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所属成套资源：2023年新高考数学考前提分锦囊【三轮冲刺】
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专题01 集合与常用逻辑用语——【高考三轮冲刺】2023年新高考数学考前提分冲刺（原卷版+解析版）
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这是一份专题01 集合与常用逻辑用语——【高考三轮冲刺】2023年新高考数学考前提分冲刺（原卷版+解析版），文件包含专题1集合与常用逻辑用语解析版docx、专题1集合与常用逻辑用语原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
1. 集合是高考数学必考问题,新高考对集合问题的考查,主要以考查概念和计算为主,考查两个集合的交集、并集、补集运算；从考查形式上看,主要以小题形式出现,常联系不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点集,试题难度较低,新高考集合试题的难度与老高考文科集合试题难度接近,一般出现在前两道题位置上.
2．高考对常用逻辑用语的考查热点是充分条件与必要条件、全称量词命题与存在量词命题,并且以充分条件与必要条件的判断,全称量词命题与存在量词命题的否定为主.
二、三年新高考真题展示
1.（2020新高考山东卷）设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2A. {x|2C. {x|1≤x<4}D. {x|1【答案】C
【解析】,故选C.
2．（2021新高考全国卷Ⅰ）设集合,,3,4,,则
A．B．,C．,D．,3,
【答案】B
【解析】,,3,4,,,3,4,,．
故选B．
3. （2021新高考全国卷Ⅱ）设集合,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设可得,故,故选B.
4. （2022新高考全国卷Ⅰ）若集合,则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为,故,故选D.
5.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知集合,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,,故选B.
三、知识、方法、技能
1. 确定性、互异性、无序性,特别是互异性,在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中,常因忽视互异性,疏于检验而出错．
2. 用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他类型的集合．你能区分下面几个集合吗？
①；②；③；④；
⑤.
3.集合中的元素具有无序性和互异性.如集合隐含条件,集合不能直接化成. ②
4. 注意奇数集与正奇数集的表示
= 1 \* GB3 ①奇数集：；
= 2 \* GB3 ②正奇数集：.
5.点集问题
二元方程组解的集合可看作点集,如 解的集合为{(2,1)},下面的集合运算也是点集运算,你能解决吗?
已知,,则 _____
【答案】.
6.空集是一个特殊且重要的集合,它不含有元素,是任何一个集合的子集,是任何一个非空集合的真子集.要掌握有空集参与的集合间的关系或运算,特别是根据两个集合的包含关系来讨论参数的值或范围时,不要忽视空集的特殊性.如遇到时,你是否注意到“极端”情况：或；同样当时,你是否忘记的情形？
7.对于含有个元素的有限集合,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
8. AB,A∩B＝A,A∪B＝B,∁UB ∁UA以及A∩(∁UB)＝是两两等价的．对这五个式子的等价转换,常使较复杂的集合运算变得简单．
9. 分析集合关系时,弄清集合由哪些元素组成,这就需要我们把抽象的问题具体化、形象化,也就是善于对集合的三种语言(文字、符号、图形)进行相互转化,同时还要善于将多个参数表示的符号描述法的集合化到最简形式．此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时．因此分类讨论思想是必须的．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系．
10.解集合的运算问题,一般考虑如下三步：
第一步：看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的．；
第二步：对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；
第三步：应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).
11. 充要条件的几种判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)}：若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB,则p是q的充分不必要条件,若A＝B,则p是q的充要条件．
12.充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：
①p是q的充分条件；
②p的充分条件是q.
13. 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
(2)要注意区间端点值的检验．
14.注意下面几个命题的真假：
⑴“一定是”的否定是“一定不是”（真）
⑵若|x|≤3,则x≤3；（真）
⑶若x+y ≠ 3,则x≠1或y≠2；（真）
⑷若p为lgx≤1,则┐p为lgx>1；（假）
⑸若A={x|x≠1}∪{y|y≠2},B=(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞),则A=B.(假)
15.全称量词命题、存在量词命题的否定是高考考查的重点,正确理解两种命题的否定形式是解决此类问题的关键.
