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中考数学一轮复习精品讲义 圆
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这是一份中考数学一轮复习精品讲义 圆，共57页。
圆
本章小结
小结1 本章概述
本章的主要内容有圆的概念及性质，垂直于弦的直径的性质，弧、弦、圆心角之间的关系及性质，圆周角的概念及性质，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆的关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积．
我们在学习直线型图形的有关性质和证明的基础上来探索一种特殊的曲线型图形——圆，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，而且有无数条对称轴，绕圆心旋转任意角度都和它本身重合，学习本章的基础是以前所学过的结论，同时，本章作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性．在中考中所涉及的命题大都和圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆中的计算有关．在本章中，主要概念有圆、圆心角、圆周角、弧、弦、相交、相切、相离，正多边形的半径、中心、边心距等，主要公式有弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面积公式等，主要定理有垂径定理，切线的性质定理和判定定理，切线长定理等．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】 掌握垂直于弦的直径的性质；掌握圆的切线的判定定理与性质定理的应用，能利用垂直关系进行有关的证明和计算；掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，并会利用图形加以区别；会利用弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式进行有关的计算；掌握圆心角、弧、弦之间的关系及圆周角定理，并能运用它们进行有关的计算．
【本章难点】 垂径定理，弧、弦、圆心角的关系定理，圆周角定理；直线和圆相切的性质定理、判定定理的证明及应用，切线长定理的应用；圆与圆的五种位置关系的判断；圆锥的侧面积与母线长和底面半径之间的关系等都是本章的难点．间接证明题目的方法——反证法也是本章的难点．在圆中添加“辅助线”既是本章的重点，也是本章的难点．
小结3 学法指导
1．在本章的学习中，注意通过观察、探索、合作、实践、交流、归纳等数学活动，进行主动的、富有个性的学习，尤其是对于一些结论的得出，更应去探索、总结，通过合情的推理，主动地获取新知，注意“由特殊到一般”“数形结合”“化归”等数学思想方法的运用．
2．学习本章应注意以下几点：
(1)在实际问题中认识圆的有关概念：圆心、半径、直径、弦、弧(优弧、劣弧)、圆心角、圆周角．
(2)通过对实际生活的观察和亲自体验，掌握圆的对称性，并能利用圆的对称性探索圆的一些基本性质，在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧等．
(3)通过对点、直线和圆与圆的相对运动的探索、实验、推理、计算等归纳出点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，掌握通过点与圆心的距离、直线与圆心的距离、圆心与圆心之间的距离同圆的半径的大小比较，来判定它们之间的位置关系的方法.
(4)在对直线与圆相对运动的探索过程中掌握切线的概念，并能利用实验探索切线与过切点的半径之间的关系，同时能判断一条直线是否为圆的切线．
(5)在动手操作与观察实验的同时，探索出正多边形与圆的关系、扇形面积及弧长的计算公式，并掌握圆柱及圆锥的侧面积与全面积公式．
(6)在学习本章的过程中，要及时准确地画出示意图形，以帮助解题，化抽象为直观．
知识网络结构图
圆的概念：在同一平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一端点所形成的图形，叫做圆
（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆又是中心对称图形
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
推论：平分（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
圆的性质 （3）同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其他各组量也相等
（4）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径
点在圆外
点在圆上
（1）点和圆的位置关系 点在圆内
及相关性质 不在同一直线上的三点确定一个圆
相交
相切
相离
切线的判定定理：经过半径外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线
（2）直线和圆的位置关系 切线的性质定理：圆的切线垂直于过
及相关性质和定理 切点的半径
圆 切线长定理：从圆外一点引圆的两条
点、直线和圆 切线，它们的切线长相等，这一点和
的位置关系 圆心的连线平分两条切线的夹角
及相关性质 外离
和定理 相离
内含
（3）圆与圆的位置关系 外切
相切
内切
相交
（1）正多边形的顶点都在圆上，圆叫做正多边形的外接圆，正多边形
叫做圆的内接正多边形
正多边形与圆 （2）圆和正多边形的各边都相切，圆叫做正多边形的内切圆，正多边
形叫做圆的外切正多边形
（1）弧长公式：
有关圆的计算 （2）扇形面积公式：
（3）圆锥的侧面积公式：
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 圆的认识及圆的对称性
【专题解读】 对于圆的基本元素、圆的对称性及根据对称性探索出的弧、弦、圆
心角之间的关系、垂直于弦的直径等知识，单独考查时多以填空题、选择题形式出现，在综合题及应用题中常作为被考查的一个方面出现．
例1 “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图24—191所示，为的直径，弦于，寸，寸，则直径的长为( )
A．12.5寸 B．13寸
C．25寸 D．26寸
分析 因为直径垂直于弦，所以可通过连接 (或)求出半径．根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，可知寸，在
中，即，解得＝13，进而求得＝26寸．故选D．
【解题策略】 在解答有关圆的问题时，常需运用图中条件寻求线段之间、角之间、弧之间的关系，从中探索出诸如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题目的目的.
专题2 有关圆周角计算
【专题解读】 在有关圆周角的题目中，单独考查时多以选择题、填空题形式出现，在解答时，应从圆周角与其所对的弧、圆心角、弦等方面考虑．
例2 如图24—192所示，△内接于，点是延长线上一点，若，则等于 ( )
A． B．
C． D．
分析 本题可求出的度数，所对的弧是优弧，则该弧所对的圆心角度数为，所以＝＝120，因此＝180一120＝60．故选且B.
例3 如图24—193所示，的内接四边形中，
，则图中和相等的角有 .
分析 由弦，可知，因为同弧或等弧所
对的圆周角相等，所以．故填．
专题3与圆有关的位置关系
【专题解读】 在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般以选择题、填空题形式出现，在解答题、探究题中作为主要查目标也常出现，这部分分内容不仅考查基础知识的形式出现，而且还以考查综合运用能力的形式出现.
例4 已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6 cm，那么直线和这个圆的公共点有
个.
分析 直线与圆的位置关系包括：相离、相切、相交．判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线的距离与圆的半径．实际上这两种方法是等价的，由题意可知圆的半径为6.5 cm，而圆心到直线的距离为6 cm，6 cm<6.5 cm，所以直线与圆相交，有2个公共点．故填2．
例5 两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是 ．
分析 两圆的位置关系有：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含)．两圆内切时，圆心距||，题中一个圆的半径为5，而2，所以有||=2，解得=7或＝3，即另一个圆的半径为7或3．故填3或7．
例6 在平面直角坐标系中，两个圆的圆心坐标分别是
(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线
有 ( )
A．1条 且2条 C．3条 D．4条
分析 本题借助图形来解答比较直观，如图24—194所示，要判断两圆公切线的条数，必须先确定两圆的位置关系，因此必须求出两圆的圆心距，根据题中条件，在中，，所以，而两圆半径分别为和，且，即两圆的圆心距等于两圆半径之和，所以两圆外切，共有3条公切线．故选C.
例7 如图24—195所示，在边长为3 cm的正方形中，
与相外切，且分别与边相切，分
别与边相切，则圆心距= cm．
分析 本题是一个综合性较强的题目，既有两圆相切，又有直线
和圆相切．求的长就要以为一边构造直角三角形．过作的平行线，过作的平行线，两线相交于是和的半径之和，设为，则
在中解得由题意知不合题意，舍去．故填.
规律·方法 解两圆相切的问题，往往是连圆心，得到直角三角形，利用勾股定理解题．
专题4 切线的识别与特征及切线长
【专题解读】 涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别、切线的特征及切线的应用，所以应认真理解有关切线的内容，并能应用到实际问题中去．
例8如图24-196所示，切于点，则度.
分析因为与相切，所以，由，得，所以故填147.
例9 如图24-197所示，是的两条切线，是切点，是上两点，如果那么的度数是 .
分析 由，知从而在中，与互补，所以故填99.
专题5 有关圆的计算
【专题解读】 圆中的计算问题有圆的面积与周长、弧长、扇形面积、圆柱及圆锥的侧面积与全面积，考查时选择题、填空题、解答题都有，考查的重点是对有关公式的灵活运用.
例10 沈阳某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案《我的宝贝》，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作半圆，如图24-198所示，则图中阴影部分的面积为 （ ）
A.36cm2 B.72cm2 C.36cm2 D.72cm2
分析 经认真观察可知阴影部分的面积由两个小半圆
面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，
由已知得直角边长为（cm），小半圆半径
为cm，因此阴影部分面积为（cm2）.故选C.
例7 如图24-199所示，在正方形铁皮上剪下一个圆形
和扇形，使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型，设圆的半径
为，扇形半径为，则圆的半径与扇形半径之间的关系为
（ ）
A. B.
C. D.
分析 由扇形与圆恰好围成圆锥的条件是圆的周长与扇形的弧长相等，所以
化简可得.故选D.
专题6 综合与其他知识解决问题
【专题解读】 有关圆与其他知识综合题多以解答题和探究题的形式出现.
例12 如图24-200所示，是的直径，过圆上一点作的切线，与过点的直线垂直相交于，弦的延长线与直线交于点.
（1）试说明点为的中点；
（2）设直线与的另一交点为，试说明
（3）若的半径为，求线段和所围成阴影部分的面积.
解：（1）连接是的切线，
为的中点，是的中点.
（2）连接为的直径，
为的中点，为的中点，
即
（3）
连接，则为等边三角形，，
在中，
例13 如图24-201所示，已知为的直径，为弦，cm.
（1）说明
（2）求的长.
解：（1）是的直径，
（2）是的中点，
是的中点，
例14 如图24-202所示的是某学校田径体育场一部分的示意图，第一跑道每圈为400米，跑道分直道和弯道，直道为相等的平行线段，弯道为
同心的半圆形，弯道与直道相连接，已知直道的长
为86.96米，跑道的宽为1米.
（取3.14，精确到0.01米）
（1）求第一跑道的弯道部分的半径；
（2）求一圈中第二跑道与第一跑道相差多少米；
（3）若进行200米比赛，求第六跑道起点与圆心的连线与的夹角的度数.
解：（1）（米），
第一跑道弯道部分的半径为113.04÷（米）.
（2）第二跑道与第一跑道的直跑道长相等.
第二跑道与第一跑道的弯道部分的半径的差为1米.
第一跑道与第二跑道的弯道长的差即为两圆周长之差，
即2（米）.
（3）半圆的半径增加1米时，
半圆的弧长增加（米），
第六跑道半圆弧长比第一跑道半圆弧长长5（米），
第六跑道半圆的半径为41米，.
二、规律方法专题
专题7 在解决圆的证明题或计算题的过程中辅助线的引入方法与规律
【专题解读】 对圆的有关计算内容在计算或证明时，经常需要添加辅助线，常见的有：有切点连半径；有关弦的计算，常作表示弦心距的线段，利用垂径定理；有直径，作直径所对的圆周角等；两圆相切时连圆心；圆中有45的圆周角时，转化为同一弧所对的90的圆心角等.
例11 如图24-103所示，是直径为的半圆
上一点，为的中点，过作的垂线，垂足
为，求证是半径圆的切线.
分析 证明圆的切线，给了直线和圆的交点，连接过交点的
半径，证垂直，给了弧的中点，可连接，也可连接，
下面用两种证法来证明.
证法1：如图24-203所示，连接
是直径，
又
与相切.
证法2：如图24-204所示，连接
是的切线.
规律·方法 若给直径，构造直径所对的圆周角，若给弧的中点，连接过中点的半径，想到垂径定理
三、思想方法专题
专题8 分类讨论思想
【专题解读】 分类讨论思想主要是针对数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同种类，从而克服思维的片面性，防止漏解，要做到成功分类必须注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类的对象；二是找出科学合理的分类标准，应当满足互斥、无漏、最简单的原则，本章对于圆的有关概念、圆周角的有关求值及圆与圆位置关系的讨论等问题均应用了这一思想.
