专题02 不等式——【高考三轮冲刺】2023年新高考数学考前提分冲刺（原卷版+解析版）

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高考对不等式的考查有两个方向,一是单独命题,考查热点是不等式的性质与基本不等式,难度中等或中等以下,二是与函数、数列、解析几何、导数等知识交汇考查,一般难度比较大,此类问题考查热点是不等式的解法、证明及均值不等式的应用.
二、三年新高考真题展示
1.（2020新高考山东卷）已知a＞0,b＞0,且a＋b＝1,则（）
A.B.
C.D.
2．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知,是椭圆：的两个焦点,点在上,则的最大值为（）
A. 13B. 12C. 9D. 6
3. （2021新高考全国卷Ⅱ）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个,证明：只有一个零点
①
②
4. （2022新高考全国卷Ⅰ）若集合,则
A. B.
C. D.
5. （2022新高考全国卷Ⅰ）设,则
A. B. C. D.
6. （2022新高考全国卷Ⅰ）记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
7.（2022新高考全国卷Ⅱ）若x,y满足,则
A. B.
C. D.
三、知识、方法、技能
1．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b(2)传递性：a>b,b>c⇒a>c ．
(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c>b＋c.
(4)不等式乘正量：a>b,c>0⇒ac>bc ,
不等式乘负量：a>b,c<0⇒ac(5)同向不等式相加：a>b,c>d⇒a＋c>b＋d ．
(6)同向不等式相乘：a>b>0,c>d>0⇒ac>bd ．
【解读】
(1)一般数学结论都有前提,不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前,一定要准确把握前提条件,一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种,前者一般是证明不等式的理论基础,后者一般是解不等式的理论基础．
2.不等式中的倒数性质：
(1) a>b,ab>0⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)
(2)a<0(3)a>b>0,0(4)0(5)⇒或
3.真分数与假分数的性质
⇒
4.利用不等式性质进行命题的判断
(1)首先要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不凭想当然随意捏造性质.
(2)解决有关不等式选择题时,也可采用特值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条(3)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．
(4)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,判断的同时常常还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质等．
5.利用不等式的性质求取值范围的策略
利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形,若多次使用,则有可能使取值范围扩大,解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再一次性地运用这种变形,即可求得正确的待求整体的范围．具体 步骤如下：
由a6.作差(商)比较法的步骤
(1)作差(商)；
(2)变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；
(3)判断符号(判断商和“1”的大小关系)；
(4)给出结论．
7. 解一元二次不等式的步骤：
第一步,将二次项系数化为正数；
第二步,解相应的一元二次方程；
第三步,根据一元二次方程的根,结合不等号的方向画图；
第四步,写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正,对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
8.对含参的不等式,应对参数进行分类讨论

9.与一元二次不等式有关的恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时,b＝0,c>0；当a≠0时,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0；))
(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时,b＝0,c<0；当a≠0时,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0；))
(3)处理与一元二次不等式有关的恒成立问题常可用分离参数的方法,很多时候都可以减少不必要的讨论,其中：f(x)≤a恒成立⇔a≥f(x)max；f(x)≥a恒成立⇔a≤f(x)min.
注意：解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元,谁是参数．一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数．
10. 分式不等式解法
(1)化分式不等式为标准型．方法：移项,通分,右边化为0,左边化为eq \f(f（x）,g（x）)的形式．
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如：
eq \b\lc\ (\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)＞0))⇔f(x)g(x)＞0；
eq \f(f（x）,g（x）)＜0⇔f(x)g(x)＜0；
eq \f(f（x）,g（x）)≥0⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）g（x）≥0；,g（x）≠0；))
eq \f(f（x）,g（x）)≤0⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）g（x）≤0.,g（x）≠0.))
11. 几个重要的不等式
(1)eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)（a>0,b>0）
(2)a2＋b2≥2ab(a,b∈R)．
(3)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a,b同号)．
(4)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a,b∈R)．
(5)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a,b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
12. 算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为eq \f(a＋b,2),几何平均数为eq \r(ab),基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
13.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x＝y时,x＋y有最小值2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p,那么当且仅当x＝y时,xy有最大值eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
14.应用基本不等式时的三个关注点
(1)一正数：指式子中的a,b均为正数.
(2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式,因此有时需要构造定值.
