专题04 概率与统计（理）——【备考2023】高考数学大题精练 （全国通用）（原卷版+解析版）

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专题04 概率与统计（理）

概率统计理科题型，在大题17,18,19,20，21题型位置都出现过，大多数是常规门槛基础题，也曾经在2019年成为全国高考压轴大题之一。19年以后全国甲乙卷中概率统计题在难度上逐渐降温，回归到基础大题位置。概率统计题，是实际生活问题为背景，基础问多考察抽样方法，总体估计等统计问题或概率计算、条件概率，正态分布等概率问题，以及回归分析或独立性检验等。在重点考察处多为随机变量分布列及其期望计算，还涉及到数列递推与最值求解，难点在于阅读并能准确的把试题转化为对应数学知识，并与数列等知识结合。
常考题型：回归分析与独立性检验，下棋、设计、投篮、摸球等模型分布列，药物实验等选择最优化模型，正态分布型，数列递推型分布列，求最值型分布列


一、回归分析与独立性检验
例题、下表为2015—2021年中国数字经济规模（单位：万亿元）及2022—2024年中国数字经济规模预测统计表，记2015—2024年对应的代码分别为1~10．
年份
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
2023年
2024年
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
中国数字经济规模/万亿元
18.6
22.6
27.2
31.3
35.8
39.2
45.5
54.3
60.6
68.3

(1)根据2015—2021年的数据知可用线性回归模型拟合中国数字经济规模y与年份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；
(2)对于未来n年的变化，通过两种不同模型预测得到两组数据，，…，与，，，，记M为数据，，…，，，，…，中的最大值，若，则称这两组数据相吻合，利用（1）中求得的线性回归方程对2022—2024年的中国数字经济规模进行预测，判断所得预测数据与表中预测数据是否吻合．
参考数据：，．
参考公式：线性回归方程中，斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】(1)
(2)所得预测数据与表中预测数据不吻合

【分析】（1）根据最小二乘法估计公式求出和，代入可得结果；
（2）利用计算出对应的函数值，再计算和的值，并比较它们的大小可得答案.
【详解】（1），因为，所以，
， 所以，
，故y关于x的线性回归方程为．
（2）当时，，当时，，
当时，，
因为，，
，
所以所得预测数据与表中预测数据不吻合.

经验回归方程：
对于一组具有线性相关关系的成对样本数据，由最小二乘法得
，．
将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计．
（2）观测值：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值．
（3）预测值：通过经验回归方程得到的称为预测值．
（4）残差：观测值减去_预估值称为残差．
（5）的计算公式为．在表达式中，与经验回归方程无关，残差平方和与经验回归方程有关．因此越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果约好；越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果_越差，越接近1，拟合效果越好．


（湖北省十七所重点中学2023届高三下学期2月第一次联考数学试题）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据，部分数据如下：
x
…
2.7
3.6
3.2
…
y
…
57.8
64.7
62.6
…

经计算得：．
(1)利用最小二乘估计建立y关于x的线性回归方程；
(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致，
（ⅰ）比较前者与后者的斜率大小，并证明；
（ⅱ）求这两条直线的公共点坐标．
附：y关于x的回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
【答案】(1)(2)（ⅰ）前者斜率小于后者，证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）利用题中所给数据结合最小二乘法即可得解；
（2）（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为，分别求出，再结合相关系数的公式与性质即可得出结论；
（ⅱ）根据两直线均过样本中心点结合（ⅰ）中结论即可得出答案.
【详解】（1）解：,
，
故回归方程为；
（2）解：（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为，
x关于y的线性回归方程为
，
则，为与的相关系数，
又，故，即，
下证：，
若，则，即恒成立，
代入表格中的一组数据得：，矛盾，
故，即前者斜率小于后者；
（ⅱ）注意到，两直线都过，且，故公共点仅有．


1.（安徽省合肥市2023届高三下学期第一次教学质量检测数学试题）研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温差x（℃）
4
7
8
9
14
12
新增就诊人数y（位）







参考数据：，．
(1)已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值；
(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）．
参考公式：，．
【答案】(1)(2)33人
【分析】（1）根据题意由求解；
（2）根据样本相关系数，求得，再利用公式求得即可.
【详解】（1）解：∵，∴，∴，
∴．
（2）∵，∴，∴．∵，
∴，∴．
又∵，解得．
∴，
∴，当时，，
∴可以估计，昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数为33人．
2.（河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评（四）理科数学试题）某公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用和年销售量，得到的散点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．










表中，，，．已知可以作为年销售量y关于年营销费用x的回归方程．
(1)求y关于x的回归方程；
(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益销售利润营销费用固定成本）
参考数据：，．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【答案】(1)(2)该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大

【分析】(1)根据题目要求可知，y关于x的回归方程为非线性的，设，可得，代入已知条件所给的数据，计算即可.(2)列出年收益与营销费用的关系式，通过求导来求得最值.
【详解】（1）由得，，令，，，则．
由表中数据可得，，
则，所以．
即，因为，所以，
故所求的回归方程为．
（2）设年收益为W万元，则，
对求导，得，
令，解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因此，当时W有最大值，即该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大．