全称量词命题：,它的否定：；
存在量词命题,它的否定
16.要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立．要判定一个存在量词特命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x＝x0,使p(x0)成立即可．
四、新高考地区最新模拟试题精选
一、单选题
1．（2023届福建省南安市高三上学期测试）已知全集,集合和集合都是的非空子集,且满足,则下列集合中表示空集的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由图表示集合如下：
,
由图可得,,,,故选D
2．（2023届河北省石家庄市高三上学期期末）设集合,,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为集合,又,
由交集的定义可得：,故选.
3．（2023届山东省潍坊市高三上学期12月学科核心素养测评）已知全集,集合和的关系的韦恩（Venn）图,如图所示,则阴影部分所表示集合的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】,解得,所以,所以,所以阴影部分表示的集合为,共有2个元素.故选B
4．（2023届湖北省新高考联考协作体高三上学期期末联考）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】,解得：,“方程表示焦点在y轴上椭圆”的充要条件为,因为,但,故“”是“方程表示焦点在y轴上椭圆”的必要不充分条件．故选B
5．（2023届湖北省武汉市武昌区高三上学期元月质量检测）若集合是和的公倍数,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知,由,可得,由得,
因此,.故选C.
6．（2023届湖南省株洲市二中教育集团高三上学期1月期末联考）已知为两个随机事件,,则“相互独立”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当相互独立时,,
,则,故充分；
当时,因为, ,
所以,得,
,故必要.故选A.
7．（2023届广东省深圳市罗湖区高三上学期期末）已知集合,,则的子集个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无穷多个
【答案】C
【解析】因为集合,,由可得,所以,只有一个元素,所以的子集个数为2.故选C
8．（2023届广东省深圳市南山区高三上学期期末）命题“存在无理数,使得是有理数”的否定为（ ）
A．任意一个无理数,都不是有理数B．存在无理数,使得不是有理数
C．任意一个无理数,都是有理数D．不存在无理数,使得是有理数
【答案】A
【解析】根据特称命题的否定是全称命题得命题“存在无理数,使得是有理数”的否定为“任意一个无理数,都不是有理数”,故选A.
9．（2023届江苏省无锡市江阴市高三上学期期末）给出下列四个命题,其中正确命题为（ ）
A．是的充分不必要条件
B．是的必要不充分条件
C．是函数为奇函数的充要条件
D．是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】对于A 项,设函数,因为在上单调递增,则
因为在上单调递增,当时,即,所以充分性成立；
若即,又因为在上单调递增,所以,必要性成立；
所以“”是“”的充要条件,A错．对于B项,取满足,但是不满足,则“”不是“”的必要条件,B错．对于C 项,时,的定义域为关于原点对称,又因为,所以是定义在奇函数,所以充分性成立；若为奇函数,则,并且,又因为,则,所以必要性成立.故是函数为奇函数的充要条件,所以C正确.对于D项,因为函数在上单调递增,所以,故必要性成立,所以D项不正确.故选C．
10．（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期末）设集合,,若,则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为,,
由于,得,即实数a的取值范围,故选C.
二、多选题
11．（2023届河北省高三上学期阶段性检测）已知直线和平面,下列选项能得到成立的充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】对于A,若,则与可能平行也可能相交,故A错误；
对于B,若,则,故B正确；
对于C,若,则与不一定垂直,故C错误；
对于D,由,可知在平面内必存在直线与平行,又,则,进而可得,故D正确.故选BD.
12．（2023届福建省上杭县高三上学期月考）下列说法正确的有（ ）
A．,
B．,
C．若p：,则：
D．若p：,则：
【答案】BC
【解析】当时,,A错误,当时,,B正确,命题“∃n∈N,n2＞2n”的否定是命题“∀n∈N,n2≤2n”C正确,命题“”的否定是命题“”,D错误.故选BC.
13．（2023届】湖北省部分优质重点高中高三上学期联考）已知函数,设命题p：对任意,的定义域与值域都相同．下列判断正确的是（ ）
A．p是真命题
B．p的否定是“对任意的定义域与值域都不相同”
C．p是假命题
D．p的否定是“存在,使得的定义域与值域不相同”
【答案】AD
【解析】函数的定义域为,又,所以函数的定义域为,设（）,则,当时,,此时,函数,由上知,当时,函数的定义域与值域均为,所以p是真命题,且p的否定是“存在,使得的定义域与值域不相同”．故选AD.
