第18章 平行四边形（基础卷）——2022-2023学年八年级下册数学单元卷（人教版）（原卷版+解析版）

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第十八章 平行四边形（A卷·知识通关练）
核心知识1平行四边形的性质
1．（2022秋•招远市期末）如图，▱ABCD的周长为30cm，△ABC的周长为27cm，则对角线AC的长为（　　）

A．27cm B．17cm C．12cm D．10cm
2．（2022秋•泰山区校级期末）如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，则：
①OE＝OF；
②图中共有4对全等三角形；
③若AB＝4，AC＝6，则2＜BD＜14；
④S四边形ABFE＝S△ABC；
其中正确的结论有（　　）

A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
3.（2022秋•张店区校级期末）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，
且CG＝3BG，S▱BEPG＝1.5，则S▱AEPH＝　 ．

4．（2022秋•任城区期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则平行四边形ABCD的周长为 ．


5．（2022秋•南关区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AD＝AE，∠DFC＝140°，求∠DAE的度数．





6．（2022•南京模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠AOE＝70°，∠EAD＝3∠EAO，求∠BCA的度数．




核心知识2平行四边形的判定
1．（2022秋•莱州市期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）

A．OA＝OC，AC＝BD
B．OB＝OA，OD＝OC
C．AB∥CD，AD＝BC
D．∠ABC+∠BAD＝180°，∠BCD＝∠BAD
2．（2022春•江津区校级期中）已知四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．2：2：3：4 D．2：3：2：3
3．（2022春•漳州期末）在四边形ABCD中，现给出下列结论：
①若AB＝CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形；
②若∠A＝∠C，∠B＝∠D，则四边形ABCD是平行四边形；
③若AB∥CD，∠A＝∠C，则四边形ABCD是平行四边形；
④若AB＝CD，∠A＝∠C，则四边形ABCD是平行四边形．
其中正确的结论是 　 　．（写出所有正确结论的序号）
4．（2022春•西双版纳期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是 　 　．
5．（2022•雁塔区校级开学）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．求证：四边形AECD是平行四边形．



6．（2022春•南海区校级月考）如图，以△ABC的三边分别作等边△DAC，△ABE，△BCF．求证：四边形ADFE是平行四边形．



核心知识3平行四边形的性质与判定的综合运用
1．（2022春•沂水县期中）下面是八年级（1）班某学习小组讨论的问题：
如图所示，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，添加一些条件，使四边形AECF是平行四边形，并加以证明．
条件分别是：
①BE＝DF；
②∠B＝∠D；
③∠BAE＝∠DCF；
④四边形ABCD是平行四边形．
其中所添加的条件符合题目要求的是（　　）

A．④ B．①② C．①④ D．①②③
2．（2022春•南海区校级月考）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AFB＝∠CED中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．（2022春•满洲里市校级期末）四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，若CD＝3cm，△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则四边形ABCD的周长＝　 　cm．
4．（2022春•本溪期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接AE交CD于点G，连接OG．下列结论：①OG=12AD；②AE平分∠CAD；③以点A，C，E，D为顶点构成的四边形是平行四边形；④S▱ABCD＝6S△OCG.其中正确的是 　 　（填写所有正确结论的序号）．




5．（2022秋•绥中县校级期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
（1）求证：AF⊥DE，BF＝CE．
（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的长度．



6．（2022秋•泰山区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．




核心知识4矩形的性质
1．（2022秋•南关区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE的度数为（　　）

A．62° B．56° C．28° D．30°
2．（2022秋•成华区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF=14AC，连接EF．若AC＝10，则EF的长为（　　）

A．52 B．3 C．4 D．5
3．（2022秋•锦江区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD于点E，若∠ACB＝20°，则∠AOE的大小为 　 　．

4．（2022•南京模拟）如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE的度数为　 　．


5．（2022秋•黄浦区校级期末）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2．对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点E、F．求线段CF的长．




