第02讲 事件的关系和运算 -高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第2讲 事件的关系和运算

知识点1 事件的关系

知识点2 事件的运算

[说明]　1.互斥事件与对立事件的区别与联系

(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．

而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个．

(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．

2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件

(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．

(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

知识点3 随机事件的运算与集合运算的对应关系

考点一 事件间关系的判断

解题方略：

判断事件间关系的方法

(1)利用基本概念

①互斥事件不可能同时发生；

②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．

(2)利用集合观点

设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.

①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅；

②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.

注：(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．

(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．

【例1】同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有(　　)

A．A⊆B　　　　　　　 B．A⊇B

C．A＝B  D．A<B

【例2】一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)

A．至多有一次中靶  B．两次都中靶

C．只有一次中靶  D．两次都不中靶

【例3】抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)

A．至多有2件次品  B．至多有1件次品

C．至多有2件正品  D．至少有2件正品

变式1：从1,2，…，9中任取两数：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的有几对？并指出是哪几对．

变式2：在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)

A．至多有一张移动卡

B．恰有一张移动卡

C．都不是移动卡

D．至少有一张移动卡

【例4】给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则(　　)

A．A⊆B

B．A⊇B

C．A与B互斥

D．A与B互为对立事件

变式1：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：

(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；

(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．

变式2：从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．

变式3：已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是(　　)

A．全是白球与全是红球是对立事件

B．没有白球与至少有一个白球是对立事件

C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系

D．全是红球与有一个红球是包含关系

变式4：把红、黑、蓝、白四张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是________.

变式5：[多选]从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是(　　)

A．A与C互斥　　　　　 B．B与C互斥

C．任何两个都互斥  D．A与B对立

考点二 事件的运算

解题方略：

事件运算应注意的2个问题

(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．

(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．　　　　

【例5】给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件一定大于事件A.其中正确命题的个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

变式1：掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)

A．A⊆B

B．A＝B

C．A∪B表示向上的点数是1或2或3

D．AB表示向上的点数是1或2或3

变式2：抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______}．

变式3：掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)

A．A⊆B  B．A∩B＝{出现的点数为2}

C．事件A与B互斥  D．事件A与B是对立事件

变式4：从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色．设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为________．

变式5：打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________．

变式6：掷一枚骰子，下列事件：

A＝“出现奇数点”，

B＝“出现偶数点”，

C＝“点数小于3”，

D＝“点数大于2”，

E＝“点数是3倍数”．

求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)记为事件H的对立事件，求，C，∪C，＋.

变式7：在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：

(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；

(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．

变式8：盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．

问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？

(2)事件C与A的交事件是什么事件？

(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？

变式9：在实弹射击训练中，连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一弹击中目标}，D＝{至少有一弹击中目标}，下列关系不正确的是(　　)

A．A⊆D  B．B∩D＝∅

C．A∪C＝D  D．A∪C＝B∪D

【例7】如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么(　　)

A．A∪B是必然事件  B．∪是必然事件

C.与一定互斥  D.与一定不互斥

变式1：设H，E，F为三个事件，，，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为(　　)

A．H＋E＋F  B．H ＋E＋ F

C．HE＋HF＋EF   D.＋＋

练习一 事件间关系的判断

1、在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：

A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．请根据这些事件，判断下列事件的关系：

 (1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G.

2、掷一枚质地均匀的骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．

3、许洋说：“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为(　　)

A.至多做完三套练习题 B.至多做完二套练习题

C.至多做完四套练习题 D.至少做完二套练习题

4、抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)

A.至多有2件次品   B.至多有1件次品

C.至多有2件正品   D.至少有2件正品

5、某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：

(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；

(4)B与C；(5)C与E.

练习二 事件的运算

1、盒子里有6个红球，4个的白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件E＝{3个红球}，那么事件C与A，B，E的运算关系是(　 　)

A．C＝(A∩B)∪E

B．C＝A∪B∪E

C．C＝(A∪B)∩E

D．C＝A∩B∩E

2、某市体操队有6名男生，4名女生，现任选3人去参赛，设事件A＝{选出的3人有1名男生，2名女生}，事件B＝{选出的3人有2名男生，1名女生}，事件C＝{选出的3人中至少有1名男生}，事件D＝{选出的3人中既有男生又有女生}．

问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？

(2)事件C与A的交事件是什么事件？

3、在掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现点数1}；B＝{出现点数3或4}；C＝{出现的点数是奇数}；D＝{出现的点数是偶数}．

(1)说明以上4个事件的关系；

(2)求两两运算的结果．

4、5个相同的小球，分别标上数字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取两个小球.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，∩，∩C.