中考数学一轮复习精品讲义 旋转

这是一份中考数学一轮复习精品讲义 旋转，共56页。
旋转
本章小结
小结1 本章概述
在本章中，我们将学习生活中的旋转现象．掌握旋转的有关概念，理解旋转的性质、特点，并会进行简单的旋转作图；掌握中心对称及中心对称图形的概念、作图方法及直角坐标系中对称点的作法；利用旋转、中心对称进行简单的图案设计和认识图形是如何变换而来的．旋转和中心对称是现实生活中广泛存在的现象，它们既是探索图形某些性质的必要手段，也是解决现实生活中的具体问题及进行数学活动、变换的重要工具．有关旋转的性质、作图是后面学习几何图形(如圆)的性质、位置的确定等知识的重要依据之一，也是近年中考的易考查点．
本章涉及的主要概念有：旋转、旋转中心、旋转角、中心对称和中心对称图形，主要规律有：旋转中心、旋转角的找法，对称中心及对称点的找法以及找关于原点对称的点的坐标的规律．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】理解旋转的性质、中心对称的概念及其性质，掌握平行四边形是中心对称图形，并掌握常见的中心对称图形．
【本章难点】灵活运用旋转、中心对称图形的性质，掌握关于原点对称的点的坐标的特征，能够利用旋转、平移、轴对称等知识进行图案设计．
小结3 学法指导
l．注重联系实际．通过实例加深对旋转变换和中心对称图形的认识．
2．注重探索结论，许多图形可以由基本图形旋转而成．为了更好地认识图形，要善于探索、发现图形之间的变换关系．探索、发现图形之间的变换关系有助于运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计．
3．注重与已学图形变换的联系．平移变换、轴对称变换是前面已学过的全等变换，学习旋转变换时可类比平移变换和轴对称变换．



知识网络结构图
定义：一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转

①对应点到旋转中心的距离相等
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
③旋转前、后的图形全等
旋转


性质


定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称

中心对称


①关于中心对称的两个图形，对称点所连线
段都经过对称中心，而且被对称中心所平分
②关于中心对称的两个图形是全等图形

性质


旋转
定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转
后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，常见的中心对称图形：线段、平行四边形、圆等

中心对
称图形





关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符
号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y)
利用平移、轴对称和旋转可进行图案设计








专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 旋转与平移的简单应用
【专题解读】 有关旋转、平移的知识是近几年中考的一个热点，旋转和平移这两种交换方式不仅贴近生活，而且使人们享受了图形变化的美，命题新颖，内涵丰富，既有选择题、填空题，也有操作设计、解答方面的命题.
例1 以如图23-88(1)所示的图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°，再按顺时针方向旋转180°得到的图形是如图23-88(2)所示的( )

【分析】动手做一做，很快就可以作出正确的判断，故选A
【解题策略】关于旋转、平移概念的问题的解题关键是正确并灵活运用相关知识
例2 如图23—89所示，直线y=与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是( )
A．(3，4) B．(4．5)
C．(7，4) D．(7，3)
分析 由y=与x轴、y轴分别交于A，B两点，可知A(3，0)，B(0，4)，所以OA=3，OB=4，由旋转知O′A=OA=3，O′B′=OB=4.因为△AOB绕点A旋转90°，所以∠OAO′=90°，所以O′B′∥OA，所以B′的纵坐标等于O′的纵坐标3，由OA=3，O′B′=4，可知B′的横坐标为7，所以B′的坐标为(7，3)．故选D．
【解题策略】本题的解题关键是找出0′B′∥OA这一条件，这是找出B′点坐标的基础．
例3如图23-90所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形(顶点都是格点)，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
(1)在正方形网格中，作出△AB1C1；(不要求写作法)
(2)设网格小正方形的边长为1 cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的
图形，然后求出它的面积．(结果保留π)

分析；本题考查旋转作图的方法，作出旋转后的图形，首先要确定旋转后关键点的位置，然后把关键点连起来即可．
解：(1)如图23—90所示的△AB1C1即为所求．
(2)线段BC所扫过的图形如图23—91所示的阴影部分．
根据网格图知AB=4，BC=3，所以AC=5．
线段BC所扫过的图形的面积S=π(AC2—AB2)=(cm2)．
例4 某产品的标志图案如图23-92(1)所示，现要在所给的图23-92(2)中把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，使之变成与图23-92(1)一样的图案.

