中考数学一轮复习精品讲义 分式

这是一份中考数学一轮复习精品讲义 分式，共39页。
小结1 本章概述
本章在已学过的分数的基础上引入了分式的概述，用类比的方法探究分式的基本性质，在熟练掌握分式的基本性质的基础上，会进行分式的约分、通分和分式的加、减、乘、除、乖方运算，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简单的可化为一元一次方程的分式方程.
【本章难点】应用分式方程解决实际问题．
小结3 中考透视
本章内容在中考中主要考查判断分式有无意义，分式值为零的条件的应用，用分式基本性质进行变形，分式运算及分式的化简求值，常与实际问题结合起来命题，题型以解答题为主．
知识网络结构图
分式的概念
分式的概念 分式的意义、无意义的条件
分式的值为0的条件
分式的基本性质
分式的基本性质 分式的约分
分式的通分
分式的乘法规则
分式的除法规则
分式 同分母分式的加减法法则
分式的运算 分式的加减法法则
异分母分式的加减法法则
运算性质
负正数指数幂
科学记数法
公式方程的概念
解分式方程的步骤
分式方程 分式方程中使最简公分母为0的解
列分式方程应用题的步骤
专题总结及应用
一、识性专题
专题1 分式基本性质的应用
【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据.只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题.
例1 化简
(1) ; (2)；
解：(1)
(2).
【解题策略】化简一个分式时，主要是根据分式的基本性质，把分式的分子与分母同时除以它们的公因式，当分式的分子或分母是多项式时，能分解因式的一定要分解因式.
计算
解：
【解题策略】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.
专题2 有关求分式值的问题
【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给出其中字母的值,而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂，需根据其转点采用相应的方法.
已知,求的值.
解: 因为，所以用除所求分式的分子、分母.
原式.
已知，且，求的值.
解: 因为，
所以
所以或,
又因为,所以,所以,所以
所以
已知求的值.
解: 设
则
解得x=2k，y=k，z=3k，
所以.
已知且,求的值.
解: 由已知得
所以即,
所以,
同理
所以.
已知且,求的值.
解: 因为,
所以原等式两边同时乘以,得:
即
所以
所以
【解读策略】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.
例8 已知求的值.
分析 根据已知条件,可把用含有一个字母的代数式表示出来,再分别代入到所求式子中化简即可.
解: 设则.
所以.
【解题策略】 当代数式中的字母的比值是常数时，一般情况下都采用这种方法求分式的值.
例9 已知求的值.
分析 只要求出的值就可以了,由已知条件可得将这三个等式可加后得到,再通过讨论得到k的值.
解: 由已知到.
三式相加得即,
所以,或.
即,或.
当时,,此时即.
所以,或.
当时,
当时,.
【解题策略】在得到时，因为可以等于零，所以两边不能同时除以，否则分丢解，应进行整理，用分解因式来解决.
例10 已知求的值.
分析 观察已知条件和所示的分式,可将它们分别进行整理,从中得到某种关系,然后求值.
解: 由得
所以即.
所以.
例11 已知,求下列各式的值.
(1); (2).
分析 观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.
解: (1)因为,所以.
即.所以.
(2),
所以.
专题2 与增根有关的问题
例12 如果方程 有增根, 那么增根是 .
分析 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母或可得.所以增根是.
答案:
例13 若关于x的方程有增根, 则a 的值为 ( )
A.13 B. –11
C. 9 D.3
分析 因为所给的关于x的方程有增根,即有, 所以增根是.而一定是整式的根, 将其代入得,所以.
答案: D
例14 a何值时,关于x的方程会产生增根?
分析 因为所给方程的增根只能是或，所以应先解所给的关于x的分式方程，求出其根，然后求a的值.
解: 方程两边都乘以,得
整理得.
当a = 1 时,方程无解.
当时,.
如果方程有增根,那么,即或.
当时,,所以;
当时,,所以a = 6 .
所以当或a = 6原方程会产生增根.