1.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标III卷））某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

超过
不超过
第一种生产方式


第二种生产方式



（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，










【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析（2）80（3）能
【详解】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．
（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．
（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果．
详解：（1）第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
（2）由茎叶图知.
列联表如下：

超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15

（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
2.（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（新课标1卷精编版））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9．95
10．12
9．96
9．96
10．01
9．92
9．98
10．04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10．26
9．91
10．13
10．02
9．22
10．04
10．05
9．95

经计算得，，
，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到）附：样本的相关系数
，．
【答案】（1）可以；（2）（ⅰ）需要；（ⅱ），.
【分析】（1）依公式求；
（2）（i）由，得抽取的第13个零件的尺寸在以外，因此需对当天的生产过程进行检查；（ii）剔除第13个数据，则均值的估计值为10.02，方差为0.09．
【详解】（1）由样本数据得的相关系数为
.
由于，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.
（2）（i）由于，
由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在以外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
（ii）剔除离群值，即第13个数据，
剩下数据的平均数为，
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.
，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为
，
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为.



二、下棋、射击、投篮、摸球等模型分布列
例题1、口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.
(1)记总的抽取次数为X，求E（X）；
(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
【答案】(1)(2)6，答案见解析
【分析】（1）确定X可能取值为4，5，6，7，分别求出概率后，由期望公式计算出期望；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和，利用独立事件概率公式求得的概率，再由期望公式计算出期望，根据白球对取到黒球的影响说明期望的大小关系．
【详解】（1）X可能取值为4，5，6，7，
，
；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和  ，
，
，
，
，
.
在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低.
例题2、（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测理科数学试题）世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响．
(1)设甲队踢了5球，为射进点球的个数，求的分布列与期望；
(2)若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．
【答案】(1)分布列见解析，(2)
【分析】（1）由题意知，由二项分布求出的分布列与期望；
（2）由题意知甲乙两队比分为1：4或2：4，求出相应的概率再相加即可.
【详解】（1）由题意知，，可能的取值为0，1，2，3，4，5.
，，
，，，
所以的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P






．
（2）设“第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出”为事件A，
由题意知，甲乙两队比分为1：4或2：4，设“甲乙两队比分为1：4”为事件，“甲乙两队比分为2：4”为事件，
若甲乙两队比分为1：4，则乙射进4次，甲前三次射进一次，第4次未进，，
若甲乙两队比分为2：4，则乙射进4次，甲前四次射进两次，
所以．
即在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出的概率为．


下棋，投篮，设计，摸球，以及商场推销游戏等等，这类模型，体现在“对战”与“择优”，阅读量大，题意理解要求高，分清楚“游戏规则”，需要多种情况讨论，在转化为数学模型时，可以借助图表，画出“时间线”，标记符号来达到分类讨论不偏不漏。


（湖南省四大名校名师团队2023届高三普通高校招生统一考试数学模拟冲刺卷（一））党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从百年党史题库抽取道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等比赛细则为：选手抢到试题且回答正确得分，对方选手得分选手抢到试题但回答错误或没有回答得分，对方选手得分道题目抢答完毕后得分多者获胜已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，两名选手每道试题回答是否正确相互独立．
(1)求乙同学得分的概率
(2)记为甲同学的累计得分，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据相互独立事件、互斥事件的判断与概率计算公式综合运算求解即可；
（2）由题意，可能值为0，50，100，150，200，根据相互独立事件、互斥事件的判断与概率计算公式分别求出对应取值的概率，即可得到离散型随机变量的分布列，再由期望定义及公式求其期望值．
【详解】（1）由题意，乙同学得分的基本事件有乙抢到两题且一道正确一道错误、
甲乙各抢到一题都回答正确、甲抢到两题且回答错误，
所以乙同学得分的概率为

（2）由题意，甲同学的累计得分可能值为0，50，100，150，200，
，
，
，
，
，
分布列如下：













所以期望．

1.（广东省茂名市2023届高三一模数学试题）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛.
(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，比赛共进行二轮.
（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.
【答案】(1)(2)（i）分布列见解析（ii）分布列见解析，均值为0
【分析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；
（2）（i）的可能取值为－2，0，2，计算出相应概率，即得分布列；（ii）的可能取值为－4，－2，0，2，4，计算出相应概率，即得分布列和均值；
【详解】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，
B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”
由全概率公式得