6．（2022秋•烟台期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC交BC于F，垂足为E，求∠BDF的度数．








核心知识5矩形的判定
1．（2022秋•深圳期末）要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（　　）
A．测量四边形画框的两个角是否为90°
B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D．测量四边形画框的四边是否相等
2．（2022秋•天府新区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC
3．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．

4．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个
条件 ，使四边形DBCE是矩形．

5．（2022秋•西安期末）如图，▱ABCD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是矩形．






6．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接DF、CF．
（1）求证：四边形ABDF为平行四边形；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．




核心知识6矩形的性质与判定的综合运用
1．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝1，CD＝10，过D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2022春•江夏区校级月考）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（　　）

A．3 B．3.6 C．3.75 D．4

3．（2022秋•榆阳区校级期末）如图，BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F，EF分别交边AB，AC于点M和N．若AB＝7，BC＝4，则MF+NE的长为 　 　．

4．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接BF，若AB＝6，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，则平行四边形ABCD的面积为 　 　．

5．（2022秋•丰城市校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC．
（1）求证：四边形CEDF是矩形；
（2）连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值．







6．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AD＝13，OG＝6，∠ABD＝45°，则AB＝　 　．






核心知识7菱形的性质
1．（2022秋•新城区校级期末）如图：在菱形ABCD中，AB＝3，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，点G为DF的中点．若∠BAG＝90°，则AG的长为（　　）

A．33 B．1 C．32 D．3
2．（2023•东莞市模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为（　　）

A．5 B．25 C．33 D．6

3．（2022秋•南岸区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长为 　 　．

4．（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝23，则GH的最小值为 　 　．


5．（2022•西湖区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F．
（1）求证：BE＝BF．
（2）当DE＝8，CF＝4时，求菱形ABCD的面积．

6．（2022秋•东港市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AB于点E，交AC于点P，BF⊥DC于点F．
（1）四边形DEBF是 　 ；
（2）若BE＝2，BF＝4，求DP的长．

核心知识8菱形的判定
1．（2022秋•南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）

A．AB＝AD B．AC＝BD C．∠ABC＝90° D．AO＝BO
2．（2022秋•岳麓区校级月考）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请问下列条件中不能使▱ABCD为菱形的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．DE＝DF C．∠3＝∠4 D．AD＝CD
3．（2021秋•莱西市期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　）

A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC
C．∠A＝90° D．点D为BC的中点
4．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　 　，平行四边形CDEB为菱形．

5．（2022•长治二模）如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB∥CD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，且AE⊥AC，AB=12EC．求证：四边形ABCD是菱形．



6．（2022秋•章丘区校级月考）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过点A作AD∥BC，交FE的延长线于点D．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）给△ABC添加一个条件，使得四边形AFCD是菱形．请证明你的结论．




核心知识9菱形的性质与判定的综合运用
1．（2022春•平邑县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBO=34S菱形ABCD中，正确的结论个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022春•威县期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（　　）

A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是
3．（2022春•南岗区校级期中）如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，CD＝2OB，E为CD延长线上一点，使得DE＝CD，连结BE，分别交AC、AD于点F、G，连结OG，AE，则下列结论：①∠ABC＝120°；②OG=12AB；③四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2022秋•宜昌期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，连接DE交AB于点G，EF与AC交于点H．以下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH=14BD．其中，正确的结论有 　 ．（填写所有正确结论的序号）



5．（2023•惠阳区校级开学）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8．
①求菱形ABCD的面积．
②求四边形ABED的周长．



6．（2022秋•天府新区期末）如图，在Rt△ABF中，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，延长ED到点C，使得CD＝2DE，连接CB．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DE=3，求菱形ABCD的面积．