三、填空题
14．（2023届辽宁省名校联盟高三上学期联考）若“存在实数x,使不等式组成立”为真命题,则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】,．根据题意,,所以,所以．
15．（2023届重庆市第十一中学高三上学期质量抽测）设,若是的充分条件,求实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】,,,,
若是的充分条件,则,当时,,此时不满足,故舍去；
当时,,若满足,则.综上.
五、延伸拓展
存在与任意问题
存在与任意问题实质是有解与恒成立问题,不少同学在解决这类问题时常因理解上的错误导致解题失误,下面通过对一个典型题组解法的探究来辨析这类易混淆问题.
已知,,
= 1 \* GB2 ⑴存在,使得,求实数的取值范围；
= 2 \* GB2 ⑵若方程在上有解,求实数的取值范围；
= 3 \* GB2 ⑶若存在,使得,求实数的取值范围；
= 4 \* GB2 ⑷若对任意,恒有,求实数的取值范围；
= 5 \* GB2 ⑸若对任意,恒有,求实数的取值范围；
= 6 \* GB2 ⑹若对任意,恒有,求实数的取值范围；
= 7 \* GB2 ⑺若对任意,存在,使得,求实数的取值范围；
= 8 \* GB2 ⑻若对任意,存在,使得,求实数的取值范围；
= 9 \* GB2 ⑼若存在,使得,求实数的取值范围；
= 10 \* GB2 ⑽若存在,使得,求实数的取值范围.
= 1 \* GB2 ⑴【解析】由可得,存在,使得,即方程在上有解.
设,则方程在上有解的条件是为值域中的元素,所以的取值范围就是的值域.
因为时=,所以在上是增函数,由此可求得的值域是[0,],所以实数的取值范围是[0,].
= 2 \* GB2 ⑵【解析】方程在上有解等价于存在,使得,故本题解法同 = 1 \* GB2 ⑴.
【点评】根据方程有解求参数取值范围,常采用分离参数法,但若给出方程解的个数求参数范围,一般不宜用分离参数法.
= 3 \* GB2 ⑶【解析】据题意：若存在,使得,即有解,故 ,由⑴知h,于是得.
【点评】在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.另外要注意方程有解与不等式有解的区别,方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题,而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题.
= 4 \* GB2 ⑷【解析】对任意,恒有,即时恒成立,即,由⑴可知,所以.
【点评】比较⑶, = 4 \* GB2 ⑷可知不等式恒成立和有解是有明显区别的,切不可混为一团.另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值.以下充要条件应细心思考,甄别差异：
①若值域为,则不等式恒成立；不等式有解；
②若值域为,则不等式恒成立；若值域为则不等式恒成立.
= 5 \* GB2 ⑸【解析】由题中条件可得的值域的值域,若对任意,恒有,即,即,所以.
【点评】⑷与 = 5 \* GB2 ⑸虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别, = 4 \* GB2 ⑷中不等式的左右两端函数的自变量相同,而 = 5 \* GB2 ⑸中不等式的左右两端函数的自变量不同,的取值在上具有任意性.
= 6 \* GB2 ⑹【解析】由 = 5 \* GB2 ⑸的解法可知对任意,恒有,即 ,即,所以.
= 7 \* GB2 ⑺【解析】对任意,若存在,使得,即,由⑷可知即,所以.
= 8 \* GB2 ⑻【解析】对任意,若存在,使得,则,所以即
【点评】因为对值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意,若存在,使得的充要条件是在的值域内,因此,的值域是的值域的子集.
= 9 \* GB2 ⑼【解析】若存在,使得,则,即4,
所以.
【点评】请将 ⑸、 = 7 \* GB2 ⑺、 = 9 \* GB2 ⑼仔细对比,体味任意与存在的区别.另外,对于存在性与任意性的综合问题可先把其中一个函数看作常数,如 = 7 \* GB2 ⑺“若对任意,存在,使得”,可令,问题转化为“存在,使得”,求出,再根据“对任意,”进行求解.
