专题04 三角函数——【高考三轮冲刺】2023年新高考数学考前提分冲刺（原卷版+解析版）

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三角函数是新高考热点,新高考对三角函数的考查,主要有2个方面：一是三角变换.主要考查利用三角变换求值；二是三角函数的图象与性质,从近3年的命题模式看,一般是一道小题,通常为三角函数的图象与性质,有时也考查三角变换,难度通常为容易题或中等题.
二、三年新高考真题展示
1.（2020新高考山东卷）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像,则sin(ωx+φ)= （ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】由函数图像可知：,则,所以不选A,
当时,,
解得：,
即函数的解析式为：
.
而,故选BC.
2．（2021新高考全国卷Ⅰ）下列区间中,函数单调递增的区间是
A．B．,C．D．,
【答案】A
【解析】：令,．
则,．
当时,,,,,故选A．
3. （2022新高考全国卷Ⅰ）记函数的最小正周期为T．若,且的图象关于点中心对称,则
A. 1B. C. D. 3
【答案】A
【解析】由的最小正周期T满足,得,解得,由的图象关于点对称,所以,且,所以,所以,,所以.故选A
4.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知函数的图像关于点中心对称,则
A. 在区间单调递减
B. 在区间有两个极值点
C. 直线是曲线的对称轴
D. 直线是曲线的切线
【答案】AD
【解析】由题意得,所以,,
即,又,所以时,,故．
对A,当时,,由正弦函数单调性知在上是单调递减,A正确；
对B,当时,,由正弦函数单调性知在区间只有1个极值点,由,解得,即为函数的唯一极值点,B错误；
对C,当时,,,直线不是对称轴,C错误；
对D,由得,解得或,从而得或,
所以函数在点处的切线斜率为,
切线方程为即,D正确；故选AD．
三、知识、方法、技能
1.利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α的象限．弧度的角分别位于第几象限,你能判断吗？
2.三角函数诱导公式
（1）对于形如即满足中取偶数时：等于角的同名三角函数,前面加上一个把看成是锐角时,该角所在象限的符号；
（2）对于形如即满足中取奇数时：等于角的余名三角函数,前面加上一个把看成是锐角时,该角所在象限的符号.
（3）口诀：奇变偶不变,符号看象限（看原函数,同时可把看成是锐角）.
3.运用诱导公式转化角的一般步骤：
= 1 \* GB3 ①负化正：当已知角为负角时,先利用负角的诱导公式把这个角的三角函数化为正角的三角函数值；
= 2 \* GB3 ②正化负：当已知角是大于的角时,可用的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间内的三角函数值；
= 3 \* GB3 ③主化锐：当已知角是到内的角时,可利用的诱导公式把这个角的三角函数值化为到内的角.
4.利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点,选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值．
5.记住以下结论：
6.两角和与差的三角函数公式
（1）两角和与差的正弦公式：.
变形式：；
（2）两角和与差的余弦公式：
变形式：；；
（3）两角和与差的正切公式：.
变形式：.
7.运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式,我们不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.
8.二倍角公式的正弦、余弦、正切
（1）二倍角的正弦公式:；
二倍角的余弦公式:；
二倍角的正切公式: .
（2）降幂公式：；；.
（3）升幂公式：;;.
注意：在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于2是的二倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,同时还要注意三个角的内在联系的作用,是常用的三角变换.
9.如何利用“切弦互化”技巧
（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式,这样减少了变量,统一为“切”得表达式,进行求值.
常见的结构有:
① 的二次齐次式（如）的问题常采用“”代换法求解；
②的齐次分式（如）的问题常采用分式的基本性质进行变形．
（2）切化弦：利用公式,把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候,采用此技巧.
10.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路
基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:
（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.
如,,,,等.
(2)三角函数名互化：切割化弦,弦的齐次结构化成切.
(3)公式变形使用：如
(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式.
(5)式子结构的转化.
(6)常值变换主要指“1”的变换：等.
11.辅助角公式：(其中角所在的象限由的符号确定,的值由确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角为特殊角的情况即可.
如等.
12.三角函数的定义域:
正弦函数、余弦函数的定义域都是R；
正切函数定义域.
13.三角函数的值域：
（1）正弦、余弦函数值域都是.
对,当时,取最大值1；当时,取最小值－1；
对,当时,取最大值1,当 时,取最小值－1.
（2）正切函数值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值.
14.三角函数的单调区间：
（1）上单调递增,在单调递减；
（2）在上单调递减,在上单调递增；
（3） 在开区间内都是增函数.注意在整个定义域上不具有单调性.
15.型单调区间的确定
（A、＞0）的单调性,把看作一个整体,放在正弦函数的递增区间内解出,为上增函数；放在正弦函数的递减区间内解出为上减函数（）
对与的单调区间的求解和上述类似.
16．你能确定的单调区间吗？（提示先把其化为,其单调性与 的单调性相同）
17.三角函数的周期性
（1）正弦函数、余弦函数的最小正周期都是2；正切函数的最小正周期是,它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期.
（2）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.
18．型周期
和的最小正周期都是；
最小正周期.