专题4 利用分式方程解应用题
【专题探究】 列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题.检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意.
例15 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.
信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元.
信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的.
信息3 : 甲班比乙班多2人.
请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.
解: 设甲班平均每人捐款x元,则乙班平均每人捐款x元.
根据题意, 得,解这个方程得.
经体验,是原方程解.
例16 (08·山西) 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第二批进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元.
（1）求第一批购进书包的单价是多少？
（2）若商店销售这两批书包，每个售价都是120元，全部售出生，商店共盈利多少元？
分析 设第一反批购进书包的单价为x元，则第二批购进的书包的单价为，第一批购进书包个，第二批购进书包个.
解: 设第一批购进书包的单价为x元.
依题意,得,
整理,得, 解得.
答: 第一批购进书包的单价为80元.
解法1: (2)(元).
答: 商店共盈利3700元.
解法2 : (元)
答: 商店共盈利3700元.
二、规律方法专题
专题5 分式运算的常用讨巧
（1）顺序可加法.有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很烦琐.如果先把两个分式相加减,把所提结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.
(2)整体通分法,当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.
(3)巧用裂项法.对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式进行裂项.
(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.
(5)化简分式法.有些分式的分子.、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.
（6）倒数法求值（取倒数法）.
（7）活用分式变形求值.
(8)设k求值法(参数法)
(9)整体代换法.
(10)消元代入法.
例17 化简
解: 原式=

例18 计算.
解：原式

例19 计算.
解：原式
.
例20 计算
解: 原式

【解题策略】要注意裂项法解分式是，常用分式.
例12 计算
解: 原式
例22 已知求
解: 原式
.
当原式
例23 计算
解: 原式
例24 已知,求的值.
解: 因为 ,所以,
所以 ,即,
所以
所以 .
【解题策略】在求代数式的值时，有时所给条件或所求代数式不易化简变形，当把代数式的分子、分母颠倒后，变形就容易了，这样的问题通常采用倒数法（把分子、分母倒过来）求值.
例25 已知和,求的值.
解: 由 和 ,提,
所以

【解题策略】 若能对分式进行熟练的变形运用，可给解题带来极大的方便.
例26 已知求的值.
解: 设,
所以
所以
所以
即或
当,所求代数式,
当,所求代数式.
即所求代数式等于或.
【解题策略】当已知条件以此等式出现时，可用设k法求解.
例27 已知求的值.
解:因为
各式可加得
所以，
所以
例28 若求的值.
分析 消元法首选方法，即把其中一个未知数视为常量.
所以
解：以x, y为主元，将已知两等式化为
所以原式.
三、思想方法专题
专题6 整体思想
【专题解读】在进行分式运算时要重视括号的作用，即在计算时括号内的部分是一个整体，另外在分式的运算以及解方程时要注意符号的作用.
例29 请先将下列代数式化简，再选择一个你喜欢又使原式有意义和数代入求值.
分析 先化简，再代入使的数a求值.
解原式.
取，则原式= 9 .
【解题策略】将1化为进行减法运算，计算时要注意分子是一个整体.