核心知识10正方形的性质
1．（2022秋•薛城区期末）已知点P是正方形ABCD内部一点，且△PAB是正三角形，则∠CPD＝　 　度．
2．（2022秋•大渡口区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DE＝CF，连接AE，DF，DG平分∠ADF交AB于点G．若∠AED＝70°，则∠AGD的度数为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
3．（2022秋•南关区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，作EF⊥AB于点F，连接DE，若BC＝11，BF＝4，则DE的长为（　　）

A．36 B．62 C．213 D．65
4．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，延长BC至点H，使CH＝BE，过点H作FH⊥BC，连接EF，且EF＝AE．求证：△ABE≌△EHF．


5．（2022秋•碑林区校级期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG．求证：DG＝BE．


6．（2022秋•阳山县期中）如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A，点B在线段DG上．
（1）求证：△ADG≌△ABE；
（2）判断DG与BE的位置关系，并说明理由．

核心知识11正方形的判定
1．（2023•碑林区校级一模）添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（　　）
A．AB＝CD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
2．（2022•新野县三模）在▱ABCD中，已知AC，BD为对角线，现有以下四个条件：①∠ABC＝90°；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB＝BC．从中选取两个条件，可以判定▱ABCD为正方形的是 　 　．（写出一组即可）
3．（2022秋•郏县期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是 ．

4．（2022秋•郓城县期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形．

5．（2022秋•新民市期中）如图，在矩形ABCD中，E是BD上一点，∠BAE＝∠BCE，∠AEB＝∠CEB．
求证：四边形ABCD是正方形．



核心知识12正方形的性质与判定的综合运用
1．（2022春•武城县期末）如图平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝2BC，E．F．G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：
①△EFG为等腰三角形；
②四边形AGEF为正方形；
③ME⊥GF；
④GH＝HE；
⑤∠ADB＝2∠CBE；
⑥GF平分∠AGE．
其中正确的有 　 　．

2．（2022春•碑林区校级月考）如图，∠EOD＝90°，点A、B分别在OE，OD上，∠EAB与∠ABD的角平分线交于点P，PC⊥AB于C，若PC＝2，则OP＝　 　．

3．（2022春•新泰市期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为 　 　.（将正确的序号都填入）

4．（2020秋•平昌县期末）如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE，连接BF．
（1）求证：BF＝DE；
（2）当点E运动到AC中点时（其他条件不变），四边形AFBE是正方形吗？请说明理由．



5．（2022秋•市中区校级月考）如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）求证：四边形BEFG是矩形；
（2）PG与PC的夹角为 　 　度时，四边形BEFG是正方形，请说明理由．






核心知识13三角形的中位线定理
1．（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝5，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022秋•泰山区校级期末）如图，△ABC中，AB＝9cm，AC＝5cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
3．（2022秋•路北区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　）

A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．6
4．（2022秋•新泰市期末）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为 　 　．


5．（2022秋•招远市期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB＝CE，∠BAE＝80°，∠DCE＝30°，求∠CBE的度数．

6．（2022秋•安溪县期中）在四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）如图1，点P为对角线BD的中点，连接PE，PF，若∠PEF＝26°，则∠EPF＝　 　度；
（2）如图2，直线EF分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BMF＝∠CNF．





核心知识14直角三角形斜边上的中线的性质
1．（2022秋•栾城区校级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB⊥BD于点B，点E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（　　）

A．AE＜CE B．AE＝CE C．AE＞CE D．AE＝2CE
2．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E为AB的中点，连结CE，若AC＝3，AB＝6，则∠DCE的度数是（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
3．（2022秋•清新区期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝5cm，则AB＝　 　．

4．（2022秋•仓山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝　 　°．

5．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B，AH⊥BC于点H，D是AC中点，DE∥AB，求证：EH=12AC．

6．（2022秋•南京期末）如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．



核心知识15特殊平行四边形的综合
1．（2022•南京模拟）下列说法错误的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2．（2022春•拱墅区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O．点M、N分别是边AD，BC的中点，连接AN，CM．下列结论：①若四边形ANCM是菱形，则AB⊥AC；②若四边形ANCM是矩形，则AB＝AC；③若AB⊥AC，则四边形ANCM是矩形；④若AB＝AC，则四边形ANCM是菱形．其中正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
3．（2022•泰安三模）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD=12AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的是 　 　．（填写序号）


