第16章 二次根式（基础卷） ——2022-2023学年八年级下册数学单元卷（人教版）（原卷版+解析版）

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班级 姓名 学号 分数
第十六章 二次根式（A卷·知识通关练）
核心知识1二次根式的定义
1．（2021秋•古县期末）下列各式中，是二次根式的是（　　）
A．n2 B．-4 C．38 D．3-π
【分析】根据形如a（a≥0）的式子是二次根式，可得答案．
【解答】解：A、被开方数n2≥0，故A是二次根式；
B、D被开方数小于0，无意义，故B、D不是二次根式；
C、是三次根式，故C不是二次根式；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，注意二次根式的被开方数是非负数，根指数是2．
2．（2022秋•射洪市期中）下列式子是二次根式的有（　　）个
a；32；352；-3；x2-2xy+y2；-4×(-3)
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】直接根据二次根式的定义解答即可．
【解答】解：-4×(-3)=12，x2-2xy+y2=(x-y)2，
所以32和-4×(-3)，x2-2xy+y2是二次根式．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式是解题的关键．
3．（2022秋•诏安县期中）给出下列各式：①32；②6；③-12；④-m（m≤0）；⑤a2+1；⑥35．其中二次根式的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．
【解答】解：①∵3＞0，∴32是二次根式；
②6不是二次根式；
②∵﹣12＜0，∴-12不是二次根式；
④∵m≤0，∴﹣m≥0，∴-m是二次根式；
⑤∵a2+1＞0，∴a2+1是二次根式；
⑥35是三次根式，不是二次根式．
所以二次根式有3个．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的定义，解题时，要注意：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．

核心知识2二次根式有意义的条件
1．（2022•浉河区校级模拟）若代数式3x-1有意义，则实数x的取值范围是 　 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：3x﹣1≥0，
解得：x≥13，
故答案为：x≥13．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（2022秋•江北区期中）代数式xx-1有意义的条件是（　　）
A．x≠1 B．x≥0 C．x≥0 且 x≠1 D．0≤x≤1
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣1≠0，
即x≥0且x≠1．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知以上知识是解题的关键．
3．（2022秋•顺庆区月考）要使式子3x+9x-2有意义，x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x＞﹣3且x≠2 D．x≤﹣3且x≠2
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意得，3x+9≥0x-2≠0，
解得x≥﹣3且x≠2．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知以上知识是解题的关键．
4．（2022•阳信县模拟）代数式31-x有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：根据题意知，1﹣x＞0，解得x＜1，
x的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件等知识点，正确得出x的取值范围是解题关键．
5．（2021秋•惠民县期末）若式子(x-1)0x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
【分析】根据分式、二次根式有意义的条件以及零指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：x-1≠0x+1＞0，
解得：x＞﹣1且x≠1．
故答案为：x＞﹣1且x≠1．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
6．（2022春•灵宝市月考）若式子-a+1b有意义，则点P（a，b）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据二次根式有意义的条件求出a，b的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：由题意得，﹣a≥0，b＞0，
∴a＜0，
∴点P（a，b）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．
核心知识3二次根式的性质与化简
1．（2021秋•遂宁期末）下列等式正确的是（　　）
A．916=±34 B．-179=113 C．3-27=3 D．(-13)2=13
【分析】直接利用二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．916=34，故此选项不合题意；
B．-179，二次根式无意义，故此选项不合题意；
C．3-27=-3，故此选项不合题意；
D．(-13)2=13，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及立方根，正确化简各数是解题关键．
2． （2022秋•莲湖区校级月考）计算下列各式：
（1）279； （2）0.81-0.04； （3）412-402； （4）1-925．
【分析】（1）根据二次根式的性质，进行计算即可解答；
（2）根据二次根式的性质，进行计算即可解答；
（3）根据二次根式的性质，进行计算即可解答；
（4）根据二次根式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）279
=259
=53；
（2）0.81-0.04
＝0.9﹣0.2
＝0.7；
（3）412-402
=(41+40)×(41-40)
=81
＝9；
（4）1-925
=1625
=45．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．