例16 为不在圆上的任意一点，若到的最小距离为3，最大距离为9，则的直径长为 （ ）
A.6 B.12 C.6或12 D.3或6
分析 点与圆有三种位置关系，即点在圆上、点在圆内、点在圆外，故点有两点种情况.当点在圆外时，直径长为9-3＝6；当点在圆内时，直径长为9+3＝12.故选C.
【解题策略】 注意题中求的是直径，不是半径.
例17 为的弦，为的内接三角形，求的度数.
分析 依题意知为的外心，由外心的位置可知应分两种情况进行解答.
解：应分两种情况，当在内部时，
当在外部时，由＝130，得劣弧的度数为130，则的度数为360－130＝230,故.
综合，或
【专题解读】 转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，从而将无法求解的问题转化成可以求解的问题，使问题得以解决.
例18 如图24-205所示，在中，以为圆心，长为半径的圆交于，求弧的度数.
分析 的度数等于它所对的圆心角的度数，故只需求出
的度数.
解：连接
的度数为50.
【解题策略】 把求弧的度数转化为求它所对的圆心角的度数，使问题迎刃而解，可见数学中“转化”的重要.
专题10 数学建模思想
【专题解读】 圆在实际生活中有很多的应用，解决问题的方法是将实际问题转化为与圆有关的数学问题，建立数学模型，从而达到解题的目的．
例19 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图24—206(1)所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90，尺寸如图24—206(1)所示(单位：cm)．将形状规则的铁球放人槽内时，若同时具有图(1)所示的三个接触点，该球的大小就符合要求．
如图24—206(2)所示的是过球心及三点的截面示意图．已知的直径就是铁球的直径，是的弦，切于点，请你结合图中的数据，计算这种铁球的直径．
分析 这是一道实际应用题，其检测依据是三点确定一个圆，利用垂径定理可以求出铁球的直径．
解：如图24—206(2)所示，＝16 cm，
设和相切于点，连接，交于，
又8(cm)．
连接，在中，cm，8 cm，cm．
解得＝10．
答：这种铁球的直径是20cm．
中考真题精选
1. （•南通）如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于（ ）
A、8 B、4 C、10 D、5
考点：垂径定理；勾股定理。
分析：连接OA，即可证得△OMD是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM，根据勾股定理即可求得OA的长．
解答：解：连接OA，∵M是AB的中点，∴OM⊥AB，且AM=4，在直角△OAM中，由勾股定理可求得OA=5，故选D．
点评：本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，根据垂径定理求得AM的长，证明△OAM是直角三角形是解题的关键．
2. （四川凉山，9，4分）如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（ ）
A． B．或 C． D． 或
考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质．
专题：计算题．
分析：利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆周角的度数即可，注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论．
解答：解：当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，
当点C在劣弧上时，∠ACB＝（360°－∠AOB）＝×（360°－100°）＝130°．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，本题还渗透了分类讨论思想，这往往是学生的易错点．1. 3.（江苏连云港，15，3分）如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO.以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF.若∠BAC=22º，则∠EFG=_____.
考点：圆周角定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质。
专题：几何图形问题。
分析：连接OE，利用三角形的外角性质得出∠ODC的度数，再求出∠DOC，从而求出∠EOG的度数，再利用圆周角定理求出∠EFG的度数．
解答：解：连接EO，
∵AD=DO，
∴∠BAC=∠DOA=22°，
∴∠EDO=44°，
∵DO=EO，
∴∠OED=∠ODE=44°，
∴∠DOE=180°﹣44°﹣44°=92°，
∴∠EOG=180°﹣92°﹣22°=66°，
∴∠EFG=∠EOG=33°，
故答案为：33°．
点评：此题主要考查了圆周角定理，三角形外交的性质的综合运用，做题的关键是理清角之间的关系．
4. （•江苏宿迁，17，3）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A=26°，则∠ACB的度数为 ．
考点：切线的性质；圆周角定理。
专题：计算题。
分析：连接OB，根据切线的性质，得∠OBA=90°，又∠A=26°，所以∠AOB=64°，再用三角形的外角性质可以求出∠ACB的度数．
解答：解：如图：连接OB，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=26°，
∴∠AOB=90°﹣26°=64°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC，
∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C，
∴∠C=32°．
故答案是：32°．
点评：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合三角形内角和求出角的度数．
5.（重庆市，3，4分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠A=30°,则∠B的度数为
A．15° B. 30° C. 45° D. 60°
考点：圆周角定理．
分析：根据直径所对的圆周角为90°，可得∠C的度数，再利用三角形内角和定理进行计算．
答案：解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴∠B=180°-90°-30°=60°．
故选D．
点评：此题主要考查了圆周角定理和三角形内角和定理，题目比较简单．
6. （2010重庆，6，4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°则∠A的度数等于( )
A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°
6题图
考点：圆周角定理
分析：在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．
解答：解：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径），∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；
∵∠OCB=40°，∠C0B=180°﹣∠OBC﹣∠0CB，∴∠COB=100°；又∵∠A= ∠COB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠A=50°，故选B．
点评：本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．
7. （湖北荆州，12，3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B=40°，则∠ACD的度数是50°．
考点：圆周角定理．
专题：计算题．
分析：连接AD，构造直角三角形，利用同弧所对的圆周角相等求得直角三角形的一个锐角，再求另一个锐角即可．
解答：解：连接AD，
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∵∠B=40°，
∴∠D=40°，
∴∠ACD=50°，
故答案为50°．
点评：此题主要考查的是圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是90°；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
8.（•河池）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（ ）
A、35° B、55°
C、65° D、70°
考点：圆周角定理。
分析：在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以∠AOC=2∠D=70°，而△AOC中，AO=CO，所以∠OAC=∠OCA，而180°﹣∠AOC=110°，所以∠OAC=55°．
解答：解：∵∠D=35°，
∴∠AOC=2∠D=70°，
∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）÷2=110°÷2=55°．
故选B．
点评：本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系．规律总结：解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件．
9. （，台湾省，27,5分）如图，圆O为△ABC的外接圆，其中D点在上，且OD⊥AC．已知∠A=36°，∠C=60°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A、132 B、144
C、156 D、168
考点：圆周角定理。
专题：计算题。
分析：连接CO，由圆周角定理可求∠BOC，由等腰三角形的性质求∠BCO，可得∠OCA，利用互余关系求∠COD，则∠OBD=∠BOC+∠COD．
解答：解：连接CO，∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，
在△BOC中，∵BO=CO，
∴∠BCO=（180°﹣72°）÷2=54°，
∴∠OCA=∠BCA﹣54°=60°﹣54°=6°，
又OD⊥AC，
∴∠COD=90°﹣∠OCA=90°﹣6°=84°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=72°+84°=156°．
故选C．
点评：本题考查了圆周角定理．关键是将圆周角的度数转化为圆心角的度数，利用互余关系，角的和差关系求解．
10. （山东济南，12，3分）如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
考点：圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理；锐角三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：连接AB，利用圆周角定理得∠C=∠ABO，将问题转化到Rt△ABO中，利用锐角三角函数定义求解．
解答：解：如图，连接AB，
由圆周角定理，得∠C=∠ABO，
在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5，
∴．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理及锐角三角函数的定义．关键是运用圆周角定理将所求角转化到直角三角形中解题．
11. （•临沂，6，3分）如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（ ）
A、2cm B、3cm C、4cm D、2cm
考点：垂径定理；勾股定理。
专题：探究型。
分析：先连接OA，由CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M可知AB=2AM，再根据CD=5cm，OM：OD=3：5可求出OM的长，在Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM的长，进而可求出AB的长．
解答：解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，
∴AB=2AM，
∵CD=5cm，
∴OD=OA=CD=×5=cm，
∵OM：OD=3：5，
∴OM=OD=×=，
∴在Rt△AOM中，AM===2，
∴AB=2AM=2×2=4cm．
故选C．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12. （泰安，10，3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
考点：垂径定理；勾股定理。
专题：探究型。
分析：连接OA，设⊙O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，AB＝则AD＝＝，OD＝，再利用勾股定理即可得出结论．
解答：解：连接OA，设⊙O的半径为r，
∵AB垂直平分半径OC，AB＝，
∴AD＝＝，OD＝，
在Rt△AOD中，
OA2＝OD2＋AD2，即r2＝（）2＋（）2，
解得r＝．
故选A．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13. 如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（ ）
A． B．或 C． D． 或
考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质．
专题：计算题．
分析：利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆周角的度数即可，注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论．
解答：解：当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，
当点C在劣弧上时，∠ACB＝（360°－∠AOB）＝×（360°－100°）＝130°．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，本题还渗透了分类讨论思想，这往往是学生的易错点．
14. （成都，7，3分）如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
考点：圆周角定理。
专题：几何图形问题。
分析：根据圆周角定理求得．：∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．∠BOD＝2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是180°知
∠BOD＝180°－∠AOD，∴∠BCD＝32°．
解答：解：连接OD．
∵AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
又∵∠BOD＝180°－∠AOD，∠BOD＝2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
∴∠BCD＝32°；
故选B．
点评：本题考查了圆周角定理．解答此题时，通过作辅助线OD，将隐含在题中的圆周角与圆心角的关系（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）显现出来．
15. （四川达州，6，3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（ ）
A、5 B、4
C、3 D、2
考点：垂径定理；勾股定理。
专题：计算题。
分析：连接OC，由垂径定理求出CE的长，再根据勾股定理得出线段OE的长．
解答：解：连接OC
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=CD，
∵CD=8，∴CE=4，
∵AB=10，
∴由勾股定理得，OE==3．
故选C．
点评：本题考查了垂径定理、勾股定理以及圆中辅助线的做法，是重点知识，要熟练掌握．
16. （，四川乐山，6，3分）如图，CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=（ ）
A.40° B.60° C.70° D.80°
考点：垂径定理；圆周角定理。
专题：计算题。
分析：∠BOC与∠BDC为所对的圆心角与圆周角，根据圆周角定理可求∠BDC，由垂径定理可知AB⊥CD，在Rt△BDM中，由互余关系可求∠ABD．
解答：解：∵∠BOC与∠BDC为所对的圆心角与圆周角，
∴∠BDC=∠BOC=20°，
∵CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，
∴AB⊥CD，
∴在Rt△BDM中，∠ABD=90°﹣∠BDC=70°．
故选C．
点评：本题考查了垂径定理，圆周角定理的运用．关键是由圆周角定理得出∠BOC与∠BDC的关系．
1（四川眉山，11，3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．50° B．25° C．40° D．60°
考点：切线的性质。
专题：计算题。
分析：由PA、PB是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°可得到∠AOB，而AC是⊙O的直径，根据互补即可得到∠BOC的度数．
解答：解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
而∠P=50°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠BOC=180°﹣130°=50°．
故选A．
点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；也考查了四边形的内角和为360°．.