（2）（i）设在一轮比赛中得分为，则的可能取值为－2，0，2，则



得分为的分布列用表格表示

－2
0
2
P




（ii）设在二轮比赛中得分为，则的可能取值为－4，－2，0，2，4，则
。。。

得分为的分布列用表格表示为

－4
－2
0
2
4
P






2.（辽宁省名校联盟2022-2023学年高三下学期质量检测考试数学试题）口袋中有5个球，其中白球2个，黑球3个，每次从口袋中取一个球，若取出的是白球，则不放回，若取出的是黑球，则放回袋中.
(1)求在第2次取出的是黑球的条件下，第1次取出的是白球的概率；
(2)求取了3次后，取出的白球的个数的分布列及数学期望.
【答案】(1)(2)分布列见解析，
【分析】（1）运用条件概率公式计算即可；
（2）先分析出取出白球的个数的几种可能，再写出分布列，最后根据分布列算出期望.
【详解】（1）解:设第一次取出白球为事件A，第二次取出黑球为事件B，
，，
在第2次取出的是黑球的条件下，第1次取出的是白球的概率.
（2）解：设取出白球的个数为，则，
，，
，
所以X的分布列为

0
1
2







1.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，.
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为


．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为

0
10
20
30

0.16
0.44
0.34
0.06

期望.
2.（2022年新高考北京数学高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4(2)(3)丙
【分析】(1)    由频率估计概率即可
(2)    求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3)    计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
【详解】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，

，

，
.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P





∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.

三、药物实验等选择最优化模型
例题、为了解新研制的抗病毒药物的疗效，某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药，然后对每只白鼠的血液进行抽样化验，若检测样本结果呈阳性，则白鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性，则白鼠未感染病毒.现随机抽取只白鼠的血液样本进行检验，有如下两种方案:
方案一:逐只检验，需要检验次;
方案二:混合检验，将只白鼠的血液样本混合在一起检验，若检验结果为阴性，则只白鼠未感染病毒;若检验结果为阳性，则对这只白鼠的血液样本逐个检验，此时共需要检验次.
(1)若，且只有两只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好检验3次就能确定两只感染病毒白鼠的概率;
(2)已知每只白鼠感染病毒的概率为.
①采用方案二，记检验次数为，求检验次数的数学期望;
②若，每次检验的费用相同，判断哪种方案检验的费用更少?并说明理由.
【答案】(1)；(2)①；②答案见解析.
【分析】（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件加法求恰好检验3次就能确定两只感染病毒白鼠的概率；
（2）①次数为可能取值为1，，利用对立事件概率求法求各值的概率，进而求其期望；②由①得，根据其单调性及其零点，判断方案检验的费用的大小关系.
【详解】（1）根据题意，恰好在第一、三次确定两只感染病毒白鼠的概率，
恰好在第二、三次确定有两只感染病毒白鼠的概率，
所以恰好检验3次就能确定有两只白鼠感染病毒的概率．
（2）①设检验次数为，可能取值为1，．
则，，
所以．
②方案二的检验次数期望为，
所以，设，
因为，所以单调递增，由得：，
当时，，则，
当时，，则，
故当时，选择方案二检验费用少，
当时，选择方案一检验费用少，
当时，选择两种方案检验费用相同．

药物实验模型，多是两种方案的计算，分析，比较，选择。要注意区分两种方案的区别与练习，特别要注意两种方案之间是否是完全无关，还是存在两种方案的“衔接与转换”。


某种疾病可分为Ⅰ､II两种类型.为了解该疾病类型与性别是否有关，在某地区随机抽取了男女患者各200名，每位患者患Ⅰ型或II型病中的一种，得到下面的列联表：

Ⅰ型病
II型病
男
150
50
女
125
75

(1)根据列联表，判断是否有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关.
(2)某药品公司欲研发此疾病的治疗药物，现有两种试验方案，每种方案至多安排2个接种周期，且该药物每次接种后出现抗体的概率为p（0 ①求和；
②从平均费用的角度考虑，哪种方案较好？
参考公式：，其中n=a+b+c+d.
参考数据：

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关；
(2)①；；② 方案二较好.
【分析】（1）根据列联表，计算，与临界值比较即可作出结论；
（2）①分别按方案一、方案二，列出的可能取值并计算概率，再求期望即可；
②做差比较的大小，作出结论即可.
(1)由题中数据，可知，
所以有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关；
(2)① 方案一：的可能取值为，，则，
所以；方案二：由题意，的可能取值为，
则，
，
所以.
② 因为，所以，
所以方案二较好.

