专题11 解析几何——【高考三轮冲刺】2023年新高考数学考前提分冲刺（原卷版+解析版）

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解析几何是高考的重点,一般有3道或4道试题,若有3道试题,一般是椭圆、双曲线、抛物线各有1道试题,若有4道题,另一道题一般是直线与圆.客观题主要考查圆锥曲线的几何性质,考查热点椭圆与双曲线的离心率,双曲线的渐近线,圆锥曲线的定义等,解答题一般有2问,第1问通常是确定圆锥曲线的方程,第2问一般是直线与圆锥曲线,定点、定值及最值与范围是考查热点,该题一般运算量比较大,位于为21题或22题位置.
二、三年新高考真题展示
1.（2020新高考山东卷）已知曲线.（ ）
A. 若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B. 若m=n>0,则C是圆,其半径为
C. 若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为
D. 若m=0,n>0,则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A,若,则可化为,因为,所以,
即曲线表示焦点在轴上的椭圆,故A正确；对于B,若,则可化为,
此时曲线表示圆心在原点,半径为的圆,故B不正确；对于C,若,则可化为,此时曲线表示双曲线,由可得,故C正确；对于D,若,则可化为,,此时曲线表示平行于轴的两条直线,故D正确；故选ACD.
2.（2020新高考山东卷）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则=________．
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为,∴抛物线焦点F坐标为,又∵直线AB过焦点F且斜率为,∴直线AB的方程为：,代入抛物线方程消去y并化简得,
解法一：解得
所以
解法二：
设,则,
过分别作准线的垂线,设垂足分别为如图所示.
3.（2020新高考山东卷）已知椭圆C：的离心率为,且过点A（2,1）．
（1）求C的方程：
（2）点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足．证明：存在定点Q,使得|DQ|为定值．
【解析】(1)由题意可得：,解得：,故椭圆方程为：.
(2)设点.
因为AM⊥AN,∴,即,①
当直线MN的斜率存在时,设方程为,如图1.
代入椭圆方程消去并整理得：
②,
根据,代入①整理可得：

将②代入,,
整理化简得,
∵不在直线上,∴,
∴,
于是MN的方程为,
所以直线过定点直线过定点.
当直线MN的斜率不存在时,可得,如图2.
代入得,
结合,解得,
此时直线MN过点,

由于AE为定值,且△ADE为直角三角形,AE为斜边,
所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）.
由于,故由中点坐标公式可得.
故存在点,使得|DQ|为定值.
4．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知,是椭圆的两个焦点,点在上,则的最大值为
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】,是椭圆的两个焦点,点在上,,
所以,当且仅当时,取等号,
所以的最大值为9．故选．
5．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知点在圆上,点,,则
A．点到直线的距离小于10B．点到直线的距离大于2
C．当最小时,D．当最大时,
【答案】ACD
【解析】,,
过、的直线方程为,即,
圆的圆心坐标为,
圆心到直线的距离,
点到直线的距离的范围为,,
,,,
点到直线的距离小于10,但不一定大于2,故正确,错误；
如图,当过的直线与圆相切时,满足最小或最大点位于时最小,位于时最大）,
此时,
,故正确．
故选．
6．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知为坐标原点,抛物线的焦点为,为上一点,与轴垂直,为轴上一点,且．若,则的准线方程为 ．
【答案】
【解析】由题意,不妨设在第一象限,则,,,．
所以,所以的方程为：,时,,
,所以,解得,
所以抛物线的准线方程为：．
7．（2021新高考全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系中,已知点,,,,点满足．记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在直线上,过的两条直线分别交于,两点和,两点,且,求直线的斜率与直线的斜率之和．
【解析】（1）由双曲线的定义可知,的轨迹是双曲线的右支,设的方程为,
根据题意,解得,
的方程为；
（2）设,直线的参数方程为,
将其代入的方程并整理可得,,
由参数的几何意义可知,,,则,
设直线的参数方程为,,,同理可得,,
依题意,,则,
又,故,则,即直线的斜率与直线的斜率之和为0．
8. （2021新高考全国卷Ⅱ）若抛物线的焦点到直线的距离为,则（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为,其到直线的距离：,解得：(舍去)故选B.