中考真题精选
一、选择题
1. （广东珠海，5，3分）若分式的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值 （ ）
A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C． 是原来的倍 D．不变
考点：分式的基本性质
专题：分式
分析：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；可知该运算中分式的值没有改变，故选D．
解答：D
点评：抓住分式的基本性质，分式的基本性质是分式通分、约分的依据．
（1）在运用分式的基本性质进行通分或约分时，容易漏掉分子或分母中的某一项，从而出现运算错误．（2）分式本身、分子和分母三个当中，任意改变其中的两个符号，分式值不变，这也是一个易错点．
2. 计算-22+（-2）2-（- 12）-1的正确结果是（ ）
A、2 B、-2 C、6 D、10
考点：负整数指数幂；有理数的乘方．
分析：根据负整数指数幂和有理数的乘方计算即可．
解答：解：原式=-4+4+2=2．
故选A．
点评：本题考查了有理数的乘方以及负整数指数幂的知识，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
3. （四川遂宁，2，4分）下列分式是最简分式的（ ）
Ａ． B． C． D．
考点：最简分式；分式的基本性质；约分。
专题：计算题。
分析：根据分式的基本性质进行约分，画出最简分式即可进行判断．
解答：解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、 QUOTE ，不能约分，故本选项正确； D、=，故本选项错误；故选C．
点评：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解此题的关键．
4. （广东湛江,11,3分）化简的结果是（ ）
A、a+b B、a-b C、a2-b2 D、1
考点：分式的加减法．
分析：根据同分母的分式相加的法则：分母不变，分子相加减．
解答：解：原式=a+b．
故选A．
点评：本题是基础题，考查了分式的加减，同分母的分式相加的法则：分母不变，分子相加减．
5.（丽江市中考，4,3分）计算 QUOTE = 3 ．
考点：负整数指数幂；零指数幂。
专题：计算题。
分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算．
解答：解：原式=2+1=3．
故答案为3．
点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂：
a-p= QUOTE （a≠0，p为正整数）；零指数幂：a0=1（a≠0）．
二、填空题
1. （•江苏徐州，11，3）= ．
考点：负整数指数幂；零指数幂。
专题：计算题。
分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算．
解答：解：原式=1﹣ QUOTE = QUOTE ，
故答案为 QUOTE ．
点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂：（a≠0，p为正整数）；零指数幂：a0=1（a≠0）．
2. （江苏镇江常州，9，3分）计算：－(－)＝；︱－︱＝； QUOTE = 1 ； QUOTE = ﹣2 ．
考点：负整数指数幂；相反数；绝对值；零指数幂．
专题：计算题．
分析：分别根据绝对值．0指数幂及负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
解答：解：－(－)＝；
︱－︱＝； QUOTE QUOTE = 1 ；= ﹣2 ．
故答案为： QUOTE ， QUOTE ，1，﹣2．
点评：本题考查的是绝对值．0指数幂及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解答此题的关键．
3. （云南保山，4，3分）计算= .
考点：负整数指数幂；零指数幂。
专题：计算题。
分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算．
解答：解：原式=2+1=3．
故答案为3．
点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂：；零指数幂：．
4. （北京，1，5分）计算： QUOTE ．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：根据负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．
解答：解：原式=2﹣2×+3 QUOTE +1=2﹣ QUOTE +3 QUOTE +1=2 QUOTE +3．
点评：本题主要考查了负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．
5. 计算：|-3|+0-×+6×2-1 QUOTE ．
考点实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
分析本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答解：原式=3+1﹣ QUOTE +6× QUOTE =4﹣4+3=3．
点评本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
一、选择题
1. （重庆江津区，2，4分）下列式子是分式的是（ ）
A、 QUOTE B、 QUOTE C、 QUOTE D、 QUOTE
考点：分式的定义。
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解答：解：∵ QUOTE ，， QUOTE 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
QUOTE 分母中含有字母，因此是分式．故选B．
点评：本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以 QUOTE 不是分式，是整式．
2. （四川眉山，7，3分）化简 QUOTE 的结果是（ ）
A．﹣m﹣1B．﹣m+1 C．﹣mn+mD．﹣mn﹣n
考点：分式的乘除法。
专题：探究型。
分析：根据分式乘法及除法的运算法则进行计算，即分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
解答：解：原式=．
故选B．
点评：本题考查的是分式的乘除法，分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
3．（•南充，8，3分）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A、0B、1C、﹣1D、﹣2
考点：分式的值为零的条件。
专题：计算题。
分析：分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，则可得x﹣1=0且x+2≠0，从而解决问题．
解答：解：∵x﹣1=0且x+2≠0，
∴x=1．
故选B．
点评：分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．.
