中考数学一轮复习精品讲义 一元二次方程

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 一元二次方程
本章小结
小结1 本章概述
本章的主要内容有三部分．第一部分是一元二次方程的概念：学习一元二次方程的一般形式、成立的条件，一元二次方程的根(或解)，检验一个数值是否是一元二次方程的解的方法；第二部分是一元二次方程的解法：理解一元二次方程的解法的数学思想是降次，由降次的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)；第三部分是一元二次方程的应用：利用一元二次方程来解答实际应用问题、数学综合问题等。一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性的作用，它在中考试题中占有一定的比例.
小结2 本章学习重难点
【本章重点】正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为0这一前提条件，掌握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法.
【本章难点】熟练求一元二次方程的解，并会将实际问题抽象为单纯的数学问题(列一元二次方程)来解决．会用一元二次方程的根与系数的关系求未知字母的系数，掌握一元二次方程根的判别式的应用.
小结3 学法指导
1. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，本章遵循了“问题情境——建立模型——应用”的模式.
2．在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，理解并掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，并形成利用语言文字规范化地表达方程思想和方程知识的过程.
3．通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学，思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的，进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.
4．经历在具体问题情境中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义，并根据具体问题检验解的合理性.
5．学好本章的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和利用一元二次方程解决实际问题的方法，在学习过程中随时类比一元一次方程等相关知识，注意一元二次方程根与系数的关系，并在探索过程中体会“化归”与“转化”等数学思想在解决问题中的作用.









知识网络结构图
定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程


直接开平方法
因式分解法
配方法
公式法


解法（降次）
一元二次
方程





应用一元二次方程解决实际问题





专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 一元二次方程的定义
【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.
例1 已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.
分析 依题意可知m－1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.
解：依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，
解得m＝±1，
又∵m－1≠0，∴m≠1，
故m＝－1.
【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.
专题2 一元二次方程的解法
【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.
例2 用配方法解一元二次方程2x2+1＝3 x.
分析 本题考查配方法解方程的步骤.
解：移项，得2x2－3 x＝－1，
二次项系数化为1，得
配方，得
由此可得
【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方.
例3 一元二次方程3x2－x＝0的解是（ ）
A.x＝0 B.x1＝0，x2＝3 C. D.
分析 根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为x(3x－1)＝0，易求出x＝0或3x－1＝0，问题得解.故选C.
【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为0的形式，可采用因式分解法来解方程.
例4 解方程x2－2x－2＝0.
分析 结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解.
解法1：∵a＝1，b＝－2，c＝－2，
∴b2－4ac＝（－2）2－4×1×（－2）＝12，
∴x＝

解法2：移项，得x2－2x＝2，
配方得x2－2x+1＝3，
即（x－1）2＝3，∴x－1＝，∴
【解题策略】 一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法.
专题3 与方程的根有关的问题
【专题解读】 这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式相联系的问题.
例5 解下列方程，将所得到的解填入下面表格中：
方程
x1
x2
x1+x2
x1·x2
x2－6x＝0