1.（重庆市秀山高级中学2023届高三上学期1月月考数学试题）在某地暴发的新型病毒分为､两种类型，为了解感染此种病毒的类型与年龄的关系，该地疾控中心随机抽取了部分新型病毒感染者进行调查.据统计，型病毒感染者人数是型病毒感染者人数的2倍，在型病毒感染者中60岁以上的人数是其他人数的5倍，在B型病毒感染者中60岁以上的人数是其他人数的一半.
（1）若根据卡方检验，有超过99.5%的把握认为“感染新型病毒的类型与年龄有关”，则抽取的型病毒感染者至少有多少人？
（2）医疗机构研发了针对这种新型病毒的两种治疗药物甲和乙，经过实验室试验知乙种药物治疗新型病毒有效的概率是甲种药物的2倍.某地欲引进甲､乙两种药物对患者进行治疗，按规定，需要对两种药物进行临床试验.甲种药物共进行两轮试验，每轮试验中若连续2次有效或试验3次时，本轮试验结束；乙种药物先进行3次试验，若至少2次有效，则试验结束，否则再进行3次试验后方可结束.假定两种药物每次试验是否有效均互相独立，且两种药物的每次试验费用相同.请结合以上针对两种药物的临床试验方案，估计哪种药物的试验费用较低？
附： (其中)
()
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）12；（2）甲种药物试验平均花费较低.
【分析】（1）设感染型患者为人，则感染型患者为人，60岁以上的患者人数分别，
由题意必有，带入公式即可得解；
（2）设甲种药物治疗有效的概率为，每次试验花费为，则乙种药物治疗有效的概率为故 ，分别求出，，比较大小即可得解.
【详解】（1）设感染型患者为人，则感染型患者为人，
60岁以上的患者人数分别，由题意必有，
而，所以，又因为为整数，
故抽取的型病毒感染者至少有12人；
（2）设甲种药物治疗有效的概率为，每次试验花费为，
则乙种药物治疗有效的概率为故，设甲种药物试验总花费为，的可能取值为，，， ，
故，
设乙种药物试验总花费为，的可能取值为，
，，
所以，由所以，
所以，所以甲种药物试验平均花费较低.
2.（陕西省西安市长安区2023届高三下学期一模理科数学试题）某学校组织知识竞答比赛，设计了两种答题方案：
方案一：先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；
方案二：全部回答单选题.
其中每道单选题答对得2分，答错得0分；
多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项得0分.
每名参与竞答的同学至多答题3道.在答题过程中得到4分或4分以上立刻停止答题.统计参与竞答的500名同学，所得结果如下表所示：

男生
女生
选择方案一
100
80
选择方案二
200
120

(1)能否有的把握认为方案的选择与性别有关?
(2)小明回答每道单选题的正确率为0.8；多选题完全选对的概率为0.3，选对且不全的概率为0.3.
①若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列及数学期望；
②如果你是小明，为了获取更好的得分你会选择哪个方案?请通过计算说明理由.
附：，.

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)没有.
(2)①分布列见解析；.②选方案一，理由见解析.
【分析】（1）根据题意完善列联表，计算的值，即可判断结论；
（2）①确定X的取值，求出每个值对应的概率，可得分布列，进而求得数学期望；②计算出选择方案二的数学期望，和方案一进行比较，可得答案.
【详解】（1）由题意完善列联表如图：

男生
女生
总计
选择方案一
100
80
180
选择方案二
200
120
320
总计
300
200
500

故
故没有的把握认为方案的选择与性别有关.
（2）①由题意可知X的所有可能取值为，
则, ,
,
,
,
故X的分布列为∶
X
0
1
2
3
4
5
P
0.016
0.012
0.128
0.108
0.256
0.480

故X的数学期望.
②设选择方案二的得分为Y,则Y的可能取值为，
则, ,
,
故,
因为,故为了获取更好的得分,小明会选择方案一.



1.（2021年全国新高考I卷数学试题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；；
．所以的分布列为








（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
2.（普通高等学校招生考试数学（理）试题（大纲卷 Ⅰ））已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案:
方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(2) 表示依方案乙所需化验次数,求的期望.
【答案】（1）0.72（2）2.4
【详解】（1）设1、2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P表示对应的概率，则
方案甲中1的概率分布为

1
2
3
4






方案乙中2的概率分布为

1
2
3

0



若甲化验次数不少于乙化验次数,则
P=P(1=1)×P(2=1)+P(1=2)×［P(2=1)+P(2=2)］+P(1=3)×［P(2=1)+P(2=2)+P(2=3)］+P(1=4)
=0+×（0+）+×（0++）+=
=0.72.
(2)E()=1×0+2×+3×==2.4.


四、正态分布模型
例题、年卡塔尔世界杯采用的“半自动越位定位技术”成为本届比赛的一大技术亮点，该项技术的工作原理是将若干个传感器芯片内置于足球中，每个传感芯片都可以高频率定位持球球员，以此判断该球员是否越位．为了研究该技术的可靠性，现从生产的传感芯片中随机抽取个，将抽取到的传感芯片的最高频率（单位：）统计后，得到的频率分布直方图如图所示：

(1)求这批芯片的最高频率的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和方差；
(2)根据频率分布直方图，可以近似认为这批传感芯片的最高频率服从正态分布．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，试估计，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于的概率；
(3)若传感芯片的最高频率大于，则该传感志片是可精确定位的，现给每个足球内置个传感芯片，若每个足球中可精确定位的芯片数不少于一半，则该足球可以满足赛事要求，能够精确判定球员是否越位，否则就需要增加裁判数量，通过助理裁判指证、慢动作回放等方式进行裁定．已知每个传感芯片的生产和维护费用约为万元/场，因足球不可精确定位而产生的一次性人力成本为万元/场，从单场比赛的成本考虑，每个足球内置多少个芯片，可以让比赛的总成本最低？
附：，，．
【答案】(1)，(2)约为(3)，成本最低．
【分析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加，可得出，利用方差公式可求得的值；
（2）求出、的值，利用原则可求得的值，即为所求；
（3）对的取值进行分类讨论，求出每种情况下比赛的总成本，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）解：由题意可得，

