第一章 空间向量与立体几何 综合检测-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

这是一份第一章 空间向量与立体几何 综合检测-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册，共18页。
《第一章 空间向量与立体几何》综合检测
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 如图所示,在四面体O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=(　　)

A.12a-23b+12c B.-23a+12b+12c
C.12a+12b-23c D.23a+23b-12c
2. [2022天津两校联考高二上质量检测]已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1),若a⊥(b-c),则x的值为(　　)
A.-2 B.2 C.3 D.-3
3. [2022福建厦门一中高二上期中]已知动点Q在△ABC所在平面内运动,若对于空间中任意一点P,都有PQ=-2PA+5PB+mCP,则实数m的值为(　　)
A.0 B.2 C.-1 D.-2
4. [2022山东济宁高二上期中]如图所示,在大小为30°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE和四边形CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(　　)

A.2 B.2
C.3-3 D.3+3
5. [2022河北省部分名校高二上期中]在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=(0,2,-3),AC=(-23,0,-3),AA1=(-3,0,32),则该三棱柱的高为(　　)
A.94 B.32 C.2 D.4
6. [2022湖北武汉育才高级中学高二上月考]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P满足AP=λAB+13AA1(λ∈[0,1]).若平面BDP∥平面B1CD1,则实数λ的值为(　　)
A.14 B.13 C.12 D.23
7. 如图,几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.当A1,E,F,C1四点共面时,平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为(　　)

A.32 B.12 C.15 D.265
8. 如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABC⊥平面BCD,△BAC与△BCD均为直角三角形,且∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CD=12BC=1,点P是线段AB上的动点,若线段CD上存在点Q,使得异面直线PQ与AD成30°的角,则线段AP的长的取值范围是(　　)

A.(0,22] B.(0,63] C.(0,1] D.(0,2]
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. [2022河北唐山高二上期中]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式运算结果为BD1的是(　　)
A.(A1D1-A1A)-AB
B.(BC+BB1)-D1C1
C.(AD-AB)-2DD1
D.(B1D1-A1A)+DD1
10. [2022山东师范大学附属中学高二上月考]已知空间三点A(-1,0,1),B(-1,2,2),C(-3,0,4),则(　　)
A.AB∥AC
B.AB·AC=3
C.|BC|=23
D.cos=36565
11. [2022重庆巴蜀中学高二上月考]四边形ABCD中,AB=BD=DA=4,BC=CD=22,现将△ABD沿BD折起,直线AB与平面BCD所成的角为α,则当二面角A-BD-C的大小在[π3,2π3]内变化时,cos α的值可以为(　　)
A.12 B.74 C.34 D.32
12. [2022山东烟台高二上期中]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=2,点P满足A1P=xA1D1+yA1A+zA1B1,x∈(0,1],y∈(0,1],z∈(0,1],则(　　)

A.当x=y=z时,A1P⊥BD
B.当x+y+z=1时,D1P∥平面BDC1
C.当x=12,y=z时,三棱锥C-DPD1的体积为定值
D.当x+y=1,y=z时,D1P与平面A1D1DA所成角的正切值为2
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. [2022广东佛山西樵高中高二上期中]已知n1=(2,1,1)与n2=(0,2,1)分别为平面α与β的法向量,若α∩β=l,则直线l的一个方向向量为　　　　. 
14. 如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为33,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值为　　　　. 

15. 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE=　　　. 

16. 在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,BE=2EC,点P在正方体的表面上移动,且满足B1P⊥D1E,当P在CC1上时,AP=　　　　;满足条件的所有点P构成的平面图形的周长为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分.) 
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10分)[2022山东济宁高二月考]如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AD=2,AA1=5,E,F分别为DD1,BB1上的点,且DE=B1F=1.

(1)求证:BE⊥平面ACF;
(2)求点E到平面ACF的距离.







