2023乌鲁木齐第101中学高二下学期开学考试数学试题含答案

乌鲁木齐市第101中学 2022-2023学年高二下学期开学考试 数学试题（考试范围：选择性必修一全册）总分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（12小题每题5分共60分）1．已知空间向量，化简的结果为（    ）A． B． C． D．2．已知空间的三个不共面的单位向量，，，对于空间的任意一个向量，（    ）A．将向量，，平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上B．总存在实数x，y，使得C．总存在实数x，y，z，使得D．总存在实数x，y，z，使得3．平面经过，且垂直于法向量为的一个平面，则平面的一个法向量是（    ）A． B． C． D．4．下面给出的几个命题，正确命题的个数是（    ）①侧面是全等的长方形的直四棱柱是正四棱柱；②若直线平面，平面平面，则平面；③在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为；A．0 B．1 C．2 D．35．直线（不同时为0），则下列选项正确的是（    ）A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线6．已知圆方程为，将直线：绕逆时针旋转到的位置，则在整个旋转过程中，直线与圆的交点个数（    ）A．始终为0 B．是0或1C．是1或2 D．是0或1或27．已知，点P满足，直线，当点P到直线l的距离最大时，此时m的值为（    ）A． B． C． D．8．已知圆心均在轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为，则（   ）A． B．2 C． D．39．已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ）①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值.②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值.A．①真②真 B．①假②真C．①真②假 D．①假②假10．在写生课上，离身高1.5m的絮语同学不远的地面上水平放置着一个半径为0.5m的正圆，其圆心与絮语同学所站位置距离2m.若絮语同学的视平面平面，平面，，且平面于点，，则絮语同学视平面上的图形的离心率为（    ）A． B． C． D．11．已知椭圆：，椭圆与椭圆的离心率相等，并且椭圆的短轴端点就是椭圆的长轴端点，据此类推：对任意的且，椭圆与椭圆的离心率相等，并且椭圆的短轴端点就是椭圆的长轴端点，由此得到一个椭圆列：，，，，则椭圆的焦距等于（    ）A． B． C． D．12．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（    ）A．Q B．R C．S D．T 二、填空题（共4小题，每题5分共20分）13．设，若，则______.14．以向量，为邻边的平行四边形对角线______（填坐标）.15．已知圆，若过定点有且仅有一条直线被圆截得弦长为2，则可以是__________.（只需要写出其中一个值，若写出多个答案，则按第一个答案计分.）16．已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.①当时，有；②当时，有；③可能是等腰直角三角形；其中命题中正确的有__________. 三、解答题（6题共70分，请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）17．已知圆的直径，圆所在平面，，点是圆周上不同于、的一点.(1)证明：；(2)已知，点是棱上一点，若与平面所成角的余弦值为，且，求的值. 18．如图，在斜三棱柱中，向量，三个向量之间的夹角均为，点、分别在、上，且，，，，.  (1)将向量用向量、表示，并求；(2)将向量用、、表示. 19．已知，，为的三个顶点，圆Q为的内切圆，点P在圆Q上运动.(1)求圆Q的标准方程；(2)求以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值；(3)若，，求的最大值.  20．已知过圆上一点的直线与该圆另一交点为为原点，记.(1)当时，求的值和的方程；(2)当时，，求的单调递增区间. 21．已知，为椭圆E：的上、下焦点，为平面内一个动点，其中.(1)若，求面积的最大值；(2)记射线与椭圆E交于，射线与椭圆E交于，若，探求，，之间的关系. 22．如图，椭圆、双曲线中心为坐标原点，焦点在轴上，且有相同的顶点，，的焦点为，，的焦点为，，点，，，，恰为线段的六等分点，我们把和合成为曲线，已知的长轴长为4.(1)求曲线的方程；(2)若为上一动点，为定点，求的最小值；(3)若直线过点，与交于，两点，与交于，两点，点、位于同一象限，且直线，求直线的方程.
高二数学开学考试答案：123456789101112BDBBDDCBADBA13．【解析】，由于，所以，所以，解得.故答案为：14．【解析】由题意．故答案为：．15．1或【解析】依题意，该直线过圆心或垂直于，圆心到直线距离为或，，所以或.故答案为：1或16．①②【解析】由圆与，联立方程，解得或（舍），当时，，所以，从而，即，因为点在直线上运动，所以，则，①当时，点三点共线，由于，所以，所以，由题意知，所以，故①正确；②当时，即，所以，即，解得，又，得，所以②正确；③若是等腰直角三角形，则或或为直角，因为，当时，则，得，此时，不是等腰直角三角形，由对称性可知当时，也不是等腰直角三角形，；当时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点在轴上，此时，，,,即，故不是等腰直角三角形，综上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③错误，故答案为：①②.17．(1)证明见解析(2)或【解析】（1）证明：平面，平面，.点是圆周上不同于、的一点，且为圆的一条直径，.又，、平面，平面.又平面，.（2）解：如图，连接，，为的中点，则，又因为平面，以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，，，则，所以，，设平面的法向量为，则，令，则.设与平面所成的角为，由已知，则，则.整理可得，因为，解得或.18．(1)，(2)【解析】（1），因为，所以，所以.（2）因为，所以为的中点，所以.19．(1)(2)最大值为，最小值为(3)【解析】（1）因为，，，所以为直角三角形，如图：设的内切圆的半径为，由得，由图可知，圆心为，所以圆.（2）设，，，，，，因为，所以，所以以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值分别为，.（3）设，则，根据对称性，只研究P点在x轴上方，即的情况，当垂直x轴时，，，当垂直x轴时，，，当和都不垂直轴时，，，，因为为点与的斜率，如图：由图可知，当直线与圆相切时，取得最小值，设直线：，即，则，结合，得，所以，，因为，所以，由于，所以当取最大值时，取最大值，取最大值，所以.20．(1)，的方程为或；(2)单调递增区间为.【解析】（1）点在圆上，.，，，∴，由条件得到的距离为，不与轴垂直，设的方程为，即，，解得：，或，所以的方程为或；（2）当时，，由得.当且仅当，即时，单调递增，所以的单调递增区间为.（备注：也是对的）.21．(1)(2)【解析】（1）由题可知椭圆E：的上、下焦点，又因为,所以, 则点为椭圆上一点，且，则，于是面积的最大值为.（2）射线的方程为，射线的方程为，联立解得，①又，则，②将②代入①，得.22．(1)，.(2)的最小值为.(3)直线l的方程为或【解析】（1）设，，由题意知，，，，，，，因此曲线，.（2）若是上的动点，显然当为椭圆的上顶点时，最短，此时，若是上的动点，以为圆心为半径作圆，当圆与相切时，切点为，此时最小，且，圆，代入，整理得，当圆与曲线相切，由，，，，所以为上一动点，为定点，的最小值为.（3）设直线，，，由对称性可知，，由，整理得，解得， ，由，整理得，解得，，当时，，由(1)知，，所以，，将坐标代入得，整理得，两边平方化简得，，所以直线l的方程为或..