10三角形的外角定义及性质（解答题）-上海市2022年七年级数学下学期期末试题高频考点汇编

这是一份10三角形的外角定义及性质（解答题）-上海市2022年七年级数学下学期期末试题高频考点汇编，共18页。试卷主要包含了阅读并填空等内容，欢迎下载使用。

2．（上海七年级下学期期末精选60题（压轴版）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版））如图，已知D是△ABC的边BC上一点，AB＝AC＝BD，AD＝CD，求∠B的度数．
3．（七年级数学下学期期末全真模拟卷（1）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版））已知AB∥CD，且CD平分∠FCB，∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，求∠EBA的度数．
4．（七年级数学下学期期末全真模拟卷（1）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版））在△ABC中，∠ABC＝48°，点D在BC边上，且满足∠BAD＝18°，DC＝AD，则∠CAD＝_____度．
5．（上海市浦东新区部分校2018-2019学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知在中，是的一个外角，且，求的度数．
6．（2011-2012学年吉林省长春外国语学校八年级第二次月考数学卷）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．
7．（上海理工大学附属实验初级中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷）如图，已知在中，，，是的一个外角，且，求的度数．
8．（上海市重点中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）在等边中，，垂足为，延长到，使，连结、．
(1)与有怎样的关系？请说明你的理由．
(2)把改成什么条件，还能得到中的结论？
9．（第08讲三角形的内角和（核心考点讲与练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版））（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．
试说明∠D＝90°+∠A的理由．
解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1＝ （角平分线定义）．
同理：∠2＝ ．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（ ），
所以 （等式性质）．
即：∠D＝90°+∠A．
（2）探究，请直接写出结果，无需说理过程：
①如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是 ．
②如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是 ．
（3）如图④，△ABC中，∠A＝90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线．试说明DC＝CF的理由．
10．（上海七年级下学期期末精选60题（压轴版）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版））如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝ED，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B和∠C的大小关系如何？为什么？
解：因为∠FDC＝∠B＋∠DFB ，
即∠FDE＋∠EDC＝∠B＋∠DFB．
又因为∠FDE＝∠B（已知），
所以∠ ＝∠ ．
在△DFB和△EDC中，
所以△DFB≌△EDC ．
因此∠B＝∠C．
11．（第08讲三角形的内角和（核心考点讲与练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版））如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．
解：因为DF⊥AB（已知），
所以∠DFB＝90°（垂直的意义）．
因为∠DFB+∠B+∠D＝180°（ ），
又∠D＝42°，
所以∠B＝ °（等式性质）．
因为∠ACD＝∠A+∠B（ ），
又∠A＝35°，∠B＝ °，
所以∠ACD＝ °（等式性质）．
12．（上海市奉贤区五校联考2020-2021学年下学期七年级期末数学试卷）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线干点E，求∠ADE的度数．
13．（广东省深圳市罗湖区翠园初级中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）求A、C点的坐标；
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP=S△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F是线段AC上一点，满足∠FOC=∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG=∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
14．（上海市浦东新区2017-2018学年度（五四学制）七年级（下）期末数学试卷）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B，延长DE与BC的延长线交于点F，∠BAC和∠BFD的角平分线交于点G．那么AG与FG的位置关系如何？为什么？
解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．
因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）
所以∠BAG＝ ， （角平分线定义）
又因为∠FPQ＝ +∠AED， ＝ +∠B
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠AED＝∠B（已知）
所以∠FPQ＝ （等式性质）
（请完成以下说理过程）
15．（2022春·上海·七年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于点D．
(1)如图1，过点C作 CF⊥AD于F，延长CF交AB于点E．连接DE．
①说明AE＝AC的理由；
②说明BE＝DE的理由；
(2)如图2，过点B作直线BM⊥AD交AD延长线于M，交AC延长线于点N．说明CD＝CN的理由．
参考答案：
1．理由见解析
【分析】易证∠ACD=∠ABE，即可证明△ABE≌△ACD，可得AB=AC，从而得结论．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠ACD+∠A=∠ABE+∠A，即∠ACD=∠ABE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定，本题中利用三角形的外角性质证明∠ACD=∠ABE是解题的关键．
2．36°
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD，
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
3．25°
【分析】由三角形的外角性质可求得∠FCB＝130°，再由角平分线的定义得∠FCD=∠BCD=65°，由平行线的性质可得∠CBA＝65°，根据∠EBA＝∠CBA﹣∠CBE即可求∠EBA的度数．
【详解】解：∵∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，
∴∠FCB＝∠CEB+∠CBE＝130°，
又∵CD平分∠FCB，
∴，
又∵AB∥CD，
∴∠CBA＝∠BCD＝65°，
∴∠EBA＝∠CBA﹣∠CBE＝65°﹣40°＝25°．