4. 四川遂宁，2，4分）下列分式是最简分式的（ ）
Ａ． B． C． D．
考点：最简分式；分式的基本性质；约分。
专题：计算题。
分析：根据分式的基本性质进行约分，画出最简分式即可进行判断．
解答：解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、 QUOTE ，不能约分，故本选项正确； D、=，故本选项错误；故选C．
点评：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解此题的关键．
5. （浙江丽水，7，3分）计算 QUOTE 的结果为（ ）
A、 QUOTE B、 QUOTE
C、﹣1 D、2
考点：分式的加减法。
专题：计算题。
分析：分母相同的分式，分母不变，分子相加减．
解答：解： QUOTE QUOTE
= QUOTE QUOTE
=﹣1
故选C．
点评：本题主要考查同分母的分式的运算规律：分母不变，分子相加减．
6. （浙江金华，7，3分）计算 的结果为（ ）
A. B. C. －1 D.1－a
考点：分式的加减法。
专题：计算题。
分析：分母相同的分式，分母不变，分子相加减．
解答：解： QUOTE ﹣ QUOTE = QUOTE = QUOTE =﹣1
故选C．
点评：本题主要考查同分母的分式的运算规律：分母不变，分子相加减．
二、填空题
1. （天津，12，3分）若分式的值为0，则x的值等于 1 ．
考点：分式的值为零的条件。
专题：计算题。
分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解答：解：由分式的值为零的条件得﹣1=0，x+1≠0，
由﹣1=0，得x=﹣1或x=1，
由x+1≠0，得x≠﹣1，
∴x=1，
故答案为1．．
点评：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
2. （•郴州）当x= 1 时，分式 QUOTE 的值为0．
考点：分式的值为零的条件。
分析：分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0．
解答：解：根据题意，得
x﹣1=0，且x+1≠0，
解得x=1．
故答案是：1．
点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可
3. 如果分式的值为0，则x的值应为 -3．
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】计算题．
【分析】根据分式的值为零的条件可以得到3x2-27=0且x-3≠0，从而求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得3x2-27=0且x-3≠0，
由3x2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，
∴x=-3或x=3，
由x-3≠0，得x≠3．
综上，得x=-3，分式的值为0．故答案为：-3．
【点评】考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4. （北京，9，4分）若分式的值为0，则x的值等于 8 ．
考点：分式的值为零的条件。
专题：计算题。
分析：根据分式的值为零的条件：分子=0，分母≠0，可以求出x的值．
解答：解：x﹣8=0，x=8，故答案为：8．
点评：此题主要考查了分式的值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
一、选择题
1. （重庆綦江，8，4分）在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个 甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（ ）
A．－＝10 QUOTE B．－＝10 QUOTE
C．－＝10 QUOTE D．－＝10 QUOTE
考点：由实际问题抽象出分式方程。
专题：应用题。
分析：设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，可列出分式方程．
解答：解：设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋，
－＝10 QUOTE ．
故选B．
点评：本题考查理解题意能力，以包装箱个数做为等量关系，根据若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，可列方程求解．
2. （吉林长春，6，3分）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE
C． QUOTE D． QUOTE
考点：由实际问题抽象出分式方程．
专题：行程问题．
分析：根据时间=路程÷速度，以及关键语“骑自行车比步行上学早到30分钟”可得出的等量关系是：小玲上学走的路程÷步行的速度﹣小玲上学走的路程÷骑车的速度=30．
解答：解：设小玲步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的速度为4x米/分，依题意，得 QUOTE ．
故选A．
点评：考查了由实际问题抽象出分式方程，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．
3.（辽宁沈阳，8，3）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（ ）
A、B、 QUOTE
C、 QUOTE D、 QUOTE
考点：由实际问题抽象出分式方程。
分析：若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
解答：解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，．
故选A．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系列方程求解．
4.（辽宁沈阳，8，3分）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（ ）
A．B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出分式方程。
分析：若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
