初中数学沪教版 (五四制)七年级下册14.4 全等三角形的判定一课一练

这是一份初中数学沪教版 (五四制)七年级下册14.4 全等三角形的判定一课一练，共39页。试卷主要包含了已知，如图，已知，，已知等内容，欢迎下载使用。

2．（2022春·上海杨浦·七年级校考期末）如图，已知：，，试说明平分的理由．
3．（2022春·上海普陀·七年级校考期末）已知：如图，中，，为的高，点在边上，与交于点，且．说明的理由．
解：为的高，
（_____）．
______，，
．
（_____）．
在与中，
，
∴≌（_____）（完成以下说理过程）．
4．（2022春·上海普陀·七年级校考期末）如图，中，，且、、分别是、、边上的点，，，点是的中点，猜想和的位置关系，并说明理由．
5．（2022春·上海·七年级校联考期末）在中，，，是延长线上的一点，于，与交于，求证：及
6．（2022春·上海·七年级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
7．（2022春·上海·七年级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AE＝BE，AD与BE相交于点F．
(1)请说明△AEF≌△BEC的理由．
(2)如果AF＝2BD，试说明AD平分∠BAC的理由．
8．（2022春·上海·七年级期末）如图（1），已知：点C为线段AB上一点，且△ACM和△CBN都是等边三角形，若连接AN、BM，通过证明△CAN≌△CMB，可证AN＝MB．
(1)若以AB为对称轴，将△CBN翻折，如图（2），求证：AN＝MB．
(2)若以点C为旋转中心，将△ACM顺时针旋转180°，达到新的位置，请你画出旋转后的图形并判断结论“AN＝BM”是否仍能成立，写出你的结论并说明理由．
(3)在（2）中得到的图形内，若将NB延长与AM相交于D，则可判断△ABD是______三角形，四边形CMDN是________四边形．
9．（2022春·上海·七年级期末）如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，E是边AB上的一点，AE＝AC，F是边AC上的一点，联结DE、CE、FE，当EC平分∠DEF时，猜测EF、BC的位置关系，并说明理由．
解：EF、BC的位置关系是 ．
说理如下：
因为AD是∠BAC的角平分线（已知）
所以∠1＝∠2
在△AED和△ACD中，
所以△AED≌△ACD（SAS）．
得 （全等三角形的对应边相等）．
（完成以下说理过程）
10．（2022春·上海·七年级期末）已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．
(1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．
(2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．
(3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系．
11．（2022春·上海·七年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．求证：
(1)DG＝DE；
(2)∠DEG＝∠DEC．
12．（2022春·上海·七年级期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝ED，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B和∠C的大小关系如何？为什么？
解：因为∠FDC＝∠B＋∠DFB ，
即∠FDE＋∠EDC＝∠B＋∠DFB．
又因为∠FDE＝∠B（已知），
所以∠ ＝∠ ．
在△DFB和△EDC中，
所以△DFB≌△EDC ．
因此∠B＝∠C．
13．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠3，BE＝EF，试说明BC＝FC的理由．
解：因为AB＝AC，又∠1＝∠2
所以AD⊥BC（ ）
所以∠ADC＝90°（垂直的意义）
因为∠ADC+∠2+∠ACD＝180°
∠BEC+∠3+∠BCE＝180°（ ）
所以∠ADC+∠2+∠ACD＝∠BEC+∠3+∠BCE
又∠2＝∠3（已知）
所以∠BEC＝∠ ＝90°（等式性质）
因为∠BEC+∠FEC＝180°（邻补角的意义）
所以∠FEC＝90°（等式性质）
所以∠BEC＝FEC（等量代换）
在△BEC与△FEC中，
所以△BEC≌△FEC（ ）
得BC＝FC（ ）
14．（2022春·上海·七年级期末）如图，是等边三角形，P是AB上一点，Q是BC延长线上一点，．连接PQ交AC于D点，过P作，交AC于E点．
(1)说明的理由．
(2)过点P作于F，说明的理由．
15．（2022春·上海·七年级期末）如图，是等题三角形，，过点B作，垂足为E，在线段上截取，的延长线交于点P，连接．
(1)请说明的理由．
(2)请说明的理由．
16．（2022春·上海·七年级期末）填空并续写解题过程：
如图，已知，，，说明的理由．
解：因为，，
所以____________（等腰三角形三线合一）
所以（垂直的意义）
因为，
（______）
所以，
又（已知）
所以______（等式性质）
请续写解题过程，说明的理由．
17．（2022春·上海·七年级期末）已知在与中，，点在同一直线上，射线分别平分．

(1)如图1，试说明的理由；
(2)如图2，当交于点G时，设，求与的数量关系，并说明理由；
(3)当时，求的度数．
18．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，试说明点F是AD的中点的理由．
19．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；
（2）OE＝OF．
20．（2022春·上海·七年级期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，，过点B作BCAE于点C，在BC上截取CD=CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD=BE；
（2）试说明ADBE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．