.
（2）解：由题意可得，，则.
因此，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于的概率约为.
（3）解：（i）时，足球可以满足赛事要求的概率为，
期望成本；
（ii）时，足球可以满足赛事要求的概率为，
期望成本；
（iii）时，足球可以满足赛事要求的概率为，
期望成本；
（iv）时，足球可以满足赛事要求的概率为，
期望成本.所以，中，最小.综上，，成本最低．


正态分布是一种重要的分布，尤其是正态分布的原则，审清题意，细心计算。
（1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为， （其中是参数，且，）。
其图像如图13-7所示，有以下性质：
①曲线在轴上方，并且关于直线对称；
②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；
④图像与轴之间的面积为1.

（2）= ，= ，记作 .
当时， 服从标准正态分布，记作 .
（3） ，则在，，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。


为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：

（1）根据频率分布直方图，估计100只小白鼠该项医学指标平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）若认为小白鼠的该项医学指标值服从正态分布，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的100只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有10只小白鼠又产生了抗体．这里近似为小白鼠医学指标平均值，近似为样本方差．经计算得，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率（精确到0.01）．
附：参考数据与公式
，若，则①；②；③．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用每一个小矩形的面积乘以对应的底边中点的横坐标之和即为；
（2）先计算第一次注射疫苗后产生抗体的概率，即可计算第一次注射疫苗后100只小白鼠中产生抗体的数量，加上第二次注射疫苗10只小白鼠又产生了抗体，可以得出两次注射疫苗产生抗体的总数，即可求概率.
【详解】（1）

（2）
∴
记事件表示首先注射疫苗后产生抗体，则
，
因此100只小鼠首先注射疫苗后有只产生抗体，有只没有产生抗体．故注射疫苗后产生抗体的概率.

1.（河北省衡水市第二中学2023届高三上学期一模数学试题）某工厂生产一批零件，其直径X满足正态分布（单位：）.
(1)现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已知：）
(2)若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？
【答案】(1)见解析；(2)0.
【分析】（1），故至少有1个次品的概率为，根据小概率事件说明即可；
（2）次品的概率为，设次品数为,则，其中，设次品数最可能是件，则，求解即可.
【详解】（1）因为，所以,
所以随机抽取15个零件进行检测，至少有1个次品的概率为，
如果生产状态正常，至少有一个次品的概率约为，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认定生产过程中存在问题，即这一标准是合理的.
（2）次品的概率为，
抽取100个零件进一步检测，设次品数为,则，其中，
故，设次品数最可能是件，
则，即，
即，解得.因为，所以，故.
故这100个零件中的次品数最可能是0.
2．（安徽省淮南市2023届高三上学期一模数学试题）年月日时分，搭载空间站梦天实验舱成功发射，并进入预定轨道，梦天舱的重要结构件导轨支架采用了打印的薄壁蒙皮点阵结构.打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.随着技术不断成熟，打印在精密仪器制作应用越来越多.某企业向一家科技公司租用一台打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这台打印设备打印出品的零件内径（单位：）服从正态分布.
(1)若该台打印了件这种零件，记表示这件零件中内径指标值位于区间的产品件数，求；
(2)该科技公司到企业安装调试这台打印设备后，试打了个零件.度量其内径分别为（单位：）：、、、、，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：，，，
【答案】(1)(2)需要进一步调试，理由见解析
【分析】（1）计算出一件产品的质量指标值位于区间的概率，分析可知，利用二项分布的期望公式可求得的值；
（2）计算得出，，且，根据原则可得出结论.
【详解】（1）解：由题意知，，，则，
一件产品的质量指标值位于区间的概率即为
因为，，
所以
，所以，所以.
（2）解：服从正态分布，由于，
则，，
所以内径在之外的概率为，为小概率事件而，且，
根据原则，机器异常，需要进一步调试.


1.（全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95

经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
【答案】（1），（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,
【分析】（1）依题知一个零件的尺寸在之内的概率，可知尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望.
（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；
（ii）计算，剔除之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差，即为的估计值.
【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.
因此.的数学期望为.
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据，剩下数据的平均数为，
因此的估计值为.，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差为，因此的估计值为.
2.（年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.
附：
若则，．
【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．
【详解】试题分析：（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II）（i）由已知得，
，故；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，故期望．
试题分析：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为
，
．
（II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．



五、数列递推型分布列
例题1、某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．
①求P2，P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
【答案】(1)12(2)①，；②证明过程见详解，第7次回答的是甲的可能性比第8次的大
【分析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为η，可得，再写出的所有可能取值，分别求出其对应的概率，进而得到的分布列，并求出的数学期望，从而可求得的数学期望；
（2）①直接根据题意可得第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以第二次甲回答的概率为；
②先根据题意建立与的关系式，即可证明数列为等比数列，进而可得到的通项公式，从而可比较P7，P8．
【详解】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，
易知的所有可能取值为0，1，2，
则，，，故的分布列为