2. （成都，10，3分）已知⊙O的面积为9πcm2，若点0到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
考点：直线与圆的位置关系。
专题：计算题。
分析：设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点0到直线l的距离π比较即可．
解答：解：设圆O的半径是r，
则πr2＝9π，
∴r＝3，
∵点0到直线l的距离为π，
∵3＜π，
即：r＜d，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故选C．
点评：本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当r＜d时相离；当 r＝d时相切；当 r＞d时相交．
3. （台湾，16，4分）如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A．C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（ ）
A．97° B．104° C．116° D．142°
考点：弦切角定理；圆周角定理。
分析：先根据直径所对的圆周角为直角得出角BAD的度数，根据角平分线的定义得出角BAF的的度数，再根据弦切角等于它所夹弧对的圆周角，得出角ABD的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出角AFB的度数．
解答：解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°－∠BAF－∠ABD＝180°－45°－19°＝116°．
故选C．
点评：此题考查圆周角定理以及弦切角定理的灵活运用，是一道在圆中求角度数的综合题．
4. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）
A、30° B、45° C、60° D、67.5°
考点：切线的性质．
专题：常规题型．
分析：根据图形利用切线的性质，得到∠COD=45°，连接AC，∠ACO=22.5°，所以∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
解答：解：如图：∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
又∵OC=CD，
∴∠COD=45°，
连接AC，∵AO=CO，
∴∠ACO=22.5°，
∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
故选D．
点评：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OC⊥PD，然后进行计算求出∠PCA的度数．
5. （黑龙江大庆，10，3分）已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为（ ）
A、1 B、 C、 D、2
考点：切线的性质。
专题：计算题。
分析：先连接OB，易知△AOB是直角三角形，再利用勾股定理即可求出AB．
解答：解：如右图所示，OA⊥l，AB是切线，连接OB，
∵OA⊥l，
∴OA=2，
又∵AB是切线，
∴OB⊥AB，
在Rt△AOB中，AB===．
故选C．
点评：本题考查了切线的性质、勾股定理．解题的关键是连接OB，构造直角三角形．
6. （，台湾省，5,5分）如图为平面上圆O与四条直线L1、L2、L3、L4的位置关系．若圆O的半径为20公分，且O点到其中一直线的距离为14公分，则此直线为何？（ ）
A、L1 B、L2
C、L3 D、L4
考点：直线与圆的位置关系。
分析：根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d=r，则直线和圆相切；当d＜r，则直线和圆相交；当d＞r，则直线和圆相离，进行分析判断．
解答：解：因为所求直线到圆心O点的距离为14公分＜半径20公分，
所以此直线为圆O的割线，即为直线L2．
故选B．
点评：此题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，能够结合图形进行分析判断．
7.（山东烟台，7，4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）
A2m B.3m
C.6m D.9m
（第7题图）
考点：三角形的内切圆与内心；勾股定理.
分析：根据：△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积即可求解．
解答：解：在直角△ABC中，BC=8m，AC=6m．
则AB===10．
∵中心O到三条支路的距离相等，设距离是r．
△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积
即：AC•BC=AB•r+BC•r+AC•r 即：6×8=10r+8r+6r ∴r==2．
故O到三条支路的管道总长是2×3=6m．
故选C．
点评：本题主要考查了三角形的内心的性质，三角形内心到三角形的各边的距离相等，利用三角形的面积的关系求解是解题的关键．
8. （贵州遵义，9，3分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ）
A. DE＝DO B. AB＝AC
C. CD＝DB D. AC∥OD
【考点】切线的判定；圆周角定理．
【专题】证明题．
【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线．
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．
根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO=90°，可以证明DE是⊙O的切线．
【解答】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
所以B正确．
当CD=BD时，AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线．
所以C正确．
当AC∥OD时，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．
所以D正确．
故选A．
【点评】本题考查的是切线的判断，利用条件判断DE是⊙O的切线，确定正确选项．
9.（•包头，11，3分）已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于（ ）
A、30° B、60°
C、45° D、50°
考点：切线的性质；圆周角定理。
分析：连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．
解答：解：连接OC，
∵OC=OA，，PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，
∴∠DPA+∠A=45°，
即∠CDP=45°．
故选C．
E
点评：本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．
10. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）
A、30° B、45° C、60° D、67.5°
考点：切线的性质．
专题：常规题型．
分析：根据图形利用切线的性质，得到∠COD=45°，连接AC，∠ACO=22.5°，所以∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
解答：解：如图：∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
又∵OC=CD，
∴∠COD=45°，
连接AC，∵AO=CO，
∴∠ACO=22.5°，
∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
故选D．
点评：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OC⊥PD，然后进行计算求出∠PCA的度数．
1. （盐城，5，3分）若⊙O1、⊙O2的半径分别为4和6，圆心距O1O2=8，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
考点：圆与圆的位置关系.
分析：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．注意相交，则R﹣r＜P＜R+r；（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别为4和6，圆心距O1O2=8，又∵6﹣4=2，6+4=10，
∴6﹣4＜8＜6+4，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握圆与圆的位置关系与数量关系间的联系是解此题的关键．
2. （江苏扬州，4，3分）已知相交两圆的半径分别在4和7，则它们的圆心距可能是（ ）
A.2 B. 3 C. 6 D. 11
考点：圆与圆的位置关系。
分析：根据两圆半径；再根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径），得出符合要求的答案即可．
解答：解：根据题意，得R=7，r=4，
∴R+r=11，R﹣r=3，
∴相交两圆的圆心距为： R﹣r＜d＜R+r，即3＜d＜11，
∴它们的圆心距可能是6．
故选C．
点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系与数量关系间的联系是中考热点，需重点掌握．
3. （•宁夏，6，3分）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5．若两圆相切，则圆心距O1O2的值是（ ）
A、2或4 B、6或8
C、2或8 D、4或6
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由两圆相切，可知两圆内切或外切，又由⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5．，则根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得圆心距O1O2的值．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5．
∴若两圆内切，则圆心距O1O2的值是：5﹣3=2，
若两圆外切，则圆心距O1O2的值是：3+5=8．
∴圆心距O1O2的值是：2或8．
故选C．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
4. （陕西，7，3分）同一平面内的两个圆，他们的半径分别为2和3，圆心距为d．当时，两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切或外切 D．内含
考点：圆与圆的位置关系。
专题：数形结合。
分析：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．注意相交，则R﹣r＜d＜R+r（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：解：∵他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当1＜d＜5时，∴两圆的位置关系是相交．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是抓住两圆位置关系与数量关系间的联系：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
5. （•台湾25，4分）若有两圆相交于两点，且圆心距离为13公分，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（ ）
A、25公分，40公分 B、20公分，30公分
C、1公分，10公分 D、5公分，7公分
考点：圆与圆的位置关系。
专题：计算题。
分析：首先根据题意知，两圆相交，可知两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，结合选项得出正确答案．
解答：解：设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，
∵两圆相交与两点，
∴R﹣r＜d＜R+r，
∵d=13，
∴根据选项知，半径为20公分和30公分的两圆符合条件，
故选B．
点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的知识点，解答本题的关键是根据圆心距和两圆半径之间的关系进行着手解答，本题比较简单．
6.（台湾，25，4分）如图，圆A．圆B的半径分别为4．2，且AB＝12．若作一圆C使得三圆的圆心在同一直在线，且圆C与圆A外切，圆C与圆B相交于两点，则下列何者可能是圆C的半径长（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点：圆与圆的位置关系。
专题：计算题。
分析：首先找到一个圆和圆A和圆B都外切，求出该圆的半径，然后再找到圆C和圆A外切和圆B相内切时，圆C半径的取值．
解答：解：当圆C和两圆都外切时，
根据题意我们可知圆C的半径r＝3，
当圆C和圆A外切和圆B相内切时，
圆C的半径r＝5，
故圆C与圆A外切，圆C与圆B相交于两点，
圆C的半径取值范围为3＜r＜5，
故选B．
点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的知识点，解答本题的关键是根据圆心距和两圆半径之间的关系进行着手解答，本题比较简单．
7. （天津，6，3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=7cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A、相交 B、相离 C、内切 D、外切
考点：圆与圆的位置关系。
专题：数形结合。
分析：根据⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，得出R+r=7，再根据O1O2=7cm，得出⊙O1与⊙O2的位置关系．
解答：解：根据⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，
得出R+r=7，
∵O1O2=7cm，
∴得出⊙O1与⊙O2的位置关系是：外切．
故选：D．
点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系，根据R+r=O1O2=7cm，得出⊙O1与⊙O2的位置关系是解决问题的关键．
8. （重庆市，7，4分）已知⊙O与⊙O外切，⊙O的半径R=5cm, ⊙O的半径r =1cm，则⊙O与⊙O的圆心距是
A．1cm B ．4cm C．5cm D．6cm
考点：圆与圆的位置关系．
分析：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．外切，则P=R+r（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
答案：解：∵⊙O1与⊙O2外切，⊙O1的半径R=5cm，⊙O2的半径r=1cm，
∴⊙O1与⊙O2的圆心距是：5+1=6（cm）．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握．
9.（•河池）如图，A（1，0）、B（7，0），⊙A、⊙B的半径分别为1和2，将⊙A沿x轴向右平移3个单位，则此时该圆与⊙B的位置关系是（ ）
A、外切 B、相交
C、内含 D、外离
考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质。
专题：数形结合。
分析：先得出将⊙A沿x轴向右平移3个单位后，⊙A、⊙B的圆心距，再根据判断两圆位置关系的方法求解．
解答：解：∵A（1，0）、B（7，0），⊙A、⊙B的半径分别为1和2，
∴⊙A、⊙B的圆心距为6，
∴⊙A沿x轴向右平移3个单位后，⊙A、⊙B的圆心距为3，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知两圆的位置关系是外切．
故选A．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系和坐标与图形性质．两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．
10. （•贺州）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，如果两圆的位置关系为外离，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：圆与圆的位置关系；在数轴上表示不等式的解集。
分析：设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r，从而得到圆心距O1O2的取值范围，再结合数轴选择正确的答案即可．
解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，且两圆的位置关系为外离，
∴圆心距O1O2的取值范围为d＞2+5，即d＞7．
故选C．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系和在数轴上表示不等式的解集等知识．注意由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系是解题的关键．
11. （•郴州）已知⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，R和r的值是（ ）
A、R=4，r=2 B、R=3，r=2
C、R=4，r=3 D、R=3，r=1
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得R+r=5，继而求得答案．
解答：解：∵⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，
∴R+r=5，
∵2+4=6，故A错误；
∵3+2=5，故B正确；
∵4+3=7，故C错误；
∵3+1=4，故D错误．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
12. （2010•长沙）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=2、r2=4，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
考点：圆与圆的位置关系。
分析：本题直接告诉了两圆的半径及两圆相交，求圆心距范围内的可能取值，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则R﹣r＜P＜R+r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：解：两圆半径差为2，半径和为6，
两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，
所以，2＜O1O2＜6．符合条件的数只有B．故选B．
点评：本题考查了由数量关系及两圆位置关系确定圆心距范围内的数的方法．
13. （山东青岛，3，3分）已知⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，O1O2=5cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，，即可求得⊙O1与⊙O2的半径，又由O1O2=5cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，
∴⊙O1与⊙O2的半径分别是2cm和3cm，
∵O1O2=5cm，2+3=5，
∴两圆的位置关系是外切．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
