专题六——【广东专用】2023年高考数学大题限时训练学案（原卷版+解析版）

专题06 大题限时练六

1．记的内角，，的对边分别为，，，，且．

（1）求证：；

（2）若的面积为，求．

【答案】（1）见解析；（2）=10

【详解】（1）证明：，

即为，

由正弦定理可得，即，

又，

即有，化为，即；

（2）若的面积为，则，

即，由，解得舍去）．

2．已知数列的前项和为，且满足，，．

（1）求、的值及数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1），，；（2）

【详解】（1）因，

取和得：，

即，解得，，

由得：，

数列是首项为，公差的等差数列，

则，即，

当时，，

而满足上式，因此，，

所以，，

数列的通项公式；

（2）由（1）知，当时，，

因此，，

则满足上式，

所以．

3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角

形，是侧棱的中点，且平面．

（1）求证：平面平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：因为平面，

所以，

又底面为正方形，

所以，又，

所以平面，又平面，

所以平面平面；

（2）解：取的中点，连接，则平面，

则以为原点，建立如图所示空间直角坐标系：

设，则，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，

令，则，，则，

设与平面所成角，

所以．

4．2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场，则专业队获胜；若甲连续输两场，则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．

已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢的概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为，其中．

（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛，请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？

（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．

在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计万元，求的数学期望的取值范围．

【答案】见解析

【详解】（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：，

第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：，

因为，

所以，

所以，

所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛；

（2）由已知万元或万元．

由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛，

此时，业余队获胜的概率为，

专业队获胜的概率为，

所以，非平局的概率为，

平局的概率为，

的分布列为：

的数学期望为 （万元），

而，

所以的取值范围为：，4.3 （单位：万元）．

5．已知，为的导函数．

（1）若对任意都有，求的取值范围；

（2）若，证明：对任意常数，存在唯一的，，使得成立．

【答案】（1），；（2）见解析

【详解】（1）由已知有，即恒成立，即恒成立，

令，则，

当时，，当时，

所以是函数在内唯一的极大值点，也是最大值点，

所以（1），所以只要，即即可，

故实数的取值范围是，；

（2）证明：设，将问题转化为在区间，上有唯一的零点，

由，知在区间，上单调递减，

故函数在区间，上至多有1个零点，

因为，

，

由（1）知，当时，（当且仅当时取等号），

因为，所以，所以，又，，所以，

因为，所以，所以，即，

又，即，所以，

由函数零点存在定理知：在区间，上有唯一的零点，即存在唯一，，使得成立．

6．已知椭圆，其右焦点为，，点在圆上但不在轴上，过点作圆的切线交椭圆于，两点，当点在轴上时，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当点在圆上运动时，试探究周长的取值范围．

【答案】（1）；（2），

【详解】（1）由题意可知，

当点在轴上时，，不妨设，

得，解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）设，，，，

则，

同理，

，

同理，

所以的周长为，

①当直线的斜率不存在时，的方程为或．

的方程为时，不妨设，的坐标分别为，，

此时的周长为4．

的方程为时，不妨设，的坐标分别为，，

此时的周长为．

②当直线的斜率存在时，设的方程为，

由直线与圆相切，得，即，

联立得，化简得，

则，易知△恒成立，

而，即，同号，

当时，即，此时点在轴右侧，所以，，

此时的周长为定值．

当时，即，此时点在轴左侧，所以，，

此时的周长

，

因为，所以，当且仅当时等号成立，

即或时取等号．

从而，所以周长的取值范围为，，

综上所述，周长的取值范围为，．