14.三角函数的对称性
（1）正弦函数是奇函数,对称中心是,对称轴是直线；
（2）余弦函数是偶函数,对称中心是,对称轴是直线.
注意:正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线,对称中心为图象与轴的交点.
（3）正切函数是奇函数,对称中心是.
15.y＝Asin(ωx＋φ),当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)求得．y＝Acs(ωx＋φ),当φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
16. （1）及的最小正周期为；但及的最小正周期为；
（2）的最小正周期分别为；
（3）的最小正周期分别为.
17.三角函数的最值
求三角函数的最值,主要利用正、余弦函数的有界性,一般通过三角变换化为下列基本类型处理：
（1）,设化为一次函数在闭区间上的最值求之；
(2),引入辅助角,化为求解方法同类型(1)；
(3),设,化为二次函数在上的最值求之；
(4),设化为二次函数在闭区间上的最值求之；
(5)根据正弦函数的有界性,可转换为解决；
(6)的最值,可转化为讨论点与动点连线的斜率,而动点在单位圆上运动,利用几何方法易得所求三角函数的最值.
18.函数图像的变换（平移变换和上下变换）
平移变换：左加右减,上加下减
把函数向左平移个单位,得到函数的图像;
把函数向右平移个单位,得到函数的图像;+网】
把函数向上平移个单位,得到函数的图像;
把函数向下平移个单位,得到函数的图像.
伸缩变换:
把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的,得到函数的图像;
把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,得到函数的图像;
把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的,得到函数的图像;
把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的,得到函数的图像.
19.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0,ω＞0)的步骤和方法：
(1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m,
则A＝eq \f(M－m,2),b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω,确定函数的最小正周期T,则可得ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ,常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②特殊点法：确定φ值时,往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝eq \f(π,2)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝eq \f(3π,2).
20.由的图象变换出的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换.利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(),便得的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍(),再沿轴向左()或向右()平移个单位,便得的图象.
注意：函数的图象,可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.
四、新高考地区最新模拟试题精选
一、单选题
1．（2022届河北省邯郸市高考二模）函数在上的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时,,当时,即 时,取最大值1,当,即 时,取最小值大于 ,故值域为,故选C
2．（2023届福建省宁德市高三上学期期中）将函数的图象向右平移个单位,所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函数的图象向右平移个单位得到,即,故选C
3．（2023届山东省东营市广饶县高三上学期12月月考）已知,．则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】,解得,由于,所以,,.
.故选C
4．（2023届湖北省部分优质重点高中高三上学期12月联考）智能降噪采用的是智能宽频降噪技术,立足于主动降噪原理,当外界噪音的声波曲线为时,通过降噪系统产生声波曲线将噪音中和,达到降噪目的．如图,这是某噪音的声波曲线的一部分,则可以用来智能降噪的声波曲线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由图可知,,噪音的声波曲线的最小正周期,则．
因为噪音的声波曲线过点,所以,
则．又,所以,
即噪音的声波曲线为,
则可以用来智能降噪的声波曲线为．故选C.
5．（2023届湖南省益阳市高三上学期期末）已知函数,若,,则对应的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题可知函数关于直线对称,又因为,所以函数关于点中心对称,所以,即,
所以,即得,又因为,
所以时,符合,
所以,又由,得,
所以,由,可知当时,符合.故选C.
6．（2023届广东省深圳中学高三上学期10月测试）已知函数,则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,
令,
即,
由,则.故选A.
7．（2023届江苏模拟B卷）已知函数在上单调递增,且当时,恒成立,则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知,函数在上单调递增,
所以,解得：,
由于,所以,解得：①
又因为函数在上恒成立,
所以,解得：,
由于,所以,解得：②
又因为,当时,由①②可知：,解得；
当时,由①②可知：,解得.
所以的取值范围为.故选B.
8．（2023届重庆市十八中两江实验中学校高三第一次全真模拟）已知,函数恰有3个零点,则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设,,求导
由反比例函数及对数函数性质知在上单调递增,
且,,故在内必有唯一零点,
当时,,单调递减；
当时,,单调递增；
令,解得或2,可作出函数的图像,
令,即,在之间解得或或,
作出图像如下图
数形结合可得：,故选A
9．（2023届河北衡水中学高三模拟）函数的最大值为（ ）.
A．B．C．D．3
【答案】D
【解析】因为,
所以,
故的最大值转化为点到与的距离之差的最大值,
因为,,,
所以,
当且仅当时,等号成立,则,
经检验,此时,,
所以,即的最大值为.故选D.
10．（2023届福建省福州市屏东中学高三上学期10月月考）函数,已知为图象的一个对称中心,直线为图象的一条对称轴,且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为,则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知：或
∴或
∴或
∵在上单调递减,∴
∴
①当时,取知
此时,当时,
满足在上单调递减,∴符合
取时,,此时,当时,满足在上单调递减,∴符合
当时,,舍去,当时,也舍去
②当时,取知
此时,当时,
,此时在上单调递增,舍去
当时,,舍去,当时,也舍去
综上：或2,.故选A.
