专题四——【广东专用】2023年高考数学大题限时训练学案（原卷版+解析版）

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专题04 大题限时练四1．已知数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）若，求满足条件的最大整数．【答案】（1）；（2）5【详解】（1）由题意，当时，，解得，当时，由，得，两式相减得，即，所以是以3为首项，以2为公比的等比数列，所以；（2）由（1）可知，故，令，得，即，又，，，所以满足条件的最大整数为5．2．记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）证明：；（2）当，时，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：由正弦定理：，所以对于，有，整理得：，所以，，因为，，为的三个角，所以，得．（2）解：由（1）及题意可得：，，，，，，则，所以的面积为．3．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线．（1）证明：平面；（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：连接，是圆柱上异于，的母线．，，四边形是矩形，，是底面的直径，，，又底面圆，底面圆，，又，，平面，平面；（2）解：由（1）知平面；，当且仅当时取等号，即此时三棱锥的体积最大，，，，平面，平面，为二面角的平面角，在中，由，，，．二面角的余弦值为．4．小王每天都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种，已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如表：前一天当天篮球羽毛球游泳篮球0.50.20.3羽毛球0.30.10.6游泳0.30.60.1（1）已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？（2）已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如表所示：运动项目篮球羽毛球游泳能量消耗卡500400600求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望．【答案】见解析【详解】（1）设，，表示篮球，羽毛球，游泳三种运动象限，（A），（B），（C）分别表示第天进行，，三种运动项目的概率，小王第一天打羽毛球，第二天小王做三项运动的概率分别为（A），（B），（C），第三天小王做三项运动的概率分别为（A）（A）（B）（C），（B）（A）（B）（C），（C）（A）（B）（C），故小王第三天打羽毛球的可能性最大．（2）小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：，，，，，，，，共9种，运动能量消耗总数用表示，所有可能取值为1200，1300，1400，1500，1600，，，，，，故的分布列为：120013001400150016000.010.090.570.270.06故（卡．5．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于点，两个动点，记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程：（2）过点的直线与曲线交于，两点，直线，与圆的另一交点分别为，（其中为坐标原点），求与的面积之比的最大值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）设动圆的圆心为，因为经过，且与轴、轴分别交于点，两个动点，则，半径为，圆的方程为，与轴的另一个交点为，与轴的交点为，即，，，即的方程为；（2）由（1）作下图： 设过点的直线方程为，显然是存在的，联立方程：，得，①，②，设，，，，代入①②得，③则直线的方程为，直线的方程为，联立方程：，解得，，同理，，，同理可得：，，，④，由③得，代入④得：，显然当时最大，最大值为．6．已知函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若有两个极值点，，且恒成立，求的最大值．【答案】（1）当时，的递增区间为，递减区间为；（2）2【详解】（1）对求导得，当时，，当，即，；当，即，；故当时，的递增区间为，递减区间为．（2）当时，由（1）知，令，则的两个不等实数解为，故，，，故不等式恒成立 恒成立，由于，故，故恒成立，令，则，（a）是上的增函数，，，即最大值为2．