= 10 \* GB2 ⑽【解析】若存在使得,则,∴,∴实数的取值围是
【点评】 = 1 \* GB2 ⑴、⑻、 = 10 \* GB2 ⑽都是方程中的存在型问题,其实质虽然都是两函数值域的包含关系,但不同却很明显.碰到这类问题应认真审题,深入思考,准确使用其成立的条件
1. 集合是高考数学必考问题,新高考对集合问题的考查,主要以考查概念和计算为主,考查两个集合的交集、并集、补集运算；从考查形式上看,主要以小题形式出现,常联系不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点集,试题难度较低,新高考集合试题的难度与老高考文科集合试题难度接近,一般出现在前两道题位置上.
2．高考对常用逻辑用语的考查热点是充分条件与必要条件、全称量词命题与存在量词命题,并且以充分条件与必要条件的判断,全称量词命题与存在量词命题的否定为主.
二、三年新高考真题展示
1.（2020新高考山东卷）设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2
【解析】,故选C.
2．（2021新高考全国卷Ⅰ）设集合,,3,4,,则
A．B．,C．,D．,3,
【答案】B
【解析】,,3,4,,,3,4,,．
故选B．
3. （2021新高考全国卷Ⅱ）设集合,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设可得,故,故选B.
4. （2022新高考全国卷Ⅰ）若集合,则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为,故,故选D.
5.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知集合,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,,故选B.
三、知识、方法、技能
1. 确定性、互异性、无序性,特别是互异性,在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中,常因忽视互异性,疏于检验而出错．
2. 用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他类型的集合．你能区分下面几个集合吗？
①；②；③；④；
⑤.
3.集合中的元素具有无序性和互异性.如集合隐含条件,集合不能直接化成. ②
4. 注意奇数集与正奇数集的表示
= 1 \* GB3 ①奇数集：；
= 2 \* GB3 ②正奇数集：.
5.点集问题
二元方程组解的集合可看作点集,如 解的集合为{(2,1)},下面的集合运算也是点集运算,你能解决吗?
已知,,则 _____
【答案】.
6.空集是一个特殊且重要的集合,它不含有元素,是任何一个集合的子集,是任何一个非空集合的真子集.要掌握有空集参与的集合间的关系或运算,特别是根据两个集合的包含关系来讨论参数的值或范围时,不要忽视空集的特殊性.如遇到时,你是否注意到“极端”情况：或；同样当时,你是否忘记的情形？
7.对于含有个元素的有限集合,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
8. AB,A∩B＝A,A∪B＝B,∁UB ∁UA以及A∩(∁UB)＝是两两等价的．对这五个式子的等价转换,常使较复杂的集合运算变得简单．
9. 分析集合关系时,弄清集合由哪些元素组成,这就需要我们把抽象的问题具体化、形象化,也就是善于对集合的三种语言(文字、符号、图形)进行相互转化,同时还要善于将多个参数表示的符号描述法的集合化到最简形式．此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时．因此分类讨论思想是必须的．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系．
10.解集合的运算问题,一般考虑如下三步：
第一步：看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的．；
第二步：对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；
第三步：应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).
11. 充要条件的几种判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)}：若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB,则p是q的充分不必要条件,若A＝B,则p是q的充要条件．
12.充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：
①p是q的充分条件；
②p的充分条件是q.
13. 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
(2)要注意区间端点值的检验．
14.注意下面几个命题的真假：
⑴“一定是”的否定是“一定不是”（真）
⑵若|x|≤3,则x≤3；（真）
⑶若x+y ≠ 3,则x≠1或y≠2；（真）
⑷若p为lgx≤1,则┐p为lgx>1；（假）
⑸若A={x|x≠1}∪{y|y≠2},B=(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞),则A=B.(假)
15.全称量词命题、存在量词命题的否定是高考考查的重点,正确理解两种命题的否定形式是解决此类问题的关键.
全称量词命题：,它的否定：；
存在量词命题,它的否定
16.要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立．要判定一个存在量词特命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x＝x0,使p(x0)成立即可．
四、新高考地区最新模拟试题精选
一、单选题
1．（2023届福建省南安市高三上学期测试）已知全集,集合和集合都是的非空子集,且满足,则下列集合中表示空集的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由图表示集合如下：
,
由图可得,,,,故选D
2．（2023届河北省石家庄市高三上学期期末）设集合,,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为集合,又,
由交集的定义可得：,故选.