0
1
2
P




则，所以．
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴，则．
②由第n次回答的是甲的概率为，得当n≥2时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，
则，即，又，
∴是以为首项，为公比的等比数列，则，∴，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．
例题2、冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严重急性呼吸综合征等较严重疾病．而今年初出现并在全球蔓延的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．
某药物研究所为筛查该种病毒，需要检验血液是否为阳性，现有（，且）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验则需要检验次；
方式二：混合检验，将份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．
（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，从中任取3份样本进行医学研究，求至少有1份为阳性样本的概率；
（2）假设将（且）份血液样本进行检验，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为；
①运用概率统计的知识，若，试求关于的函数关系式；
②若与干扰素计量相关，其中数列满足，当时，试讨论采用何种检验方式更好？
参考数据：．
【答案】（1）（2）①（且）．②当时采用混合检验方式，且时采用逐份检验方式．
【分析】（1）利用古典概型的概率求至少有1份为阳性样本的概率；
（2）①由题得，根据得到；②先求出，当时，得到不等式的解，即得当时采用混合检验方式，且时采用逐份检验方式．
【详解】（1）由古典概型的概率公式得.
（2）①由已知，得；的所有可能取值为1，，．
．
若，则，．
类于的函数关系式为（且）．
②由已知得，数列是等比数列，且
，当时，有，
得．
设，
∴当时，，即在上单调减．
又；

当时，且时．
当时采用混合检验方式，且时采用逐份检验方式．

数列分布列的求解，分析和利用题中条件，转化为数列递推公式，利用递推关系式证明等比数列、累加法等方法求解数列通项公式和数列中的项的问题.这类题型综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.

近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．
请回答如下两个问题：
(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为分的概率，表示累计得分为的概率），求：
①的通项公式；
②的通项公式．
【答案】(1)；(2)①；②.
【分析】（1）根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求结果即可；
（2）求得的递推关系，结合等比数列的通项公式，即可求得；再结合累加法，以及等比数列前项和公式，即可求得.
【详解】（1）设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为，由题可知，，故，
设某班同学3次专注度监测的总得分为，根据题意，故.
故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是.
（2）①由题可知，
根据题意，，故可得
故数列为首项，公比为的等比数列，
则.
②根据上式可得，
则，
故的通项公式.

1.（2023届福建省福州第一中学高三下学期教学反馈检测数学（理）试题）在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队，研制了甲、乙两种治疗“新冠肺炎”新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验，试验方案如下：
第一种：选取共10只患病白鼠，服用甲药后某项指标分别为：；
第二种：选取共10只患病白鼠，服用乙药后某项指标分别为：；
该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于85的确认为药物有效，否则确认为药物无效.
（1）已知第一种试验方案的10个数据的平均数为89，求这组数据的方差；
（2）现需要从已服用乙药的10只白鼠中随机抽取7只，记其中服药有效的只数为，求的分布列与期望；
（3）该团队的另一实验室有1000只白鼠，其中900只为正常白鼠，100只为患病白鼠，每用新研制的甲药给所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有变为正常白鼠，但正常白鼠仍有变为患病白鼠，假设实验室的所有白鼠都活着且数量不变，且记服用次甲药后此实验室正常白鼠的只数为.
（i）求并写出与的关系式；
（ii）要使服用甲药两次后，该实验室正常白鼠至少有950只，求最大的正整数的值.
【答案】（1）6.2（2）见解析，（3），（i）（ii）
【解析】（1）利用题设数据及方差的定义求解即可；
（2）利用超几何概型的概率公式计算概率，列分布列，即得解.
（3）（i）依题设知，即得解；
（ii），代入，构造函数即得解.
【详解】（1）方差
（2）在第二种试验中服药有效的白鼠有4只，服药无效的白鼠有6只，
故的可能取值为1，2，3，4
，，
，，
因此的分布列为