解答：解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，
故选A．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系列方程求解．
5. （湖南衡阳，10，3分）某村计划新修水渠3600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成任务，若设原计划每天修水渠x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A． = B． -20=
C． － =20 D． + =20
考点：由实际问题抽象出分式方程。
分析：本题需先根据题意设出原计划每天修水渠x米，再根据已知条件列出方程即可求出答案．
解答：解：设原计划每天修水渠x米，根据题意得：
－ =20
故选C．
点评：本题主要考查了如何由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出等量关系列出方程是本题的关键．
二、填空题
1. （•安顺）某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x元/立方米，则所列方程为 QUOTE ．
考点：由实际问题抽象出分式方程。
分析：本题需先根据已知条件，设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程，即可求出答案．
解答：解：设去年居民用水价格为x元/立方米，根据题意得：
QUOTE =8，
故答案为： QUOTE ．
点评：本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出题目中的等量关系是本题的关键．
2. （山东青岛，11，3分）某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用1小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则根据题意可列方程为．
考点：由实际问题抽象出分式方程。
专题：应用题。
分析：由于某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，设采用新工艺前每小时加工x个零件，那么采用新工艺后每小时加工1.5x个零件，又同样多的零件就少用1小时，由此即可列出方程解决问题．
解答：解：依题意得
QUOTE
故答案为： QUOTE ．
点评：此题主要考查了分式方程的应用，其中找出方程的关键语，找出数量关系是解题的关键．
3. （辽宁阜新,8,3分）甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？若设乙每小时行x千米，根据题意列出的方程是 ．
考点：由实际问题抽象出分式方程。
分析：若设乙每小时行x千米，根据甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，可列出方程．
解答：解：设乙每小时行x千米，
根据题意列出的方程：．
故答案为：．
点评：本题考查理解题意的能力，设出乙的速度，可表示出甲的速度，路程已知，以时间差做为等量关系列方程．
三、解答题
1. （江苏淮安，22，8分）七（1）班的大课间活动丰富多彩，小峰与小月进行跳绳比赛.在相同的时间内，小峰跳了100个，小月跳了140个.如果小月比小峰每分钟多跳20个，试求出小峰每分钟跳绳多少个？
考点：分式方程的应用。
专题：应用题。
分析：设小峰每分钟跳x个，那么小月就跳（x+20）下，根据相同时间内小峰跳了100下，小月跳了140下，可列方程求解．
解答：解：设小峰每分钟跳x个，则 QUOTE = QUOTE ，
x=50，
检验：x=50时，x（x+20）=3500≠0．
∴x=50是原方程的解．
答：小峰每分钟跳50个．
点评：本题考查分式方程的应用，关键是以时间做为等量关系，根据相同时间内小峰跳了100个，小月跳了140下，已知小峰每分钟比小月多跳20下，可列方程求解．
2. （江苏连云港，21，6分）根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260km,求提速后的火车速度.(精确到1km/h)
考点：分式方程的应用。
专题：行程问题。
分析：根据路程÷时间=速度，等量关系：提速后的运行速度﹣原运行的速度=260，列方程求解即可．
解答：解：设连云港至徐州客运专线的铁路全长为xkm，列方程得：
QUOTE ﹣ QUOTE =260， 1.7x=358.8，解得x= QUOTE ． QUOTE ≈352km/h．
答：提速后的火车速度约是352km/h．
点评：本题考查了分式方程的应用，此题的关键是理解路程，时间，速度的关系，找出题中存在的等量关系．
3. （•南通）在社区全民健身活动中，父子俩参加跳绳比赛．相同时间内父亲跳180个，儿子跳210个．已知儿子每分钟比父亲多跳20个，父亲、儿子每分钟各跳多少个？
考点：分式方程的应用。
分析：父亲每分钟跳x个，儿子跳（20+x）个，根据相同时间内父亲跳180个，儿子跳210个．已知儿子每分钟比父亲多跳20个，可列方程求解．
解答：解：父亲每分钟跳x个，＝，x=120，120+20=140，父亲跳120个，儿子跳140个．
点评：本体考察理解题意的能力，关键是设出未知数，以时间做为等量关系列方程求解．
4. （•江苏徐州，22，6）徐州至上海的铁路里程为650km．从徐州乘“C”字头列车A，“D”字头列车B都可到达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少2.5h．
（1）设A车的平均速度是xkm/h，根据题意，可列分式方程： QUOTE ；
（2）求A车的平均速度及行驶时间．
考点：分式方程的应用。
分析：设A车的平均速度是xkm/h，根据徐州至上海的铁路里程为650km．从徐州乘“C”字头列车A，“D”字头列车B都可到达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少2.5h可列出方程求出解．
解答：解：（1）设A车的平均速度是xkm/h，
可列分式方程:．
（2）设B车的速度是xkn/h．
．
解得；x=130．
2x=260．
650÷260=2.5
故A车的平均速度是260千米每小时，行驶的时间2.5小时．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是设出A的速度，表示出B的速度，以时间做为等量关系列方程求解．