二、多选题
11．（2023届山东省青岛市市北区高三上学期月考）已知,,则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】因为,
所以,则,
因为,所以,,
所以,故A正确；
所以,
所以,故D正确；
联立,可得,,故B正确；
所以,故C错误.故选ABD.
12．（2023届湖北省新高考联考协作体高三上学期期末）已知函数的部分图象如图,则（ ）
A．函数解析式
B．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数在区间上的最小值为
【答案】CD
【解析】由题图知：,函数的最小正周期满足,即,
则,所以函数．
将点代入解析式中可得,
则,得,
因为,所以,因为,故A错误；
将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像,故B错误；
由,当时,,
所以,所以直线是函数图象的一条对称轴,故C正确；
当时,,
所以,即,即最小值为,故D正确．故选CD.
13．（2023届湖南省岳阳地区高三上学期适应性考试）设函数,已知在上有且仅有4个零点,则（ ）
A．的取值范围为
B．的图像与直线在上的交点恰有2个
C．的图像与直线在上的交点恰有1个
D．在上单调递增
【答案】AB
【解析】当时,,
因为在上有且仅有4个零点,
所以,解得,故A正确.
又由以上分析知,函数在上有且仅有4个零点,
且,则在上,出现两次最大值,
即在上两次出现最大值1,
即取时,取最大值,
故的图像与直线在上的交点恰有2个,故B正确.
由于当时, ,
,当时,
取最小值,由于是否取到不确定,
故的图像与直线在上的交点可能是1个或2个,故C错误.
当时,
因为,所以,,
故不一定小于,所以在上一定不单调递增.故D错误,故选AB.
三、填空题
14．（2023届湖南省长沙市高三上学期新高考适应性考试）已知函数,若函数的图象关于点中心对称,且关于直线轴对称,则的最小值为______．
【答案】3
【解析】由题知的图象关于点中心对称,且关于直线轴对称,
则与之间的距离为,即,,
即,,因为,所以当时,的最小值为3.
15．（2023届广东省深圳市深圳中学高三上学期第二次阶段测试）已知,为锐角,且,,则___________.
【答案】
【解析】为锐角,,则,
,且,,解得
16．（2022届江苏省泰州市兴化市高三下学期4月模拟）已知函数,若至少存在两个不相等的实数,使得,则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】至少存在两个不相等的实数,使得,
当,即时,必存在两个不相等的实数满足题意；
当,即时,,
,；
当时,解集为,不合题意；令,则；令,则；
综上所述：实数的取值范围为.
五、延伸拓展
聚焦ω的取值范围问题
由函数满足的一些条件,求实数ω的取值范围,是三角函数中比较典型的一类问题,这类问题由于涉及到参数问题,题目大多比较灵活,能有效的考查三角函数的基本性质,因此备受命题者的青睐,下面以题组形式对这一问题作些探究,供同学们参考.
【题组】已知函数
= 1 \* GB2 ⑴若在上是增函数,求实数ω的取值范围；
= 2 \* GB2 ⑵若在 上的最小值为,求实数ω的取值范围；
= 3 \* GB2 ⑶若满足存在,对任意,恒有,求实数ω的取值范围；
= 4 \* GB2 ⑷若在上至少取得50次最大值,求实数ω的取值范围；
= 5 \* GB2 ⑸若对任意,在上的值域为,求实数ω的取值范围；
= 6 \* GB2 ⑹若在是减函数,求实数ω的取值范围.
下面对所给题组逐个进行分析,并给出变式训练供同学们参考使用.
= 1 \* GB2 ⑴【解析】由ω>0知在 上是增函数,要使在 上是增函数,应满足≥且,解得0<ω≤,故实数ω的取值范围是.
【变式训练1】已知在上是减函数,求ω的取值范围.
【答案】
【变式训练2】已知函数在上单调递减．求实数的取值范围.
【答案】
⑵【解析】当x∈ 时,ωx∈,所以要使在上的最小值为,应有≥或≤,解得ω≥3.故实数ω的取值范围是.
【变式训练3】若 在有最小值,求实数ω的取值范围.
【答案】
⑶【解析】满足存在,对任意,恒有,即在上的值域为 ,所以周期故实数ω的取值范围是.
【变式训练4】已知函数,如果存在实数,使得对任意的实数,都有 成立,求实数ω的取值范围.
【答案】
= 4 \* GB2 ⑷【解析】设的最小正周期为T,则在上取得第50次最大值时,x=+49T=T=×=,所以要使在上至少取得50次最大值,应满足≤1,解得ω≥,故实数ω的取值范围是.
【变式训练5】若在上至多取得3次极小值,求实数ω的取值范围.
【答案】
= 5 \* GB2 ⑸【解析】在任意长度为一个周期的闭区间上的值域均为,若对任意,在上的值域为,应满足T≤1,即≤1,解得ω≥2,故实数ω的取值范围是.
【变式训练6】若存在a∈R,使得在上的值域为,求实数ω的取值范围.
【答案】
= 6 \* GB2 ⑹在是减函数,则在时恒成立,所以,即故实数ω的取值范围是.
【变式训练7】在是增函数,求实数ω的取值范围.
【答案】