1
2
3
4







（3）（ⅰ）
依题设知，
即
（ⅱ），
由可得
记函数，其中，
则函数在上单调递减，
且，
故最大的正整数
2.（江西省余干县新时代学校2022-2023学年高二阶段测试（二）数学（理）试题）在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队，研制了甲、乙两种治疗“新冠肺炎”新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验，试验方案如下：
第一种：选取，，，，，，，，，共10只患病白鼠，服用甲药后某项指标分别为：84，87，89，91，92，92，86，89，90，90；
第二种：选取，，，，，，，，，共10只患病白鼠，服用乙药后某项指标分别为：81，87，83，82，80，90，86，89，84，79；
该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于85的确认为药物有效，否则确认为药物无效.
（1）已知第一种试验方案的10个数据的平均数为89，求这组数据的方差；
（2）现需要从已服用乙药的10只白鼠中随机抽取7只，求其中服药有效的只数不超过2只的概率；
（3）该团队的另一实验室有1000只白鼠，其中900只为正常白鼠，100只为患病白鼠，每用新研制的甲药给所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有90%变为正常白鼠，但正常白鼠仍有变为患病白鼠，假设实验室的所有白鼠都活着且数量不变，且记服用次甲药后此实验室正常白鼠的只数为.
（ⅰ）求并写出与的关系式；
（ⅱ）要使服用甲药两次后，该实验室正常白鼠至少有950只，求最大的正整数的值.
【答案】（1）；（2）；（3）（ⅰ）；；（ⅱ）.
【分析】（1）直接利用方差公式求出方差即可；
（2）在第二种实验中服药有效的白鼠有4只，服药无效的白鼠有6只，，利用古典概型概率公式求出概率即可；
（3）（ⅰ）根据题意，再化简即可；
（ⅱ）结合（ⅰ），由可得，记函数，其中，则函数在单调递减，求出最大值即可．
【详解】（1）方差
（2）在第二种试验中服药有效的白鼠有4只，服药无效的白鼠有6只，设服药有效的只数为

（3）（ⅰ）
依题设知，
即
（ⅱ），
由可得记函数，其中，
则函数在上单调递减，且，故最大的正整数

1.（2021年全国新高考II卷数学试题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用公式计算可得.
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
2.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，， ，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.
【分析】（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合和的值可求得；再次利用累加法可求出.
【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：









（2），
，，
（i）
即
整理可得：  
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：


表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.


六、 求最值型分布列
例题1.超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷，甚至死亡.
某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为
现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为
（1）运用概率统计的知识，若，试求关于的函数关系式；
（2）若与抗生素计量相关，其中是不同的正实数，满足，对任意的，都有
（i）证明：为等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.
参考数据：，，，，，
【答案】（1），（，且）；（2）（i）见解析，（ii）4
【分析】（1）易知若取份血液样本则；的所有可能取值为1，，根据概率公式可表示出.结合，化简即可关于的函数关系式；
（2）（i）根据当时成立，则由数学归纳法即可证明为等比数列.（ii）根据（i）可得，，化简可得，构造函数，求得导函数，可通过的符号判断函数单调性，结合参考数据，即可求得的最大值.
【详解】（1）由已知得；的所有可能取值为1，，，.
.若，则，，
，.关于k的函数关系式为，（，且）.
（2）（i）证明：当时，，，令，则，
，下面证明对任意的正整数n，.
①当，2时，显然成立；
②假设对任意的时，，下面证明时，：
由题意，得，，
，，
，.或（负值舍去）.
成立.由①②可知，为等比数列，.
（ii）由（i）知，，，，得，.
设，，当时，，即在上单调减.
又，，；，，.的最大值为4.
例题2、北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，合肥一中决定安排5名志愿者将两个吉祥物安装在合一广场，活动共分3批次进行每次活动需要同时派送2名志愿者，且每次派送人员均从5人中随机抽选．已知这5名志愿者中，2人有安装经验，3人没有安装经验．
(1)求5名志愿者中的“小明”，在这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率；
(2)求第二次抽选时，选到没有安装经验志愿者的人数最有可能是几人？请说明理由；
(3)现在需要2名志愿者完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位志愿者一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位志愿者．若有A、B两个志愿者可派，他们各自完成任务的概率分别为，，假设，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为，，其中，是、的一个排列，试分析以怎样的顺序派出志愿者，可使所需派出志愿者的人员数目的数学期望达到最小．
【答案】(1)(2)最有可能是1人；理由见解析(3)按照先A后B的顺序所需人数期望最小
【分析】（1）由题意可得小明被抽取到概率为，然后根据二项分布的概率公式求解，
（2）设表示第一次抽取到的没有安装经验志愿者人数，可能的取值有0，1，2，然后求出相应的概率，设表示第二次抽取到的没有安装经验志愿者的人数，可能的取值有0，1，2，根据题意求出相应的概率，然后比较概率的大小可得结论，
（3）设X表示先A后B完成任务所需人员数目，列出分布列，求出期望，设Y表示B先后A完成任务所需人员数目，列出分布列，求出期望，然后比较两个期望的大小即可
【详解】（1）5名志愿者的“小明”在每轮抽取中，被抽取到概率为，
则三次抽取中，“小明”恰有一次被抽取到的概率；
（2）第二次抽取到的没有安装经验志愿者人数最有可能是1人．
设表示第一次抽取到的没有安装经验志愿者人数，可能的取值有0，1，2，
则；；．
设表示第二次抽取到的没有安装经验志愿者的人数，可能的取值有0，1，2，则



因为，
故第二次抽取到的没有安装经验志愿者人数最有可能是1人．
（3）按照先A后B的顺序所需人数期望最小：
①设X表示先A后B完成任务所需人员数目，则
X
1
2
P


，
①设Y表示B先后A完成任务所需人员数目，则
X
1
2
P



，，
故按照先A后B的顺序所需人数期望最小．

分布列最值型，涉及到构造函数，分类讨论，构造数列，均值不等式，放缩法等等综合性求最值。结合题意，转化为对应的函数，或者数列等等，进行最值求解


混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．
(1)证明：；
(2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.
（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.
【详解】（1）由题意可得满足二项分布，
由知，，当且仅当时取等号；
（2）记（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），
（混管中恰有i例阳性）=，，
令，，
则，
当时，，为单调递减，
当时，，为单调递增，所以，
且，，
所以当，即，两边取自然对数可得，
所以当，时，
所以，
则．
故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.