x2－5x+4＝0




x2+3x－10＝0




（1）通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？
（2）一般地，对于关于x的方程x2+px+q＝0（p，q为常数，且p2－4q≥0）来说，是否也具备（1）中你所发现的规律？如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备，请举出反例.
分析 这是一道探究规律的试题，解决此题应按照题中所给顺序逐项认真完成，仔细观察，能发现一元二次方程的根与系数的关系.
解：填表如下：
方程
x1
x2
x1+x2
x1·x2
x2－6x＝0
0
6
6
0
x2－5x+4＝0
1
4
5
4
x2+3x－10＝0
－5
2
－3
－10
（1）由上表可以发现：上述方程的两根之和等于方程的一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.
（2）对方程x2+px+q＝0（p，q为常数，且p2－4q≥0）来说也具备同样的规律.
设方程x2+px+q＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝－p，x1·x2＝q，
理由如下：
∵p2－4q≥0，∴方程x2+px+q＝0有两个实数根，
∴
∴x1+x2＝
x1·x2＝
＝
即x1+x2＝－p，x1·x2＝q.
例6 若a是关于x的方程x2+bx+a＝0的根，且a≠0，则由此可得求得下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A.ab B. C.a+b D.a－b
分析 此题应由根的意义入手，将a代入方程等得到关于a，b的一个方程，再通过因式分解进行求解.把x＝a代入方程x2+bx+a＝0，得a2+ab+a＝0，∴a(a+b+1)＝0，又∵a≠0，∴a+b+1＝0，即a+b＝－1.故选C.
【解题策略】本题将方程解的意义、方程的解法融为一体，体现了消元、降次的转化思想，具有一定的探究性，而且此题在设计思路上跳出了固定套路，是一道具有创新意识的题.
专题4 一元二次方程的应用
【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据具体问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进行取舍.
例7 乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8050.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则根据题意列方程得 .
分析 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用.因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则2006年投入资金是5786（1+x）万元，2007年的投入资金是5786（1+x）2万元，故所求方程为5786（1+x）2＝8058.9.
【解题策略】有关增长率问题的常用公式为a（1+x）n＝b（n为正整数）.
二、规律方法专题
专题5 一元二次方程的解法技巧
【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法.
1.换元法
例8 如果（2m+2n+1）（2m+2n－1）＝63，那么m+n的值是 .
分析 把m+n看做一个整体求解.设m+n＝x，则原方程化为（2x+1）（2x－1）＝63，整理，得4x2＝64，解得x＝±4，∴m+n＝±4.故填±4.
例9 解方程（3x+2）2－8（3x+2）+15＝0.
分析 此题可以把原方程展开为一般形式，运用公式法、因式分解法或配方法求解，但都比较麻烦，观察题目的结构可知把3x+2看做一个整体，设为t，则原方程就可化成关于未知数t的一元二次方程.
解：设3x+2＝t，原方程化为t2－8t+15＝0，
∴t1＝3，t2＝5.
当t＝3时，3x+2＝3，∴x＝；
当t＝5时，3x+2＝5，∴x＝1.
∴原方程的根为x1＝，x2＝1.
【解题策略】 本题也可直接分解为[(3x+2)－3][ (3x+2)－5]＝0，即（3x－1）（3x－3）＝0，用因式分解法解得x1＝，x2＝1.
例10 解方程（x+2）（x+3）（x－4）（x－5）＝44.
分析 解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程.本题是一个一元四次方程，我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解（方程的右边为0）.
解：原方程转化为（x+2）（x+3）（x－4）（x－5）－44＝0，
[（x+2）（x－4）][ （x+3）（x－5）] －44＝0，
（x2－2x－8）（x2－2x－15）－44＝0，
令x2－2x＝y，则原方程化为（y－8）（y－15）－44＝0，
∴y2－23y+76＝0，
∴y1＝4，y2＝19.
当y＝4时，x2－2x＝4，∴
当y＝19时，x2－2x＝19，∴
∴原方程的根是
2.配方法
例11 先用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－6x+10的值部大于0；再求出当x取何值时，代数式x2－6x+10的值最小，最小值是多少.
解：x2－6x+10＝x2－6x+32+（10－32）＝（x－3）2+1.
∵（x－3）2≥0，∴（x－3）2+1＞0，
∴无论x取何值，代数式x2－6x+10的值部大于0.
当x－3＝0，即x＝3时，(x2－6x+10)最小＝1.
例12 若实数m，n，p满足m－n＝8，mn+p2+16＝0，则m+n+p的值为（ ）
A.－1 B. 0 C.1 D.2
分析 本题有三个未知数m，n，p给出两个关系式，思路应放在消元转化上.由m－n
＝8，得m＝n+8，将m＝n+8代入mn+p2+16＝0中，得n(n－8)+p2+16＝0，∴n2+8n+16+p2＝0，即（n+4）2+p2＝0，又∵（n+4）2≥0，p2≥0，且（n+4）2+p2＝0，∴
故选B.
3.构造法
例13 解方程3x2+11x+10＝0.
解：原方程两边同时乘3，得(3x)2+11×3x+30=0，
∴（3x+5）(3x+6)=0,
∴3x+5=0,或3x+6=0，
∴
4.特殊解法
例14 解方程（x－1994）（x－1995）=1996×1997.
分析 观察方程可知1994+1997=1995+1996，1994－1996=1995－1997，并且一元二次方程最多只有两个实数解，则可用特殊的简便解法求解.
解：方程组的解一定是原方程的解，
解得x=3991，
方程组的解也一定是原方程的解，
解得x=－2，
∵原方程最多只有两个实数解，
∴原方程的解为x1=3991，x2=－2.
【解题策略】解本题也可采用换元法.设x－1995=t，则x－1994=t+1，原方程化为t（t+1）=1996×1997，∴t2+t－1996×1997=0，∴（t+1997）（t－1996）=0，∴t+1997=0,或t－1996=0，∴t1=－1997，t2=1996.当t=－1997时，x－1995=－1997，∴x=－2；当t=1996时，x－1995=1996,∴x=3991.∴原方程的解为x1=－2，x2=3991.
三、思想方法专题
专题6 建模思想
【专题解读】 建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.
例15 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 .
分析 根据题意，设所求百分率为x，则有50（1－x）2=40.5，解得x1=1.9，x2=0.1，而1.9＞1，不合题意，舍去，故x=0.1.故平均每年下降的百分率是10%.故填10%.
【解题策略】利用一元二次方程解实际问题时，方程的解一定要符合实际意义.在建立方程模型解决实际问题时，应找准对应的数量关系.
中考真题精选
一、选择题
1. （新疆乌鲁木齐，8，4）关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（　　）
A、－1 B、0 C、1 D、－1或1
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
专题：常规题型。
分析：先把x＝0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a＝1舍去．
解答：解：把x＝0代入方程得：|a|－1＝0，∴a＝±1，
∵a－1≠0，∴a＝－1．
故选A．
点评：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．
2. （台湾，20，4分）若一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的两根为0．2，则|3a＋4b|之值为何（　　）
A．2 B．5 C．7 D．8
考点：解二元一次方程组；绝对值。
分析：先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．
解答：解：将两根0．2分别代入ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2中计算得3a＋4b＝－5，所以|3a＋4b|＝5．
故选B．
点评：此题考查了一元二次方程和二元一次方程及绝对值的运用．
3. （•台湾31，4分）关于方程式88（x﹣2）2=95的两根，下列判断何者正确（　　）
A、一根小于1，另一根大于3 B、一根小于﹣2，另一根大于2
C、两根都小于0 D、两根都大于2
考点：估算一元二次方程的近似解；解一元二次方程-直接开平方法。
分析：本题需先根据一元二次方程的解法，对方程进行计算，分别解出x1和x2的值，再进行估算即可得出结果．
解答：解：∵88（x﹣2）2=95，
（x﹣2）2=，x﹣2=±，∴x=±+2，
∴x1=+2，∴x1＞3，∴x2=-+2，∴x2＜1．故选A．
点评：本题主要考查了对一元二次方程的近似解的估算，解题时要注意在开方的时候不要漏掉方程根，这是解题的关键．
4. 6.某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：根据降价后的价格＝原价（1－降低的百分率），本题可先用173（1－x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
解答：解：当商品第一次降价x%时，其售价为173－173x%＝173（1－x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为
173（1－x%）－173（1－x%）x%＝173（1－x%）2．
∴173（1－x%）2＝127．
故选C．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于127即可．
5. （甘肃兰州，19，4分）关于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是 .
考点：一元二次方程的解.
分析：直接由向左平移加，向右平移减可得出x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．
解答：解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．故答案为：x1=﹣4，x2=﹣1．
点评：此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
6.（•湖南张家界，5，3）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　　）
A、1 B、﹣1 C、0 D、无法确定
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
分析：把x=1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
解答：解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，
解得：m=﹣1．
故选B．
点评：本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
7. （甘肃兰州，1，4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：一元二次方程的定义．
分析：一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解答：解：A，由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误；
B，当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C，由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D，方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．
点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
8. （黑龙江省哈尔滨,5，3分）若x=2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一个解．则m的值是（　　）
A.6 B.5 C.2 D.﹣6
考点：一元二次方程的解。
分析：先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．
解答：解：把x=2代入方程得：4﹣2m+8=0，
解得m=6．
故选A．
点评：本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．