9. （2021新高考全国卷Ⅱ） 已知直线与圆,点,则下列说法正确的是（ ）
A. 若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B. 若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D. 若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】圆心到直线l的距离,
若点在圆C上,则,所以,
则直线l与圆C相切,故A正确；
若点在圆C内,则,所以,
则直线l与圆C相离,故B正确；
若点在圆C外,则,所以,
则直线l与圆C相交,故C错误；
若点在直线l上,则即,
所以,直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.
10. （2021新高考全国卷Ⅱ）已知双曲线的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为_______________
【答案】
【解析】因为双曲线的离心率为2,
所以,所以,
所以该双曲线的渐近线方程为.故答案为：.
11. （2021新高考全国卷Ⅱ）已知椭圆C的方程为,右焦点为,且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M,N是椭圆C上的两点,直线与曲线相切．证明：M,N,F三点共线的充要条件是．
【解析】（1）由题意,椭圆半焦距且,所以,
又,所以椭圆方程为；
（2）由（1）得,曲线为,
当直线的斜率不存在时,直线,不合题意；
当直线的斜率存在时,设,
必要性：
若M,N,F三点共线,可设直线即,
由直线与曲线相切可得,解得,
联立可得,所以,
所以,
所以必要性成立；
充分性：设直线即,
由直线与曲线相切可得,所以,
联立可得,
所以,
所以
,
化简得,所以,
所以或,所以直线或,
所以直线过点,M,N,F三点共线,充分性成立；
所以M,N,F三点共线的充要条件是．
12. （2022新高考全国卷Ⅰ）已知O为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交C于P,Q两点,则
A. C的准线为B. 直线AB与C相切
C. D.
【答案】BCD
【解析】将点坐标代入得,所以抛物线C的方程为,故准线方程为,A错误；
,所以直线的方程为,
联立,可得,解得,故B正确；
设过的直线为,若直线与轴重合,则直线与抛物线只有一个交点,
所以,直线的斜率存在,设其方程为,,
联立,得,
所以,所以或,,
又,,
所以,故C正确；
因为,,
所以,而,故D正确.
故选BCD
13. （2022新高考全国卷Ⅰ）写出与圆和都相切的一条直线的方程_______．
【答案】或或
【解析】圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为,两圆圆心距为,等于两圆半径之和,故两圆外切,
如图,当切线为l时,因为,所以,设方程为
O到l的距离,解得,所以l的方程为,
当切线为m时,设直线方程为,其中,,
由题意,解得,
当切线为n时,易知切线方程为,
14. （2022新高考全国卷Ⅰ）已知椭圆,C的上顶点为A,两个焦点为,,离心率为．过且垂直于的直线与C交于D,E两点,,则的周长是________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为,∴,∴,∴C的方程可化为,不妨设左焦点为,右焦点为,如图所示,∵,∴,∴为正三角形,∵过且垂直于的直线与C交于D,E两点,为线段的垂直平分线,直线的方程：,代入椭圆方程,整理化简得,
∴,
∴ , 得, ∵为线段的垂直平分线,根据对称性,,∴的周长等于的周长,利用椭圆的定义得周长为.