3．（2022秋•偃师市月考）化简|a﹣3|+（1-a）2的结果为 　．
【分析】根据二次根式有意义的条件确定a的范围，根据绝对值的性质、二次根式的乘方法则计算即可．
【解答】解：由题意得：1﹣a≥0，
则a≤1，
∴a﹣3＜0，
∴原式＝3﹣a+1﹣a＝4﹣2a，
故答案为：4﹣2a．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式有意义的条件、绝对值的性质，根据二次根式有意义的条件确定a的范围是解题的关键．

4．（2022秋•崇川区校级月考）若2、5、n为三角形的三边长，则化简(3-n)2+(8-n)2的结果为（　　）
A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5
【分析】根据三角形的三边关系可求出n的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简即可求出答案．
【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7，
∴3﹣n＜0，8﹣n＞1，
原式＝|3﹣n|+|8﹣n|
＝﹣（3﹣n）+（8﹣n）
＝﹣3+n+8﹣n
＝5，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．

5．（2022秋•金水区校级期中）当a＝2022时，求a+a2-2a+1的值．如图是小亮和小芳的解答过程：

（1）　 　的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　；
（3）当a＞3时，求a2-6a+9-|1﹣a|的值．

【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可求出答案．
（2）根据二次根式的性质化简即可求出答案．
（3）根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案．
【解答】解：（1）故答案为：小亮．
（2）故答案为：a2=|a|．
（3）∵a＞3，
∴a﹣3＞0，1﹣a＜0，
∴原式=(a-3)2-|1﹣a|，
＝|a﹣3|﹣|1﹣a|
＝a﹣3+（1﹣a）
＝a﹣3+1﹣a
＝﹣2．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．
6．（2022秋•农安县期中）已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：a2-|a-b|+(c-a)2+|b+c|．


【分析】先根据数轴判断a，b，c的正负数，再根据绝对值的意义化简求解．
【解答】解：根据数轴可得：c＜b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，
∴a2-|a-b|+(c-a)2+|b+c|
＝a﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b+c）
＝a﹣a+b﹣c+a﹣b﹣c
＝a﹣2c．
【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，绝对值的化简是解题的关键．

7．（2022秋•唐河县月考）阅读下列解题过程：
例：若代数式(a-1)2+(a-3)2的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）．
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件．
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）．
综上所述，a的取值范围是1≤a≤3．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题．
（1）当2≤a≤5时，化简：(a-2)2+(a-5)2=　 　；
（2）若等式(3-a)2+(a-7)2=4成立，求a的取值范围．
【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案；
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案．
【解答】解：（1）∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3；
（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7；
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．

核心知识4 最简二次根式
1．（2022秋•静安区校级期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A．a2b4 B．12a C．a2+b2 D．20a
【分析】根据最简二次根式的意义，逐个进行判断即可．
【解答】解：A、a2b4=|ab2|，因此a2b4不是最简二次根式，不符合题意；
B、12a=2a2a，因此12a不是最简二次根式，不符合题意；
C、a2+b2是最简二次根式，符合题意；
D、20a=25a，因此20a不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确解答的关键．
2．（2022秋•虹口区校级月考）在0.2，12，5，a2，a2b中，最简二次根式有 　 　个．
【分析】根据二次根式的定义即可得出答案．
【解答】解：最简二次根式有5，共1个．
故答案为：1．
【点评】此题考查了最简二次根式，最简根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数的因式的指数必须小于根指数．

3．（2022春•莱西市期中）将4.5化为最简二次根式为 　 　．
【分析】把小数化成分数，根据ab=ab（a≥0，b＞0）化简，再分母有理化即可得出答案．
【解答】解：原式=92
=32
=322．
故答案为：322．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握ab=ab（a≥0，b＞0）是解题的关键．
4．（2022秋•临汾期中）516化为最简二次根式是 　 ．
【分析】根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：516=516=54，
故答案为：54．
【点评】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，熟记二次根式的性质是解题的关键．
5．（2022秋•晋江市校级期中）613化简为最简二次根式的结果是 　 　．
【分析】根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：613=36×13=12=23．
故答案为：23．
【点评】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，熟记二次根式的性质是解题的关键．
6．（2022秋•虹口区校级月考）将a2b34（a＞0，b＞0）化为最简二次根式：　 　．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，
∴a2b34=abb2．
故答案为：abb2．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质：a2=|a|是解题的关键．