二、填空题
1. （江苏镇江常州，12，3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=　1　，另一个根是　﹣3　．
考点：一元二次方程的解；根与系数的关系．
专题：方程思想．
分析：根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x2+mx﹣6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=﹣解出方程的另一个根．
解答：解：根据题意，得
4+2m﹣6=0，即2m﹣2=0，
解得，m=1；
由韦达定理，知
x1+x2=﹣m；
∴2+x2=﹣1，
解得，x2=﹣3．
故答案是：1．﹣3．
点评：本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣．x1•x2=来计算时，要弄清楚a．b．c的意义．
2. （山东滨州，14，4分）若x=2是关于x的方程的一个根，则a的值为______.
【考点】一元二次方程的解．
【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=2代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．
【解答】解：把x=2代入方程x2-x-a2+5=0得：
4-2-a2+5=0，
解得：a=±．
故答案为：±．
【点评】本题主要考查了方程的解得定义，是需要掌握的基本内容．
3. （梧州，15，3分）一元二次方程x2+5x+6=0的根是　x1=﹣2，x2=﹣3　．
考点：解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程。
专题：计算题。
分析：分解因式得到x+2）（x+3）=0，推出x+2=0，x+3=0，求出方程的解即可．
解答：解：x2+5x+6=0，
分解因式得：（x+2）（x+3）=0，
即x+2=0，x+3=0，
解方程得：x1=﹣2，x2=﹣3．
故答案为：x1=﹣2，x2=﹣3．
点评：本题主要考查对等式的性质，解一元一次方程，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
一、选择题
1. （四川凉山，6，4分）某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：根据降价后的价格＝原价（1－降低的百分率），本题可先用173（1－x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
解答：解：当商品第一次降价x%时，其售价为173－173x%＝173（1－x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为
173（1－x%）－173（1－x%）x%＝173（1－x%）2．
∴173（1－x%）2＝127．
故选C．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于127即可．
2. （•台湾20，4分）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分（　　）

A、11 B、12 C、13 D、14
考点：一元二次方程的应用。
专题：网格型。
分析：可设方格纸的边长是x，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解．
解答：解：方格纸的边长是x，
x2﹣•x•x﹣•x•x﹣•x•x=
x2=12．
所以方格纸的面积是12，
故选B．
点评：本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解．
3. （甘肃兰州，11，4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
分析：根据题意得：每人要赠送x-1张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
解答：解：根据题意得：每人要赠送x-1张相片，有x个人，∴全班共送：（x-1）x=2070，
故选：A．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x-1张相片，有x个人是解决问题的关键．
4. （贵州毕节，10，3分）广州亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价后售价为128元，下列所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。专题：增长率问题。
分析：本题可先用168（1﹣a%）表示第一次降价后某纪念品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．
解答：解：当某纪念品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%=168（1﹣a%）；
当某纪念品第二次降价a%后，其售价为168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%=168（1﹣a%）2．∴168（1﹣a%）2=128．故选B．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于128即可．
5. （广西百色，11，4分）某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值达到了72万元．若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程（　　）
A．72（x+1）2=50 B．50（x+1）2=72
C．50（x﹣1）2=72 D．72（x﹣1）2=50
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：根据这两个月的产值平均月增长率为x，则2月份的产值是50（1+x），3月份的产值是50（1+x）（1+x），从而列方程即可．
解答：解：根据题意，得
50（x+1）2=72．
故选B．
点评：此题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，此题中的等量关系是3月份的产值达到了72万元．
6.（湖北黄石，8,3分）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线．则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
考点：一元二次方程的应用。
专题：规律型。
分析：这是个规律性题目，关键是找到不在同一直线上的n个点，可以确定多少条直线这个规律，当有n个点时，就有，从而可得出n的值．
解答：解：设有n个点时，
=21
n=7或n=﹣6（舍去）．
故选C．
点评：本题是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的n个点时，可确定多少条直线，代入21可求出解．

