北师大版九年级下册1 圆综合训练题

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考试范围：全章； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）已知平面内圆的半径为5cm，一点到圆心的距离是3cm，则这点在（ ）
A．圆外B．圆上C．圆内D．不能确定
【答案】C
【分析】根据点和圆的位置关系得出即可．
【详解】解：∵，
∴点在圆内，
故选：C．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，能熟记点和圆的位置关系的内容是解此题的关键．
2．（2022·浙江·温州绣山中学九年级期中）半径为6的圆弧的度数为，则它的弧长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在半径是r的圆中，360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长，即圆心角所对的弧长为．
【详解】解：∵圆弧的半径为6，圆心角的度数为，
∴圆弧的弧长为：；
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算．解答该题需熟记弧长的公式．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校九年级期中）如图，在中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求解即可；
【详解】解：由圆周角定理可得：
∵
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理；熟练运用圆周角定理求角度是解题的关键．
4．（2021·云南省昆明市第十中学九年级阶段练习）如图，是的直径，已知，，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等弧对等角，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查等弧对等角．熟练掌握等弧等对角是解题的关键．
5．（2022·重庆市珊瑚初级中学校九年级期中）如图，要拧开一个边长为的正六边形，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【详解】解：设正多边形的中心是O，其一边是，如图，
，
，
∴四边形是菱形，
，，
，
，
，且，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行求解．
6．（2022·四川省德阳市第二中学校九年级期中）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】分两种情况，根据题意画出图形，先根据垂径定理求出的长，连接，由勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：连接，
∵的直径，，，
∴，，
当点位置如图1所示时，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
当点位置如图2所示时，
同理可得：，
∵，
∴，
在中，；
综上所述，的长为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了的是垂径定理和勾股定理等知识，根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求解是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校九年级期中）如图，四边形内接于⊙O，，则的大小为 _____°．
【答案】##124度
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求解即可．
【详解】∵四边形内接于⊙O，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的对角互补，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，数来能掌握知识点是解题的关键．
8．（2022·江苏·无锡金桥双语实验学校九年级期中）如图，内接于，，直径交于点E，若，则的度数为 ___．
【答案】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，以及同弧所对的圆周角相等得出，进而根据等边对等角以及三角形内角和定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴
∵，
∴
∵
∴
∵，，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角等于90度，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
9．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期中）如图，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度AB为40米，拱高为8米，则桥拱所在圆的半径长为______米．
【答案】29
【分析】设半径为r，则，跨度是米，根据垂径定理可得米，在中，根据勾股定理列方程，即可解得答案．
【详解】解：如图，
设半径为r，
∵拱高为米，
∴，
∵跨度是米，根据垂径定理可得米，
在中，根据勾股定理可得，
，
解得，
∴桥拱所在圆的半径长为29米．
故答案为：29．
【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键
10．（2022·江苏·东海县马陵山中学九年级阶段练习）矩形 中，边 ， ，以A为圆心作 ，使B、C、D三点有两个点在内，有一点在外，则的半径的取值范围是____．
【答案】
【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出对角线的长度，再利用点与圆的位置关系进行求解．
【详解】解：连接，
矩形，
，，
在中，
，
当点在上时，半径，
当点在上时，半径，
当点B、、三点有两个点在内，有一点在外需满足，
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
11．（2022·浙江温州·九年级期中）如图，在直角坐标系中，抛物线交轴于点，点是点关于对称轴的对称点，点是抛物线的顶点，若的外接圆经过原点，则点的坐标为____________．
【答案】
【分析】连接交对称轴于点，根据二次函数的性质求出对称轴，根据勾股定理求出，进而求出，得到答案．
【详解】连接交对称轴于点，
由题意得：抛物线的对称轴，，，关于对称轴对称，
，
则，
的外接圆经过原点，
外接圆的圆心是线段的中点，
，
，
点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，二次函数的性质，解题的关键是求出外接圆的半径．
12．（2022·江苏·江阴市华士实验中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，若与坐标轴有三个公共点，则的半径为 _____．
【答案】或2##2或
【分析】利用圆与坐标轴的位置关系，画出符合要求的图形进行求解即可．
【详解】点A的坐标为，
∴点A到轴的距离为1，到轴的距离为2，
如图1，当经过原点时，半径为；
如图2，当与y轴相切时，半径为点A到y轴的距离为2；
故答案为：或2
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断，若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d>r，直线和圆相离，没有交点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；③d三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·江苏无锡·九年级期中）如图，已知为 的直径，CD是的弦，、的延长线交于点E，且．
(1)若，求的度数；
(2)若的度数是的度数的m倍，则m＝ ．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据得到，根据等腰三角形底角相等得，再根据三角形的外角定理得到，从而得到，再通过三角形外角定理即可得到的度数．
（2）根据圆弧度数比等于对应的圆心角之比即可得到答案．
【详解】（1）解：如下图所示，连接，
由题意得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵,
∴，
∵,
∴；
（2）解：∵对应的圆心角，对应的圆心角，
∴．
【点睛】本题考查圆的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识和三角形外角定理．
14．（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心，为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：
(1)在图①中画⊙O的一个内接正六边形；