5. （•广东汕头）某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，问该品牌饮料一箱有多少瓶？
考点：分式方程的应用。
专题：应用题。
分析：根据等量关系：整箱购买，则买一送三瓶，相当于每瓶比原价便宜了0.6元，依此列出方程求解即可．
解答：解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得
QUOTE ，
化简，得x2+3x﹣130=0，
解得x1=﹣13（不合，舍去），x2=10，
经检验：x=10符合题意，
答：该品牌饮料一箱有10瓶．
点评：本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意“买一送三”的含义．
6.（•河池）大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元．
（1）第一批衬衣进货时的价格是多少？
（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？
（提示：利润=售价﹣成本，利润率= QUOTE ）
考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用。
分析：（1）设第一批上衣的价格是x元，根据4000元购进的上衣，和每件上衣涨价20元，用5000元购进的数量相等可列方程求解．
（2）设第二批衬衣每件售价至少是x元，根据第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，可列不等式求解．
解答：解：（1）设第一批上衣的价格是x元，
QUOTE = QUOTE
x=80
经检验x=80是分式方程的解．
第一批衬衣进货的价格是80元．
（2）设第二批衬衣每件售价至少是x元，
QUOTE ×100%≥ QUOTE ×100%
x≥150
那么第二批衬衣每件售价至少是150元．
点评：本题考查理解题意的能力，第一问以购进的数量相同可列方程求解，第二问以利润率做为不等量关系列不等式求解．
7. （•柳州）某校为了创建书香校园，去年又购进了一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等．
（1）求去年购进的文学羽和科普书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用1000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书55本后至多还能购进多少本科普书？
考点：分式方程的应用。
分析：（1）设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，根据科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等，可列方程求解．
（2）根据（1）求出的单价，可求出购进多少本科普书．
解答：解：（1）设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元
根据题意，得 QUOTE = QUOTE ，
解得x=8．
x+4=12．
答：文学书的单价是8元，则科普书的单价是12元．
（2）（1000﹣8×55）÷12=46 QUOTE 本．
答：还能购进46本科普书．
点评：本题考查理解题意的能力，设出单价，根据购进的数量相等做为等量关系列方程求解．
8. （•德州，21，10分）为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．
（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？
（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．
考点：分式方程的应用。
专题：工程问题。
分析：（1）如果设甲工程队单独完成该工程需x天，那么由“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天”，得出乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，可知等量关系为：甲工程队30天完成该工程的工作量+乙工程队30天完成该工程的工作量=1．
（2）首先根据（1）中的结果，排除在60天内不能单独完成该工程的乙工程队，从而可知符合要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．
解答：解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．
根据题意得：．
方程两边同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），
即x2﹣35x﹣750=0．
解之，得x1=50，x2=﹣15．
经检验，x1=50，x2=﹣15都是原方程的解．
但x2=﹣15不符合题意，应舍去．
∴当x=50时，x+25=75．
答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天．
（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可．
方案一：由甲工程队单独完成．（
所需费用为：2500×50=125000（元）．
方案二：由甲乙两队合作完成．
所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）．
点评：本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间．
9. （•莱芜）莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨．
（1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务．在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务．那么原计划零售平均每天售出多少吨？
（2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利润．
考点：分式方程的应用。
分析：（1）设原计划零售平均每天售出x吨，根据去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨，在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务可列方程求解．