4．（2022秋•东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，过点B作BE∥CD，CE，BE交于点E．
（1）判断四边形CDBE是什么特殊的四边形，并证明；
（2）直接写出当△ABC再满足什么条件时，四边形CDBE是正方形．

5．（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．


6．（2022秋•郑州期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①直接写出：当AE＝　 　cm时，四边形CEDF是菱形（不需要说明理由）；
②当AE＝　 　cm时，四边形CEDF是矩形，请说明理由．





核心知识16解与四边形有关折叠问题的技巧------轴对称变换法
1．（2022秋•东城区期末）如图，将一张四边形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点D恰好落在边AB的中点D'处．设S1，S2分别为△ADC和△ABC的面积，则S1和S2的数量关系是（　　）

A．S1=13S2 B．S1=12S2 C．S1＝2S2 D．S1＝3S2
2．（2022秋•茂南区期末）一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段DG长为（　　）

A．22 B．2 C．2 D．1
3．（2023•青岛模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是BC边的中点，将△DCE沿DE折叠得到△DEF，点F落在EG边上，连接CF．现有如下5个结论：①AG+EC＝GE；②BF⊥CF；③S△BEF=365；④GB＝2AG．在以上4个结论中正确的有（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
4．（2022秋•宁德期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（10，8），过点A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，点D在AB上．将△CAD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点E处，则点D的坐标为（　　）

A．（10，4） B．（10，3） C．（10，2.5） D．（10，2）
5．（2023•偃师市一模）课外活动课上，小明用矩形ABCD玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形ABCD沿EF对折，折出折痕EF，并展开；第二步，将纸片折叠，使点A落在EF上A'点，若AB＝2，则折痕BG的长等于（　　）

A．233 B．433 C．23 D．43

核心知识17解与四边形有关折叠问题的技巧------旋转位置法
1．（2022秋•武昌区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A'B'C'D'．若边A'B交线段CD于H，且BH＝DH，则DH的值是（　　）

A．47 B．8-23 C．254 D．62
2．（2022秋•河西区校级期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（　　）

A．2 B．2-1 C．2+1 D．2-2
3．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：BH＝CD．


4．（2022秋•滨城区校级期末）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90到△CBF的位置，连接EF，EF的长为2．
（1）求BF的长；
（2）若AE＝1，CE=5，求∠AEB的度数．


5．（2021春•禹城市期中）【发现与证明】
如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形A'B'C'O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于a，那么正方形A'B'C'O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积是一个定值．

（1）请你写出这个定值，并证明你的结论．
【应用迁移】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝8，求四边形ABCD的面积．






核心知识18解与四边形有关折叠问题的技巧------固定位置法
1．（2022春•澄海区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6厘米，AD＝9厘米，P、Q分别从A、C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动，Q以2厘米/秒的速度由C向B运动．设运动的时间为t秒，则当t＝　 　时，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．

2．（2022秋•平桥区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 　 　时，△ABP和△DCE全等．

3．（2022秋•招远市期末）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC上以4cm/s的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止），设运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）当点P运动t秒时，线段PD的长度为 　 　cm；
当点P运动2秒时，线段BQ的长度为 　 　cm；
当点P运动5秒时，线段BQ的长度为 　 cm；
（2）若经过t秒，以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有t的值．

4．（2022秋•铁东区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝CB，∠ACB＝120°，点D在边AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝30°，DE交AC与点E．
（1）当CD⊥AB时，若BC＝4，则AE＝　 　；
（2）当DE∥BC时，判断△ACD的形状，并说明理由．
（3）在点D运动的过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．



5．（2022春•诸暨市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）当t＝2时，求△BPQ的面积；
（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t；
（3）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？