(3)三相等：即“=”必须成立,求出的定值才是要求的最值.
15.在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式．凑配法求最值的基本技巧：①配凑系数；②配凑常数；③配凑分子；④配凑分母； = 5 \* GB3 ⑤配凑项数
16.条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求最值．求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)型最值问题,常通过“1”来进行转化,但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决,有一些看似可以通过基本不等式解决的问题,由于条件的限制,等号不能够成立,这时就不能用基本不等式来解决,而要借助于其他求值域的方法来解决．
17. 一般地,对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题,对于“恒成立”的不等式,一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外,要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.
四、新高考地区最新模拟试题精选
一、单选题
1．（2023届河北省高三上学期省级联测）已知集合,则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023届福建省福州高三上学期期末）已知集合,,则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023届山东省济宁市兖州区高三上学期期中）给出的下列条件中能成为的充要条件的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023届山东省威海市高三上学期期中）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理,很多代数的定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC＝a,BC＝b,可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（ ）
A．a2+b2≥2ab（a＞0,b＞0）B．
C．（a＞0,b＞0）D．（a＞0,b＞0）
5．（2023届湖北省九师联盟高三上学期11月质量检测）已知,,若,则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．0
6．（2022届湖北省武汉市武昌区高三下学期5月质量检测）已知正实数,满足,则的最小值为( )
A．0B．2C．4D．6
7（2023届湖北省襄阳市高三上学期9月月考）若命题“”为假命题,则实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022届湖南省常德市高三下学期一模数）若正实数a,b满足,且,则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023届广东省广州市铁一中学高三上学期月考）已知正实数满足,则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．（2023届江苏省南通市海安市高三上学期11月期中）设,,,下列命题正确的是（ ）
A．若,则B．若,则
C．若,则D．若,则
11．（2023届辽宁省沈阳市和平区高三上学期11月月考）已知正实数,满足,则（ ）
A．的最大值为1B．的最小值为4
C．的最小值为1D．的最小值为18
12．（2022届重庆市第八中学校高考模拟）已知实数,满足,则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2023届河北省部分学校高三上学期11月联考）若关于的不等式在区间内有解,则实数的取值范围是______.
14．（2023届福建省漳州高三上学期第一次阶段考）设数列的通项公式为,记数列的前项和为,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为_____.
15．（2023届湖北省荆州市高三上学期月考）已知点为椭圆的左顶点,为坐标原点,过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l,若直线l上存在点P满足,则椭圆离心率的最大值______.
五、延伸拓展
含有参数的类一元二次不等式的解法
含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论．
(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式；
(3)对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集．
下面主要总结一下难度较大的含有参数的双根型类一元二次不等式的解法及其在讨论函数单调性中的应用.
（一）含有参数的双根型类一元二次不等式
含有参数的双根型类一元二次不等式,一般先需要根据系数的符号进行分类讨论,分三种情况讨论,当对应方程有2个根,且根的大小不确定时,还要根据根的大小分类讨论.
【例1】解关于的不等式.
【解析】,
当时原不等式变形为,解得；
当时
,∴或；
当时
（以上根据与0的大小分3种情况讨论）
当时,解得,
当时,解得,
当时,解得
（以上根据两根大小分3种情况讨论）
综上可得：
当时原不等式解集为；
当时原不等式解集为或；
当时原不等式解集为；
当时原不等式解集为；
当时原不等式解集为．
（二）分式不等式转化为含有参数的双根型类一元二次不等式
【例2】解关于x的不等式;
【解析】原不等式化为,即且,
时,不等式为且,∴,
时,不等式化为且,,
时不等式化为且,
（以上根据二次项系数与0的大小分3种情况讨论）
时,,
,或,
时,或．
（以上根据两根大小分类讨论）
综上得原不等式解集为
当时,,当时,,当时,,当时,,当时,．
（三）解含参数一元二次分式再确定函数单调性中的应用：可化为双根型类二次不等式
【例3】讨论的单调性
分析：,根的情况转化为根的情况.
步骤一：讨论(有1个根).
步骤二：讨论(不在定义域内)
步骤三：讨论(均在定义域内,根据的大小再分)
答案：
(1),在上是增函数,在上是减函数；(步骤一二合并)
(2)在上是增函数,在上是减函数；
(3),在上是增函数；
(4), 在上是增函数,在上是减函数.