二、填空题
1. （•宁夏，13，3分）某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为　36（1﹣m%）2=25　．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：等量关系为：原价×（1﹣降低率）2=25，把相关数值代入即可．
解答：解：第一次降价后的价格为36×（1﹣m%），
第二次降价后的价格为36×（1﹣m%）×（1﹣m%）=36×（1﹣m%）2，
∴列的方程为36（1﹣m%）2=25．
故答案为：36（1﹣m%）2=25．
点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
2. （山西，15，3分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力． 2010年全省全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2012年全省全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为__________．
考点：一元二次方程
专题：一元二次方程
分析：设年平均增长率应为x，根据题意列方程，解得，检验即可．
解答：20%
点评：增长率的基本关系式：，其中a为原有量，b为现有量，n为增长的次数，x为增长率．
3. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20%．
考点：一元二次方程的应用．
专题：增长率问题．
分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×（1+x）2=2880
解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）
故答案为：20%．
点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．
4. （云南保山，13，3分）据调查，某市年的房价为4000元/m2，预计2013年将达到4840元/m2，求这两年的年平均增长率.设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A．4000(1+x)=4840 B．4000(1+x)2=4840
C．4000(1-x)=4840 D．4000(1-x)2=4840
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：根据下一年的房价等于上一年的房价乘以（1+x），可以列出2013年的房价，而预计2013年将达到4840元/m2，故可得到一个一元二次方程．
解答：解：设年平均增长率为x，
那么2012年的房价为：4000（1+x），
2013年的房价为：4000（1+x）2=4840．
故选B．
点评：本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程：解决实际问题时，要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
5.（•青海）某种药品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价后的百分率是　20%　．
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1﹣x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x﹣1）（x﹣1），即100（x﹣1）2元，从而列出方程，求出答案．
解答：解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1﹣x）2元．
根据题意，得100（1﹣x）2=64，
即（1﹣x）2=0.64，
解得x1=1.8，x2=0.2．
因为x=1.8不合题意，故舍去，
所以x=0.2．
即每次降价的百分率为0.2，即20%．
故答案为：20%．
点评：考查了一元二次方程的应用，此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．
6. （山东省潍坊， 16，3分）已知线段AB的长为．以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E．以AE为边在AB的上方作正方形AKNM．过E作EF⊥CD．垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等．则AE的长为________________．


【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】本题需先设出AE的长，从而得出BE的长，再根据题意列出方程，求出x的值即可得出AE的长．
【解答】解：设AE的长为x，则BE的长为a-x
根据题意得：x2=（a-x）•a
解得：x=
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件和图形列出方程是本题的关键．
7. （•山西15，3分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的丰要动力．2010年全省全年旅游总收入大约l000亿元，如果到2012年全省每年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为　　．
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：根据题意设年平均增长率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
解答：解：设年平均增长率为x，
则1000（1+x）2=1440，
解得x1=0.2或x2=﹣2.2（舍去），
故年平均增长率为20%；
故答案为20%．
点评：本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．
8. （四川省宜宾市，15，3分）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到年提高到345.6元，则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是 .
考点：一元二次方程的应用．
分析：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，根据最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到年提高到345.6元，可列出方程求解．
答案：解：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，
240（1+x）2=345.6，
1+x=±1.2，
x=20%或x=-220%（舍去）．
故答案为：20%．
点评：本题考查的是增长率问题，关键清楚增长前为240元，两年变化后为345.6元，从而求出解．
9. （•江苏宿迁，16，3）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是　 　m（可利用的围墙长度超过6m）．

考点：一元二次方程的应用。
专题：应用题；方程思想。
分析：设垂直墙的篱笆的长为x，那么平行墙的篱笆长为（6﹣2x），（6﹣2x）和x就是鸡场的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．
解答：解：设AB长为x米，则BC长为（6﹣2x）米．
依题意，得x（6﹣2x）=4．
整理，得x2﹣3x+2=0．
解方程，得x1=1，x2=2．（3分）
所以当x=1时，6﹣2x=4；
当x=2时，6﹣2x=2（不符合题意，舍去）．
答：AB的长为1米．
故答案为：1．
点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题是用6米的篱笆围成三个边．
10. 某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元．若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为 350×（1-x）2=299．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：设家用电器平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1-x），第二次后的价格是100（1-x）2，据此即可列方程求解．
解答：解：设降价的百分率为x，根据题意列方程得
350×（1-x）2=299．
故答案为：350×（1-x）2=299．
点评：考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
11. （天水，14，4）如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是　 　．

考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
分析：设宽为xm，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．
解答：解：设宽为xm，
（32﹣2x）（20﹣x）=570．
故答案为：（32﹣2x）（20﹣x）=570．
点评：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据图可知道剩下的耕地为矩形，且能表示出长和宽，根据面积可列方程．

