互独立，不互斥也不对立
故选：B.
9．一个口袋内装有大小相同的红、篮球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题设，每次摸到红、篮球的概率均为，则三次都摸到篮球的概率为，
所以至少摸到一次红球的概率是.
故选：B
10．从甲地开车到乙地共有，，三条路线可走，路线堵车的概率为0.06，路线堵车的概率为0.09，路线堵车的概率为0.12，且三条路线是否堵车相互独立，若小李从这三条路线中随机选一条，则堵车的概率为（ ）
A．0.06B．0.09C．0.12D．0.27
【解析】因为路线是随机选的，所以选择每条路线的概率都是．选择走路线且堵车的概率为，
选择走路线且堵车的概率为，
选择走路线且堵车的概率为，
所以堵车的概率为．
故选：B
11．甲、乙、丙三人能独立解决某一问题的概率分别是，，，则此三人至少有一个人把此问题解决的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设此三人至少有一个人把此问题解决为事件，
三人都没有把此问题解决的概率是，
则此三人至少有一个人把此问题解决的概率是.
故选：D.
12．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题设条件可得, ,
又 ,
解得.
所以 .
故选：A.
13．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：
则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ）
A．0.24B．0.28C．0.30D．0.32
【解析】由表知：甲购买A口罩概率为，乙购买B口罩概率为，
所以甲、乙购买同一种口罩的概率.
故选：B
14．己知样本空间为，x为一个基本事件.对于任意事件A，定义，给出下列结论：①；②对任意事件A，；③如果，那么；④.其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】∵任意恒成立，任意恒不成立，∴，故①正确；
对任意事件A，，∴，∴成立，故②正确；
如果，当时，，此时或.若，则,，，成立；时，，，，成立；
当时，，，∴，那么成立，∴③正确；
当时，,此时,, 成立；当时，,此时, 成立，故④正确.
综上，正确的结论有4个，
故选：D
15．某产品需要通过两类质量检验才能出货．已知该产品第一类检验单独通过率为第二类检验单独通过率为，规定：第一类检验不通过则不能进入第二类检验，每类检验未通过可修复后再检验一次，修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次，且各类检验间相互独立．若该产品能出货的概率为．则（ ）
A．B．C．D．
【解析】设表示第次通过第一类检验，表示第次通过第二类检验，
由题意得，
即，
解得或（舍.
故选：C．
16．九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传统文化，具有极强的趣味性.九连环能既练脑又练手，对于开发人的逻辑思维能力及活动手指筋骨大有好处.现有甲、乙两人独立地挑战破解“九连环”智力扣，已知两人能破解的概率分别为，，则（ ）
A．两人都成功破解的概率为B．两人都成功破解的概率为
C．智力扣被成功破解的概率为D．智力扣被成功破解的概率为
【解析】由题意知两人都成功破解的概率，故AB不正确；
智力扣被成功破解，说明甲乙至少一人能破解，根据对立事件的概率可知，
故C错误D正确.
故选：D
二、多选题
17．甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为．则（ ）
A．甲乙都研发成功的概率为B．疫苗A研发成功的概率为
C．疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为D．仅有一款疫苗研发成功的概率为
【解析】用A，B，C分别表示事件“甲成功”，“乙成功”，“丙成功”，则：
A．根据概率公式有：
B．由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率
C．两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为
D．所求概率为
故选：ACD
18．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中错误的是（ ）
A．，，是两两互斥的事件B．
C．事件与事件B相互独立D．
【解析】由题意得可知，，是两两互斥的事件，故A正确；
，，
，故B正确；
由
事件与事件B不独立，故C、D错误；
故选：AB
19．已知事件，且，，则（ ）
A．如果，那么,
B．如果与互斥，那么,
C．如果与相互独立，那么，
D．如果与相互独立，那么,
【解析】对于A，如果，则，
，故A正确；
对于B，如果与互斥，则，，故B正确；
对于C，如果与相互独立，则，，故C不正确；
对于D，如果与相互独立，则，。故D正确
故选：ABD
20．抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件A与事件B互为对立事件
B．事件A与事件B相互独立
C．
D．
【解析】依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，
即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确；
显然有，
抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：
，共36个，它们等可能，
事件AB所含的结果有：，共8个，
则有，即事件A与事件B相互独立，B正确；
显然，，C，D都正确.