15. （2022新高考全国卷Ⅰ）已知点在双曲线上,直线l交C于P,Q两点,直线的斜率之和为0．
（1）求l的斜率；
（2）若,求的面积．
【解析】（1）因为点在双曲线上,
所以,解得,
所以双曲线C的方程为,
设,易知直线l的斜率存在,设,
由得,,
所以,,．
由得,
即,
即,
所以,
化简得,,即,
所以或,
当时,直线过点,与题意不符,舍去,
故．
（2）不妨设直线的倾斜角为,因为,所以,
由（1）知,,
当均在双曲线左支时,,所以,
即,解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行,与双曲线左支无交点,舍去；
当均在双曲线右支时,
因为,所以,即,
即,解得（负值舍去）,
于是,直线,直线,
联立可得,,
因为方程有一个根为,所以,,
同理可得,,．
所以,,
点到直线的距离,
故的面积为．
16.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知O为坐标原点,过抛物线焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点,若,则
A. 直线的斜率为B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A,易得,由可得点在的垂直平分线上,则点横坐标为,代入抛物线可得,则,则直线的斜率为,A正确；
对于B,由斜率为可得直线的方程为,联立抛物线方程得,设,则,则,代入抛物线得,解得,则,则,B错误；
对于C,由抛物线定义知：,C正确；
对于D,,则为锐角,
又,则为锐角, ,D正确.故选ACD.
17.（2022新高考全国卷Ⅱ）设点,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为,在直线上,
所以所在直线即为直线,所以直线的方程为,即；
圆,圆心,半径,由直线l与圆有公共点,
得圆心到直线的距离,即,解得,即
18.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且,则l的方程为_______．
【答案】
【解析】解法一：设的中点为,因为,所以,
设,,则,,
所以,即
所以,即,设直线,,,
令得,令得,即,,所以,
即,解得或（舍去）,又,即,解得或（舍去）,所以直线,即
19.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知双曲线的右焦点为,渐近线方程为．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点在C上,且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
【解析】（1）设,∵C的右焦点为,∴,即,
∵C的渐近线方程为,∴,即,
由得,,
∴C的方程为.
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零,直线的斜率不为零,
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②,则为线段的中点,假若直线的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知在轴上,即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称,从而,与已知不符；
总之,直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上,等价于；
两渐近线方程合并为,
联立消去y并化简整理得,
设,线段中点,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
,
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中,
得,
解得,
同理得,
∴
∴,
∴条件②等价于,
综上所述：
条件①在上,等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得,,
∴,∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：,,∴,
∴,∴①成立.
三、知识、方法、技能
1直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k＝tanα联系．(2)在使用过两点的直线的斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x＝x1.(3)已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤：①求出斜率k的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为90°)；②利用正切函数的单调性，借助正切函数的图象或单位圆确定倾斜角的取值范围．(4)直线的斜率与倾斜角的关系：①当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))且由0增大到eq \f(π,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))时，k由0增大到＋∞；②当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))且由eq \f(π,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))增大到π(α≠π)时，k由－∞增大并趋近于0(k≠0)．
2.给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；
3.对于直线方程来说，要注意的是：每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的.在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形.如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A2＋B2≠0而出现增解.
4.直线在x轴上的截距是直线与x轴的交点的横坐标，直线在y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标，注意截距不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距可能为0.截距相等包括经过原点的直线.
5. 运用直线系方程，有时会使解题更为简单快捷，常见的直线系方程有：
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
6. 无论是判断两条直线平行还是垂直，都是从两方面来讨论的，即两条直线斜率都存在的情况和两条直线至少有一条斜率不存在的情况.由两直线平行求参数要注意排除重合的情况.
7.运用公式d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(C1－C2)),\r(A2＋B2))求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x，y的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离.这一方法体现了化归思想的应用.
8.判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1·k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论．设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
9.解析几何是用代数的方法解决几何问题，所以灵活运用平面几何中相关的性质、定理会使求解过程简捷、明快，如四边形有外接圆的充要条件：对角互补.
10.有关直线与点的对称问题可分为四类：两点关于一点成中心对称；两线关于一点成中心对称；两点关于一直线成轴对称；两线关于一直线成轴对称，前两类较简单，后两类主要应用中点、垂直等条件解决.求曲线关于点或直线对称曲线的主要步骤是：①在已知曲线上任取一点M(x，y)；②求出这点关于对称中心或对称轴的对称点M′(x′，y′)；③已知曲线方程用x′，y′表示，求出所求曲线的方程G(x′，y′)＝0.
11.关于中心对称问题的处理方法：
①若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1.))
②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在．
12.关于轴对称问题的处理方法：
①点关于直线的对称．若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
②直线关于直线的对称．此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
13.与角平分线有关的问题常转化为轴对称问题.