14. （山东省潍坊， 9，3分）如图．半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切．则小圆扫过的阴影部分的面积为( )．
A．I7π
B．32π
C．49π
D．80π
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】几何图形问题．
【分析】由半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，即可求得空白处的圆的半径，即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：∵半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，
∴OB=9，AB=2，
∴OA=7，
∴小圆扫过的阴影部分的面积为：81π-49π=32π．
故选B．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意求得空白处的圆的半径是解此题的关键．
15. （山东淄博11，4分）如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O与弧AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（ ）
A.4 B. C. D.5
考点：圆锥的计算；相切两圆的性质。
分析：首先求得弧AE的长，然后利用弧AE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE的长加上半径即为AD的长．
解答：解：∵AB=4，∠B=90°，
∴，
∵圆锥的底面圆恰好是⊙O，
∴⊙O的周长为2π，
∴⊙O的半径为，
∴AD=BC=BE+EC=4+=，
故选B．
点评：本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式
16. （四川达州，7，3分）如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（ ）
A、内切、相交 B、外离、相交
C、外切、外离 D、外离、内切
考点：圆与圆的位置关系。
分析：根据圆与圆关系的定义，两个圆与圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时叫做这两个圆外离；两个圆有两个公共点时叫做这两个圆相交．所以在这个图案中反映出的两圆位置关系有外离和相交．
解答：解：在这个图案中反映出的两圆位置关系有两种外离和相交．故选B．
点评：本题可直接由图案得出圆与圆的位置关系，比较容易．
17.（•湖南张家界，7，3）已知两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，则另一圆的半径是（ ）
A、16厘米 B、10厘米 C、6厘米 D、4厘米
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得另一圆的半径．
解答：解：∵两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，
∴10﹣6=4（厘米），
∴另一圆的半径是4厘米．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
18.（•包头，5，3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是（ ）
A、相交 B、外切 C、外离 D、内含
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由两圆的直径分别是2厘米与4厘米，求得两圆的半径分别是1厘米与2厘米，然后由圆心距是3厘米，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，
∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米，
∵圆心距是3厘米，1+2=3，
∴这两个圆的位置关系是外切．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
19. (襄阳，9，3分)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．若⊙A，⊙B 的半径分别为1cm，4cm，则⊙A与⊙B的位置关系是( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
考点：圆与圆的位置关系；勾股定理。
专题：数形结合。
分析：由∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，根据勾股定理，即可求得AB的长，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定两圆之间的位置关系．
解答：解：∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，
∴AB＝＝5cm，
∵⊙A，⊙B 的半径分别为1cm，4cm，
又∵1＋4＝5，
∴⊙A与⊙B的位置关系是外切．
故选A．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系与勾股定理逆定理的应用．注意外离，则P＞R＋r；外切，则P＝R＋r；相交，则R－r＜P＜R＋r；内切，则P＝R－r；内含，则P＜R－r．(P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径)．
20. （2010福建泉州，5，3分）若⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为1，且O1O2=4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
考点圆与圆的位置关系
分析根据数量关系来判断两圆的位置关系：（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
解答解：根据题意，得R+r=4，即R+r=P=4，∴两圆外切．故选D．
点评本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r，难度适中．
21. （福建厦门，6，3分）已知⊙O1、⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1与⊙O2的位置关系为（ ）
A、外离 B、外切
C、相交 D、内切
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，
又∵5﹣2=3，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系为内切．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题那比较简单，解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
22. （甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：命题与定理；菱形的性质；矩形的判定；圆与圆的位置关系；位似变换．
分析：根据真命题的定义逐个进行判断即可得出结果．解答：解：①无公共点的两圆有可能外离，也有可能内含，故本选项错误；②位似三角形是相似三角形，正确；③菱形的面积等于两条对角线的积的一半，故本选项错误；④对角线相等的四边形是矩形，等腰梯形也可以，故本选项错误，∴真命题的个数是1．故选A．
点评：本题主要考查了外离圆定义、相似三角形性质、菱形面积公式、矩形的性质，比较综合，难度适中．
23. （天水，3，4）如果两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，那么能反映这两圆位置关系的图是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系是外切，则可求得答案．
解答：解：∵两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，
又∵2+1=3，
∴这两圆位置关系外切．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
24. （广东省茂名，7，3分）如图，⊙O1、⊙O2相内切于点A，其半径分别是8和4，将⊙O2沿直线O1O2平移至两圆相外切时，则点O2移动的长度是（ ）
A、4 B、8
C、16 D、8或16
考点：圆与圆的位置关系；平移的性质。
分析：由题意可知点O2可能向右移，此时移动的距离为⊙O2的直径长；如果向左移，则此时移动的距离为⊙O1的直径长．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2相内切于点A，其半径分别是8和4，
如果向右移：则点O2移动的长度是4×2=8，
如果向左移：则点O2移动的长度是8×2=16．
∴点O2移动的长度8或16．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意此题需要分类讨论，小心不要漏解．
25. （•铜仁地区6,3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为6cm、11cm，当两圆相切时，其圆心距d的值为（ ）
A、0cm B、5cm C、17cm D、5cm或17cm
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1与⊙O2的半径分别为6cm、11cm，分别从两圆外切与两圆内切去分析求解即可求得答案，注意别漏解．
解答：解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别为6cm、11cm，
当两圆外切时，圆心距d=6+11=17（cm）；
当两圆内切时，圆心距d=11﹣6=5（cm）．
∴圆心距d的值为5cm或17cm．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
26.广西来宾，4，3分）已知⊙和⊙的半径分别是4和5，且=8，则这两个圆的位置关系是（ ）
A外离 .B.外切 C.相交 D.内含
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1和⊙O2的半径分别是4和5，且O1O2=8，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别是4和5，且O1O2=8，
又∵5﹣4=1，4+5=9，1＜8＜9，
∴这两个圆的位置关系是相交．
故选C．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
27. （丽江市中考，15,3分）如图，已知⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，⊙B的半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是（ ）
A、2 B、7 C、2或5 D、2或8
考点：圆与圆的位置关系；勾股定理。
专题：分类讨论。
分析：根据切线的性质可以求得BC的长，然后根据相切两圆的两种情况分类讨论即可．
解答：解：∵⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，
∴BC=3，AB=5，
∵⊙A与⊙B相切，
∴当两圆外切时，⊙A的半径=5﹣3=2，
当两圆内切时，⊙A的半径=5+3=8．
故选D．
点评：本题考查了两圆之间的位置关系及勾股定理的知识，解题的关键是分类讨论，小心将另外一种情况漏掉．
28. （浙江嘉兴，5，3分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．两个外离的圆 B．两个外切的圆 C．两个相交的圆 D．两个内切的圆
考点：圆与圆的位置关系；简单组合体的三视图．
专题：计算题．
分析：由于两球都与水平线相切，故几何体的左视图相内切的两圆．
解答：解：观察图形可知，两球都与水平线相切，所以，几何体的左视图为相内切的两圆，故选D．
点评：本题考查了三视图，圆与圆的位置关系的运用．关键是分析图形，得出两球都与水平线相切，判断其左视图中两圆的位置关系．
29. （浙江台州，8，4分）如图是一个组合烟花的横截面，其中16个圆的半径相同，点A．B．C．D分别是四个角上的圆的圆心，且四边形ABCD为正方形．若圆的半径为r，组合烟花的高为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计）（ ）
A．26πrh B．24rh+πrh C．12rh+2πrh D．24rh+2πrh
考点：相切两圆的性质；扇形面积的计算．
专题：计算题．
分析：截面的周长等于12个圆的直径和班级为r的圆的周长的和，用周长乘以组合烟花的高即可．
解答：解：由图形知，正方形ABCD的边长为6r，∴其周长为4×6r=24r，∴截面的周长为：24r+2πr，
∴组合烟花的侧面包装纸的面积为：（24r+2πr）h=24rh+2πrh．故选D．
点评：本题考查了相切两圆的性质及扇形的面积的计算，解题的关键是判断组合烟花的截面周长的算法．
30. 已知线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A和⊙B的位置关系（ ）
A、内含 B、相交 C、外切 D、外离
【答案】D
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】几何题．
【分析】针对两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系．
【解答】解：依题意，线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，∴R+r=3+2=5，d=7，所以两圆外离．故选D．
【点评】此题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握．
31. （浙江舟山，5，3分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．两个外离的圆 B．两个外切的圆
C．两个相交的圆 D．两个内切的圆
考点：圆与圆的位置关系；简单组合体的三视图。
专题：计算题。
分析：由于两球都与水平线相切，故几何体的左视图相内切的两圆．
解答：解：观察图形可知，两球都与水平线相切，
所以，几何体的左视图为相内切的两圆，
故选D．
点评：本题考查了三视图，圆与圆的位置关系的运用．关键是分析图形，得出两球都与水平线相切，判断其左视图中两圆的位置关系．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．一条直线上有一点，到点的距离是4cm，若的半径为4cm，则直线与 ( )
A．相切 B．相交
C．相离或相切 D．相切或相交
2．在圆中有两条弦，且＜，这两条弦到圆心的距离分别是
那么 ( )
A．＞ B．≥ C．＜ D．≤
3.如图24-207所示，则等于 （ ）
A．50 B．80 C．100 D．130
4.如图24-208所示，在中，，是的内切圆，与分别相切于点，若则等于 （ ）
A．20 B．80 C．40 D．70
5.如图24-209所示，的直径垂直于弦，垂足为，若则的长是 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6.如图24-101所示，为等腰直角三角形，与相切于，则图中阴影部分的面积为 ( )
A．4- B．2- C．4- D．2-
7.在中，那么这个三角形的外接圆半径为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
8.如果一个圆的半径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是 （ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
9. 的半径是2cm，的半径是5cm，圆心距是4cm，则两圆的位置关系是 （ ）
A．相交 B．外切 C．外离 D．内切
10.将一块直径为60cm，的圆形铁皮做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 （ ）
A．10cm B．30cm C．40cm D．60cm
二、填空题（每小题3分，共30分）
11.如图24-211所示，在中，半径为5，则弦长＝ .
12.如图24-212所示，内接于，是的直径，点是上一点，则 .
13.如图24-213所示，是正三角形的外接圆，点在劣弧上，，则的度数为 .
14.如图24-214所示，为的直径,为上一点，且点在上（不与重合），则的度数是 .
15.在中，将其绕直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为 cm2.
16.正三角形的内切圆与外接圆的直径之比为 .
17.如图24-215所法，四边形的项点都在上，若则＝
.
18.如图24-216所示，扇形的圆心角是直角，正方形内接于扇形，点分别在上，过点作交的延长线于，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为 .
19.半径为1的中有两条弦，其长分别为则的度数为 .
20.如图21-217所示的曲边三角形可按下述方法作出：分别
以正三角形的一个顶点为圆心，以边长为半径画弧，使其经
过正三角形的另两个顶点，然后擦去正三角形，三段弧所围
成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长
是2，那么它的面积是 .
三、解答题（第21-26，小题各8分，第27小题12分，共60分）
21.如图24-218所示，内切于，切点分别为
（1）若求的度数；
（2）若求的长.
22.如图24-219所示，是的直径，点在的延长线上，弦垂足为，连接
（1）试说明是的切线；
（2）若半径为4，求的长.
23.如图24-220所示，是的直径，从上一动点作，交另一半圆于点是的平分线，交于点，当点在半圆上运动时，点的位置是否发生变化？为什么？
24.如图24-221所示，是半圆的3等分点，是直径延长线上的一点，若＝6cm，求阴影部分的面积.
25.如图24-222所示，已知中，是上的点，以为圆心，为半径作.当时，交于点，求的长.
26.如图24-223所示，的直径的长为2，在的延长线上，且
（1）求的度数；
（2）求证是的切线.
27.如图24-224（1）所示，已知点在外，是的切线，切点是，直线与相交于点.
（1）试探求与的数量关系；
（2）若则与有什么关系？
（3）若则过点的切线与有怎样的位置关系？（图24-224（2）可供解题使用）
（4）若＝则过点的切线与直线的交点的位置将在哪儿？（图24-224（3）可供解题使用）
参考答案
1. D［提示：如图24-225所示，相切；如图24-226所示，相交.］
2.A［提示：］
3.C［提示：］
4.D
5.C［提示：连接
为直径，］
6.A［提示：连接
］
7.B［提示：直角三角形外接圆的圆心是斜边中点，］
8.C［提示：根据相切的定义.］
9.A［提示：5-2＜4＜5+2，两圆相交.］
10A.
11.5
12.40
13. 38［提示：由知，］
14.50或130［提示：由知，由于在上，所以或者］
15.60
16.1：2［提示：如图24-227所示，在中，
］
17.80［提示：圆内接四边形的对角互补，
］
18.
19.30［提示：为直径，为直角三角形，
］
20.［提示：
］
21.解：（1）连接，则所以（2）因为是的切线，所以
所以
所以
22.解：（1）连接，因为是的直径，所以因为而所以所以从而即所以是的切线.
（2）因为且所以所以所以,所以
23.解：点的位置不发生变化，理由如下：连接，因为，所以又因为所以所以因为所以，因为是直径，所以点是半圆的中点.
24.解：连接因为是半圆的三等分点，所以因为所以所以 所以，所以（cm2）.
25.解：连接，则因为所以
根据直角三角形面积公式有所以在中，
26.（1）解：设由弧长公式，得（2）证明：连接是等边三角形.
是切线.
27（1）解：连接，因为是切线，所以所以而
所以即 （2）提示：若则所以所以 （3）提示：若则过点的切线与平行. （4）提示：若
则过点的切线与直线的交点的延长线上.