21．（2022春·上海·七年级期末）阅读并填空：
如图：根据六年级第二学期学过的用直尺、圆规作线段中点的方法，画出了线段AB的中点C，请说明这种方法正确的理由．
解：连接AE、BE、AF、BF．
在△AEF和△BEF中，
EF＝EF（ ），
＝ （画弧时所取的半径相等），
＝ （画弧时所取的半径相等）．
所以△AEF≌△BEF （ ）．
所以∠AEF＝∠BEF （ ）．
又AE＝BE，
所以AC＝BC （ ）．
即点C是线段AB的中点．
22．（2022春·上海·七年级期末）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD是∠BAC的平分线．
23．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．试判断AC与BD的位置关系，并说明理由．
24．（2022春·上海·七年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点，在边上，．求证：．
25．（2022春·上海·七年级校联考期末）如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．
（1）若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；
（2）若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．
26．（2022春·上海·七年级期末）已知：如图，点B，C，D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H，
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：CF＝CH；
（3）判断△CFH的形状并说明理由．
27．（2022春·上海·七年级期末）如图所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为公共边的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题．
(1)如图(2)所示，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系；(不要求写证明)
(2)如图(3)所示，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，那么(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案：
1．证明见解析．
【分析】连接、先证明≌，证出，；然后利用全等三角形的判定定理证得≌，由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】证明：如图，连接、．

，
，
是等边三角形，
，，
．
在与中，
，
≌，
，
．
，
，
，
．
在与中，
，
≌，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
2．理由见解析．
【分析】由等腰三角形的判定与性质证出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
，
又，
≌，
，
平分．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
3．三角形高的定义；；同一个三角形中，等角对等边；SAS，理由见解析
【分析】根据每一步的过程写理由，找寻使三角形全等的条件并写出对应的依据．再根据≌，得，通过等量代换得，从而结论得证．
【详解】为的高，
（三角形高的定义，
，，
，
同一个三角形中，等角对等边，
在与中，
，
≌．
，
，
，
，
．
故答案为：三角形高的定义； 180 ；同一个三角形中，等角对等边；SAS．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．同时还要注意解题的完整性，不要漏写的理由．
4．垂直平分，理由见解析
【分析】根据题意，证明≌可得，根据等腰三角形三线合一，结合是的中点，即可得证．
【详解】垂直平分，理由如下：
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又点是的中点，
垂直平分．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明≌是解题的关键．
5．见解析
【分析】根据题意得列出≌的条件得到，再过点作于，据图形的判断可直接证明．
【详解】证明：，
．
，，
．
在和中，
，
≌，
，
过点作于，
在中，，
，
由图形可知：，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形得判定及性质，解题的关键是找到判断全等三角形的条件即可．
6．(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）延长BD与EC交于点F，可以证明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，进而结论得证；
（2）延长BD交CE于F，证明△ABD≌△ACE，则BD=CE、∠ABF=∠ECA；根据∠ABF=∠HCF以及三角形内角和定理可证得∠BHC=90°．
【详解】（1）证明：延长BD交CE于F，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD，
∴．
（2）证明：延长BD交CE于F，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，证得△ACE≌△ADB和△ABD≌△ACE是解决问题的关键．
7．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，推出∠DAC＝∠EBC，即可证明△AEF≌△BEC；
（2）根据AF＝BC，AF＝2BD，推出D是BC的中点，利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等推出AB＝AC，利用等腰三角形三线合一的性质即可求证AD平分∠BAC．
（1）
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°