三、解答题
1. （江苏镇江常州，26，7分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：
t
1
2
3
y2
21
44
69
（1）求a．b的值；
（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？
（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？
（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）
考点：一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
专题：销售问题．
分析：（1）根据表中的数据代入后，y2=at2+bt，得到关于a，b的二元一次方程，从而可求出解．
（2）设干果用n天卖完，根据两个关系式和干果共有1140千克可列方程求解．然后用售价﹣进价，得到利润．
（3）设第m天乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，从而可列出不等式求解．
解答：解：（1）根据表中的数据可得
．
（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货．
﹣n2+4n+n2+20n=1140
n=19，
当n=19时，y1=399，y2=741，
毛利润=399×8+741×6﹣1140×6=798（元）．
（3）设第m天甲级干果的销售量为﹣2m+19．
（2m+19）﹣（﹣2m+41）≥6
n≥7
第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是根据表格代入数列出二元一次方程方程组求出a和b，确定函数式，然后根据等量关系和不等量关系分别列方程和不等式求解．
2. （山东日照，20，8分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解；
（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．
解答：解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，（1分）
根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，
整理，得：x2+3x﹣1.75=0，（3分）
解之，得：x=，
∴x1=0.5，x2=﹣3.5（舍去），（5分）
答：每年市政府投资的增长率为50%；（6分）
（2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷=38（万平方米）．（8分）
点评：主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．
3. （四川广安，27，9分）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
考点：一元二次方程的应用，增长（降低）率问题，方案选择问题．
专题：一元二次方程 、最优化方案问题．
分析：（1）设平价每次下调的百分率为，则第一次下调后的价格为元，第二次下调是在元的基础上进行的，下调后的价格为元，即，由此可列出一元二次方程求解．
（2）根据题意分别计算两种优惠方案可以优惠的钱数，通过比较大小即可作出判断．
解答：（1）设平均每次下调的百分率x，则6000（1－x）2＝4860．
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）．
∴平均每次下调的百分率10%．
（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）＝9720元
方案②可优惠：100×80＝8000元．
∴方案①更优惠．
点评：对于平均增长（降低）率问题，应用公式可直接列方程，为增长率（降低）前的基础数量，为增长率（降低率），为增长（降低）的次数，为增长（降低）后的数量． 要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
4. （新疆建设兵团，23，10分）某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P（个）与每个书包销售价x（元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？
考点：一元二次方程的应用；待定系数法求一次函数解析式．
分析：根据题意找出涨价和销售量的关系，然后根据利润200元列方程求解，设此时书包的单价是x元．
解答：解：（30﹣26）÷（37﹣35）＝2，每涨价1元，少卖2个．
设此时书包的单价是x元．
（x﹣30）[30﹣2（x﹣35）]＝200，
x＝40．
故此时书包的单价是40元．
点评：本题考查理解题意的能力，关键看出涨价和销售量的关系，然后根据利润列方程求解．
5. （•贵港）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用。
分析：（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆可列方程求解．
（2）设从年初起每年新增汽车数量为y万辆，根据要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，可列出不等式求解．
解答：解：（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，…（2分）
根据题意，75（1+x）2=108…（3分）
1+x=±1.2
∴x1=0.2=20% x2=﹣2.2（不合题意，舍去） …（4分）
答：2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%．…（5分）
（2）设从年初起每年新增汽车数量为y万辆，由题意得：…（6分）
（108×0.9+y）×0.9+y≤125.48…（8分）
解得y≤20…（9分）
答：从年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆…（10分）
点评：本题第一问考查的是一个增长率问题，知道2008年的辆数，知道2010年的辆数，发生了两年变化，可列方程求解．第二问以汽车总量做为不等量关系，根据增加的和报废的，可求出结果．
6.（•西宁）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．
请问哪种方案更优惠？
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：（1）关系式为：原价×（1﹣降低率）2=现在的价格，把相关数值代入后求得合适的解即可；
（2）①费用为：总房价×；
②费用为：总房价﹣2×12×1.5×平米数，把相关数值代入后求出解，比较即可．
解答：解：（1）设平均每次下调的百分率为x．
5000×（1﹣x）2=4050．
（1﹣x）2=0.81，
∵1﹣x=0.9，
∴x=0.1=10%，
答：平均每次下调的百分率为10%；
（2）方案一的总费用为：100×4050×=396900元；
方案二的总费用为：100×4050﹣2×12×1.5×100=401400元；
∴方案一优惠．
点评：主要考查了一元二次方程的应用；掌握增长率的变化公式是解决本题的关键．
7. （年山东省东营市，22，10分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆．
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，从年初起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数多不能超过多少万辆．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
分析：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列出方程，不合题意的解，舍去即可；
（2）设全市每年新增汽车数量为y万两，则得出年底和2012年底全市的汽车拥有量，从而列出不等式求解即可．
解答：解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意得，15（1+x）2=21.6
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%；
（2）设全市每年新增汽车数量为y万两，则年底全市的汽车拥有量为21.6×90%+y万两，2012年底全市的汽车拥有量为（21.6×90%+y）×90%+y万两．
根据题意得：（21.6×90%+y）×90%+y≤23.196，
解得y≤3，
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过3万两．
点评：本题考查了一元二次方程和不等式的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
8. （山东淄博23，分）已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
考点：一元二次方程的应用；平行四边形的性质；菱形的性质。
专题：应用题。
分析：（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；
（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴△=0，
m2﹣4（﹣）=0，
（m﹣1）2=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，
解得x1=x2=0.5，
∴菱形的边长是0.5cm；
（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，
把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，
∴▱ABCD的周长=2×（2+0.5）=5cm．
点评：综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题的关键．
9.（四川广安，27，9分）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
考点：一元二次方程的应用，增长（降低）率问题，方案选择问题．
专题：一元二次方程 、最优化方案问题．
分析：（1）设平价每次下调的百分率为，则第一次下调后的价格为元，第二次下调是在元的基础上进行的，下调后的价格为元，即，由此可列出一元二次方程求解．
（2）根据题意分别计算两种优惠方案可以优惠的钱数，通过比较大小即可作出判断．
解答：（1）设平均每次下调的百分率x，则6000（1－x）2＝4860．
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）．
∴平均每次下调的百分率10%．
（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）＝9720元
方案②可优惠：100×80＝8000元．
∴方案①更优惠．
点评：对于平均增长（降低）率问题，应用公式可直接列方程，为增长率（降低）前的基础数量，为增长率（降低率），为增长（降低）的次数，为增长（降低）后的数量． 要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
10. （年广西桂林，23，8分）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.
（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；
（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？
考点：一元二次方程的应用．
分析：（1）等量关系为：2008年市政府对市区绿化工程投入×（1+增长率）2=2010年市政府对市区绿化工程投入，把相关数值代入求解即可；
（2）2012年该市政府对市区绿化工程投入=2010年市政府对市区绿化工程投入×（1+增长率）2．
答案：23．（本题满分8分）
解：（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为，
根据题意得，
得 ，（舍去）
答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10﹪.
（2）2012年需投入资金：（万元）
答：2012年需投入资金2928.2万元.