圆
本章小结
小结1 本章概述
本章的主要内容有圆的概念及性质，垂直于弦的直径的性质，弧、弦、圆心角之间的关系及性质，圆周角的概念及性质，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆的关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积．
我们在学习直线型图形的有关性质和证明的基础上来探索一种特殊的曲线型图形——圆，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，而且有无数条对称轴，绕圆心旋转任意角度都和它本身重合，学习本章的基础是以前所学过的结论，同时，本章作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性．在中考中所涉及的命题大都和圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆中的计算有关．在本章中，主要概念有圆、圆心角、圆周角、弧、弦、相交、相切、相离，正多边形的半径、中心、边心距等，主要公式有弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面积公式等，主要定理有垂径定理，切线的性质定理和判定定理，切线长定理等．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】 掌握垂直于弦的直径的性质；掌握圆的切线的判定定理与性质定理的应用，能利用垂直关系进行有关的证明和计算；掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，并会利用图形加以区别；会利用弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式进行有关的计算；掌握圆心角、弧、弦之间的关系及圆周角定理，并能运用它们进行有关的计算．
【本章难点】 垂径定理，弧、弦、圆心角的关系定理，圆周角定理；直线和圆相切的性质定理、判定定理的证明及应用，切线长定理的应用；圆与圆的五种位置关系的判断；圆锥的侧面积与母线长和底面半径之间的关系等都是本章的难点．间接证明题目的方法——反证法也是本章的难点．在圆中添加“辅助线”既是本章的重点，也是本章的难点．
小结3 学法指导
1．在本章的学习中，注意通过观察、探索、合作、实践、交流、归纳等数学活动，进行主动的、富有个性的学习，尤其是对于一些结论的得出，更应去探索、总结，通过合情的推理，主动地获取新知，注意“由特殊到一般”“数形结合”“化归”等数学思想方法的运用．
2．学习本章应注意以下几点：
(1)在实际问题中认识圆的有关概念：圆心、半径、直径、弦、弧(优弧、劣弧)、圆心角、圆周角．
(2)通过对实际生活的观察和亲自体验，掌握圆的对称性，并能利用圆的对称性探索圆的一些基本性质，在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧等．
(3)通过对点、直线和圆与圆的相对运动的探索、实验、推理、计算等归纳出点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，掌握通过点与圆心的距离、直线与圆心的距离、圆心与圆心之间的距离同圆的半径的大小比较，来判定它们之间的位置关系的方法.
(4)在对直线与圆相对运动的探索过程中掌握切线的概念，并能利用实验探索切线与过切点的半径之间的关系，同时能判断一条直线是否为圆的切线．
(5)在动手操作与观察实验的同时，探索出正多边形与圆的关系、扇形面积及弧长的计算公式，并掌握圆柱及圆锥的侧面积与全面积公式．
(6)在学习本章的过程中，要及时准确地画出示意图形，以帮助解题，化抽象为直观．
知识网络结构图
圆的概念：在同一平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一端点所形成的图形，叫做圆
（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆又是中心对称图形
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
推论：平分（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
圆的性质 （3）同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其他各组量也相等
（4）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径
点在圆外
点在圆上
（1）点和圆的位置关系 点在圆内
及相关性质 不在同一直线上的三点确定一个圆
相交
相切
相离
切线的判定定理：经过半径外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线
（2）直线和圆的位置关系 切线的性质定理：圆的切线垂直于过
及相关性质和定理 切点的半径
圆 切线长定理：从圆外一点引圆的两条
点、直线和圆 切线，它们的切线长相等，这一点和
的位置关系 圆心的连线平分两条切线的夹角
及相关性质 外离
和定理 相离
内含
（3）圆与圆的位置关系 外切
相切
内切
相交
（1）正多边形的顶点都在圆上，圆叫做正多边形的外接圆，正多边形
叫做圆的内接正多边形
正多边形与圆 （2）圆和正多边形的各边都相切，圆叫做正多边形的内切圆，正多边
形叫做圆的外切正多边形
（1）弧长公式：
有关圆的计算 （2）扇形面积公式：
（3）圆锥的侧面积公式：
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 圆的认识及圆的对称性
【专题解读】 对于圆的基本元素、圆的对称性及根据对称性探索出的弧、弦、圆
心角之间的关系、垂直于弦的直径等知识，单独考查时多以填空题、选择题形式出现，在综合题及应用题中常作为被考查的一个方面出现．
例1 “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图24—191所示，为的直径，弦于，寸，寸，则直径的长为( )
A．12.5寸 B．13寸
C．25寸 D．26寸
分析 因为直径垂直于弦，所以可通过连接 (或)求出半径．根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，可知寸，在
中，即，解得＝13，进而求得＝26寸．故选D．
【解题策略】 在解答有关圆的问题时，常需运用图中条件寻求线段之间、角之间、弧之间的关系，从中探索出诸如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题目的目的.
专题2 有关圆周角计算
【专题解读】 在有关圆周角的题目中，单独考查时多以选择题、填空题形式出现，在解答时，应从圆周角与其所对的弧、圆心角、弦等方面考虑．
例2 如图24—192所示，△内接于，点是延长线上一点，若，则等于 ( )
A． B．
C． D．
分析 本题可求出的度数，所对的弧是优弧，则该弧所对的圆心角度数为，所以＝＝120，因此＝180一120＝60．故选且B.
例3 如图24—193所示，的内接四边形中，
，则图中和相等的角有 .
分析 由弦，可知，因为同弧或等弧所
对的圆周角相等，所以．故填．
专题3与圆有关的位置关系
【专题解读】 在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般以选择题、填空题形式出现，在解答题、探究题中作为主要查目标也常出现，这部分分内容不仅考查基础知识的形式出现，而且还以考查综合运用能力的形式出现.
例4 已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6 cm，那么直线和这个圆的公共点有
个.
分析 直线与圆的位置关系包括：相离、相切、相交．判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线的距离与圆的半径．实际上这两种方法是等价的，由题意可知圆的半径为6.5 cm，而圆心到直线的距离为6 cm，6 cm<6.5 cm，所以直线与圆相交，有2个公共点．故填2．
例5 两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是 ．
分析 两圆的位置关系有：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含)．两圆内切时，圆心距||，题中一个圆的半径为5，而2，所以有||=2，解得=7或＝3，即另一个圆的半径为7或3．故填3或7．
例6 在平面直角坐标系中，两个圆的圆心坐标分别是
(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线
有 ( )
A．1条 且2条 C．3条 D．4条
分析 本题借助图形来解答比较直观，如图24—194所示，要判断两圆公切线的条数，必须先确定两圆的位置关系，因此必须求出两圆的圆心距，根据题中条件，在中，，所以，而两圆半径分别为和，且，即两圆的圆心距等于两圆半径之和，所以两圆外切，共有3条公切线．故选C.
例7 如图24—195所示，在边长为3 cm的正方形中，
与相外切，且分别与边相切，分
别与边相切，则圆心距= cm．
分析 本题是一个综合性较强的题目，既有两圆相切，又有直线
和圆相切．求的长就要以为一边构造直角三角形．过作的平行线，过作的平行线，两线相交于是和的半径之和，设为，则
在中解得由题意知不合题意，舍去．故填.
规律·方法 解两圆相切的问题，往往是连圆心，得到直角三角形，利用勾股定理解题．
专题4 切线的识别与特征及切线长
【专题解读】 涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别、切线的特征及切线的应用，所以应认真理解有关切线的内容，并能应用到实际问题中去．
例8如图24-196所示，切于点，则度.
分析因为与相切，所以，由，得，所以故填147.
例9 如图24-197所示，是的两条切线，是切点，是上两点，如果那么的度数是 .
分析 由，知从而在中，与互补，所以故填99.
专题5 有关圆的计算
【专题解读】 圆中的计算问题有圆的面积与周长、弧长、扇形面积、圆柱及圆锥的侧面积与全面积，考查时选择题、填空题、解答题都有，考查的重点是对有关公式的灵活运用.
例10 沈阳某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案《我的宝贝》，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作半圆，如图24-198所示，则图中阴影部分的面积为 （ ）
A.36cm2 B.72cm2 C.36cm2 D.72cm2
分析 经认真观察可知阴影部分的面积由两个小半圆
面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，
由已知得直角边长为（cm），小半圆半径
为cm，因此阴影部分面积为（cm2）.故选C.
例7 如图24-199所示，在正方形铁皮上剪下一个圆形
和扇形，使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型，设圆的半径
为，扇形半径为，则圆的半径与扇形半径之间的关系为
（ ）
A. B.
C. D.
分析 由扇形与圆恰好围成圆锥的条件是圆的周长与扇形的弧长相等，所以
化简可得.故选D.
专题6 综合与其他知识解决问题
【专题解读】 有关圆与其他知识综合题多以解答题和探究题的形式出现.
例12 如图24-200所示，是的直径，过圆上一点作的切线，与过点的直线垂直相交于，弦的延长线与直线交于点.
（1）试说明点为的中点；
（2）设直线与的另一交点为，试说明
（3）若的半径为，求线段和所围成阴影部分的面积.
解：（1）连接是的切线，
为的中点，是的中点.
（2）连接为的直径，
为的中点，为的中点，
即
（3）
连接，则为等边三角形，，
在中，
例13 如图24-201所示，已知为的直径，为弦，cm.
（1）说明
（2）求的长.
解：（1）是的直径，
（2）是的中点，
是的中点，
例14 如图24-202所示的是某学校田径体育场一部分的示意图，第一跑道每圈为400米，跑道分直道和弯道，直道为相等的平行线段，弯道为
同心的半圆形，弯道与直道相连接，已知直道的长
为86.96米，跑道的宽为1米.
（取3.14，精确到0.01米）
（1）求第一跑道的弯道部分的半径；
（2）求一圈中第二跑道与第一跑道相差多少米；
（3）若进行200米比赛，求第六跑道起点与圆心的连线与的夹角的度数.
解：（1）（米），
第一跑道弯道部分的半径为113.04÷（米）.
（2）第二跑道与第一跑道的直跑道长相等.
第二跑道与第一跑道的弯道部分的半径的差为1米.
第一跑道与第二跑道的弯道长的差即为两圆周长之差，
即2（米）.
（3）半圆的半径增加1米时，
半圆的弧长增加（米），
第六跑道半圆弧长比第一跑道半圆弧长长5（米），
第六跑道半圆的半径为41米，.
二、规律方法专题
专题7 在解决圆的证明题或计算题的过程中辅助线的引入方法与规律
【专题解读】 对圆的有关计算内容在计算或证明时，经常需要添加辅助线，常见的有：有切点连半径；有关弦的计算，常作表示弦心距的线段，利用垂径定理；有直径，作直径所对的圆周角等；两圆相切时连圆心；圆中有45的圆周角时，转化为同一弧所对的90的圆心角等.
例11 如图24-103所示，是直径为的半圆
上一点，为的中点，过作的垂线，垂足
为，求证是半径圆的切线.
分析 证明圆的切线，给了直线和圆的交点，连接过交点的
半径，证垂直，给了弧的中点，可连接，也可连接，
下面用两种证法来证明.
证法1：如图24-203所示，连接
是直径，
又
与相切.
证法2：如图24-204所示，连接
是的切线.
规律·方法 若给直径，构造直径所对的圆周角，若给弧的中点，连接过中点的半径，想到垂径定理
三、思想方法专题
专题8 分类讨论思想
【专题解读】 分类讨论思想主要是针对数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同种类，从而克服思维的片面性，防止漏解，要做到成功分类必须注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类的对象；二是找出科学合理的分类标准，应当满足互斥、无漏、最简单的原则，本章对于圆的有关概念、圆周角的有关求值及圆与圆位置关系的讨论等问题均应用了这一思想.