核心知识5 二次根式的乘除
1．（2022春•新洲区校级月考）计算：18=　 　，(27)2=　 ，43=　 　．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：18=32，(27)2=28，43=43=233．
故答案为：32，28，233．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．
2．（2022秋•南关区校级月考）计算：22×124÷6=　 　．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2×14×2×12÷6
=12×2
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
3．（2022秋•闵行区校级期中）如果4x2-1=2x+1•2x-1成立，那么x的取值范围是 　 ．
【分析】直接利用二次根式的性质结合不等式组的解法，分析得出答案．
【解答】解：∵4x2-1=2x+1•2x-1成立，
∴2x+1≥02x-1≥0，
解得：x≥12．
故答案为：x≥12．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，正确得出不等式组是解题关键．
4．（2022秋•青浦区校级期中）计算：4335÷23125=　 　．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式=43×3235×512
＝214
＝2×12
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（2022秋•蒲江县校级期中）如果a＜0，b＜0，那么下列各式，①ab=ab；②ab×ba=1；③ab÷ab=-b，④(ab)2=-ab，正确的有 　 　．
【分析】根据二次根式的性质逐一进行化简即可．
【解答】解：∵a＜0，b＜0，
∴a，b没有意义，
故①选项不符合题意；
②ab×ba=1，
故②选项符合题意；
③ab÷ab
=ab×ba
=b2
＝﹣b，
故③选项符合题意；
④（ab）2＝ab，
故④选项不符合题意，
综上所述，符合题意的有②③，
故答案为：②③．
【点评】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
6．（2022春•朔州月考）把（1﹣a）-11-a根号外的因式移入根号内，化简后的结果是　 　．
【分析】根据二次根式的意义可知1﹣a＜0，只能根号外的正因式移入根号内，要注意符号的变化．
【解答】解：由根式可知，1﹣a＜0；
故原式=-(a-1)2⋅(-11-a)
=-a-1．
【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．本题需要注意的是a﹣1的符号．
7．（2022•迁安市二模）已知2×12=2×a3=ab，则a＝　 　；b＝　 ．
【分析】先化简二次根式，根据单项式乘单项式的法则计算即可．
【解答】解：2×12
=2×23
＝26，
∴a＝2，b＝6．
故答案为：2；6．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握a•b=ab（a≥0，b≥0）是解题的关键．
8．计算：
（1）214×37 （2）123÷56
（3）912÷5412×36 （4）ab3⋅(-32a3b)÷(13ba)．
【分析】（1）利用二次根式的运算法则：乘法法则a⋅b=ab，运算即可；
（2）利用二次根式的除法运算法则运算即可；
（3）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可；
（4）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数．
【解答】解：（1）214×37=672×2=422；
（2）123÷56=53÷56=53×65=2；
（3）912÷5412×36=912÷5412×36=112=36；
（4）ab3⋅(-32a3b)÷(13ba)=-92ab3⋅a3b⋅ab=-92a2|b|ab．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键．


核心知识6 同类二次根式
1．（2022秋•沙坪坝区校级月考）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（　　）
A．12 B．16 C．18 D．32
【分析】同类二次根式是指根指数相同，被开方数也相同，由此即可求解．
【解答】解：A、12=23，根指数是2，被开方数是3，与3是同类二次根式，符号题意；
B、16=4，是有理数，不符合题意；
C、18=32，根指数是2，被开方数是2，与3不是同类二次根式，不符号题意；
D、32=62，根指数是2，被开方数是6，与3不是同类二次根式，不符号题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查同类二次根式的判定，二次根式的化简，掌握二次根式的化简，同类二次根式概念的理解是解题的关键．
2．（2022秋•静安区校级期中）下列二次根式中，不能与2合并的是（　　）
A．12 B．2a2(a≠0) C．18 D．0.2
【分析】原式各项化简，找出与2不是同类项的即可．
【解答】解：A、12=22能与2合并，故本选项不符合题意；
B、2a2=|a|2能与2合并，故本选项不符合题意；
C、18=32能与2合并，故本选项不符合题意；
D、0.2=55不能与2合并，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
3．（2022秋•萧县期中）若最简二次根式a+2与2a-3是可以合并的二次根式，则a的值为（　　）
A．5 B．13 C．﹣2 D．32
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：a+2＝2a﹣3，
解得：a＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．

