专题02 数列——【备考2023】高考数学大题精练 （新高考专用）（原卷版+解析版）

专题02 数列

数列一般作为全国卷第17题或第18题或者是19题，主要考查数列对应的求和运算以及相应的性质

考察题型一般为：

1 错位相减求和

2 裂项相消求和

3 （并项）分组求和

  4 数列插项问题

  5 不良结构问题

  6 数列与其他知识点交叉问题

在新高考改革情况下，对于数列的思辨能力有进一步的加强，务必要重视

题型一：数列错位错位相减求和

1．已知为首项的等比数列，且，，成等差数列；又为首项的单调递增的等差数列，的前n项和为，且，，成等比数列．

(1)分别求数列，的通项公式；

(2)令，数列的前n项和为，求证：．

1．若等差数列的前n项和为，数列是等比数列，并且 ，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)求数列的前n项和；

(3)若，求数列的前n项和

题型二：裂项相消求和

1   已知数列的前项的积记为，且满足.

(1)证明：数列为等差数列；

(2)设，求数列的前项和.

1．已知正项数列的前项和为，且.

(1)证明：是等差数列.

(2)设数列的前项和为，若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围.

题型三：（并项）分组求和

设是首项为1的等比数列，且满足成等差数列：数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，则

(1)求数列和的通项公式；

(2)记为数列的前n项的和，证明：；

(3)任意，求数列的前项的和．

1．已知数列满足,.

(1)记,写出,,,,并猜想数列的通项公式;

(2)证明（1）中你的猜想;

(3)若数列的前n项和为,求.

题型四：数列插项问题

1．记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.

1．已知数列的前n项和为，且．

(1)求证：是等比数列；

(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和.

题型五  不良结构问题

1．已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.

问题：若，且______，求数列的前n项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.

1．在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答已知等差数列的前n项和为，，___________，___________.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和；

(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

题型六   数列与其他知识点交叉问题

1．为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：

游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．

游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．

游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为”，一次游戏中甲小朋友的得分记为X．

(1)求X的分布列；

(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分，表示“甲小朋友的当前累计得分为i时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则，，，其中，，．假设，．

（i）证明：为等比数列；

（ii）根据的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．

1．已知函数，.

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)设函数（，），若函数和都是奇函数，将满足条件的按从小到大的顺序组成一个数列，求的通项公式；

(3)求实数与正整数，使得在内恰有147个零点.

一、解答题

1．已知数列的前项之积为.

(1)求数列的通项公式;

(2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前项和.

请从①； ②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.

2．已知数列的前项和为.

(1)求及的通项公式；

(2)若对任意的恒成立，求的最小值.

3．在数列中，，．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)令，数列的前n项和为，求证：．

4．已知正项等差数列和正项等比数列，为数列的前n项和，且满足．

(1)分别求数列和的通项公式；

(2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为，求．

5．已知为首项的等比数列，且，，成等差数列；又为首项的单调递增的等差数列，的前n项和为，且，，成等比数列．

(1)分别求数列，的通项公式；

(2)令，数列的前n项和为，求证：．

6．设数列的前项之积为，且满足．

(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)记，证明：．

7．设是首项为1的等比数列，且满足成等差数列：数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，则

(1)求数列和的通项公式；

(2)记为数列的前n项的和，证明：；

(3)任意，求数列的前项的和．

一、解答题

1．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

2．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

3．（2022·全国·统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．

(1)证明：；

(2)求集合中元素个数．

4．（2022·北京·统考高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．

(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；

(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；

(3)若为连续可表数列，且，求证：．

5．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．

(1)求与的通项公式；

(2)设的前n项和为，求证：；

(3)求．

6．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．

(1)若，求；

(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．

7．（2021·全国·统考高考真题）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.

8．（2020·山东·统考高考真题）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

9．（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求.