(1)请你在图23-92(2)中作出变换后的图案(最终图案用实线表示)；
(2)你所用的变换方法是 (在以下变换方法中选择一种正确的填到横线上).
①将菱形B向上平移；②将菱形B绕点O旋转120°；③将菱形B绕点O旋转180°.
分析 本题是一道有关平移和旋转的作图题，首选要确定作法，再动手作图，问题(2)是一道开放性题目.
解：(1)如图23—92(3)所示.
(2)①或③
专题2旋转变换在几何中的应用
【专题解读】 旋转变换在几何中的应用问题一般综合性较强，常与三角形、四边形、平面直角坐标系、函数等知识综合考查.
例5 如图23-93所示，在□ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，对角线AC，BD交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.
（1）求证当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由，并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
分析 本题综合考查平行四边形的性质与旋转的相关性质.
证明：(1)当∠AOF=90°时，AB∥EF.
∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形.
解：(2)∵四边形ABCD为平行四边形，
∵AO=CO，∠FAO=∠ECO，∠AOF=∠EOC，
∴△AOF≌△COE,∴AF=EC.
(3)四边形BEDF可能是菱形，理由如下:
由(2)知△AOF≌△COE，得OE=OF，
∴EF与BD互相平分.
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形.
在Rt△ABC中，AC=，
∴OA=1=AB，又AB⊥AC，
∴∠AOB=45°,∴∠AOF=45°,
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形.
专题3 中心对称在几何中的应用
【专题解读】 中心对称在几何中主要应用于图案设计问题或与平行四边形有关的证明或计算题．
例6 有一个圆O和一个平行四边形ABCD，请你画一条直线，同时把这两个图形分别分成面积相等的两部分．
分析 平行四边形和圆都是中心对称图形．因为过中心对称图形中心的任意一条直线都可以把这个中心对称图形的面积平分，所以所要画的直线只需同时过两个图形的对称中心即可．
解：如图23—94所示，平行四边形的两条对角线交于M点，则M点就是平行四边形的中心，画直线OM，则直线OM同时把两个图形分别分成了面积相等的两部分．
【解题策略】 本题应用了过中心对称图形中心的直线平分图形的面积这一性质．
例7 如图23—95所示，过口ABCD对角线的交点0作两条互相垂直的直线EF，GH，分别与口ABCD的四条边交于E，F和G，H，求证四边形EGFH为菱形．
分析 因为四边形EGFH的对角线互相垂直，所以欲证它是菱形，只需证它是平行四边形．因为E，F与G，H分别是以O为对称中心的对称点，所以由中心对称的性质可得OE=OF， OG=OH，于是问题得以证明．
证明：∵O是□ABCD的对称中心，GH经过O点与BC交于G，与AD交于H，
∴G，H是以O为对称中心的对称点．
根据中心对称图形的对称点的连线经过对称中心，并且被对称中心平分这
一性质可得OG=OH．
同理可以得到OE=OF．
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵EF⊥GH，∴□EGFH为菱形.
【解题策略】本题利用中心对称的性质得出了四边形EGFH的对角线互相平分，大大简化了证明过程.
二、规律方法专题
专题4 综合运用旋转、平移、轴对称知识探索“辅助线”的作法
【专题解读】 在几何中，经常需要作辅助线，如何作辅助线是急需掌握的，仔细研究题目中的已知、求解及图形的特征，对辅助线的发现大有帮助．运用旋转、平移、轴对称等知识，可以使复杂的问题变得简单，达到事半功倍的效果．
例8 如图23-96所示，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF，求证EF