4．（2022秋•杨浦区期中）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的组是（　　）
A．ab与ab3 B．5a与20a3b2
C．4ab与8ab3 D．4ca3b与9abc
【分析】由同类二次根式的概念即可判断．
【解答】解：A、ab=abb，ab3=bab，故A不符合题意；
B、5a=5aa，20a3b2=2ab5a，故B不符合题意；
C、4ab=2ab，8ab3=2b2ab，故C符合题意；
D、4ca3b=2abca2b，9abc=3abcbc，，故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的概念，关键是掌握：判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
5．（2022秋•射洪市期中）若二次根式a+b4b与最简二次根式3a+b是同类二次根式，则a、b的值分别为（　　）
A．a＝0，b＝2 B．a＝1，b＝1 C．a＝0，b＝﹣2 D．a＝2，b＝0
【分析】根据同类二次根式的定义列出关于a，b的方程组，求出a，b的值即可．
【解答】解：∵a+b4b是二次根式，
∴a+b4b=2a+bb，
由题意得a+b=23a+b=b，
解得a=0b=2．
故选：A．
【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．



核心知识7 二次根式的加减
1．（2022秋•南岗区校级期中）计算613-27的结果是 　 　．
【分析】直接化简二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝6×33-33
＝23-33
=-3．
故答案为：-3．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
2．（2022秋•铁西区期中）计算：24+616=　 　．
【分析】直接化简二次根式，再合并同类二次根式得出答案．
【解答】解：原式＝26+6×66
＝26+6
＝36．
故答案为：36．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
3．（2022•阿城区模拟）计算：12-(27+13)=　 ．
【分析】先化为最简二次根式，去括号，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝23-33-33
=-433．
故答案为：-433．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握化为最简二次根式和合并同类二次根式的方法．
4．计算下列各式：
（1）5-6-20+23+95 （2）12-0.5-213-18+18
（3）27a-a3a+3a3+12a75a3 （4）23x9x+6xyx+yxy-x21x．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式=5-6-25+63+355
=-255-263；
（2）原式＝23-22-233-24+32
=433+924；
（3）原式＝33a-3a+3a+523a
=113a2；
（4）原式＝2xx+6xy+xy-xx
＝xx+7xy．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
5．计算下列各题：
（1）(32+12)-(12+27)； （2）（24-0.5+323）﹣（18-6）．
【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（2）直接化简二次根式进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式=42+23-22-33
=722-3；
（2）原式=26-22+6-24+6
=46-342．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．