∴∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°
∴∠DAC＝90°﹣∠C，∠EBC＝90°﹣∠C
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（ASA）；
（2）
解：由（1）知，AF＝BC，
∵AF＝2BD，
∴BC＝2BD，
∴D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD⊥BC，
∴AB=AC
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∴AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一的性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解答本题的关键．
8．(1)见解析
(2)成立，证明见解析
(3)等边，平行
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC＝CM，BC＝CN，∠ACM＝∠BCN＝60°，根据等角的补角相等求出∠ACN＝∠MCB，再利用“SAS”证明△ACN和△MCB全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝MB；
（2）根据等边三角形的性质可得AC＝CM，BC＝CN，∠ACM＝∠BCN＝60°，再利用“SAS”证明△ACN和△MCB全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝MB；
（3）求出∠CAM＝∠ABD＝60°，再根据三角形的内角和定理求出∠ADB＝60°，然后根据三个角都相等的三角形是等边三角形解答；根据内错角相等两直线平行求出MD∥CN，CM∥ND，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答．
（1）
证明：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC＝CM，BC＝CN，∠ACM＝∠BCN＝60°，
∴∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝MB；
（2）
解：AN＝MB成立．
证明如下：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC＝CM，BC＝CN，∠ACM＝∠BCN＝60°，
在△ACN和△MCB中，
，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝MB；
（3）
解：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴∠CBN＝∠CAM＝60°，
∴∠ABD＝∠CBN＝60°（对顶角相等），
∴∠ADB＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ABD＝∠CAM＝∠ADB，
∴△ABD是等边三角形；
∵∠ADB＝∠BNC＝60°，
∴MD∥CN，
∵∠ADB＝∠AMC＝60°，
∴CM∥ND，
∴四边形CMDN是平行四边形．
故答案为：等边，平行．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，平行四边形的判定，熟练掌握等边三角形的性质确定出三角形全等的条件是解本题的关键．
9．EF∥BC；；DE＝DC；说理过程见解析．
【分析】由AD是∠BAC的角平分线，可得∠1=∠2，利用SAS可证出△AED≌△ACD，从而得出DE=DC，所以∠3=∠4．结合EC平分∠DEF，可得出∠3=∠5．利用等量代换得∠4=∠5，即可得出EF∥BC．
【详解】解：EF、BC的位置关系是EF∥BC．
理由如下：
如图，
∵AD是∠BAC的角平分线（已知）
∴∠1＝∠2．
在△AED和△ACD中，
∴△AED≌△ACD（SAS）．
∴DE＝DC （全等三角形的对应边相等），
∴∠3＝∠4．
∵EC平分∠DEF（已知），
∴∠3＝∠5．
∴∠4＝∠5．
所以EF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：EF∥BC；；DE＝DC；说理过程见解析．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是得出△AED≌△ACD．
10．(1)见解析
(2)BD＝CF﹣3，理由见解析
(3)若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3
【分析】（1）根据AAS证△DBE≌△ECF，得BD+CF＝CE+BE＝BC＝3即可；
（2）根据AAS证△DBE≌△ECF，得BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，即可得出BD＝CF﹣3；（3）分点E在线段BC上和在BC延长线上两种情况讨论即可．
【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE且∠DEF﹣60°＝∠B，
∴∠BDE＝∠FEC，
又∵BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；
（2）如下图，设G点在FE的延长线，AF与DE交点为H，
∴∠DEG＝∠F+∠FHE＝60°，∠BCA＝∠FHE+∠BED＝60°，
∴∠F＝∠BED，
又∵∠B＝∠FCE＝60°，CE＝BD，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，
即BD＝CF﹣3；
（3）①若E在线段BC上，设DE延长线交AC于点I，
∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠IEF＝∠IEC+∠CEF＝60°，∠BED＝∠IEC，
∴∠BDE＝∠CEF，
又∵∠DBE＝∠ECF＝120°，CE＝BD，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；
②若E在BC延长线上，
∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠FED＝∠FEC+∠BED＝60°，
∴∠BDE＝∠FEC，
又∵∠DBE＝∠FCE＝120°，BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴CF﹣BD＝BE﹣CE＝BC＝3；
综上，若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3．
【点睛】本题主要考查几何变换综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
11．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据AD⊥BC，∠ABC＝45°，可以得到△ABD是等腰直角三角形，得到AD=BD，根据BE⊥AC，得到∠C+∠CBE=90°，根据∠CAD+∠C＝90°，得到∠FBD＝∠CAD，推出△BDF≌△ADC，得到BF＝AC，根据G为BF的中点，得到DG＝BF，根据AB＝CB，BE⊥AC，得到E为AC的中点．推出DE＝AC，得到DG＝DE；
（2）根据BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，得到BG＝AE，根据∠DBG＝∠DAE，AD=BD，推出△BDG≌△ADE，得到∠BDG＝∠ADE，推出∠DGE＝∠DBG+∠BDG，根据∠DEC＝∠DAE+∠ADE，得到∠DGE＝∠DEC，根据DG＝DE，得到∠DGE＝∠DEG，推出∠DEG＝∠DEC．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD＝90°-∠ABC=45°，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵∠CAD+∠C＝90°，
∴∠FBD＝∠CAD，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF＝AC，
∵G为BF的中点．
∴DG＝BF，
∵AB＝CB，BE⊥AC，
∴E为AC的中点．
∴DE＝AC，
∴DG＝DE；
（2）（2）由（1）知：∠DBG＝∠DAE，BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，
∴BG＝AE，
在△BDG和△ADE中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴∠BDG＝∠ADE，
∴∠DGE＝∠DBG+∠BDG，
∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，
∴∠DGE＝∠DEC，
∵DG＝DE，
∴∠DGE＝∠DEG，
∴∠DEG＝∠DEC．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形，等腰三角形，直角三角形斜边上的中线，三角形外角．解决本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形外角性质．
12．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），DFB，EDC，，（SAS）
【分析】根据三角形外角性质，等量代换原理，两边及夹角对应相等的两个三角形全等的条件，全等原理，填写理由
【详解】解：因为∠FDC＝∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
即∠FDE+∠EDC＝∠B+∠DFB．
又因为∠FDE＝∠B（已知），
所以∠DFB＝∠EDC．
在△DFB和△EDC中，
，
所以△DFB≌△EDC（SAS）．
因此∠B＝∠C．
故答案是：（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），DFB，EDC，，（SAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，三角形外角性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键．
13．见解析
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADC＝90°，利用各角之间的等量代换得出∠BEC＝∠ADC＝90°，然后利用全等三角形的判定和性质即可证明结果．
【详解】解：因为AB＝AC，又∠1＝∠2
所以AD⊥BC（等腰三角形三线合一的性质）
所以∠ADC＝90°（垂直的意义）
因为∠ADC+∠2+∠ACD＝180°
∠BEC+∠3+∠BCE＝180°（三角形内角和定理）
所以∠ADC+∠2+∠ACD＝∠BEC+∠3+∠BCE
又∠2＝∠3（已知）
所以∠BEC＝∠ADC＝90°（等式性质）
因为∠BEC+∠FEC＝180°（邻补角的意义）
所以∠FEC＝90°（等式性质）
所以∠BEC＝∠FEC（等量代换）
在△BEC与△FEC中，
所以△BEC≌△FEC（SAS）
得BC＝FC（全等三角形的对应边相等）
故答案为：等腰三角形三线合一的性质；三角形内角和定理；ADC；SAS；全等三角形的对应边相等．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠AEP=∠ACB，∠EPD=∠Q，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，可得EF与AE的关系，根据线段中点的性质，可得DE=CE，EF与AE的关系，根据线段的和差，可得答案．
(1)
∵PE∥BC，
∴∠AEP=∠ACB，∠EPD=∠Q．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°．
∴∠A=∠AEP．
∴AP=PE．
又∵AP=CQ，
∴PE=CQ．
在△EDP和△CDQ中
，
∴△EDP≌△CDQ（AAS），
∴DE=DC；
(2)
∵AP=PE，PF⊥AC，
∴EF=AE．
∵DE=DC，且DE+DC=CE，
∴DE=CE．
∴DF=EF+DE
=AE+CE
=（AE+CE）
=AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，线段中点的性质．
15．(1)理由见解析
