第十二章 实数（培优卷）——2022-2023学年七年级下册数学单元卷（沪教版上海）（原卷版+解析版）

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第十二章 实数（B卷·能力提升练）

（时间：90分钟，满分：100分）

一、单选题(共15分)

1．(本题3分)（2022春·山东青岛·八年级统考期末）在数字，3.33，，，0，，，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次多1）中，无理数的个数是（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】B

【详解】解：无理数有：，，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次多1），共3个，

故选：B．

2．(本题3分)（2022秋·湖南邵阳·七年级校考期中）如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与最接近的是（    ）

A．点A B．点B C．点C D．点D

【答案】D

【详解】解：由题意可得，

∵ ，

∴，

∴，

∴D点离得近一些，

故选D．

3．(本题3分)下列运算中，错误的有（  ）

①；②＝±4；③＝﹣2；④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【详解】解：①，故此选项错误，符合题意；

②＝4，故此选项错误，符合题意；

③无意义，故此选项错误，符合题意；

④故此选项错误，符合题意；

故选D

4．(本题3分)（2022春·浙江·七年级期末）已知，，，．若n为整数且，则n的值为（　　）

A．43 B．44 C．45 D．46

【答案】B

【详解】解：∵，，

，

∴，

∵n为整数且，

∴n的值为：44，

故选：B．

5．(本题3分)（2022春·山东枣庄·八年级校考期末）已知实数a，b满足：，则等于（    ）

A．65 B．64 C．63 D．62

【答案】A

【详解】解：∵实数a，b满足：，

∴且，

即，

解方程组得：，

∴；

故选：A．

二、填空题(共26分)

6．(本题2分)（2022春·北京·八年级校考期中）4的平方根是______；算术平方根是______；是______的立方根．

【答案】          2    

【详解】解：4的平方根：，算术平方根：；

∵，

∴是的立方根，

故答案是：，2，．

7．(本题2分)（2022春·湖南·八年级期末）的平方根______，的算术平方根是______．

【答案】         

【详解】∵，

∴4的平方根是，

∵，

即的算术平方根是，

故答案为：，

8．(本题2分)（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）若的算术平方根是7，则的立方根是______．

【答案】2

【详解】解：∵的算术平方根是7，49的算术平方根是7，

∴，

解得，，

∵，

∴的立方根是2，

故答案为：2

9．(本题2分)（2021春·广东汕尾·七年级华中师范大学海丰附属学校校考期中）若有意义，的最大值为____________．

【答案】

【详解】解：有意义，

，解得，

的最大值为，

的最大值为，

故答案为：．

10．(本题2分)（2022秋·内蒙古乌海·七年级校考期末）计算________．

【答案】##

【详解】解：

．

故答案为：

11．(本题2分)（2022春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）计算：=_____．

【答案】1

【详解】解：

，

故答案为：．

12．(本题2分)计算：_______

【答案】

【详解】解：

故答案为：-2

13．(本题2分)（2022春·浙江杭州·七年级杭州市杭州中学校考期中）已知，且，则________．

【答案】1或##或1

【详解】解：∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

当时，，

∴；

当时，，

∴．

综上可知或．

故答案为：1或．

14．(本题2分)（2022秋·安徽芜湖·七年级芜湖市第二十九中学校考期中）已知，则__________

【答案】或或

【详解】解：∵立方根等于本身的数有，

∴，

当时，解得：；

当时，解得：；

当时，解得：．

综合可得：或或．

故答案为：或或．

15．(本题2分)（2022秋·陕西渭南·七年级统考期中）已知实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，则的值为_____________．