3．（2023届山东省潍坊市高三上学期12月学科核心素养测评）已知全集,集合和的关系的韦恩（Venn）图,如图所示,则阴影部分所表示集合的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】,解得,所以,所以,所以阴影部分表示的集合为,共有2个元素.故选B
4．（2023届湖北省新高考联考协作体高三上学期期末联考）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】,解得：,“方程表示焦点在y轴上椭圆”的充要条件为,因为,但,故“”是“方程表示焦点在y轴上椭圆”的必要不充分条件．故选B
5．（2023届湖北省武汉市武昌区高三上学期元月质量检测）若集合是和的公倍数,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知,由,可得,由得,
因此,.故选C.
6．（2023届湖南省株洲市二中教育集团高三上学期1月期末联考）已知为两个随机事件,,则“相互独立”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当相互独立时,,
,则,故充分；
当时,因为, ,
所以,得,
,故必要.故选A.
7．（2023届广东省深圳市罗湖区高三上学期期末）已知集合,,则的子集个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无穷多个
【答案】C
【解析】因为集合,,由可得,所以,只有一个元素,所以的子集个数为2.故选C
8．（2023届广东省深圳市南山区高三上学期期末）命题“存在无理数,使得是有理数”的否定为（ ）
A．任意一个无理数,都不是有理数B．存在无理数,使得不是有理数
C．任意一个无理数,都是有理数D．不存在无理数,使得是有理数
【答案】A
【解析】根据特称命题的否定是全称命题得命题“存在无理数,使得是有理数”的否定为“任意一个无理数,都不是有理数”,故选A.
9．（2023届江苏省无锡市江阴市高三上学期期末）给出下列四个命题,其中正确命题为（ ）
A．是的充分不必要条件
B．是的必要不充分条件
C．是函数为奇函数的充要条件
D．是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】对于A 项,设函数,因为在上单调递增,则
因为在上单调递增,当时,即,所以充分性成立；
若即,又因为在上单调递增,所以,必要性成立；
所以“”是“”的充要条件,A错．对于B项,取满足,但是不满足,则“”不是“”的必要条件,B错．对于C 项,时,的定义域为关于原点对称,又因为,所以是定义在奇函数,所以充分性成立；若为奇函数,则,并且,又因为,则,所以必要性成立.故是函数为奇函数的充要条件,所以C正确.对于D项,因为函数在上单调递增,所以,故必要性成立,所以D项不正确.故选C．
10．（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期末）设集合,,若,则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为,,
由于,得,即实数a的取值范围,故选C.
二、多选题
11．（2023届河北省高三上学期阶段性检测）已知直线和平面,下列选项能得到成立的充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】对于A,若,则与可能平行也可能相交,故A错误；
对于B,若,则,故B正确；
对于C,若,则与不一定垂直,故C错误；
对于D,由,可知在平面内必存在直线与平行,又,则,进而可得,故D正确.故选BD.
12．（2023届福建省上杭县高三上学期月考）下列说法正确的有（ ）
A．,
B．,
C．若p：,则：
D．若p：,则：
【答案】BC
【解析】当时,,A错误,当时,,B正确,命题“∃n∈N,n2＞2n”的否定是命题“∀n∈N,n2≤2n”C正确,命题“”的否定是命题“”,D错误.故选BC.
13．（2023届】湖北省部分优质重点高中高三上学期联考）已知函数,设命题p：对任意,的定义域与值域都相同．下列判断正确的是（ ）
A．p是真命题
B．p的否定是“对任意的定义域与值域都不相同”
C．p是假命题
D．p的否定是“存在,使得的定义域与值域不相同”
【答案】AD
【解析】函数的定义域为,又,所以函数的定义域为,设（）,则,当时,,此时,函数,由上知,当时,函数的定义域与值域均为,所以p是真命题,且p的否定是“存在,使得的定义域与值域不相同”．故选AD.