(2)理由见解析
【分析】（1）由题意知，，可得，证明 ，进而可证；
（2）由可知．由，可知是等腰三角形，进而可证．
(1)
解：理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
(2)
解：理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
16．AD；BC；三角形内角和定理；ADC；说明理由见解析
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得出∠BEC＝∠FEC＝90°，判定△BEC≌△FEC（SAS），即可得到BC＝FC．
【详解】∵，
∴（三线合一），
∴（垂直的意义），
∵，（三角形内角和定理），
∴，
∵（已知），
∴（等式性质），
∵（邻补角的意义），
∴（等式性质），
∴（等量代换），
∵在与△FEC中，
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
17．(1)理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1），，可知，进而可说明；
（2）如图1所示，连接并延长至点K，分别平分，则设，为的外角，，同理，
，得；又由（1）中证明可知，，进而可得到结果；
（3）如图2所示，过点C作，则，，可得，由（1）中证明可得，在中， ，即，进而可得到结果．
（1）
证明：
又
在和中
．
（2）
解：．
理由如下：如图1所示，连接并延长至点K
分别平分
则设
为的外角
同理可得
即
．
又由（1）中证明可知
由三角形内角和公式可得
即
．
（3）
解：当时，如图2所示，过点C作，则
，即
由（1）中证明可得
在中，根据三角形内角和定理有
即
即
即，解得：
故．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，连接并延长，利用三角形外角性质证得是解题的关键．
18．理由见解析．
【分析】利用一线三直角模型证明AE=ED，从而利用等腰三角形三线合一的性质即可．
【详解】解：∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
又∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠AED，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
即∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DEC，
在△ABE与△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（ASA），
∴AE＝ED，
∵EF⊥AD，
∴点F是AD的中点．
【点睛】本题考查了一线三直角全等模型，等腰三角形的三线合一，熟练掌握三角形全等证明是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明；
（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB＝∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论．
【详解】证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中
∵，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL判断两个直角三角形全等，是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）AD与BE的位置关系不发生改变，理由见解析
【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE；
（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，即可得到∠BPD=∠DCA=90°；
（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠ACF，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．
【详解】（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°，
∴∠CBA=∠CAB，
∴BC=CA，
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴AD=BE；
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠CAD+∠ADC=90°，∠BDP=∠ADC，
∴∠CBE+∠BDP=90°，
∴∠APB=90°，
∴AD⊥BE；
（3）AD与BE的位置关系不发生改变．
如图2，
∵，
∴，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，，
∵△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，
∵∠BFP=∠AFC，
∴∠BPF=∠ACF=90°，
∴AD⊥BE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD．
21．公共边，AE、BE，AF、BF，SSS，全等三角形对应角相等，等腰三角形三线合一．
【分析】根据SSS证△AEF≌△BEF，推导出∠AEF＝∠BEF，再根据等腰三角形性质求出即可．
【详解】如图，连接AE、BE、AF、BF，
在△AEF和△BEF中，
EF＝EF（公共边），
AE＝BE（画弧时所取的半径相等），
AF＝BF（画弧时所取的半径相等）．
所以△AEF≌△BEF（SSS）．
所以∠AEF＝∠BEF（全等三角形的对应角相等）．
又AE＝BE，
所以AC＝BC（等腰三角形三线合一）．
即点C是线段AB的中点．
故答案为：公共边，AE、BE，AF、BF，S．S．S，全等三角形对应角相等，等腰三角形三线合一．
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，准确理解证明过程中每一步的依据是解题的关键.