【点睛】本题主要考查了三角形外角，角平分线，平行线，解答的关键是熟练掌握三角形外角性质，角平分线性质和平行线的性质，并灵活运用．
4．57
【分析】根据三角形外角的性质求解∠ADC的度数，由等腰三角形的性质得∠C＝∠CAD，再利用三角形的内角和定理可求解．
【详解】解：如图，
∵∠ABC＝48°，∠BAD＝18°，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝48°+18°＝66°，
∵DC＝AD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠CAD＝＝57°，
故答案为：57．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．
5．
【分析】根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列一元一次方程，求出x，从而求出∠A的度数．
【详解】解：因为是的一个外角（已知），
所以（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
所以
解得
所以
【点睛】此题考查的知识点是三角形的外角性质及一元一次方程的应用，关键是先根据三角形的外角性质列一元一次方程，求出x．
6．∠EDC的度数是
【分析】可以设根据即可列出方程，从而求解．
【详解】详解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，
∠AED=∠EDC+∠C=x+y，
又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，
则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，
又因为∠ADC=∠B+∠BAD，
所以2x+y=y+30，
解得x=15，
所以∠EDC的度数是
【点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，正确确定相等关系列出方程是解题的关键.
7．．
【分析】根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列一元一次方程，求出，从而求出的度数．
【详解】解：是的一个外角，
，
，，，
．
解得：．
．
【点睛】此题考查的知识点是三角形的外角性质及一元一次方程的应用，关键是先根据三角形的外角性质列一元一次方程，求出．
8．(1)，理由见解析
(2)是边的中线或是的平分线
【分析】（1）由等边三角形的性质CD＝AC＝BC，∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，由CE＝BC，得CE＝CD，则有∠E＝∠CDE，再由三角形的外角性质∠ACD＝∠E＋∠CDE，即有∠E＝∠ACD，从而得∠E＝∠CBD，故得BD＝DE；
（2）根据等边三角形的性质，等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合，据此进行求解即可．
（1）解：，理由如下：等边，，，，，，，是的外角，，，，；
（2）解：∵是等边三角形，等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合，可把改为：是边的中线或是的平分线，（1）的结论仍然成立．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，解答的关键是对等边三角形的“三线合一”的掌握．
9．（1），，三角形的内角和等于180°；；（2）①；②；（3）见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义，三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和，三角形的内角和等于180°，表示角度的数量关系，根据等式的性质求解即可；
（2）求解方法同（1）；
（3）根据角平分线的定义，三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和，三角形的内角和等于180°，求解∠D＝∠DFC，根据等角对等边说明DC＝FC即可．
【详解】（1）解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以（角平分线定义）．
同理：．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°（三角形的内角和等于180°），
所以（等式性质）．
即：．
故答案为：，，三角形的内角和等于180°，．
（2）①解：∠D与∠A之间的等量关系是：．
∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
②解：∠D与∠A之间的等量关系是：．
∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，，
∵∠DCE＝∠DBC+∠D， 2∠DCE＝∠A+2∠DBC，
∴2∠DBC+2∠D＝∠A+2∠DBC，
∴∠A＝2∠D，
∴∠D＝，
故答案为：∠D＝．
（3）解：因为 BF平分∠ABC（已知），
所以∠DBC＝∠ABC（角平分线定义）．
同理：∠ACF＝∠ACB，∠DCA＝∠DCE＝∠ACE．
∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∠DCE＝∠DBC+∠D（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和），
∴．
又∵∠A＝90°（已知），
∴∠D＝45°（等式性质）．
∵∠ACB+∠ACE＝180°（平角的定义），
∴∠FCD＝∠FCA+∠ACD＝（∠ACB+∠ACE）＝90°．
∵∠D+∠DFC+∠FCD＝180°（三角形的内角和等于180°），
∴∠DFC＝45°（等式性质）．
∴∠D＝∠DFC（等量代换）．
∴DC＝FC．（等角对等边）．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质的应用，三角形内角和定理，角平分线，等角对等边等知识．熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
10．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），DFB，EDC，，（SAS）
【分析】根据三角形外角性质，等量代换原理，两边及夹角对应相等的两个三角形全等的条件，全等原理，填写理由
【详解】解：因为∠FDC＝∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
即∠FDE+∠EDC＝∠B+∠DFB．
又因为∠FDE＝∠B（已知），
所以∠DFB＝∠EDC．
在△DFB和△EDC中，
，
所以△DFB≌△EDC（SAS）．
因此∠B＝∠C．
故答案是：（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），DFB，EDC，，（SAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，三角形外角性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键．
11．见解析
【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
【详解】解：因为DF⊥AB（已知），
所以∠DFB＝90（垂直的意义）．
因为∠DFB+∠B+∠D＝180（三角形内角和是180），
又∠D＝42，
所以∠B＝48（等式性质）．
因为∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
又∠A＝35°，∠B＝48°，
所以∠ACD＝83（等式性质）．
故答案为：三角形内角和是180，48，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，48，83．
【点睛】本题考查了三角形外角与内角的关系，三角形内角和定理．解题的关键是熟练掌握三角形外角与内角的关系.
