专题十三——【广东专用】2023年高考数学大题限时训练学案（原卷版+解析版）

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专题13 大题限时练十三 1．已知等差数列的首项为2，且，，成等比数列．数列的前项和为，且．（1）求与的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）【详解】（1）设的公差为，因为所以，解得，所以．数列的前项和为，且，①当时，，②①②得，，当时，，满足，所以．（2）因为，所以，，两式相减得，，所以．2．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，记的面积为．（1）求．（2）请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的的个数，并说明理由．条件：①，②，③．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1），，，即，，，．（2）选①：，，且，，，，，，，或，故满足条件的的个数为2个，选②：，，，，，，，即，，，，，，故满足条件的的个数为1个，选③：在中，由正弦定理可得，，则，，，，，，，，，不符合题意，故满足条件的的个数为0个．3．某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有，两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从，两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后．无论结果如何，竞赛都结束．，两类知识挑战成功分别可获得2万元和5万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到2000元激励奖金．已知甲同学成功晋级决赛．他对，两类知识的挑战成功率分别为0.6，0.4，且挑战是否成功与挑战次序无关．（1）若记为甲同学优先挑战类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出的分布列；（2）为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由．【答案】见解析【详解】（1）由题意可知，可取的值为2000，20000，70000，，，．故的分布列为200020000700000.40.360.24（2）记为甲同学优先挑战类知识所获奖金的累计总额，甲同学优先挑战类知识所获奖金的累计总额的期望为，优先挑战类知识所获奖金的累计总额的期望为，由题意可知，可取的值为2000，50000，70000，，，．（元，（元，因为，所以为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战类知识．4．在四棱台中，底面是正方形，且侧棱垂直于底面，，，分别是与的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明；连接，点是的中点，是的中点，，又平面，平面；平面；（2）解：以点为坐标原点，，，分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，4，，，0，，，2，，，3，，，3，，，0，，，2，，设平面的一个法向量为，，，则，即，令，则，，平面的一个法向量为，0，，设直线与平面所成角为，则，．直线与平面所成角的正弦值为．5．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相切于点，且与直线交于点．试问在轴上是否存在定点，使得点在以线段为直径的圆上？若存在，求出点的坐标；若不存在．请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）由题意得，所以椭圆的标准方程为．（2）由题意，可知椭圆的切线方程的斜率一定存在，设切线方程的切点为，，切线方程为，下面证明：联立，消得，又，则，所以，所以，及直线与椭圆只有一个公共点，，直线与椭圆相切，所以椭圆上切点为，的切线方程为．切线方程与联立得，则线段为直径的圆的方程为，设，则，化简整理得，由题意可知，此式恒成立，故当满足题意．此时．故存在定点，使得点在以线段为直径的圆上．6．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，证明：对任意的，都有．【答案】见解析【详解】（1），当时，，在上单调递增，当时，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．证明：方法一：（2）由题意，时，等价于，设，则，当时，，单调递增，（1）①，设，则，在上单调递增，（1），即，即，，，，令，则，当时，；当时，，时，取得最大值，最大值为，，，即的最大值小于2.5，由①可知，，当时，，即．方法二：先证，即证设，则，令得，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，成立，当且仅当时，等号成立，当时，，，即对任意的，都有．