18. (12分)在①平面PAB⊥平面ABCD,AB⊥PA,②AB⊥PA,PA⊥CD,③BC⊥平面PAB,AB⊥PA这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上,并解答.
问题:如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,点E在BC上,AD∥BC,AB⊥AD,BC=2AB=2AD=2AP=4BE=4,且　　　　. 

(1)求证:平面PDE⊥平面PAC;
(2)求直线PE与平面PAC所成角的正弦值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.







19. (12分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC=1,∠ABC=60°.四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1,设点M在线段EF上运动.

(1)证明:BC⊥AM;
(2)设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ,求θ的最小值.







20. (12分)[2021湖北荆州中学高二期末]如图1,☉O的直径AB=4,点C,D为☉O上两点,且∠CAB=45°,∠DAB=60°,F为BC的中点.沿直径AB将上半圆折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图2).

图1 图2
(1)求证:OF∥平面ACD;
(2)求二面角C-AD-O的余弦值.






21. (12分)[2022湖南名校联合体高三上联考]如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形,A1A=4,且A1A⊥底面ABCD,点P,Q分别在棱DD1,BC上.

(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;
(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为49,求三棱锥A-DPQ的体积.





22. (12分)[2022天津河东区模考]在滨海文化中心有天津滨海科技馆,其建筑有鲜明的后工业风格,如图所示,截取其中一部分抽象出长方体与圆台的组合体,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=AA1=2,圆台下底面的圆心O为AB的中点,直径为2,圆O与直线AB交于E,F两点,圆台上底面的圆心O1在A1B1上,直径为1.

(1)求A1C与平面A1ED所成角的正弦值.
(2)求二面角E-A1D-F的余弦值.
(3)圆台的上底面圆周上是否存在一点P,使得FP⊥AC1?若存在,求点P到直线A1B1的距离,若不存在,则说明理由.

















参考答案
一、单项选择题
1. B　连接ON,则MN=ON-OM=12(OB+OC)-23OA=12(b+c)-23a=-23a+12b+12c.
2. A　b-c=(-2,3,1),因为a⊥(b-c),所以a·(b-c)=4+3x+2=0,得x=-2.
3. B　因为Q∈平面ABC,所以-2+5-m=1,解得m=2.
4. C　因为四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,所以DE·EF=EF·FB=0.因为BF⊥EF,CF⊥EF,所以∠BFC=30°,所以DB2=(DE+EF+FB)2=DE2+EF2+FB2+2DE·EF+2DE·FB+2EF·FB=3+2×1×1×cos(180°-30°)=3-3,因此有BD=3-3.
5. B　设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=0n·AC=0,所以2y-3z=0-23x-3z=0.令z=2,则x=-3,y=3,所以n=(-3,3,2)是平面ABC的一个法向量.点A1到平面ABC的距离d=|AA1·n||n|=32,故该三棱柱的高为32.
6. D　因为AP=λAB+13AA1,所以AP,AB,AA1共面,即点P在平面ABB1A1内.又在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面B1CD1∥平面BDA1(如图),所以要使平面BDP∥平面B1CD1,则点P在平面BDA1内,即点P在A1B上,点P,A1,B共线,所以λ+13=1,解得λ=23.

7. B　由题意,知当E,F分别为AB,BC的中点时,A1,E,F,C1四点共面.以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),则D(0,0,0),A1(6,0,6),C1(0,6,6),E(6,3,0),F(3,6,0).设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意,得n1·DE=6a+3b=0n1·DA1=6a+6c=0,令a=-1,则c=1,b=2,所以n1=(-1,2,1)为平面A1DE的一个法向量.同理得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1).所以平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为|n1·n2||n1||n2|=12.
8. C　如图,以C为原点,CD,CB所在直线分别为x轴、y轴,过C作平面BCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(0,1,1),B(0,2,0),D(1,0,0),设Q(q,0,0)(0≤q≤1),设AP=λAB=(0,λ,-λ)(0