核心知识8 二次根式的混合运算
1．（2022秋•桐柏县期中）下列计算正确的是（　　）
A．2+3=5 B．(23)2=6 C．(-2)2=-2 D．32÷2=4
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案
【解答】解：A．2+3无法合并，故此选项不合题意；
B．（23）2＝12，故此选项不合题意；
C．(-2)2=2，故此选项不合题意；
D．32÷2=4，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
2．（2021秋•洪洞县期末）计算：(13+2)(13-2)的结果是 　 ．
【分析】用平方差公式计算即可．
【解答】解：原式＝（13）2﹣（2）2
＝13﹣2
＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式．
3．（2021秋•武宣县期末）(32+2)÷8=　 　．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝（42+2）÷22
＝52÷22
=52．
故答案为：52．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
4．（2022秋•新华区校级期中）计算48+613-（3+2）（3-2）＝（　　）
A．23+1 B．23-1 C．63+1 D．63-1
【分析】先将二次根式化为最简二次根式，原式中的（3+2）（3-2）用平方差公式可简便计算，最后合并同类二次根式即可解答．
【解答】解：48+613-（3+2）（3-2）
=43+6×33-(3-4)
=43+23+1
=63+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
5．（2022秋•北碚区校级月考）计算：
（1）(48+20)-(12-5)； （2）20+5(2+5)；
（3）48÷3-215×30+(22+3)2； （4）(2-3)2017(2+3)2018-|-3|-(-2)0．
【分析】（1）先化简各个根式，再进行二次根式的加减运算即可；
（2）利用二次根式的性质以及二次根式的乘法和加法运算法则求解即可；
（3）利用二次根式的性质和二次根式的混合运算法则求解即可；
（4）利用积的乘方的逆运算、平方差公式、绝对值、零指数幂、有理数的乘方的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）(48+20)-(12-5)
=43+25-23+5
=23+35；
（2）20+5(2+5)
=25+25+5×5
=45+5；
（3）48÷3-215×30+(22+3)2
=48÷3-215×30+(22)2+2×22×3+(3)2
=16-26+8+46+3
=15+26；
（4）(2-3)2017(2+3)2018-|-3|-(-2)0
=[(2-3)(2+3)]2017(2+3)-3-1
=(4-3)2017(2+3)-3-1
＝1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，还涉及二次根式的性质、绝对值、零指数幂、积的乘方的逆运算、平方差公式等知识，熟练掌握相关计算的运算法则并正确计算是解答的关键．
6．（2022秋•北碚区校级月考）计算：
（1）(1-2)0+|2-5|+(-1)2022×13×45； （2）22×310+45+114-12-5；
（3）(3-1)2-43-1-3(3-33)； （4）(1-2)2-12-3-(48-24)+6．
【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、有理数的乘方运算法则、二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案；
（3）直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案；
（4）直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）(1-2)0+|2-5|+(-1)2022×13×45
＝1+5-2+1×13×35
＝1+5-2+5
＝25-1；
（2）22×310+45+114-12-5
＝125+35+52+2+5
=3352+2；
（3）(3-1)2-43-1-3(3-33)
＝3﹣23+1﹣2（3+1）﹣（3﹣1）
＝3﹣23+1﹣23-2﹣2
＝﹣43；
（4）(1-2)2-12-3-(48-24)+6
=2-1﹣（2+3）﹣（43-26）+6
=2-1﹣2-3-43+26+6
=2-1﹣53+36．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

核心知识9二次根式的化简求值
1．（2022秋•长泰县期中）先化简，再求值：(a-3)(a+3)-a(a-4)，其中：a=3+1．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：(a-3)(a+3)-a(a-4)
＝a2﹣3﹣a2+4a
＝4a﹣3，
当a=3+1时，原式＝4×（3+1）﹣3＝43+4﹣3＝43+1．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
2．（2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值x-yx+y+x-2xy+yx-y，其中x＝5，y=15．
【分析】利用二次根式的相应的法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：x-yx+y+x-2xy+yx-y
=(x+y)(x-y)x+y+(x-y)2x-y
=x-y+x-y
＝2x-2y，
当x＝5，y=15时，
原式＝25-215
＝25-255
=855．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（2022春•灵宝市月考）若a=5+1，b=5-1，求下列代数式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）a2﹣ab+b2．
【分析】（1）根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出ab，a+b，再根据平方差公式计算；
（2）根据完全平方公式计算．
【解答】解：∵a=5+1，b=5-1，
∴ab＝（5+1）（5-1）＝4，
a+b＝（5+1）+（5-1）＝25，
（1）a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝4×25
＝85；
（2）a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝（25）2﹣12
＝20﹣12
＝8．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
4．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2-3，b=12-3，求a2-2ab+b2的值．
【分析】直接利用二次根式的性质分母有理化，进而化简二次根式得出答案．
【解答】解：∵b=12-3=2+3(2-3)(2+3)=2+3，a＝2-3，
∴a﹣b＝2-3-（2+3）＝2-3-2-3=-23＜0，
∴a2-2ab+b2=(a-b)2=23．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
5．（2022秋•虹口区校级期中）已知a+b＝﹣4，ab＝1，求：aab+bba的值．
【分析】根据题意确定a、b的符号，根据二次根式的性质、完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣4，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
则原式＝﹣a•abb-b•aba
=-ab•（ab+ba）
=-ab•a2+b2ab
=-ab•(a+b)2-2abab
＝﹣1×(-4)2-21
＝﹣14．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键．
6．（2022秋•锦江区校级月考）已知x＝2-3，y＝2+3．
（1）求xy2﹣x2y的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．
【分析】（1）利用提公因式法，进行计算即可解答；
（2）先估算出2-3与2+3的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵x＝2-3，y＝2+3，
∴xy＝（2-3）（2+3）＝4﹣3＝1，
y﹣x＝2+3-（2-3）＝2+3-2+3=23，
∴xy2﹣x2y
＝xy（y﹣x）
＝1×23
＝23；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜3＜2，
∴3＜2+3＜4，
∴2+3的整数部分是3，
∴b＝3，
∵1＜3＜2，
∴﹣2＜-3＜-1，
∴0＜2-3＜1，
∴2-3的整数部分是0，小数部分＝2-3-0＝2-3，
∴a＝2-3，
∴ax+by
＝（2-3）（2-3）+3（2+3）
＝7﹣43+6+33
＝13-3，
∴ax+by的值为13-3．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，因式分解﹣提公因式法，准确熟练地进行计算是解题的关键．