例16 为不在圆上的任意一点，若到的最小距离为3，最大距离为9，则的直径长为 （ ）
A.6 B.12 C.6或12 D.3或6
分析 点与圆有三种位置关系，即点在圆上、点在圆内、点在圆外，故点有两点种情况.当点在圆外时，直径长为9-3＝6；当点在圆内时，直径长为9+3＝12.故选C.
【解题策略】 注意题中求的是直径，不是半径.
例17 为的弦，为的内接三角形，求的度数.
分析 依题意知为的外心，由外心的位置可知应分两种情况进行解答.
解：应分两种情况，当在内部时，
当在外部时，由＝130，得劣弧的度数为130，则的度数为360－130＝230,故.
综合，或
【专题解读】 转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，从而将无法求解的问题转化成可以求解的问题，使问题得以解决.
例18 如图24-205所示，在中，以为圆心，长为半径的圆交于，求弧的度数.
分析 的度数等于它所对的圆心角的度数，故只需求出
的度数.
解：连接
的度数为50.
【解题策略】 把求弧的度数转化为求它所对的圆心角的度数，使问题迎刃而解，可见数学中“转化”的重要.
专题10 数学建模思想
【专题解读】 圆在实际生活中有很多的应用，解决问题的方法是将实际问题转化为与圆有关的数学问题，建立数学模型，从而达到解题的目的．
例19 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图24—206(1)所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90，尺寸如图24—206(1)所示(单位：cm)．将形状规则的铁球放人槽内时，若同时具有图(1)所示的三个接触点，该球的大小就符合要求．
如图24—206(2)所示的是过球心及三点的截面示意图．已知的直径就是铁球的直径，是的弦，切于点，请你结合图中的数据，计算这种铁球的直径．
分析 这是一道实际应用题，其检测依据是三点确定一个圆，利用垂径定理可以求出铁球的直径．
解：如图24—206(2)所示，＝16 cm，
设和相切于点，连接，交于，
又8(cm)．
连接，在中，cm，8 cm，cm．
解得＝10．
答：这种铁球的直径是20cm．
中考真题精选
1. （•南通）如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于（ ）
A、8 B、4 C、10 D、5
考点：垂径定理；勾股定理。
分析：连接OA，即可证得△OMD是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM，根据勾股定理即可求得OA的长．
解答：解：连接OA，∵M是AB的中点，∴OM⊥AB，且AM=4，在直角△OAM中，由勾股定理可求得OA=5，故选D．
点评：本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，根据垂径定理求得AM的长，证明△OAM是直角三角形是解题的关键．
2. （四川凉山，9，4分）如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（ ）
A． B．或 C． D． 或
考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质．
专题：计算题．
分析：利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆周角的度数即可，注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论．
解答：解：当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，
当点C在劣弧上时，∠ACB＝（360°－∠AOB）＝×（360°－100°）＝130°．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，本题还渗透了分类讨论思想，这往往是学生的易错点．1. 3.（江苏连云港，15，3分）如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO.以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF.若∠BAC=22º，则∠EFG=_____.
考点：圆周角定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质。
专题：几何图形问题。
分析：连接OE，利用三角形的外角性质得出∠ODC的度数，再求出∠DOC，从而求出∠EOG的度数，再利用圆周角定理求出∠EFG的度数．
解答：解：连接EO，
∵AD=DO，
∴∠BAC=∠DOA=22°，
∴∠EDO=44°，
∵DO=EO，
∴∠OED=∠ODE=44°，
∴∠DOE=180°﹣44°﹣44°=92°，
∴∠EOG=180°﹣92°﹣22°=66°，
∴∠EFG=∠EOG=33°，
故答案为：33°．
点评：此题主要考查了圆周角定理，三角形外交的性质的综合运用，做题的关键是理清角之间的关系．
4. （•江苏宿迁，17，3）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A=26°，则∠ACB的度数为 ．
考点：切线的性质；圆周角定理。
专题：计算题。
分析：连接OB，根据切线的性质，得∠OBA=90°，又∠A=26°，所以∠AOB=64°，再用三角形的外角性质可以求出∠ACB的度数．
解答：解：如图：连接OB，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=26°，
∴∠AOB=90°﹣26°=64°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC，
∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C，
∴∠C=32°．
故答案是：32°．
点评：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合三角形内角和求出角的度数．
5.（重庆市，3，4分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠A=30°,则∠B的度数为
A．15° B. 30° C. 45° D. 60°
考点：圆周角定理．
分析：根据直径所对的圆周角为90°，可得∠C的度数，再利用三角形内角和定理进行计算．
答案：解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴∠B=180°-90°-30°=60°．
故选D．
点评：此题主要考查了圆周角定理和三角形内角和定理，题目比较简单．
6. （2010重庆，6，4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°则∠A的度数等于( )
A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°
6题图
考点：圆周角定理
分析：在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．
解答：解：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径），∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；
∵∠OCB=40°，∠C0B=180°﹣∠OBC﹣∠0CB，∴∠COB=100°；又∵∠A= ∠COB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠A=50°，故选B．
点评：本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．
7. （湖北荆州，12，3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B=40°，则∠ACD的度数是50°．
考点：圆周角定理．
专题：计算题．
分析：连接AD，构造直角三角形，利用同弧所对的圆周角相等求得直角三角形的一个锐角，再求另一个锐角即可．
解答：解：连接AD，
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∵∠B=40°，
∴∠D=40°，
∴∠ACD=50°，
故答案为50°．
点评：此题主要考查的是圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是90°；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
8.（•河池）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（ ）
A、35° B、55°
C、65° D、70°
考点：圆周角定理。
分析：在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以∠AOC=2∠D=70°，而△AOC中，AO=CO，所以∠OAC=∠OCA，而180°﹣∠AOC=110°，所以∠OAC=55°．
解答：解：∵∠D=35°，
∴∠AOC=2∠D=70°，
∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）÷2=110°÷2=55°．
故选B．
点评：本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系．规律总结：解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件．
9. （，台湾省，27,5分）如图，圆O为△ABC的外接圆，其中D点在上，且OD⊥AC．已知∠A=36°，∠C=60°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A、132 B、144
C、156 D、168
考点：圆周角定理。
专题：计算题。
分析：连接CO，由圆周角定理可求∠BOC，由等腰三角形的性质求∠BCO，可得∠OCA，利用互余关系求∠COD，则∠OBD=∠BOC+∠COD．
解答：解：连接CO，∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，
在△BOC中，∵BO=CO，
∴∠BCO=（180°﹣72°）÷2=54°，
∴∠OCA=∠BCA﹣54°=60°﹣54°=6°，
又OD⊥AC，
∴∠COD=90°﹣∠OCA=90°﹣6°=84°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=72°+84°=156°．
故选C．
点评：本题考查了圆周角定理．关键是将圆周角的度数转化为圆心角的度数，利用互余关系，角的和差关系求解．
10. （山东济南，12，3分）如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
考点：圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理；锐角三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：连接AB，利用圆周角定理得∠C=∠ABO，将问题转化到Rt△ABO中，利用锐角三角函数定义求解．
解答：解：如图，连接AB，
由圆周角定理，得∠C=∠ABO，
在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5，
∴．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理及锐角三角函数的定义．关键是运用圆周角定理将所求角转化到直角三角形中解题．
11. （•临沂，6，3分）如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（ ）
A、2cm B、3cm C、4cm D、2cm
考点：垂径定理；勾股定理。
专题：探究型。
分析：先连接OA，由CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M可知AB=2AM，再根据CD=5cm，OM：OD=3：5可求出OM的长，在Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM的长，进而可求出AB的长．
解答：解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，
∴AB=2AM，
∵CD=5cm，
∴OD=OA=CD=×5=cm，
∵OM：OD=3：5，
∴OM=OD=×=，
∴在Rt△AOM中，AM===2，
∴AB=2AM=2×2=4cm．
故选C．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12. （泰安，10，3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
考点：垂径定理；勾股定理。
专题：探究型。
分析：连接OA，设⊙O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，AB＝则AD＝＝，OD＝，再利用勾股定理即可得出结论．
解答：解：连接OA，设⊙O的半径为r，
∵AB垂直平分半径OC，AB＝，
∴AD＝＝，OD＝，
在Rt△AOD中，
OA2＝OD2＋AD2，即r2＝（）2＋（）2，
解得r＝．
故选A．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13. 如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（ ）
A． B．或 C． D． 或
考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质．
专题：计算题．
分析：利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆周角的度数即可，注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论．
解答：解：当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，
当点C在劣弧上时，∠ACB＝（360°－∠AOB）＝×（360°－100°）＝130°．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，本题还渗透了分类讨论思想，这往往是学生的易错点．
14. （成都，7，3分）如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
考点：圆周角定理。
专题：几何图形问题。
分析：根据圆周角定理求得．：∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．∠BOD＝2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是180°知
∠BOD＝180°－∠AOD，∴∠BCD＝32°．
解答：解：连接OD．
∵AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
又∵∠BOD＝180°－∠AOD，∠BOD＝2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
∴∠BCD＝32°；
故选B．
点评：本题考查了圆周角定理．解答此题时，通过作辅助线OD，将隐含在题中的圆周角与圆心角的关系（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）显现出来．
15. （四川达州，6，3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（ ）
A、5 B、4
C、3 D、2
考点：垂径定理；勾股定理。
专题：计算题。
分析：连接OC，由垂径定理求出CE的长，再根据勾股定理得出线段OE的长．
解答：解：连接OC
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=CD，
∵CD=8，∴CE=4，
∵AB=10，
∴由勾股定理得，OE==3．
故选C．
点评：本题考查了垂径定理、勾股定理以及圆中辅助线的做法，是重点知识，要熟练掌握．
16. （，四川乐山，6，3分）如图，CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=（ ）
A.40° B.60° C.70° D.80°
考点：垂径定理；圆周角定理。
专题：计算题。
分析：∠BOC与∠BDC为所对的圆心角与圆周角，根据圆周角定理可求∠BDC，由垂径定理可知AB⊥CD，在Rt△BDM中，由互余关系可求∠ABD．
解答：解：∵∠BOC与∠BDC为所对的圆心角与圆周角，
∴∠BDC=∠BOC=20°，
∵CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，
∴AB⊥CD，
∴在Rt△BDM中，∠ABD=90°﹣∠BDC=70°．
故选C．
点评：本题考查了垂径定理，圆周角定理的运用．关键是由圆周角定理得出∠BOC与∠BDC的关系．
1（四川眉山，11，3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．50° B．25° C．40° D．60°
考点：切线的性质。
专题：计算题。
分析：由PA、PB是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°可得到∠AOB，而AC是⊙O的直径，根据互补即可得到∠BOC的度数．
解答：解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
而∠P=50°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠BOC=180°﹣130°=50°．
故选A．
点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；也考查了四边形的内角和为360°．.