14.求圆的方程必须具备三个独立的条件.从圆的标准方程来讲，关键在于求出圆心坐标和半径长；从圆的一般方程来讲，若知道圆上的三个点则可求出圆的方程.因此，待定系数法是求圆的方程的常用方法.(2)用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”等.(3)常见圆的方程的设法：
15.由圆的标准方程和圆的一般方程，可以看出方程中都含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法.
16.求圆的方程的方法
(1)几何法：即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心坐标和半径长)，进而求得圆的方程.
(2)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式；②利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解②中的方程组，求得a，b，r或D，E，F的对应值，代入圆的标准方程或一般方程.
17.具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程，常见的圆系方程有以下几种：
= 1 \* GB3 ①同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).其中的a，b是定值，r是参数.
②半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).其中r是定值，a，b是参数.
③过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R).
④过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此应用时注意检验C2是否满足题意，以防丢解).当λ＝－1时，圆系方程表示直线l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.若两圆相交，则l为两圆相交弦所在直线；若两圆相切，则l为公切线.
18.在解决直线和圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时，一般不讨论Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系，即dr，分别确定相交、相切、相离.
19.要特别注意利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等.可以说，适时运用圆的几何性质，将明显减少代数运算量，请同学们切记.
20.涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)引圆的切线，T为切点，切线长公式为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MT))＝eq \r(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
21.计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形.当然，不失一般性，圆锥曲线的弦长公式eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \r(1＋k2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－x2))(A(x1，y1)，B(x2，y2)为弦的两个端点)也应重视.
22.已知⊙O1：x2＋y2＝r2；⊙O2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；⊙O3：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
若点M(x0，y0)在圆上，则过M的切线方程分别为x0x＋y0y＝r2；(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；x0x＋y0y＋D·eq \f(x0＋x,2)＋E·eq \f(y0＋y,2)＋F＝0.
若点M(x0，y0)在圆外，过点M引圆的两条切线，切点为M1，M2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为x0x＋y0y＝r2；(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；x0x＋y0y＋D·eq \f(x0＋x,2)＋E·eq \f(y0＋y,2)＋F＝0.
23.研究两圆的位置关系时，要灵活运用平面几何法、坐标法.两圆相交时可由两圆的方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程.
24.已知点及圆C：，若点P在圆C上，则直线为圆C在点P处的切线；若点P在圆C外，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB方程为；若点P在圆C内，过点P的直线与圆C交于点A，B，过A，B作圆C的切线，则两切线交点轨迹方程为.
25.椭圆及其标准方程：
（1）椭圆的定义：椭圆的定义中,平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||,则这样的点不存在；若距离之和等于||,则动点的轨迹是线段.
（2）椭圆的标准方程：（＞＞0）,（＞＞0）.
椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母,则椭圆的焦点在x轴上,反之,焦点在y轴上.
求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.
如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点）,求其标准方程时,为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或；
（3）椭圆的参数方程： 椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.
26．椭圆的简单几何性质
（1）设椭圆方程为（＞＞0）.
范围： -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.
对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
顶点：有四个（-a,0）、（a,0）（0,-b）、（0,b）. 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.
（2）离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时,椭圆越扁；反之,e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.
椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.
（3）在椭圆中,如果一个三角形的两个顶点是焦点,另一个顶点在椭圆上,称该三角形为焦点三角形,则三角形的周长为定值等于,面积等于,其中是短半轴的长；
过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为eq \f(2b2,a)
27．双曲线及其标准方程：
（1）双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件2a＜||,这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||,则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||,则无轨迹.
若＜时,动点的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若＞时,轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.
（2）双曲线的标准方程：和（a＞0,b＞0）.这里,其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数,则焦点在x轴上；如果项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,不一定大于,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
求双曲线的标准方程,应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.
如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点）,求其标准方程时,为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或
28．双曲线的简单几何性质
（1）双曲线的实轴长为,虚轴长为,离心率＞1,离心率e越大,双曲线的开口越大.