核心知识10二次根式的实际应用
1．（2022春•临淄区期末）已知一个矩形面积是24，一边长是2，则另一边长是（　　）
A．12 B．23 C．6 D．32
【分析】根据矩形的面积求解即可．
【解答】解：24÷2=24÷2=12=23，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则，矩形的面积公式是解题的关键．

2．（2022秋•郸城县月考）若等腰三角形的两边长分别为12和50，则这个三角形的周长为（　　）
A．23+102 B．43+52
C．43+102 D．43+52或23+102
【分析】分腰长为12和50两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求得其周长．
【解答】解：当腰长为12时，则三角形的三边长分别为12，12，50，不满足三角形的三边关系；
当腰长为50时，则三角形的三边长分别为12，50，50，满足三角形的三边关系，此时周长为23+102．
综上可知，三角形的周长为23+102．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的应用和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三边关系进行验证．
3．（2022春•孝义市期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（　　）

A．610cm2 B．21cm2 C．215cm2 D．46cm2
【分析】根据小正方形的面积得到边长即可得到大正方形的边长，根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣两个小正方形的面积即可得出答案．
【解答】解：∵两个小正方形的面积为15和6，
∴两个小正方形的边长为15，6，
∵大正方形的边长为：15+6，
∴阴影部分的面积＝（15+6）2﹣6﹣15
＝15+2×15×6+6﹣6﹣15
＝610（cm2），
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的应用，根据小正方形的面积得到边长，进而得到大正方形的边长是解题的关键．
4．（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为2cm．
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积．

【分析】（1）结合题意可知该长方体盒子的长、宽都为52-22=32cm，高为2cm，而长方体的容积为长×宽×高，即可得答案；
（2）该长方体盒子的侧面为长方形，长为32cm，宽为2cm，共4个面，即可得答案．
【解答】解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：(52-22)2×2=182（cm3），
答：长方体盒子的容积为182cm3；
（2）长方体盒子的侧面积为：(52-22)×2×4=24（cm2），
答：这个长方体盒子的侧面积为24cm2．
【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形，结合二次根式的乘法法则求解．


5．（2022秋•南岸区校级期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为162m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（13+1）m，宽为（13-1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

【分析】（1）长方形ABCD的周长是2（162+128）（m）；
（2）先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖列式计算即可．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2（162+128）＝2（92+82）＝342（m），
答：长方形ABCD的周长是342（m）；
（2）购买地砖需要花费＝50×[92×82-（13+1）（13-1）]
＝50×（144﹣12）
＝50×132
＝6600（元）；
答：购买地砖需要花费6600元．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．