（2）求出实际销售了多少天，根据每天批发和零售多少吨，以及批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，可求得利润．
解答：解：设原计划零售平均每天售出x吨．
根据题意，得 QUOTE ，
解得x1=2，x2=﹣16．
经检验，x=2是原方程的根，x=﹣16不符合题意，舍去．
答：原计划零售平均每天售出2吨．
（2） QUOTE （天）．
实际获得的总利润是：
2000×6×20+2200×4×20=416000（元）．
点评：本题考查理解题意的能力，关键设出计划零售多少，以时间做为等量关系列出方程．第2问关键是求出天数，求出批发的利润和零售的利润，可求出总利润．
10. （泰安，25，8分）某工厂承担了加工2100个机器零件的任务，甲车间单独加工了900个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前12天完成任务．已知乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍，求甲．乙两车间每天加工零件各多少个？
考点：分式方程的应用。
分析：先设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件1.5x个，由题意列分式方程即可得问题答案．
解答：解：设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件1.5x个．
根据题意，得 QUOTE ，
解之，得x＝60，
经检验，x＝60是方程的解，符合题意，
1.5x＝90．
答：甲乙两车间每天加工零件分别为60个．90个．
点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意应设较小的量为未知数．
11. （四川遂宁，20，9分）一场特大暴雨造成遂渝高速公路某一路段被严重破坏．为抢修一段120米长的高速公路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天完成抢修任务．问原计划每天抢修多少米？
考点：分式方程的应用。
分析：原计划每天抢修x米，则实际每天抢修（x+5）米，为抢修一段120米长的高速公路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天完成抢修任务可列方程求解．
解答：解：原计划每天抢修x米，则实际每天抢修（x+5）米，根据题意，得：
x2+5x﹣150=0
∴x1=10，x2=﹣15
经检验：x1=10，x2=﹣15都是原方程的解．
但x2=﹣15不符合实际情况（舍去）
答：原计划每天抢修10米．
点评：本题考查理解题意的能力，关键设出计划每天修多少，表示出实际修的，以时间做为等量关系列方程求解．
12. （河北，22，8分）甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用。
专题：应用题。
分析：（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；
（2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．
解答：解：（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：
解得x＝80，
经检验x＝80是原分式方程的解．
答：乙单独整理80分钟完工．
（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得
解得：y≥25
答：甲至少整理25分钟完工．
点评：分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
13. （广东肇庆，21， 分）肇庆市某施工队负责修建1800米的绿道．为了尽量减少施工对周边环境的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前两天完成．求原计划平均每天修绿道的长度．
考点：分式方程的应用。
分析：设计划平均每天修道x米，根据负责修建1800米的绿道．为了尽量减少施工对周边环境的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前两天完成可列方程求解．
解答：解：设计划平均每天修道x米，
解得x=150，
经检验x=150是方程的解．
所以原计划每天修道150米．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是设出每天修道的米数，然后以天数做为等量关系列方程求解．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1.下列各式与相等的是( )
A． B. C. D.
2.若分式的值是（ ）
A．0 B.1 C.-1 D.±1
3.分式有意义的条件是（ ）
A．x≠2 B.x≠1 C.x≠1或x≠2 D.x≠1且x≠2
4．使分式等于0的x的值是（ ）
A.2 B.-2 C.±2 D.不存在
5．如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B.不变 C.缩小到原来的 D.缩小到原来的
6．计算÷的结果是（ ）
A． B．1 C． D．-1
7．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．-b
8.分式方程的解是（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x= D．x=-
二、填空题
9．若a2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子÷（a+b）的值为_______________.
10.化简的结果是__________.
11.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是____________千米/时.
12.当x=__________时，分式的值为0.
13.化简·=___________.
14.方程的解是__________.
15.当x=___________时，有意义.
16. 当x=___________时，的值为.
17.已知方程有增根，则增根一定是__________.