12．110°
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，根据等腰三角形的性质可求∠BDA，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDA＝180°﹣70°＝110°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，掌握“等边对等角，等腰三角形的三线合一”是解本题的关键.
13．（1）A（0，4），C（2，0）；（2）存在，t=1；（3）值不变，其值为2．
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值，再利用中点坐标公式即可得出答案；
（2）先得出CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，再根据S△ODP=S△ODQ，列出关于t的方程，求得t的值即可；
（3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，先判定OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入进行计算即可．
【详解】解：（1）∵+|b-2|=0，
∴a-2b=0，b-2=0，
解得a=4，b=2，
∴A（0，4），C（2，0）；
（2）存在，
理由：如图1中，D（1，2），
由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP=t，OP=2-t，OQ=2t，
∴S△DOP=•OP•yD=（2-t）×2=2-t，S△DOQ=•OQ•xD=×2t×1=t，
∵S△ODP=S△ODQ，
∴2-t=t，
∴t=1；
（3）结论：的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，
∵∠2+∠3=90°，
又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO=180°，
∴OG∥AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，
∴=2．
【点睛】本题考查了坐标与图形、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
14．∠CAG；∠PFG＝∠QFG；∠CAG；∠FQG；∠BAG；∠FQG
【分析】根据角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，等角对等边和等腰三角形三线合一来解题即可.
【详解】解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．
因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）
所以∠BAG＝∠CAG，∠PFG＝∠QFG（角平分线定义）
又因为∠FPQ＝∠CAG+∠AED，∠FQG＝∠BAG+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠AED＝∠B（已知）
所以∠FPQ＝∠FQG（等式性质）
所以FP＝FQ（等角对等边）
又因为∠PFG＝∠QFG
所以AG⊥FG（等腰三角形三线合一）．
故答案为∠CAG；∠PFG＝∠QFG；∠CAG；∠FQG；∠BAG；∠FQG．
【点睛】本题考查的是三角形的综合运用，熟练掌握三角形的性质是解题的关键.
15．(1)①理由见解析；②理由见解析
(2)理由见解析
【分析】（1）①根据角平分线的定义可得∠EAD＝∠CAD，根据垂直的定义可得∠AFE＝∠AFC＝90°，然后利用“角边角”证明△AEF和△ACF全等，进而结论得证；②利用“边角边”证明△AED和△ACD全等，则∠AED＝∠ACB，再根据三角形的外角的定义与性质可得∠AED＝∠B+∠BDE，然后求出∠B＝∠BDE，再根据等角对等边证明即可；
（2）连接DN，证得△ABM和△ANM全等，则AB＝AN，再利用“边角边”证明△ABD和△AND全等，则∠ABD＝∠AND，根据三角形的外角的定义与性质可得∠ACB＝∠CDN+∠AND，然后求出∠CDN＝∠CND，再根据等角对等边证明即可．
（1）
解：①∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵CF⊥AD，
∴∠AFE＝∠AFC＝90°，
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF（ASA），
∴AE＝AC；
②由①可知，AE＝AC，
在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED＝∠ACB，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AED＝2∠B，
又∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE；
（2）
解：如图，连接DN，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BM⊥AD，
∴∠AMB＝∠AMN＝90°，
∵AM=AM，
∴△ABM≌△ANM，
∴AB＝AN，
在△ABD和△AND中，
，
∴△ABD≌△AND（SAS），
∴∠ABD＝∠AND，
∵∠ACB＝2∠ABC，即∠ACB＝2∠ABD，
∴∠ACB＝2∠AND，
又∵∠ACB＝∠CDN+∠AND，
∴∠CDN＝∠AND，
∴CD＝CN．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，等角对等边，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形．