2. （成都，10，3分）已知⊙O的面积为9πcm2，若点0到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
考点：直线与圆的位置关系。
专题：计算题。
分析：设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点0到直线l的距离π比较即可．
解答：解：设圆O的半径是r，
则πr2＝9π，
∴r＝3，
∵点0到直线l的距离为π，
∵3＜π，
即：r＜d，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故选C．
点评：本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当r＜d时相离；当 r＝d时相切；当 r＞d时相交．
3. （台湾，16，4分）如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A．C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（ ）
A．97° B．104° C．116° D．142°
考点：弦切角定理；圆周角定理。
分析：先根据直径所对的圆周角为直角得出角BAD的度数，根据角平分线的定义得出角BAF的的度数，再根据弦切角等于它所夹弧对的圆周角，得出角ABD的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出角AFB的度数．
解答：解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°－∠BAF－∠ABD＝180°－45°－19°＝116°．
故选C．
点评：此题考查圆周角定理以及弦切角定理的灵活运用，是一道在圆中求角度数的综合题．
4. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）
A、30° B、45° C、60° D、67.5°
考点：切线的性质．
专题：常规题型．
分析：根据图形利用切线的性质，得到∠COD=45°，连接AC，∠ACO=22.5°，所以∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
解答：解：如图：∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
又∵OC=CD，
∴∠COD=45°，
连接AC，∵AO=CO，
∴∠ACO=22.5°，
∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
故选D．
点评：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OC⊥PD，然后进行计算求出∠PCA的度数．
5. （黑龙江大庆，10，3分）已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为（ ）
A、1 B、 C、 D、2
考点：切线的性质。
专题：计算题。
分析：先连接OB，易知△AOB是直角三角形，再利用勾股定理即可求出AB．
解答：解：如右图所示，OA⊥l，AB是切线，连接OB，
∵OA⊥l，
∴OA=2，
又∵AB是切线，
∴OB⊥AB，
在Rt△AOB中，AB===．
故选C．
点评：本题考查了切线的性质、勾股定理．解题的关键是连接OB，构造直角三角形．
6. （，台湾省，5,5分）如图为平面上圆O与四条直线L1、L2、L3、L4的位置关系．若圆O的半径为20公分，且O点到其中一直线的距离为14公分，则此直线为何？（ ）
A、L1 B、L2
C、L3 D、L4
考点：直线与圆的位置关系。
分析：根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d=r，则直线和圆相切；当d＜r，则直线和圆相交；当d＞r，则直线和圆相离，进行分析判断．
解答：解：因为所求直线到圆心O点的距离为14公分＜半径20公分，
所以此直线为圆O的割线，即为直线L2．
故选B．
点评：此题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，能够结合图形进行分析判断．
7.（山东烟台，7，4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）
A2m B.3m
C.6m D.9m
（第7题图）
考点：三角形的内切圆与内心；勾股定理.
分析：根据：△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积即可求解．
解答：解：在直角△ABC中，BC=8m，AC=6m．
则AB===10．
∵中心O到三条支路的距离相等，设距离是r．
△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积
即：AC•BC=AB•r+BC•r+AC•r 即：6×8=10r+8r+6r ∴r==2．
故O到三条支路的管道总长是2×3=6m．
故选C．
点评：本题主要考查了三角形的内心的性质，三角形内心到三角形的各边的距离相等，利用三角形的面积的关系求解是解题的关键．
8. （贵州遵义，9，3分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ）
A. DE＝DO B. AB＝AC
C. CD＝DB D. AC∥OD
【考点】切线的判定；圆周角定理．
【专题】证明题．
【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线．
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．
根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO=90°，可以证明DE是⊙O的切线．
【解答】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
所以B正确．
当CD=BD时，AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线．
所以C正确．
当AC∥OD时，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．
所以D正确．
故选A．
【点评】本题考查的是切线的判断，利用条件判断DE是⊙O的切线，确定正确选项．
9.（•包头，11，3分）已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于（ ）
A、30° B、60°
C、45° D、50°
考点：切线的性质；圆周角定理。
分析：连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．
解答：解：连接OC，
∵OC=OA，，PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，
∴∠DPA+∠A=45°，
即∠CDP=45°．
故选C．
E
点评：本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．
10. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）
A、30° B、45° C、60° D、67.5°
考点：切线的性质．
专题：常规题型．
分析：根据图形利用切线的性质，得到∠COD=45°，连接AC，∠ACO=22.5°，所以∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
解答：解：如图：∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
又∵OC=CD，
∴∠COD=45°，
连接AC，∵AO=CO，
∴∠ACO=22.5°，
∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
故选D．
点评：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OC⊥PD，然后进行计算求出∠PCA的度数．
1. （盐城，5，3分）若⊙O1、⊙O2的半径分别为4和6，圆心距O1O2=8，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
考点：圆与圆的位置关系.
分析：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．注意相交，则R﹣r＜P＜R+r；（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别为4和6，圆心距O1O2=8，又∵6﹣4=2，6+4=10，
∴6﹣4＜8＜6+4，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握圆与圆的位置关系与数量关系间的联系是解此题的关键．
2. （江苏扬州，4，3分）已知相交两圆的半径分别在4和7，则它们的圆心距可能是（ ）
A.2 B. 3 C. 6 D. 11
考点：圆与圆的位置关系。
分析：根据两圆半径；再根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径），得出符合要求的答案即可．
解答：解：根据题意，得R=7，r=4，
∴R+r=11，R﹣r=3，
∴相交两圆的圆心距为： R﹣r＜d＜R+r，即3＜d＜11，
∴它们的圆心距可能是6．
故选C．
点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系与数量关系间的联系是中考热点，需重点掌握．
3. （•宁夏，6，3分）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5．若两圆相切，则圆心距O1O2的值是（ ）
A、2或4 B、6或8
C、2或8 D、4或6
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由两圆相切，可知两圆内切或外切，又由⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5．，则根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得圆心距O1O2的值．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5．
∴若两圆内切，则圆心距O1O2的值是：5﹣3=2，
若两圆外切，则圆心距O1O2的值是：3+5=8．
∴圆心距O1O2的值是：2或8．
故选C．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
4. （陕西，7，3分）同一平面内的两个圆，他们的半径分别为2和3，圆心距为d．当时，两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切或外切 D．内含
考点：圆与圆的位置关系。
专题：数形结合。
分析：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．注意相交，则R﹣r＜d＜R+r（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：解：∵他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当1＜d＜5时，∴两圆的位置关系是相交．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是抓住两圆位置关系与数量关系间的联系：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
5. （•台湾25，4分）若有两圆相交于两点，且圆心距离为13公分，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（ ）
A、25公分，40公分 B、20公分，30公分
C、1公分，10公分 D、5公分，7公分
考点：圆与圆的位置关系。
专题：计算题。
分析：首先根据题意知，两圆相交，可知两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，结合选项得出正确答案．
解答：解：设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，
∵两圆相交与两点，
∴R﹣r＜d＜R+r，
∵d=13，
∴根据选项知，半径为20公分和30公分的两圆符合条件，
故选B．
点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的知识点，解答本题的关键是根据圆心距和两圆半径之间的关系进行着手解答，本题比较简单．
6.（台湾，25，4分）如图，圆A．圆B的半径分别为4．2，且AB＝12．若作一圆C使得三圆的圆心在同一直在线，且圆C与圆A外切，圆C与圆B相交于两点，则下列何者可能是圆C的半径长（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点：圆与圆的位置关系。
专题：计算题。
分析：首先找到一个圆和圆A和圆B都外切，求出该圆的半径，然后再找到圆C和圆A外切和圆B相内切时，圆C半径的取值．
解答：解：当圆C和两圆都外切时，
根据题意我们可知圆C的半径r＝3，
当圆C和圆A外切和圆B相内切时，
圆C的半径r＝5，
故圆C与圆A外切，圆C与圆B相交于两点，
圆C的半径取值范围为3＜r＜5，
故选B．
点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的知识点，解答本题的关键是根据圆心距和两圆半径之间的关系进行着手解答，本题比较简单．
7. （天津，6，3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=7cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A、相交 B、相离 C、内切 D、外切
考点：圆与圆的位置关系。
专题：数形结合。
分析：根据⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，得出R+r=7，再根据O1O2=7cm，得出⊙O1与⊙O2的位置关系．
解答：解：根据⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，
得出R+r=7，
∵O1O2=7cm，
∴得出⊙O1与⊙O2的位置关系是：外切．
故选：D．
点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系，根据R+r=O1O2=7cm，得出⊙O1与⊙O2的位置关系是解决问题的关键．
8. （重庆市，7，4分）已知⊙O与⊙O外切，⊙O的半径R=5cm, ⊙O的半径r =1cm，则⊙O与⊙O的圆心距是
A．1cm B ．4cm C．5cm D．6cm
考点：圆与圆的位置关系．
分析：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．外切，则P=R+r（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
答案：解：∵⊙O1与⊙O2外切，⊙O1的半径R=5cm，⊙O2的半径r=1cm，
∴⊙O1与⊙O2的圆心距是：5+1=6（cm）．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握．
9.（•河池）如图，A（1，0）、B（7，0），⊙A、⊙B的半径分别为1和2，将⊙A沿x轴向右平移3个单位，则此时该圆与⊙B的位置关系是（ ）
A、外切 B、相交
C、内含 D、外离
考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质。
专题：数形结合。
分析：先得出将⊙A沿x轴向右平移3个单位后，⊙A、⊙B的圆心距，再根据判断两圆位置关系的方法求解．
解答：解：∵A（1，0）、B（7，0），⊙A、⊙B的半径分别为1和2，
∴⊙A、⊙B的圆心距为6，
∴⊙A沿x轴向右平移3个单位后，⊙A、⊙B的圆心距为3，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知两圆的位置关系是外切．
故选A．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系和坐标与图形性质．两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．
10. （•贺州）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，如果两圆的位置关系为外离，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：圆与圆的位置关系；在数轴上表示不等式的解集。
分析：设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r，从而得到圆心距O1O2的取值范围，再结合数轴选择正确的答案即可．
解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，且两圆的位置关系为外离，
∴圆心距O1O2的取值范围为d＞2+5，即d＞7．
故选C．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系和在数轴上表示不等式的解集等知识．注意由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系是解题的关键．
11. （•郴州）已知⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，R和r的值是（ ）
A、R=4，r=2 B、R=3，r=2
C、R=4，r=3 D、R=3，r=1
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得R+r=5，继而求得答案．
解答：解：∵⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，
∴R+r=5，
∵2+4=6，故A错误；
∵3+2=5，故B正确；
∵4+3=7，故C错误；
∵3+1=4，故D错误．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
12. （2010•长沙）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=2、r2=4，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
考点：圆与圆的位置关系。
分析：本题直接告诉了两圆的半径及两圆相交，求圆心距范围内的可能取值，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则R﹣r＜P＜R+r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：解：两圆半径差为2，半径和为6，
两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，
所以，2＜O1O2＜6．符合条件的数只有B．故选B．
点评：本题考查了由数量关系及两圆位置关系确定圆心距范围内的数的方法．
13. （山东青岛，3，3分）已知⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，O1O2=5cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，，即可求得⊙O1与⊙O2的半径，又由O1O2=5cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，
∴⊙O1与⊙O2的半径分别是2cm和3cm，
∵O1O2=5cm，2+3=5，
∴两圆的位置关系是外切．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
14. （山东省潍坊， 9，3分）如图．半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切．则小圆扫过的阴影部分的面积为( )．