1.（江西省宜春市2022-2023学年高三阶段性考试数学（理）试题）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．
(1)求该团队能进入下一关的概率；
(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小？并说明理由．
【答案】(1)(2)先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小，理由见解析.
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式得出不能进入下一关的概率，利用对立事件的概率公式即可得出能进入下一关的概率.
（2）设按先后顺序各自能完成任务的概率分别，，，根据题意得出的可能的取值，分别计算概率，得出数学期望的表达式，判断，，的大小对的影响即可得出结论.
【详解】（1）解：记“团队能进入下一关”的事件为，则“不能进入下一关”的事件为，
，
所以该团队能进入下一关的概率为．
（2）解：设按先后顺序各自能完成任务的概率分别，，，且，，互不相等，
根据题意知的所有可能的取值为1，2，3；
则，，，
，
所以．
若交换前两个人的派出顺序，则变为，
由此可见，当时，
交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁；
若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，
由交换前，
所以交换后的派出顺序则变为，
当时，交换后的派出顺序可增大均值．
所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．
2.（辽宁省部分中学2022-2023学年高三检测数学试题）我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：
分钟
性别
（0，40]
（40，60]
（60，90]
（90，120]
女生
10
40
40
10
男生
5
25
40
30

根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在（60，120]内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在（90，120]内认定为“良好”.
(1)完成下列22列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联；

不合格
合格
合计
女生



男生



合计




(2)从女生平均每天体育运动时间在的100人中用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取2人，记为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求的分布列及数学期望；
(3)从全市学生中随机抽取100人，其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为，记“平均每天体育运动时间为'良好'的人数为”的概率为，视频率为概率，用样本估计总体，求的表达式，并求取最大值时对应的值.
附：，其中.

0.010
0.005
0.001

6.635
7.879
10.828
【答案】(1)列联表见解析，认为性别因素与学生体育运动时间有关联，此推断犯错误的概率不大于；
(2)分布列见解析，数学期望为；(3)，
【分析】（1）通过题意可得列联表，计算的值，可得结论；
（2）根据分层抽样的比例可得抽取的女生平均每天体育运动时间在的人数，确定的取值，根据超几何分布可求得每个值对应的概率，即得分布列，从而计算数学期望；
（3）通过题意可得满足二项分布，能得到，然后通过作商法可得到当时，，当时，，即可得到答案
【详解】（1）由题意可知，22列联表如下表

不合格
合格
合计
女生
50
50
100
男生
30
70
100
合计
80
120
200

零假设为：性别与学生体育运动时间无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立即认为性别因素与学生体育运动时间有关联，此推断犯错误的概率不大于；
（2）抽取的20人中，女生平均每天运动时间在的人数分别为2人，8人，8人，2人，易知的所有可能取值为，
，，，
所以的分布列为

0
1
2





所以数学期望为；
（3）平均每天运动时间在的频率为，由题意可知，
所以，由，得，
所以，当时，，即，
当时，，即，
所以，即取最大值时，.

1.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验.
【分析】（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；
（2）方法一：先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
【详解】（1）［方法一］：【通性通法】利用导数求最值
件产品中恰有件不合格品的概率为.
因此.
令，得.当时，；当时，.
所以的最大值点为；
［方法二］：【最优解】均值不等式
由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为．
，当且仅当，即可得所求．
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
2.（全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6， 0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.
【答案】（1）0.31 （2）3
【分析】试题分析：（1）至少3人需使用设备分为恰好有3人使用的设备和4个人使用设备.这两个是事件是互斥事件，首先利用独立事件的概率公式分别求出恰好有3人使用的设备和4个人使用设备的概率，最后相加即可.
利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式计算出同一工作日4人需使用设备的概率.然后结合（1）的结论即可得出结论.
【详解】试题解析：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0,1,2.
B表示事件：甲需使用设备.
C表示事件：丁需使用设备.
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.
E表示事件：同一工作日4人需使用设备.
F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.
（1）D=A1·B·C+A2·B+A2··C
P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)=.
所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)= P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)
= P(A1P)·P(B)·P(C)+P(A2)·P(B)+P(A2)·p()·p(C)=0.31.
(2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1.
又E=B·C·A2,P(E)=P(B·C·A2)= P(B)·P(C)·P(A2)=0.06；
若k=4，则P(F)=0.06<0.1.
所以k的最小值为3.