22．证明见解析．
【分析】根据等腰三角形的性质得∠DBC=∠DCB，结合条件，得∠ABC=∠ACB，进而得AB=AC，易证△ABD≌△ACD，进而即可得到结论．
【详解】∵BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB．
∵∠1=∠2，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
在△ABD与△ACD中
∵，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理以及三角形全等的判定和性质定理，掌握等腰三角形的判定和性质定理以及三角形全等的判定和性质定理是解题的关键．
23．AC⊥BD，理由见解析.
【分析】AC与BD垂直，理由为：由AB=AD，利用等边对等角得到一对角相等，利用等式性质得到∠BDC=∠DBC，利用等角对等边得到DC=BC，利用SSS得到三角形ABC与三角形ADC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠DAC=∠BAC，再利用三线合一即可得证．
【详解】AC⊥BD，理由为：
∵AB＝AD（已知），
∴∠ADB＝∠ABD（等边对等角），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB（等式性质），
即∠BDC＝∠DBC，
∴DC＝BC（等角对等边），
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC（全等三角形的对应角相等），
又∵AB＝AD，
∴AC⊥BD（等腰三角形三线合一）．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．见解析
【详解】试题分析：证明△ABE≌△ACD 即可.
试题解析：法1：
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵AD=CE,
∴∠ADE=∠AED,
∴△ABE≌△ACD,
∴BE=CD ,
∴BD=CE,
法2：如图，作AF⊥BC于F,
∵AB=AC,
∴BF=CF,
∵AD=AE,
∴DF=EF,
∴BF－DF=CF－EF,
即BD=CE.
25．（1）△DEF是等边三角形，证明见解析；（2）AD＝BE＝CF成立，证明见解析．
【分析】（1）由SAS易证△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF＝DE＝EF，即△DEF是等边三角形；
（2）先证明∠1＋∠2＝120°，∠2＋∠3＝120°．可得∠1＝∠3，同理∠3＝∠4.则△ADF≌△BED≌△CFE，故能证明AD＝BE＝CF．
【详解】解：（1）△DEF是等边三角形．证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA．
又∵AD＝BE＝CF，
∴DB＝EC＝FA．
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DF＝ED＝FE．
∴△DEF是等边三角形．
（2）AD＝BE＝CF成立．证明如下：如图，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF＝FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°．
∴∠1＋∠2＝120°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴∠2＋∠3＝120°，
∴∠1＝∠3.
同理∠3＝∠4，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD＝BE＝CF．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△CFH是等边三角形，理由见解析．
【分析】（1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；
（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH．
（3）由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．
【详解】解：（1）∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD．
又BC=AC、CE=CD，
∴△BCE≌△ACD．
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH．
又BC=AC，
∴△BCF≌△ACH．
∴CF=CH．
（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．
27．（1）EF=FD；（2）EF=FD仍然成立．
【分析】图①根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，过点P作PA⊥OM于A，作PB⊥ON于B，△POA和△POB即为关于直线OP对称的全等三角形；
（1）猜想FE=FD；
（2）过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG=FH=FK，根据四边形的内角和定理求出∠GFH=120°，再根据三角形的内角和定理求出∠AFC=120°，根据对顶角相等求出∠EFD=120°，然后求出∠EFG=∠DFH，再利用“角角边”证明△EFG和△DFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FE=FD．
【详解】图①如图所示；
（1）FE=FD；
（2）如图，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FK，
在四边形BGFH中，∠GFH=360°-60°-90°×2=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B=60°，
∴∠FAC+∠FCA=（180°-60°）=60°，
在△AFC中，∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-60°=120°，
∴∠EFD=∠AFC=120°，
∴∠EFG=∠DFH，
在△EFG和△DFH中，
，
∴△EFG≌△DFH（ASA），
∴FE=FD．