核心知识11 新定义运算问题
1．（2022春•交城县期中）用“•”表示一种新运算：对于任意正实数a•b=a2+b，例如10•21=102+21=11，那么13⋅(7⋅2)的运算结果为（　　）
A．13 B．7 C．4 D．5
【分析】直接利用新定义，进而代入计算得出答案．
【解答】解：原式=13•(7)2+2
=(13)2+3
=16
＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确运用新定义是解题关键．
2．（2022秋•海曙区校级期中）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{30，a}＝a，min{30，b}=30，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据a，b的范围，然后再代入求出2a﹣b的值即可．
【解答】解：∵min{30，a}＝a，min{30，b}=30．
∴a＜30，b＞30．
∵a，b是两个连续的正整数．
∴a＝5，b＝6．
∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键．
3．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[23]＝0，[3.14]＝3，[3]＝1，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：
（1）[8（5-2）]＝　 　，8（5-2）的小数部分为 　 ；
（2）已知a，b分别是5-5的整数部分和小数部分，求4ab﹣b2的值．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算化简，再估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分；
（2）估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分，代入求值即可．
【解答】解：（1）8（5-2）
=8×5-8×2
=40-4，
∵36＜40＜49，
∴6＜40＜7，
∴2＜40-4＜3，
∴原式的整数部分是2，小数部分为40-4﹣2＝210-6，
故答案为：2，210-6；
（2）∵4＜5＜9，
∴2＜5＜3，
∴﹣3＜-5＜-2，
∴2＜5-5＜3，
∴a＝2，b＝5-5-2＝3-5，
∴4ab﹣b2
＝4×2×（3-5）﹣（3-5）2
＝8（3-5）﹣（9﹣65+5）
＝24﹣85-9+65-5
＝10﹣25．
【点评】本题考查了无理数的估算，代数式求值，二次根式的混合运算，无理数估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
4．（2021春•江都区期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．
（1）求（﹣2）※3；
（2）若3※m＜﹣6，化简(2-m)2+(-m-2)2．
【分析】（1）根据新运算得出（﹣2）※3=（﹣2）2×3-（﹣2）×3-3×3，再求出答案即可；
（2）先求出3※m＝3m，求出3m＜﹣6，求出m＜﹣2，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【解答】解：（1）（﹣2）※3
＝（﹣2）2×3-（﹣2）×3-3×3
＝43+23-33
=33；
（2）3※m＝32×m﹣3m﹣3m＝3m，
∵3※m＜﹣6，
∴3m＜﹣6，
∴m＜﹣2，
∴(2-m)2+(-m-2)2
＝2﹣m﹣m﹣2
＝﹣2m．
【点评】本题考查了二次根式的性质和运算法则，解一元一次不等式，实数的混合运算等知识点，能正确根据二次根式的性质和运算法则进行计算是解此题的关键．

5．（2022春•铜梁区校级期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：3+22=（1+2）2．善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若a+b2=（m+n2）2，则有a+b2=m2+2n2+2mn2．
a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若a+b5=（m+n5）2，用含m、n的式子分别表示a、b，
则：a＝　 　，b＝　 ；
（2）若a+67=（m+n7）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）直接写出式子49+206化简的结果．
【分析】（1）将式子a+b5=（m+n5）2展开，然后根据对应关系，即可含m、n的式子分别表示a、b；
（2）根据a+67=（m+n7）2，且a、m、n均为正整数，可以求得m、n的值；
（3）将式子49+206化为完全平方公式，即可解答本题．
【解答】解：（1）∵a+b5=（m+n5）2，
∴a+b5=m2+5n2+2mn5，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为：m2+5n2，2mn；
（2）∵a+67=（m+n7）2，
∴a+67=m2+7n2+2mn7，
∴a=m2+7n26=2mn，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1n=3或m=3n=1，
∴当m＝1，n＝3时，a＝12+7×32＝64，
当m＝3，n＝1时，a＝32+7×12＝16，
由上可得a的值为64或16；
（3）49+206
=25+2600+24
=(25+24)2
=25+24
＝5+26．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式解答．

核心知识12探究规律性问题
1．观察下列各式子，并回答下面的问题：
第一个：12-1 第二个：22-2 第三个：32-3 第四个：42-4
…
（1）试写出第n个式子（用含n的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？
（2）你估计第16个式子的值应在哪两个连续整数之间？试说明理由．
【分析】（1）根据形如a（a≥0）是二次根式，可得答案；
（2）利用二次根式的性质化简得出225＜240＜16×16进而得出答案．
【解答】解：（1）∵第一个：12-1 第二个：22-2 第三个：32-3 第四个：42-4
…
∴第n个式子（用含n的表达式表示）为：n2-n，
∵n≥1，
∴n2﹣n＝n（n﹣1）≥0，
∴这个式子一定是二次根式；
（2）第16个式子的值为：162-16=16(16-1)=16×15=240，
∵225＜240＜16×16，
∴15＜240＜16，
∴第16个式子的值应在15，16之间．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．