三、填空题
14．（2023届辽宁省名校联盟高三上学期联考）若“存在实数x,使不等式组成立”为真命题,则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】,．根据题意,,所以,所以．
15．（2023届重庆市第十一中学高三上学期质量抽测）设,若是的充分条件,求实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】,,,,
若是的充分条件,则,当时,,此时不满足,故舍去；
当时,,若满足,则.综上.
五、延伸拓展
存在与任意问题
存在与任意问题实质是有解与恒成立问题,不少同学在解决这类问题时常因理解上的错误导致解题失误,下面通过对一个典型题组解法的探究来辨析这类易混淆问题.
已知,,
= 1 \* GB2 ⑴存在,使得,求实数的取值范围；
= 2 \* GB2 ⑵若方程在上有解,求实数的取值范围；
= 3 \* GB2 ⑶若存在,使得,求实数的取值范围；
= 4 \* GB2 ⑷若对任意,恒有,求实数的取值范围；
= 5 \* GB2 ⑸若对任意,恒有,求实数的取值范围；
= 6 \* GB2 ⑹若对任意,恒有,求实数的取值范围；
= 7 \* GB2 ⑺若对任意,存在,使得,求实数的取值范围；
= 8 \* GB2 ⑻若对任意,存在,使得,求实数的取值范围；
= 9 \* GB2 ⑼若存在,使得,求实数的取值范围；
= 10 \* GB2 ⑽若存在,使得,求实数的取值范围.
= 1 \* GB2 ⑴【解析】由可得,存在,使得,即方程在上有解.
设,则方程在上有解的条件是为值域中的元素,所以的取值范围就是的值域.
因为时=,所以在上是增函数,由此可求得的值域是[0,],所以实数的取值范围是[0,].
= 2 \* GB2 ⑵【解析】方程在上有解等价于存在,使得,故本题解法同 = 1 \* GB2 ⑴.
【点评】根据方程有解求参数取值范围,常采用分离参数法,但若给出方程解的个数求参数范围,一般不宜用分离参数法.
= 3 \* GB2 ⑶【解析】据题意：若存在,使得,即有解,故 ,由⑴知h,于是得.
【点评】在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.另外要注意方程有解与不等式有解的区别,方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题,而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题.
= 4 \* GB2 ⑷【解析】对任意,恒有,即时恒成立,即,由⑴可知,所以.
【点评】比较⑶, = 4 \* GB2 ⑷可知不等式恒成立和有解是有明显区别的,切不可混为一团.另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值.以下充要条件应细心思考,甄别差异：
①若值域为,则不等式恒成立；不等式有解；
②若值域为,则不等式恒成立；若值域为则不等式恒成立.
= 5 \* GB2 ⑸【解析】由题中条件可得的值域的值域,若对任意,恒有,即,即,所以.
【点评】⑷与 = 5 \* GB2 ⑸虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别, = 4 \* GB2 ⑷中不等式的左右两端函数的自变量相同,而 = 5 \* GB2 ⑸中不等式的左右两端函数的自变量不同,的取值在上具有任意性.
= 6 \* GB2 ⑹【解析】由 = 5 \* GB2 ⑸的解法可知对任意,恒有,即 ,即,所以.
= 7 \* GB2 ⑺【解析】对任意,若存在,使得,即,由⑷可知即,所以.
= 8 \* GB2 ⑻【解析】对任意,若存在,使得,则,所以即
【点评】因为对值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意,若存在,使得的充要条件是在的值域内,因此,的值域是的值域的子集.
= 9 \* GB2 ⑼【解析】若存在,使得,则,即4,
所以.
【点评】请将 ⑸、 = 7 \* GB2 ⑺、 = 9 \* GB2 ⑼仔细对比,体味任意与存在的区别.另外,对于存在性与任意性的综合问题可先把其中一个函数看作常数,如 = 7 \* GB2 ⑺“若对任意,存在,使得”,可令,问题转化为“存在,使得”,求出,再根据“对任意,”进行求解.
= 10 \* GB2 ⑽【解析】若存在使得,则,∴,∴实数的取值围是
【点评】 = 1 \* GB2 ⑴、⑻、 = 10 \* GB2 ⑽都是方程中的存在型问题,其实质虽然都是两函数值域的包含关系,但不同却很明显.碰到这类问题应认真审题,深入思考,准确使用其成立的条件
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