点评：考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
11.（湖北黄石，20,8分）解方程：．
考点：高次方程；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方。
专题：计算题。
分析：根据绝对值的性质以及数的偶次方的性质得出x2﹣y2﹣4=0，，进而得出关于x的一元二次方程，求出x，即可得出y的值．
解答：解：∵，
∴x2﹣y2﹣4=0，，
∴由，得，代入x2﹣y2﹣4=0得：

整理得：，
解得：，，
当时y1=1，当时y2=4．
点评：此题主要考查了高次方程的解法以及绝对值的性质以及数的偶次方性质，根据题意得出关于x的一元二次方程是解决问题的关键．
12. （•恩施,23，）知识背景：恩施来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具特殊价值的绿色食品．在当地市场出售时，基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图）
（1）实际运用：如果要求纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米．
①按方案1（如图）做一个纸箱，需要矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是多少平方米？
②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．
（2）拓展思维：北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”，但他感觉（1）中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证．

考点：正方形的性质；一元二次方程的应用；一次函数的图象；二次函数的图象；菱形的性质。
分析：（1）①利用宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6，假设底面长为x，宽就为0.6x，再利用图形得出QM=+0.5+1+0.5+=3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，进而求出即可；
②根据菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积即可得出答案；
（2）根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方得出即可．
解答：解：（1）①∵纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米，
∴假设底面长为x，宽就为0.6x，
∴体积为：0.6x•x•0.5=0.3，
解得：x=1，
∴AD=1，CD=0.6，
DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，
WQ=MK=AD=，
∴QM=+0.5+1+0.5+=3，
FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，
∴矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是3×2.2=6.6平方米；
②从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，
∵如图可知△MAE，△NBG，△HCF，△FDQ面积相等，且和为2个矩形FDQD1，
又∵菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积；
∴从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，
（2）∵将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半时，
∴边长为：0.5，0.3，底面积将变为：0.3×0.5=0.15，将变为原来的，高再变为原来的一半时，体积将变为原来的，
∴水果商的要求不能办到．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及正方形性质与菱形性质等知识，根据题意得出DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，WQ=MK=AD=是解决问题的关键．
13. (襄阳，22，6分)汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增如．据统计，2008年我市某种品牌汽 车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车的年产量为多少万辆？
考点：一元二次方程的应用。
专题：应用题。
分析：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意列出方程，求解把不符合题意的解舍去即可．
解答：解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意得6.4(1＋x)2＝10，
解之，得x1＝0.25，x2＝－0.25，
∵x2＝－2.25＜0，故舍去，
∴x＝0.25＝25%，
10×(1＋25%)＝12.5，
答：年的年产量为12.5万辆．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
14. （•宜昌，22，7分）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长．
（1）尹进年的月工资为多少？
（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？
考点：一元二次方程的应用；解三元一次方程组。
专题：应用题。
分析：（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，得到2000（1+x）2=2420，求出x，然后计算2420（1+x）得到尹进年的月工资．
（2）可设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．根据等量关系：用242元购买了甲、乙两种工具书各一本；实际付款比年6月份的月工资少了242元；年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书．列出方程组求解即可．
解答：解：（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，依题意列方程：
2000（1+x）2=2420，
解得：x1=10%，x2=﹣210%．
∵增产率不能是负数，
∴﹣210%要舍去．
尹进年的月工资为：2420（1+10%）=2662元．
故尹进年的月工资为2662元；
（2）设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．则由题意，可列方程：