双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是,即,那么双曲线的方程具有以下形式：,其中k是一个不为零的常数.
（2）在双曲线中,a、b、c、e四个元素间有与的关系,与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.
（3）在双曲线中,如果一个三角形的两个顶点是焦点,另一个顶点在椭圆上,称该三角形为焦点三角形,则面积等于,其中是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为
29．抛物线的标准方程和几何性质
（1）抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.这个定点F叫抛物线的焦点,这条定直线l叫抛物线的准线.
需强调的是,点F不在直线l上,否则轨迹是过点F且与l垂直的直线,而不是抛物线.
（2）抛物线的方程有四种类型：、、、.
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向.
30.抛物线的几何性质,以标准方程y2=2px为例
（1）范围：x≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0,由方程和图像均可以看出；
（3）顶点：O（0,0）,注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1,由于e是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；
（5）准线方程；
（6）焦半径公式：抛物线上一点,F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：
（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式.设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB,A,B,AB的倾斜角为,则有或,以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求.
在抛物线中,以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切；
31.双曲线与椭圆的离心率就是的值,有些试题中可以直接求出的值再求离心率,在有些试题中不能直接求出的值,由于离心率是个比值,因此只要能够找到一个关于或的方程,通过这个方程解出或,利用公式求出,对双曲线来说,,对椭圆来说,.
32．最值或范围问题的解决方法
解析几何中的最值问题涉及的知识面较广,解法灵活多样,但最常用的方法有以下几种：
(1)利用函数,尤其是二次函数求最值；
(2)利用三角函数,尤其是正、余弦函数的有界性求最值；
(3)利用不等式,尤其是基本不等式求最值；
(4)利用判别式求最值；
(5)利用数形结合,尤其是切线的性质求最值．
33．求定值问题的方法
定值问题是解析几何中的一种常见问题,基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量,然后通过推导和已知条件,消去变量,得到定值,即解决定值问题首先是求解非定值问题,即变量问题,最后才是定值问题．
34． 有关弦的问题
(1)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”；有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算．
①斜率为的直线与圆锥曲线交于两点,,则所得弦长或,其中求与时通常使用根与系数的关系,即作如下变形：
,.
②当斜率不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式)．
(2)弦的中点问题
有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算．
35.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量或；
（2）给出与相交,则已知过的中点;
（3）给出,则是的中点;
（4）给出,则与的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,则三点共线.
（6） 给出，则是的定比分点，为定比，即
（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,则是锐角,
（8）给出,则是的平分线/
（9）在平行四边形中，给出，则是菱形;
（10） 在平行四边形中，给出，则是矩形;
（11） 在中，给出,则是中边的中线;
36.与定点问题有关的基本结论
（1）若直线与抛物线交于点，则直线l过定点；
（2）若直线与抛物线交于点，则直线l过定点；
（3）设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点.
（4）设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点；
（5）过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点；
（6）过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点；
（7）设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点；
（8）设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点.
37.与定值有关的结论
（1）若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则；
（2）若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则.
（3）设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则直线AB斜率为定值；
（4）设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值；
（5）设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值.
（6）设是椭圆上不同3点,B,C关于x轴对称,直线AC,BC与x轴分别交于点,则.
（7）点A,B是椭圆C：上动点,O为坐标原点,若,则=（即点O到直线AB为定值）
（8）经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则.
（9）过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.
（10） 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,则：.
四、新高考地区最新模拟试题精选
一、单选题
1．(2023届河北省部分学校高三上学期期末)已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上且在第一象限，线段的中点Q在C的渐近线上，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，且， ，
C：的左焦点为，由中点坐标公式可得，
双曲线的渐近线方程为：，
将代入得，即
又，
两式联立可求解得 ，
故 ,故选B
2．（2023届福建省泉州市部分校高三下学期1月联考）已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为A，若为直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】椭圆的上顶点为，左、右两焦点分别为，，
若为直角三角形，由椭圆的对称性知：，又，可得：，
.故选D.