【答案】6或

【详解】解：，

∵a、b互为相反数，

∴，

∵c、d互为倒数，

∴，

∵x的绝对值为，

∴，

当时，

原式；

当时，

原式，

∴所求代数式的值为6或．

故答案为：6或．

16．(本题2分)（2022春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为_______．

【答案】

【详解】解：由图可知：，

∴；

故答案为：．

17．(本题2分)（2022春·浙江·七年级期中）给出下列说法：

①0是绝对值最小的有理数；

②无限小数是无理数；

③数轴上原点两侧的点表示的数互为相反数；

④实数在数轴上有唯一的点与之对应；

⑤分数可能是有理数，也可能是无理数．其中正确的有______．（填序号）

【答案】①④##④①

【详解】解：①0是绝对值最小的有理数，正确；

②无限不循环小数是无理数，原来的说法错误；

③只有符号不同的两个数叫做互为相反数，原来的说法错误；

④实数在数轴上有唯一的点与之对应，正确；

⑤分数是有理数，原来的说法错误．

故其中正确的有①④．

故答案为：①④．

18．(本题2分)（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）观察下列各式：，用你发现的规律直接写出下面式子的值＝______．

【答案】406

【详解】解：∵，

∴===406，

故答案为：406．

三、解答题(共59分)

19．(本题8分)（2022春·江苏·八年级期中）计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)7；(2)8。

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

20．(本题8分)（2022秋·上海·七年级期中）（1）计算：（结果表示为含幂的形式）．

（2）计算：．

【答案】（1）+；（2）．

【详解】解：（1）原式＝

＝．

（2）原式＝

＝

＝．

21．(本题4分)（2022秋·上海·七年级上外附中校考期末）计算：．

【答案】0

【详解】解：原式＝1+10﹣﹣

＝11﹣2﹣9

＝0．

22．(本题5分)（2021秋·上海·七年级上海市西南模范中学校考期中）已知实数满足等式，求的值

【答案】

【详解】，

，

，，，

，

，

，

，

，

，

，

．

23．(本题6分)（2022秋·上海·七年级期末）一个正数的两个不同的平方根分别是和．

（1）求和的值；

（2）求的平方根．

【答案】（1）；（2）

【详解】解：（1）∵一个正数的两个平方根互为相反数，

，

解得

（2），

的平方根为．

24．(本题6分)如图，把直径等于数轴上一个单位长度的圆放在数轴上面，这时圆周上的一点A与原点O重合，将圆在数轴上面向左滚动一周，点A运动到点的位置，点与数轴上的一点B重合．

（1）点B表示的数是_____________

（2）已知数轴上的点C、D依次表示，在数轴上描出点C，点D；并分别求出C与B、A与D两点的距离．

【答案】（1）-π；（2）画图见解析，BC=，AD=

【详解】解：（1）∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，

∴AA′=π，

∴点B表示的数为-π；

（2）如图所示：

BC==，

AD=．

25．(本题7分)先阅读下列的解答过程，然后再解答：

形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有：

例如：化简

解：首先把化为，这里，，由于，

即，

∴

（1）填空：=            ，=           ；

（2）化简：．

【答案】（1），；（2）

【详解】解：（1）

=

=；

=

=；

故答案为：，；

（2）原式=

=

=

=

26．(本题7分)（2022春·上海·七年级期末）阅读下列材料，并解决后面的问题．

材料：一般地，n个相同的因数相乘：记为．若，则n叫做以a为底b的对数，记作（即）．例如：，此时3叫做以2为底8的对数，记作（即）；又如：，则4叫做以3为底81的对数，记作（即）．问题：

(1)计算以下各对数的值：＝        ，＝        ，＝        ；

(2)、、之间满足怎样的关系式：        ；

(3)由（2）的结果，你能猜测出一个一般化的结论吗？

猜测：        且

(4)设，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．

【答案】(1)2；3；5；(2)＋＝；(3)；(4)见解析

【详解】

(1)

解：∵22=4，

∴＝2，

∵23=8，

∴＝3，

∵35=32，

∴＝5；

故答案为：2；3；5；

(2)

解：∵2+3=5，log24=2，，，

∴+=，

故答案为：+=；

(3)

解：．

故答案为；

(4)

解：设，

∴，，

∴，

∴，

∴．

27．(本题8分)（2022秋·北京·七年级北京八十中校考期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．

(1)到底有多大？

下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：

我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．

由面积公式，可得______．

因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．

(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．

现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．

小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．

请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．

【答案】(1)，，，；

(2)见解析

【详解】

(1)

由面积公式，可得

∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即．

故答案为：，，，；

(2)

小敏同学的做法，如图：

排列形式如图（3），如图：

画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示