由②+③，整理得，（m+n）（y+z）=2×2662﹣242，
把①代入得，242（y+z）=2×2662﹣242，
∴y+z=22﹣1=21．（9分）
21+2=23本．
答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本．
点评：本题考查的是一元二次方程的应用，先列方程求出2008至2010年的增长率，然后利用这个增长率进行计算求出年的利用收入．同时考查了解三元一次方程组，注意找准等量关系，及整体思想的应用．
15. （湖北十堰，20，6分）请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=.
把x=代入已知方程，得（）2+－1=0.
化简，得y2+2y-4=0.
故所求方程为y2+2y-4=0。
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；
（1）已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数。
考点：一元二次方程的应用。
专题：计算题。
分析：根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
解答：解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x所以x=﹣y．
把x=﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2=0，
故所求方程为y2﹣y﹣2=0；
（2）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=（y≠0）
把x=代入方程ax2+bx+c=0，得a（）2+b•+c=0
去分母，得a+by+cy2=0．
若c=0，有ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不符合题意，
∴c≠0，
故所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）．

点评：本题是一道材料题，考查了一元二次方程的应用，以及解法，是一种新型问题，要熟练掌握．
16. （安徽省芜湖市，20,8分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x2+17）cm，正六边形的边长为（x2+2x）cm （其中x＞0）．求这两段铁丝的总长．

考点：一元二次方程的应用。
专题：应用题；方程思想。
分析：直接根据围成的一个正五边形和一个正六边形的周长相等列出方程求解．
解答：解：∵用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，
∴5（x2+17）=6（x2+2x）
整理得x2+12x﹣85=0，
（x+6）2=121，
解得x1=5，x2=﹣17（不合题意，舍去）．
5×（52+17）×2=420cm．
答：这两段铁丝的总长为420cm．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，实质上是正五边形和正六边形的周长相等．
17. （福建省漳州市，24,10分）2008年漳州市出口贸易总值为22.52亿美元，至2010年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来漳州市出口贸易的高速增长．
（1）求这两年漳州市出口贸易的年平均增长率；
（2）按这样的速度增长，请你预测年漳州市的出口贸易总值．
（温馨提示：2252=4×563，5067=9×563）
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：（1）设年平均增长率为x，则2009年出口贸易总值达到22.52（1+x）亿美元；
2010年出口贸易总值达到22.52（1+x）（1+x）=22.52（1+x）2亿美元，得方程求解；
（2）年出口贸易总值=50.67（1+x）．
解答：解：（1）设年平均增长率为x，依题意得 …（1分）
22.52 （1+x）2=50.67，…（3分）
1+x=±1.5，
∴x1=0.5=50%，x1=﹣2.5（舍去）． …（5分）
答：这两年漳州市出口贸易的年平均增长率为50%； …（6分）
（2）50.67×（1+50%）=76.005（亿元）． …（9分）
答：预测年漳州市的出口贸易总值76.005亿元． …（10分）
点评：此题考查一元二次方程的应用．增长率的问题主要是搞清楚基数，再表示增长后的数据．
18.（巴彦淖尔，19，9分）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．
（1）求这种玩具的进价；
（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1%）．
考点：一元二次方程的应用。
专题：一元二次方程。
分析：（1）根据计划每个售价36元，能盈利80%，可求出进价．
（2）设平均每次降价的百分率为x，根据先后两次降价，售价降为25元可列方程求解．
解答： 解：（1）36÷（1+80%）=20元．
故这种玩具的进价为每个20元；
（2）设平均每次降价的百分率为x．
36（1﹣x%）2=25，
x≈16.7%．
故平均每次降价的百分率16.7%．
点评：本题考查理解题意的能力，根据售价和盈利情况求出进价，根据原来的售价和经过两次降价后现在的售价，可求出降价的百分率．





综合验收评估测试题
（时间：1 20分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.将方程3x(x+2)－4x+6=6x2+4化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数和一次系数分别为（ ）
A.－3，－6 B.3，6
C.3，－6 D.3，－2
2.方程2x(x－3)=5（x－3）的根是（ ）
A. B.3
C. D.
3.若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k＜－1 B.k＞－1，且k≠0
C. k＜1 D. k＜1，且k≠0
4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的a+b+c=0，则该方程必有一根为（ ）
A.0 B.1 C.－1 D.±1
5.下列方程没有实数根的是（ ）
A.4（x2+2）=3x B.5(x2－1)－x=0
C.x2－x=100 D.9x2－24x+16=0
6.若代数式x2+8x+m是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A.4 B.－4 C.16 D.－16
7.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2－16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A.24 B.24或 C.48 D.
8.为解决药价偏高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品价格连续两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A.y=2m(1－x) B. y=2m(1+x)
C. y=m(1－x)2 D. y=m(1+x)2
9.关于x的方程（m－3）xm2－8m+17+6x－1=0是一元二次方程的条件是（ ）
A.m=2 B.m=3
C.m=5 D.m=3或m=5
10.已知ac＜0，则方程ax2－bx+c=0的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根 D.只有一个实数根
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.方程x2－2x－3=0的根是 .
12.x2+6x+ =(x+3)2.
13.已知方程mx2－mx+2=0有两个相等的实数根，则m的值为 .
14.若x=1是一元二次方程x2+x+c+=0的一个解，则c2= .
15.当x= 时，分式的值为0.
16.要用一条长30 cm的铁丝围成一个斜边长为13 cm的直角三角形，则两直角边长分别为 .
17.已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 .（填一个即可）
18.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是－2，则另一个根是 .
三、解答题（第19~24小题各9分，第25小题12分，共66分）
19.请用两种不同的方法解方程（x+3）（x+1）=2x+6.
2.当m为何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？
21.已知关于x的一元二次方程x2+(m－2)x－m－1=0，试说明无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根.
22.已知a，b，c均为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的解.
23.在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行的高度h(m)与打出后的飞行时间t（s）之间的关系式是h=－t(t－7).
（1）经过多少秒球飞行的高度为10 m？
（2）经过多少秒球双落到地面上？
24.如图22-13所示，在长为10 cm，宽为8 cm的矩形的四周截四个全等的小正方形，使得留下的图形的面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长.
25.某商店从厂家以每件21元的价格构进一批商品，该商店可以自己定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350－10a）件，但特价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少价商品？每件商品的售价为多少元？