3．（2023届福建省部分地市高三第一次质量检测）双曲线的下焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在x轴上，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知：，设，，的中点为，过点的圆的圆心坐标为，则，
由题意知：直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，
联立方程组，消元可得：，
则，，
由韦达定理可得：，，所以的中点的坐标，则，由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，所以，
整理可得： （*），则圆心到直线的距离，
由弦长公式可得：，
由垂径定理可得：，
也即，将（*）代入可得：
，即，
整理可得：，则，因为，
所以，则，故选.
4．（2023届福建省福州格致中学高三上学期月考）在平面直角坐标系中，已知A，B为圆上两动点，点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由，要使最大只需P到中点C距离最大，
又且，
令，则，
整理得，
所以C轨迹是以为圆心，2为半径的圆，又，即P在圆内，
故，而，故.故选D.
5．（2022届山东省潍坊市高三下学期三模）已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线交的右支于点，若△是等腰三角形，且的内角平分线与轴平行，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】联立且在第一象限，可得，而，，
所以，，
由题设，，故△是等腰直角三角形，
所以，而的内角平分线与轴平行，
所以，又，可得，
则，可得，
所以.故选B
二、多选题
6．（2023届湖北省部分学校高三12月联考）已知直线，圆，则（ ）
A．直线过定点
B．圆的半径是1
C．存在一个实数，使得直线经过圆的圆心
D．无论取何值，直线与圆相交
【答案】ACD
【解析】变形为，
令，解得：，
可得直线过定点，正确；
变形为，
圆的圆心为，半径为3，则B错误；
将代入直线中，
，解得：，
当时，直线经过圆心，则正确；
将代入中，，
故点在圆内，所以无论取何值，直线与圆都相交，则D正确.故选ACD
7．（2023届湖南省部分学校高三下学期2月联考）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A．四边形面积的最大值为2B．四边形周长的最大值为
C．为定值D．四边形面积的最小值为8
【答案】AB
【解析】依题意，，解得，即抛物线：，焦点，直线，与坐标轴不垂直，
因为，，则四边形为矩形，则，
由，得，当且仅当时，等号成立，
所以四边形面积的最大值为2，故A正确．
由，当且仅当时，等号成立，得，
所以四边形周长的最大值为，故B正确．
设直线的方程为，，，，
联立消得，则
则，
同理，所以，故C不正确．
，所以，当且仅当时，等号成立，此时，故D不正确．故选AB.
8．（2023届广东省东莞市高三上学期期末）已知直线l：与椭圆交于A，B两点，点为椭圆的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，存在使得
B．当时，的最小值为
C．当时，存在使得
D．当时，的最小值为
【答案】ABC
【解析】由得，所以，
联立，消去并整理得，
，即，
设、，
则，，
所以
，
对于A，当时，过椭圆的左焦点，
此时，
若，则由，得，
所以，解得，，
所以存在，使得，故A正确；
对于B，当时，，，
所以
，
令，则，
则，
因为，所以当，即，时，取最小值，故B正确；
对于C，当时，，此时存在使得，故C正确；
对于D，当时，，
，
所以
，
因为且，所以，所以，
所以当时，取最小值，.故D不正确.故选ABC
三、填空题
9．（2023届江苏省扬州市高三下学期期初考试）双曲线的左､右焦点分别为，，且右支上有一点，则=______.
【答案】
【解析】的焦点为，故，
由题意得：，解得：，
因为在右支上，所以，
故，所以，
故.
10．（2023届辽宁省协作校高三上学期期末）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点，若，则直线的斜率为______.
【答案】
【解析】因为，，，
所以，所以，，
所以
11．（2023届河北省石家庄市第二中学高三上学期期中）椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于A，B两点，若，，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率为__________
【答案】
【解析】
如图，因为，所以，即，
所以为线段的一个三等分点，
又因为，所以，即，
所以，所以点为椭圆的上顶点，
因为，，且，所以，
代入椭圆方程，得，因为，所以.