18.已知，则__________.
19.化简÷的结果是__________.
三、解答题
20.化简÷.
21.先化简，再求值.
(1) ÷x，其中x=；
（2）÷（），其中x=-4；
（3）·，其中x满足；
（4）（1-）÷，其中；
（5），其中，.
22.解下列方程.
(1) ；
（2）；
（3）；
(4) ；
23.若，求A，B的值.
24.七年级（1）班学生到游览区游览，游览区距学校25km，男生骑自行车，出发1小时20分后，女生乘客车出发，结果他们同时到达游览区.已知客车的速度是自行车速度的3倍，求自行车与客车各自的速度.
25.桂林市城区百条小巷改造工程启动后，甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷改造工程.已知甲队完成这项工程的时间是乙队单独完成这项工程时间的倍，由于乙队还有其他任务，先由甲队独做55天后，再由甲、乙两队合做20天，完成了该项改造工程任务.
（1）若设乙队单独完成这项工程需x天，请根据题意填写下表：
（2）请根据题意及上表中的信息列出方程，并求甲、乙两队单独完成这条小巷改造工程任务各需多少天；
（3）这项改造工程共投资200万元，如果按完成的工程量付款，那么甲、乙两队可获工程款各多少万元？
26.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.
（1）今年三月份甲种电脑每台售价为多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
参考答案
1.C
2.B[提示：公式的值为0，则解得.]
3.D[提示：分式有意义，则且.]
4.D[提示：令得，而当时，，所以该公式不存在值为0的情形.]
5.B
6.A
7.B
8.A[提示：去分母，得，解得，当时，.]
9. [提示：由已知得且，解得，，再代入求值.]
10. [提示：找到最简公分母为（m+3）(m-3)，再通分.]
11.4.8[提示：平均速度=总路程÷总时间，设从学校到家的路程为s,则.]
12.3[提示：由得±3.当时，，当时，，所以当时，分式的值为0.]
13. [提示：原式=··
.]
14.
15.
16.-4
17. [提示：增根就是使分式分母等于0的x的值，即，所以.]
18.7[提示：，所以，所以.]
19.2x[提示：原式=·.]
20.解：原式=·=.
21.解：（1）原式=·.当时，原式=-4. （2）原式=÷·，当x=-4时，原式=-1. （3）原式=·由，知（x-1）(x-2)=0，所以或，所以原式=1或2. （4）÷.当x=2时，原式=1. （5）原式=·.把，代入上式，得原式=3-.
22.解(1) ，，∴，解得.经检验是原方程的根. （2），解得x=2.经检验x=2是原方程的根. （3），
，解得x=7.经检验x=7是原方程的根. （4）2-5=2x-1，解得.经检验是原方程的根.
23.解：因为=
，又因为，所以解得
24.解：设自行车的速度为xkm/h，则客车的速度为3xkm/h，由题意可知.解这个方程得.经检验是原方程的根，且符合题意.所以3x=3×12.5=37.5.答：自行车与客车的速度分别是12.5km/h，37.5km/h.
25.解：（1）从左则到右，从上到下依次填. (2)根据题意，列方程得××，解得x=80是原方程的根，且符合题意.所以.答：甲、乙两队单独完成这条小巷改造工程任务各需100天、80天. （3）甲工程队所获工程款为200××（55+20）=150（万元），乙工程队所获工程款为200××20=50（万元）. 答：甲、乙工程队分别获得工程款150万元和50万元.
26.解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价为x元，则，解得x=4000元. 经检验x=4000是原方程的根，且符合题意，所以甲种电脑今年三月份每台售价为4000元. （2）设购进甲种电脑x台，则48000≤3500x+3000(15-x)≤50000，解得6≤x≤10.因为x的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案. （3）设总获利为ω元，则ω=（4000-3500）x+（3800-3000-a）(15-x)=（a-300）x+12000-15a.当a=300时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台，对公司更有利.
工程队名称
独立完成这项工程的时间（天）
各队的工作效率
甲工程队
乙工程队