2．观察下列等式：
①＝1×3；②；③5×7；
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第④个等式：＝　　 ×　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．
【分析】根据规律化简即可．
【解答】解：（1）∵①52-42＝（5-4）×（5+4）＝1×3；
②172-82＝（17-8）×（17+8）＝3×5；
③372-122＝（37-12）×（37+12）＝5×7；
…
∴652-162＝（65-16）×（65+16）＝7×9；
故答案为：7，9；
（2）由（1）知，第n个等式（4n2+1）2-16n2＝（2n﹣1）（2n+1），证明如下：
（4n2+1）2-16n2=（4n2-4n+1）（4n2+4n+1） =(2n-1)2(2n+1)2=(2n-1)(2n+1)．3．（2021秋•平阴县期末）阅读下面问题：
12+1=1×(2-1)(2+1)(2-1)=2-1；
13+2=1×(3-2)(3+2)(3-2)=3-2；
14+3=1×(4-3)(4+3)(4-3)=4-3．
试求：（1）求17+6=　 　；
（2）当n为正整数时1n+1+n= 　 ；
（3）11+2+12+3+13+4+⋯+198+99+199+100的值．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
（2）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
（3）先将所求式子变形，然后计算即可．
【解答】解：（1）17+6=7-6(7+6)(7-6)=7-6，
故答案为：7-6；
（2）1n+1+n=n+1-n(n+1+n)(n+1-n)=n+1-n，
故答案为：n+1-n；
（3）11+2+12+3+13+4+....+198+99+199+100
=2-1+3-2+4-3+⋯+99-98+100-99
=100-1
＝10﹣1
＝9．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
4．（2022秋•福田区期中）观察下列二次根式的化简
S1=1+112+122=1+11-12，
S2=1+112+122+1+122+132=（1+11-12）+（1+12-13），
S3=1+112+122+1+122+132+1+132+142=（1+11-12）+（1+12-13）+（1+13-14），则S20222022=（　　）
A．20222021 B．20242023 C．12022 D．12024
【分析】根据题意可归纳出Sn的表达式，从而求出S2017的值．
【解答】解：由题意可知：S1＝1+11-12=2-12，
S2＝（1+11-12）+（1+12-13）＝1+1+11-13=3-13，
S3＝（1+11-12）+（1+12-13）+（1+13-14）＝1+1+1+11-14=4-14，
由此可知：Sn＝（n+1）-1n+1=n(n+2)n+1，
∴Snn=n+2n+1=，
∴S20222022=20242023．
故选：B．
【点评】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据题意求出Sn的表达式，本题属于中等题型．
5．（2022春•东莞市期中）小芳在解决问题：已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
a=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3，∴a＝2-3，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99．
（2）若a=12-1．
①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；
②求a3﹣3a2+a+1的值．
【分析】（1）根据平方差公式可以求出所求式子的值；
（2）①根据平方差公式可以化简a，然后即将a变形，即可得到a2﹣2a的值，再整体代入化简后的式子计算即可；
②根据①中a2﹣2a的值，将所求式子变形，再整体代入计算即可．
【解答】解：（1）12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99
=2-1+3-2+4-3+⋯+100-99
＝﹣1+100
＝﹣1+10
＝9；
（2）①a=12-1=2+1(2-1)(2+1)=2+12-1=2+1，
∴a=2+1，
∴（a﹣1）2＝（2）2＝2，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴4a2﹣8a﹣1
＝4（a2﹣2a）﹣1
＝4×1﹣1
＝4﹣1
＝3；
②由①知a2﹣2a＝1，
∴a3﹣3a2+a+1
＝a（a2﹣2a）﹣（a2﹣2a）﹣a+1
＝a×1﹣1﹣a+1
＝a﹣1﹣a+1
＝0．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式和平方差公式解答．