A．I7π
B．32π
C．49π
D．80π
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】几何图形问题．
【分析】由半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，即可求得空白处的圆的半径，即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：∵半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，
∴OB=9，AB=2，
∴OA=7，
∴小圆扫过的阴影部分的面积为：81π-49π=32π．
故选B．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意求得空白处的圆的半径是解此题的关键．
15. （山东淄博11，4分）如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O与弧AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（ ）
A.4 B. C. D.5
考点：圆锥的计算；相切两圆的性质。
分析：首先求得弧AE的长，然后利用弧AE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE的长加上半径即为AD的长．
解答：解：∵AB=4，∠B=90°，
∴，
∵圆锥的底面圆恰好是⊙O，
∴⊙O的周长为2π，
∴⊙O的半径为，
∴AD=BC=BE+EC=4+=，
故选B．
点评：本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式
16. （四川达州，7，3分）如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（ ）
A、内切、相交 B、外离、相交
C、外切、外离 D、外离、内切
考点：圆与圆的位置关系。
分析：根据圆与圆关系的定义，两个圆与圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时叫做这两个圆外离；两个圆有两个公共点时叫做这两个圆相交．所以在这个图案中反映出的两圆位置关系有外离和相交．
解答：解：在这个图案中反映出的两圆位置关系有两种外离和相交．故选B．
点评：本题可直接由图案得出圆与圆的位置关系，比较容易．
17.（•湖南张家界，7，3）已知两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，则另一圆的半径是（ ）
A、16厘米 B、10厘米 C、6厘米 D、4厘米
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得另一圆的半径．
解答：解：∵两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，
∴10﹣6=4（厘米），
∴另一圆的半径是4厘米．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
18.（•包头，5，3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是（ ）
A、相交 B、外切 C、外离 D、内含
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由两圆的直径分别是2厘米与4厘米，求得两圆的半径分别是1厘米与2厘米，然后由圆心距是3厘米，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，
∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米，
∵圆心距是3厘米，1+2=3，
∴这两个圆的位置关系是外切．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
19. (襄阳，9，3分)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．若⊙A，⊙B 的半径分别为1cm，4cm，则⊙A与⊙B的位置关系是( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
考点：圆与圆的位置关系；勾股定理。
专题：数形结合。
分析：由∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，根据勾股定理，即可求得AB的长，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定两圆之间的位置关系．
解答：解：∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，
∴AB＝＝5cm，
∵⊙A，⊙B 的半径分别为1cm，4cm，
又∵1＋4＝5，
∴⊙A与⊙B的位置关系是外切．
故选A．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系与勾股定理逆定理的应用．注意外离，则P＞R＋r；外切，则P＝R＋r；相交，则R－r＜P＜R＋r；内切，则P＝R－r；内含，则P＜R－r．(P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径)．
20. （2010福建泉州，5，3分）若⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为1，且O1O2=4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
考点圆与圆的位置关系
分析根据数量关系来判断两圆的位置关系：（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
解答解：根据题意，得R+r=4，即R+r=P=4，∴两圆外切．故选D．
点评本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r，难度适中．
21. （福建厦门，6，3分）已知⊙O1、⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1与⊙O2的位置关系为（ ）
A、外离 B、外切
C、相交 D、内切
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，
又∵5﹣2=3，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系为内切．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题那比较简单，解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
22. （甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：命题与定理；菱形的性质；矩形的判定；圆与圆的位置关系；位似变换．
分析：根据真命题的定义逐个进行判断即可得出结果．解答：解：①无公共点的两圆有可能外离，也有可能内含，故本选项错误；②位似三角形是相似三角形，正确；③菱形的面积等于两条对角线的积的一半，故本选项错误；④对角线相等的四边形是矩形，等腰梯形也可以，故本选项错误，∴真命题的个数是1．故选A．
点评：本题主要考查了外离圆定义、相似三角形性质、菱形面积公式、矩形的性质，比较综合，难度适中．
23. （天水，3，4）如果两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，那么能反映这两圆位置关系的图是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系是外切，则可求得答案．
解答：解：∵两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，
又∵2+1=3，
∴这两圆位置关系外切．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
24. （广东省茂名，7，3分）如图，⊙O1、⊙O2相内切于点A，其半径分别是8和4，将⊙O2沿直线O1O2平移至两圆相外切时，则点O2移动的长度是（ ）
A、4 B、8
C、16 D、8或16
考点：圆与圆的位置关系；平移的性质。
分析：由题意可知点O2可能向右移，此时移动的距离为⊙O2的直径长；如果向左移，则此时移动的距离为⊙O1的直径长．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2相内切于点A，其半径分别是8和4，
如果向右移：则点O2移动的长度是4×2=8，
如果向左移：则点O2移动的长度是8×2=16．
∴点O2移动的长度8或16．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意此题需要分类讨论，小心不要漏解．
25. （•铜仁地区6,3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为6cm、11cm，当两圆相切时，其圆心距d的值为（ ）
A、0cm B、5cm C、17cm D、5cm或17cm
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1与⊙O2的半径分别为6cm、11cm，分别从两圆外切与两圆内切去分析求解即可求得答案，注意别漏解．
解答：解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别为6cm、11cm，
当两圆外切时，圆心距d=6+11=17（cm）；
当两圆内切时，圆心距d=11﹣6=5（cm）．
∴圆心距d的值为5cm或17cm．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
26.广西来宾，4，3分）已知⊙和⊙的半径分别是4和5，且=8，则这两个圆的位置关系是（ ）
A外离 .B.外切 C.相交 D.内含
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1和⊙O2的半径分别是4和5，且O1O2=8，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别是4和5，且O1O2=8，
又∵5﹣4=1，4+5=9，1＜8＜9，
∴这两个圆的位置关系是相交．
故选C．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
27. （丽江市中考，15,3分）如图，已知⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，⊙B的半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是（ ）
A、2 B、7 C、2或5 D、2或8
考点：圆与圆的位置关系；勾股定理。
专题：分类讨论。
分析：根据切线的性质可以求得BC的长，然后根据相切两圆的两种情况分类讨论即可．
解答：解：∵⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，
∴BC=3，AB=5，
∵⊙A与⊙B相切，
∴当两圆外切时，⊙A的半径=5﹣3=2，
当两圆内切时，⊙A的半径=5+3=8．
故选D．
点评：本题考查了两圆之间的位置关系及勾股定理的知识，解题的关键是分类讨论，小心将另外一种情况漏掉．
28. （浙江嘉兴，5，3分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．两个外离的圆 B．两个外切的圆 C．两个相交的圆 D．两个内切的圆
考点：圆与圆的位置关系；简单组合体的三视图．
专题：计算题．
分析：由于两球都与水平线相切，故几何体的左视图相内切的两圆．
解答：解：观察图形可知，两球都与水平线相切，所以，几何体的左视图为相内切的两圆，故选D．
点评：本题考查了三视图，圆与圆的位置关系的运用．关键是分析图形，得出两球都与水平线相切，判断其左视图中两圆的位置关系．
29. （浙江台州，8，4分）如图是一个组合烟花的横截面，其中16个圆的半径相同，点A．B．C．D分别是四个角上的圆的圆心，且四边形ABCD为正方形．若圆的半径为r，组合烟花的高为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计）（ ）
A．26πrh B．24rh+πrh C．12rh+2πrh D．24rh+2πrh
考点：相切两圆的性质；扇形面积的计算．
专题：计算题．
分析：截面的周长等于12个圆的直径和班级为r的圆的周长的和，用周长乘以组合烟花的高即可．
解答：解：由图形知，正方形ABCD的边长为6r，∴其周长为4×6r=24r，∴截面的周长为：24r+2πr，
∴组合烟花的侧面包装纸的面积为：（24r+2πr）h=24rh+2πrh．故选D．
点评：本题考查了相切两圆的性质及扇形的面积的计算，解题的关键是判断组合烟花的截面周长的算法．
30. 已知线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A和⊙B的位置关系（ ）
A、内含 B、相交 C、外切 D、外离
【答案】D
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】几何题．
【分析】针对两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系．
【解答】解：依题意，线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，∴R+r=3+2=5，d=7，所以两圆外离．故选D．
【点评】此题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握．
31. （浙江舟山，5，3分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．两个外离的圆 B．两个外切的圆
C．两个相交的圆 D．两个内切的圆
考点：圆与圆的位置关系；简单组合体的三视图。
专题：计算题。
分析：由于两球都与水平线相切，故几何体的左视图相内切的两圆．
解答：解：观察图形可知，两球都与水平线相切，
所以，几何体的左视图为相内切的两圆，
故选D．
点评：本题考查了三视图，圆与圆的位置关系的运用．关键是分析图形，得出两球都与水平线相切，判断其左视图中两圆的位置关系．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．一条直线上有一点，到点的距离是4cm，若的半径为4cm，则直线与 ( )
A．相切 B．相交
C．相离或相切 D．相切或相交
2．在圆中有两条弦，且＜，这两条弦到圆心的距离分别是
那么 ( )
A．＞ B．≥ C．＜ D．≤
3.如图24-207所示，则等于 （ ）
A．50 B．80 C．100 D．130
4.如图24-208所示，在中，，是的内切圆，与分别相切于点，若则等于 （ ）
A．20 B．80 C．40 D．70
5.如图24-209所示，的直径垂直于弦，垂足为，若则的长是 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6.如图24-101所示，为等腰直角三角形，与相切于，则图中阴影部分的面积为 ( )
A．4- B．2- C．4- D．2-
7.在中，那么这个三角形的外接圆半径为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
8.如果一个圆的半径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是 （ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
9. 的半径是2cm，的半径是5cm，圆心距是4cm，则两圆的位置关系是 （ ）
A．相交 B．外切 C．外离 D．内切
10.将一块直径为60cm，的圆形铁皮做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 （ ）
A．10cm B．30cm C．40cm D．60cm
二、填空题（每小题3分，共30分）
11.如图24-211所示，在中，半径为5，则弦长＝ .
12.如图24-212所示，内接于，是的直径，点是上一点，则 .
13.如图24-213所示，是正三角形的外接圆，点在劣弧上，，则的度数为 .
14.如图24-214所示，为的直径,为上一点，且点在上（不与重合），则的度数是 .
15.在中，将其绕直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为 cm2.
16.正三角形的内切圆与外接圆的直径之比为 .
17.如图24-215所法，四边形的项点都在上，若则＝
.
18.如图24-216所示，扇形的圆心角是直角，正方形内接于扇形，点分别在上，过点作交的延长线于，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为 .
19.半径为1的中有两条弦，其长分别为则的度数为 .
20.如图21-217所示的曲边三角形可按下述方法作出：分别
以正三角形的一个顶点为圆心，以边长为半径画弧，使其经
过正三角形的另两个顶点，然后擦去正三角形，三段弧所围
成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长
是2，那么它的面积是 .
三、解答题（第21-26，小题各8分，第27小题12分，共60分）
21.如图24-218所示，内切于，切点分别为
（1）若求的度数；
（2）若求的长.
22.如图24-219所示，是的直径，点在的延长线上，弦垂足为，连接
（1）试说明是的切线；
（2）若半径为4，求的长.
23.如图24-220所示，是的直径，从上一动点作，交另一半圆于点是的平分线，交于点，当点在半圆上运动时，点的位置是否发生变化？为什么？
24.如图24-221所示，是半圆的3等分点，是直径延长线上的一点，若＝6cm，求阴影部分的面积.
25.如图24-222所示，已知中，是上的点，以为圆心，为半径作.当时，交于点，求的长.
26.如图24-223所示，的直径的长为2，在的延长线上，且
（1）求的度数；
（2）求证是的切线.
27.如图24-224（1）所示，已知点在外，是的切线，切点是，直线与相交于点.
（1）试探求与的数量关系；
（2）若则与有什么关系？
（3）若则过点的切线与有怎样的位置关系？（图24-224（2）可供解题使用）
（4）若＝则过点的切线与直线的交点的位置将在哪儿？（图24-224（3）可供解题使用）
参考答案
1. D［提示：如图24-225所示，相切；如图24-226所示，相交.］
2.A［提示：］
3.C［提示：］
4.D
5.C［提示：连接
为直径，］
6.A［提示：连接
］
7.B［提示：直角三角形外接圆的圆心是斜边中点，］
8.C［提示：根据相切的定义.］
9.A［提示：5-2＜4＜5+2，两圆相交.］
10A.
11.5
12.40
13. 38［提示：由知，］
14.50或130［提示：由知，由于在上，所以或者］
15.60
16.1：2［提示：如图24-227所示，在中，
］
17.80［提示：圆内接四边形的对角互补，
］
18.
19.30［提示：为直径，为直角三角形，
］
20.［提示：
］
21.解：（1）连接，则所以（2）因为是的切线，所以
所以
所以
22.解：（1）连接，因为是的直径，所以因为而所以所以从而即所以是的切线.
（2）因为且所以所以所以,所以
23.解：点的位置不发生变化，理由如下：连接，因为，所以又因为所以所以因为所以，因为是直径，所以点是半圆的中点.
24.解：连接因为是半圆的三等分点，所以因为所以所以 所以，所以（cm2）.
25.解：连接，则因为所以
根据直角三角形面积公式有所以在中，
26.（1）解：设由弧长公式，得（2）证明：连接是等边三角形.
是切线.
27（1）解：连接，因为是切线，所以所以而
所以即 （2）提示：若则所以所以 （3）提示：若则过点的切线与平行. （4）提示：若
则过点的切线与直线的交点的延长线上.
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