参考答案
1.D[提示：先化成一般形式为3x2－2x－2=0.]
2.C[提示：用因式分解法求解即可.]
3.B[提示：k≠0，(－2)2－4k（－1）＞0，k＞－1，且k≠0.]
4.B[提示：由已知可得a+b+c=0，而当x=1时，方程ax2+bx+c=0可化为a+b+c=0，所以该方程必有一根是1.]
5.A[提示：用根的判别式△=b2－4ac逐一判断.]
6.C[提示：m等于8的一半的平方为16.]
7.B[提示：由x2－16x+60=0可知x=6，或x=10，因为三角形两边长为6和8，所以三角形的第三边的边长x应满足三角形三边关系，即2＜x＜14，所以三角形的第三边长为6或10.当第三边长为10时，由勾股定理的逆定理可知62+82=102，即这是一个直角三角形，其面积为；当x=6时，这个三角形是一个等腰三角形，则其底边上的高为，此时这个三角形的面积是综上所述，这个三角形的面积为24或.]
8.C
9.C[提示：m2－8m+17=2，且m－3≠0，∴m=5.]
10.B[提示：△=（－b）2－4ac=b2－4ac，∵ac＜0，∴△＞0.] 11.x1=3，x2=－1
12.9
13.8[提示：由题意可知△=（－m）2－4·m·2=0，且m≠0，所以m=8.]
14.4[提示：把x=1代入x2+x+c=0，得c=－2，∴c2=4.]
15.－3[提示：x2+2x－3=0，且x－1≠0.]
16.5 cm和12 cm[提示：设其中一条直角边长为x cm，则另一直角边长为（17－x）cm，由题意，得x2+（17－x）2=132，解得x1=5，x2=12.]
17.x2=4（答案不唯一）
18.x=1[提示：把x=－2代入x2+(k+3)x+k=0，得4－2（k+3）+k=0，∴k=－2，∴方程为x2+x－2=0，解得x1=－2，x2=1.]
19.解法1：（因式分解法）（x+3）(x+1)－（2x+6）=0，∴（x+3）(x+1－2)=0，∴x+3=0或x－1=0，∴x1=－3，x2=1.解法2：去括号得x2+4x+3=2x+6，x2+2x－3=0，x2+2x=3，∴x2+2x+1=4. ∴（x+1）2=4，∴x+1=±2.∴x1=－3，x2=1.
20.解：依题意得△=（－4）2－4 ，所以m=,故当m=时，此方程有两个相等的实数根，此时x1=x2=2.
21.解：△=（m－2）2－4×1×（－m－1）=m2－4m+4+4m+4=m2+8，∵无论m取什么值，m2≥0，∴m2+8＞0，∴△m2+8＞0，∴无论m取何实数，原方程总有两个不相等的实数根.
22.解：∵
∴∴a=3,b=－4,c=1.∴方程为3x2－4x+1=0，b2－4ac=(－4)2－4×3×1=4.∴∴x1=1，x2= .
23.解：（1）由题意可知10=－t(t－7)，∴t2－7t+10=0，∴t1=2,t2=5，∴经过2 s或5 s球飞行的高度为10 m.(2)当h=0时，－t(t－7)=0，∴t1=0,t2=7，∵t=0不符合题意，故舍去.∴t=7，即经过7 s球双落到地面上.
24.解：设截去小正方形的边长为x cm，由题意，得10×8－4x2=10×8×80%，解得x1=2,x2=－2（舍去）.答：所截去的小正方形的边长为2 cm.
25.提示：求出方程的解后，一定要检验所求得的解是否符合要求，不符合要求的要舍去.解：设每件商品的售价为x元，才能使商店赚400元，依题意，得（x－21）（350－10x）=400整理，得x2－56x+775=0，解得x1=25，x2=31.又因为21×（1+20%）=25.2，而x1＜25.2，x2＞25.2，所以x2=31（舍去）.当x=25时，（件）.
答：该商品需要卖出100件商品，每件商品售价为25元才能使商店赚400元.