专题03 函数——【高考三轮冲刺】2023年新高考数学考前提分冲刺（原卷版+解析版）

这是一份专题03 函数——【高考三轮冲刺】2023年新高考数学考前提分冲刺（原卷版+解析版），文件包含专题3函数解析版docx、专题3函数原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
从近三年的新高考试题来看,函数是高考中的重点与难点,一般有2-3道左右的客观题,考查的热点是函数的性质、指数函数与对数函数、函数的应用、函数与方程、可以是容易题,也可以是难题.
二、三年新高考真题展示
1.（2020新高考山东卷）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2天B. 1.8天
C. 2.5天D. 3.5天
【答案】B
【解析】因,,,所以,所以,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为天,则,所以,所以,所以天.故选B.
2.（2020新高考山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,
所以在上也是单调递减,且,,
所以当时,,当时,,
所以由可得：
或或
解得或,
所以满足的的取值范围是,故选D.
3．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知函数是偶函数,则 1 ．
【答案】1
【解析】因为函数是偶函数,
为上的奇函数,
故也为上的奇函数,
所以,
所以．
4．（2021新高考全国卷Ⅰ）函数的最小值为 1 ．
【答案】1
【解析】函数的定义域为．
当时,,
此时函数在,上为减函数,
所以；
当时,,
则,
当,时,,单调递减,
当时,,单调递增,
当时取得最小值为（1）．
,
函数的最小值为1．
5. （2021新高考全国卷Ⅱ） 已知,,,则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,即.故选C.
6. （2021新高考全国卷Ⅱ）已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数,则,可得,
因为函数为奇函数,则,所以,,
所以,,即,
故函数是以为周期的周期函数,
因为函数为奇函数,则,
故,其它三个选项未知.故选B.
7. （2021新高考全国卷Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时,；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一,均满足）
【解析】取,则,满足①,
,时有,满足②,
的定义域为,
又,故是奇函数,满足③.
8. （2022新高考全国卷Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】因为为偶函数,所以,令,得,C正确；
由得,所以,两边求导得,令得,又均为偶函数,所以,
所以,所以,所以,构造函数,则,则不成立,不成立,A,D错误,故选BC.
9.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知函数的定义域为R,且,则（）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】因为,令可得,所以,令可得,,即,所以为偶函数,令得,,即有,两式相加得,所以,,所以是周期函数,其中一个周期为．因为,,,,,所以
．由于22除以6余4,
所以．故选A．
三、知识、方法、技能
1.函数的概念
设A,B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.
注意：由函数的概念可知,对于函数f：A→B,满足两个允许、两个不允许：
(1)允许多对一,不允许一对多；(2)允许B中有剩余元素,不允许A中有剩余元素.
2.同一函数的判定
函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是,函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．
3.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数．
4.取整函数
定义：
设,用表示不超过的最大整数.则称为高斯函数,也叫取整函数.显然,的定义域是R,值域是Z.任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即,因此,,这里,为的整数部分,而为的小数部分.
性质：
（1）函数是一个分段表达的不减的无界函数,即当时,有；
（2）,其中；
（3）；
（4）若,则其中；
（5）对于一切实数有；
5.狄里克雷函数
德国数学家狄里克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一,对数论、数学分析和数学物理有突出贡献,我们称函数,为狄里克雷函数．
6.下面三个问题曾使很多同学困惑,你能解决吗？
= 1 \* GB3 ①y=lg(+2x+a)的值域为R,求a的取值范围;（a≤1）
②y=的值域为[0,+∞),求a的取值范围;（a≤1）
③y=的定义域为R,求a的取值范围.（a>2）
7.若所给条件是关于或关于的等式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)．
8.已知函数在一个区间上的解析式,求函数在另一个区间上的解析式,可在待求解析式的区间上任取x,然后找出一个含x的式子,使该式子的范围在已知解析式的区间上,把该式子代入已知解析式,再利用函数性质确定所求解析式.