四、解答题
12．（2023届福建省漳州市高三第二次质量检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且．过右焦点的直线l与C交于A，B两点，的周长为．
(1)求C的标准方程；
(2)过坐标原点O作一条与垂直的直线，交C于P，Q两点，求的取值范围；
(3)记点A关于x轴的对称点为M（异于B点），试问直线BM是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是请说明理由．
【解析】（1）由题意可得，解得，
故椭圆C的标准方程.
（2）由（1）可知：，则有：
当直线l不与x轴重合时，设，则，
联立直线l与椭圆C的方程，消去x得，
则，
故，
联立直线与椭圆C的方程，消去y得，
设，则，
故，
可得，
令，则，
故，
∵的对称轴为，则在上单调递减，且，
∴，故；
当直线l与x轴重合时，则，故；
综上所述：的取值范围为.
（3）过定点，理由如下：
当直线l不与x轴重合时，设，则，
由（2）可得：，
则直线的斜率，
故直线的方程，即，
对，
可得直线的方程过定点；
当直线l与x轴重合时，则直线即为x轴也过；
综上所述：直线过定点.
13．（2023届山东省济南市高三下学期开学考试）已知双曲线的实轴长为2，直线为的一条渐近线．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得，即.
因为的渐近线方程为.
所以，
所以，
故的方程为：.
（2）当直线不与轴重合时，
设直线的方程为，
代入，得，
即．
设点，
则．
设点，
则
，
若为定值，
令
解得，
此时．
当直线l与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点．
对于点，
所以存在定点，使为定值．
14．（2023届湖北省部分重点中学高三上学期1月联考）已知抛物线：的焦点为，直线交抛物线于两点（异于坐标原点），交轴于点（），且，直线，且与抛物线相切于点.
(1)求证：三点共线；
(2)过点作该抛物线的切线（点为切点），交于点.
（ⅰ）试问，点是否在定直线上，若在，请求出该直线，若不在，请说明理由；
（ⅱ）求的最小值.
【解析】（1）由题可知，设，
又，由得，
所以，即，
所以直线的斜率为，
设，由可得，
所以直线的斜率为，
又，即，所以，得
所以，，
即，则三点共线.
（2）（ⅰ）点在定直线上，理由如下：
直线的斜率为，所以直线的方程为
即
过点的切线斜率为，所以直线的方程为
即，
交于点，解得
因此，点在定直线上.
（ⅱ）由（1）知直线的斜率为，方程为，
即，
联立抛物线方程整理得，
所以，
所以
又因为，所以点到的距离等于点到直线的距离，
而到直线的距离为
所以
而，当且仅当，即时等号成立；
所以，
即的最小值为16.
15．（2023届湖南省名校考前演练）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若△为等边三角形，且点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
【解析】（1）∵△为等边三角形，且，
∴，
又∵，∴，
设椭圆的方程为，
将点代入椭圆方程得，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）由已知得，设，,
则直线的斜率为，直线的方程为，
即点坐标为，
直线的斜率为，直线的方程为，
即点坐标为,
∵,∴,∴，
又∵，，
∴，即，
整理得，
①若直线的斜率存在时,设直线的方程为，
将直线方程与椭圆方程联立得，
其中，
，，
即，，，
所以或，
当时，直线的方程为，此时直线恒过点，
当时，直线的方程为，此时直线恒过点，
②若直线的斜率不存在时，
由得，
即，解得或，
此时直线的方程为或，
所以此时直线恒过点或，
综上所述，直线恒过点或.
16．（2023届广东省梅州市高三一模）已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，点为轨迹上异于的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线､的斜率分别为､.
（i）求证：为定值；
（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
【解析】（1）设动圆的半径为，由题意得圆的圆心为，半径；
所以，，
则.
所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.
因此轨迹方程为.
（2）（i）设，，.
由题可知，，如下图所示：
则，，
而，于是，
所以，
又，则，
因此为定值.
（ii）设直线的方程为，，.
由，得，
所以.
由（i）可知，，即，
化简得，解得或（舍去），
所以直线的方程为，
因此直线经过定点.