故选：BCD
三、填空题
21．甲､乙两队准备进行一场篮球赛，根据以往的经验甲队获胜的概率是，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是___________.
【解析】由题意，“甲队获胜”与“乙队不输”是对立事件
因为甲队获胜的概率是 ，所以乙队不输的概率是
故答案为：
22．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1、2、3、4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C＝{两个四面体向下的一面同时出现奇数，或者同时出现偶数}．给出下列结论：①．②．③．其中正确结论的序号为______．
【解析】由题意，同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1、2、3、4的正四面体一次，
记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}，可得，所以①正确；
事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}，可得，
所以，所以②正确；
由于事件与C为互斥事件，所以，所以③错误．
故应填：①②．
23．为筹集善款增设了一个“看图猜诗句”的游戏互动环节,主办方为每位参与者最多展示三张图片，每张图片的内容均对应一首诗词，参与者说对其中一句即视为这张图片回答正确.主办方为参与者每次只展示一张图片，若参与者回答正确才继续为他展示下一张图片，若参与者回答错误则游戏结束，参与者每正确回答一张图片就可为慈善机构募集到一笔基金，多笔基金累积计算.已知某位参加此游戏的嘉宾能正确回答第一､二､三张图片的概率分别为，，，相应能募集到的基金金额分别为元，元，元，且各张图片是否回答正确互不影响，则这位嘉宾参加此游戏恰好共募集到元慈善基金的概率为___________.
【解析】恰好筹集到元慈善基金的情况为：答对第一、二张图片，答错第三张图片，
所求概率.
故答案为：.
24．如图，用K，，三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，，正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为___________.
【解析】因为，同时不能正常工作的概率为，
所以，至少有一个正常工作的概率为，
所以系统正常工作的概率为，
故答案为：
25．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：
（1）累计负两场者被淘汰；
（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；
（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；
（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空.设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为________.
【解析】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时，甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响（或者用表示），
若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为，
若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，
所以丙获胜的概率为．
故答案为：．
26．已知一个盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，则事件“第二次取到一等品”的概率为__________．
【解析】设事件“第二次取到一等品”为事件A，可分为第一次取到的是一等品，第二次取到的是一等品，和第一次取到的是二等品，第二次取到的是一等品，
所以．
故答案为：
四、解答题
27．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C．
(1)求，，；
(2)求抽取1张奖券中奖的概率；
(3)求抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
【解析】(1)由题意，每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
故，，．
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，
则．
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，
则．
28．假设人的某一特征（如眼睛大小）是由他的一对基因所决定的，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd基因的人为混合性．纯显性和混合性的人都表现显性基因决定的某一特征．假定父母都是混合性的，而孩子从父母身上各得到一个基因．问：
(1)一个孩子具有显性基因决定的特征的概率是多少?
(2)两个孩子中至少有一个具有显性基因决定的特征的概率是多少?
【解析】(1)因为父母都是混合性，即型，
易知孩子一对基因为的概率分别为，
又孩子由显性基因决定的特征是具有，
所以一个孩子有显性基因决定的特征的概率为；
(2)因为两个孩子如果都不具有显性基因决定的特征，
即两个孩子都具有基因的纯隐性特征，其概率为，
所以两个孩子中至少有一个显性基因决定特征的概率为.
29．在同一时间内，甲､乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和，求：
(1)甲､乙两个气象台同时准确预报天气的概率；
(2)甲､乙两个气象台都没准确预报天气的概率；
(3)至少有一个气象台预报准确的概率.
(4)至多有一个气象台预报准确的概率.
【解析】(1)记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B，
则，
所以甲､乙两个气象台同时准确预报天气的概率为；
(2)由，
可知甲､乙两个气象台都没准确预报天气的概率为：
；
(3)因为甲､乙两个气象台都没准确预报天气的概率为，
所以至少有一个气象台预报准确的概率为；
(4)因为甲､乙两个气象台同时准确预报天气的概率为，
所以至多有一个气象台预报准确的概率为.
30．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
(1)求甲获胜的概率；
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
【解析】(1)设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则，，（k=1，2，3），记“甲获胜”为事件C，则
.
(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D.
则
.
购买A种医用口罩
购买B种医用口罩
购买C种医用口罩
甲
0.1
0.4
乙
0.3
0.2