9.给出解析式确定函数的定义域
给定函数解析式求定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．注意定义域是一个集合,要用集合或区间表示.常见基本初等函数定义域的基本要求为： (1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；
(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y＝tan x,x≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求
10.一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x10且a≠1).
17.①若 满足对任意实数a,b都有,则是奇函数;
②若满足对任意实数a,b都有,则是奇函数.
= 3 \* GB3 ③若的定义域,且对任意,都有,则是偶函数.
18. 求函数最值的五种常用方法及其思路：
(1)单调性法：先确定函数的单调性,再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值．
(3)基本不等式法：先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(4)导数法：先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值．
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值．
19. 函数单调性与奇偶性结合问题．注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性．奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
20. 函数对称性与函数周期性的关系
(1)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(2)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(3)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
21. 周期性、奇偶性与单调性及图象的结合．
解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,将涉及到的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,然后利用奇偶性和单调性求解．
22. 函数图象的辨识可从以下方面入手
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复；
(5)从函数的特殊点,排除不合要求的图象．
23. 涉及函数图象对称性的几个结论
(1)若,则的图象关于直线对称；
(2)的图象与的图象关于直线对称；
(3)若,则的图象关于点对称.
24.注意区分下面三个问题：
①若,则图象关于直线_____对称;(x=1)
②的图象与 的图象关于直线_____对称;(x=0)
③ 的图象与的图象关于直线_____对称.(x=1)
形如的图象是双曲线,对称中心是点.幂函数图象的规律
25.对于幂函数y＝xα的图象应注意以下两个方面：
(1)α的正负：α＞0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升；α＜0时,图象不过原点,过(1,1),在第一象限的图象下降．
(2)曲线在第一象限的凹凸性,α＞1时,曲线下凸；0＜α＜1时,曲线上凸；α＜0时,曲线下凸．
26.根据图象高低判断幂指数大小的方法
幂函数的幂指数的大小,大都可通过幂函数的图象与直线的交点纵坐标的大小反映．一般地,在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,图象越远离x轴(不包括幂函数y＝x0)．
在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴．
27.进行指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,运算时应注意以下几点：①必须同底数幂相乘（除）,指数才能相加（减）；②运算的先后顺序：有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方运算,再乘除,最后后加减； = 3 \* GB3 ③当底数是负数时,先确定符号,把底数化为正数； = 4 \* GB3 ④运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数．
28.正确区分与： = 1 \* GB3 ①表示的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶性的限制,,但其值受n的奇偶性的限制,当n为大于1的奇数时,=a,当n为偶数时,=；②表示的n次幂,当n为奇数时,=a,,当n为偶数时,=.
29.下列关系式在指数幂的运算中经常用到：
= 1 \* GB3 ①, = 2 \* GB3 ②, = 3 \* GB3 ③, = 4 \* GB3 ④, = 5 \* GB3 ⑤.
30.已知(且),则.
31.底数对指数函数的影响如图是指数函数(1)y＝ax,(2)y＝bx,(3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,要比较底数a,b,c,d与1之间的大小,可作直线,由直线与四个图象交点的上下位置关系可得c>d>1>a>b.由此我们还可得到以下规律：在第一象限内,指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高,底数越大．
32.指数型函数的图象,一般可由基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到．如把(且)的图象经过平移、翻折、对称变换可得到的图象,注意的图象关于直线对称.
33. 一般地,如果＝N(a>0,且a≠1),那么数b叫做以a为底N的对数,记作b＝lgaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数．ab＝N⇔b＝lgaN(a>0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,它不仅体现了两者之间的相互关系,而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径.
34.对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．在运算性质lgaMn＝nlgaM中,要特别注意条件,在无M>0的条件下应为lgaMn＝nlga|M|(n∈N＋,且n为偶数)．
35. 对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
36. 对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常用到换底公式及其推论.
对数的换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．
换底公式的两个重要结论：(1)lgab＝eq \f(1,lgba)；其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R.
37. 比较对数式大小的类型及相应的方法：①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论．②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较．③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较．
38.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．如图,作直线y＝1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0