五、延伸拓展
（一）阿波罗尼奥斯圆
阿波罗尼奥斯（Apllnius约公元前262~约前190）与欧几里德、阿基米德被称为古希腊亚历山大前期的三大数学家.年轻时在亚历山大跟从欧几里德的门徒学习，其贡献涉及几何学诸领域及天文学，他最重要的数学成就，是在前人工作的基础上创立了完美的圆锥曲线理论，《圆锥曲线论》就是这方面的系统总结，这部巨著将圆锥曲线的性质网络殆尽，阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的研究所达高度，直至17世纪笛卡儿、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越.
《圆锥曲线论》共8卷， 前4卷的希腊文本和其次3卷的阿拉伯文本保存了下来，最后一卷遗失.此书集前人之大成，且提出很多新的性质.他推广了梅内克缪斯（公元前4 世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证明了三种圆锥曲线都可以由同一圆锥体截取而得，改变了过去要用三种不同的锥体截取的方法，继而给出拋物线、椭圆、双曲线，正交弦等名称，取代了过去的直角圆锥曲线、钝角圆锥曲线和锐角圆锥曲线的叫法.书中已有坐标制思想.他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发.阿波罗尼奥斯还有好几种著作.他在《取火镜》中证明了平行光线投影在凹球面镜上，反射光线并不集中在球心，抛物面镜才有这种聚焦的性质.在《相切》一书中他提出后来被称为“阿波罗尼奥斯问题”的有名作图题.
平面内到两个定点的距离之比为常数（>0且1)的点的轨迹是圆，这个圆就是阿波罗尼奥斯圆,它是阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时提出的,有些资料把它称为圆的第二定义,其证明并不困难,这里从略,对于阿波罗尼奥斯圆在解题中的应用,近两年的高考模拟试题时有涉及,下面就是一道与阿波罗尼奥斯圆有关的高考模拟试题:
【例1】阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时提出一个结论：平面内到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹是圆,这个圆被称为阿波罗尼奥斯圆.已知点P是圆C：上动点,若O为坐标原点,,则为定值,利用此结论可得的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设,则,即 ,所以 ,所以,所以= ,故选C.
【例2】△ABC中，BC=4，AB=2AC，则△ABC面积的最大值为 .
【分析】该题表面上看是一道解斜三角形问题，若按照解斜三角形的一般方法去求解，运算会繁琐，下面我们借助阿波罗尼奥斯圆去解这道题.
【解析】以BC所在直线为x轴，以线段BC垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B、C坐标分别为(-2,0),(2,0)设A(x,y),由点到直线距离公式得
=2,
化简整理得，
即（），
所以点A在以(,0)为圆心,半径为的圆上,
因此点A到直线BC距离的最大值为,
所以△ABC面积的最大值为.
（三）抛物线性质总结
基础回顾
1.以AB为直径的圆与准线相切；
2.;
3.;
4.;
5.;
6.;
7.;
8.A、O、三点共线；
9.B、O、三点共线；
10.；
11.（定值）；
12.；；
13.垂直平分；
14.垂直平分；
15.；
16.；
17.；
18.；
19.;
20.;
21..
22.切线方程
性质深究
一、焦点弦与切线
1.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？
结论1：交点在准线上
结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
2．上述命题的逆命题是否成立？
结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．
3．AB是抛物线（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，，，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有
结论6 PA⊥PB．
结论7 PF⊥AB．
结论8 M平分PQ．
结论9 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．
结论10
结论11
二、非焦点弦与切线
思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，
也有与上述结论类似结果：
结论12 ①，
结论13 PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．
结论14
结论15 点M平分PQ
结论16
三、其他性质
1.设过抛物线C：焦点F的直线与C交于点A，B，点E为抛物线的准线与x轴的焦点，则与抛物线C相切，EF平分.
2. 设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点.
3.设点A,B是抛物线C： C不同于原点O的两点，若，则直线AB过定点.此结论可以推广，把点O换成C上任意一点P，若，则直线AB过定点.
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0