(2)在图②中画⊙O的一个内接正八边形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）设的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F,同理∶在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接，如图，正六边形即为所求；
（2）圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，根据正方形对角线能形成角，以此确定，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可．
（1）
解：如图所示，
如图①，正六边形即为所求；
（2）
如图所示，
如图②，正八边形即为所求．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、正多边形和圆，解决本题的关键是掌握圆内接正多边的性质，准确画图．
15．（2022·吉林白城·九年级期中）如图，在中，B、C是的三等分点，弦相交于点E．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等即可得解；
（2）根据圆周角定理及三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵B，C是的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆心角、弦、弧之间的关系等知识点，熟练掌握圆周角定理以及同圆或等圆中同弧或等弧所对的弦相等是解题的关键．
16．（2022·江苏南京·九年级期中）如图，弓形是由和弦所围成的图形，弓形的高是的中点到的距离，点是所在圆的圆心，，弓形的高为．
(1)求的半径；
(2)经测量的度数约为，则弓形的面积为__________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作于点，交于点，设的半径为，根据垂径定理可得，，从而得出，然后利用勾股定理建立关于的方程，最后解方程即可；
（2）弓形面积看成扇形面积减去三角形面积即可．
【详解】（1）解：过点作于点，交于点，设的半径为，
∵点为圆心，，弓形的高为．
∴，点是的中点，
∴，，
在中，，
∴，
解得：．
∴的半径为．
（2）∵，，
∴
．
∴弓形的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，扇形的面积，三角形的面积等知识，运用了分割法求不规则图形面积的解题方法．解题的关键是过圆心作弦的垂线构造直角三角形求出圆的半径．
17．（2022·江苏·昆山市城北中学九年级阶段练习）如图，在中，是它的角平分线，，D在边上， ，以为直径的圆O经过点E．
(1)求证：是的切线；
(2)求图中阴影部分的面积;
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出，进而得出，即可得出答案；
（2）首先求出的长，进而利用阴影部分的面积等于 ，进而得出答案；
【详解】（1）证明：连接；
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴是的切线；
（2）解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
故图中阴影部分的面积为：

【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法，正确得出BE的长是解题关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·浙江·宁波市镇海区古塘初级中学九年级期中）如图，O是线段上一点，以O为圆心，长为半径的交于点A，点C在上，连接，满足．
(1)求证：．
(2)若，求的值
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
（2）先证明，再由可得，，则有，再根据勾股定理计算然后根据相似三角形的性质可得出的值．
【详解】（1）证：∵，
∴，
∵,
∴．
（2）解：如下图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵是直径，
∴，
∴,
∴,
∴,
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
【点睛】本题考查圆、相似三角形和直角三角形的性质，解题的关键根据圆的相关知识和勾股定理推算出．
19．（2022·新疆·乌鲁木齐市第109中学九年级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
(1)求∠CPD的度数；
(2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；
（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．
【详解】（1）解：连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°，
∴．
（2）解：连接PO，OB，如图所示：
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
20．（2022·山东·日照市新营中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）．
(1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为___________；的半径为___________；
(2)判断点与的位置关系；
(3)若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面积为___________；侧面积为___________．
【答案】(1)，
(2)点N在上；
(3)，
【分析】（1）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为P点，再写出P点坐标，然后计算长得到的半径；
（2）利用两点间的距离公式计算出，然后根据点与圆的位置关系的判断方法求解；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，设该圆锥的底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到，求出r，即可求解．
【详解】（1）解：如图，点P为所作，P点坐标为，
，
即的半径为；
故答案为：，；
（2）解：∵P，，
∴，
∴的长等于圆的半径，
∴点N在上；
（3）解：∵，，
∴，
∴为直角三角形，，
设该圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得，
解得，
∴该圆锥的底面积．
侧面积为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了坐标与图形性质和垂径定理．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2022·浙江·杭州市采荷中学九年级期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，连接．
(1)求和的度数；
(2)若，且，求弦的长度；
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)的度数为108°，的度数为18°
(2)
(3)
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据是的直径，得到，根据三角形的内角和即可得到的度数；
（2）根据三角形的内角和得到，由圆周角定理得到，再根据勾股定理进行计算即可；
（3）根据扇形面积公式和三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形，
∴,
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
（2）如图，连接，
由（1）知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，；
（3）∵，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积的计算，熟练掌握各性质定理，熟记扇形面积计算公式是解题的关键．
22．（2022·浙江·慈溪育才中学九年级阶段练习）如图， 已知等腰中， ， 以为直径的与交于点， 与 交于点．
(1)求证： ；
(2)若．
①设的半径为， 求关于的函数表达式．
②当时， 求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”证明，利用圆内接四边形的性质证明，进而推出，，即可证明；
（2）①先证∽，推出，即可得到关于的函数表达式；②先证和是等边三角形，阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
，即，
又，
，
四边形是的内接四边形，
，
又，
，
，
，
，
，
．
（2）解：①，
，
由（1）知，，
∽，
，即，
解得；
②当时，，
解得，
，
，即是等边三角形，
，
，
是等边三角形．
如图，作交于点H．
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，解题的关键是能够熟练掌握并综合运用上述知识．
六、（本大题共12分）
23．（2022·浙江·瑞安市集云实验学校九年级期中）如图，在矩形中，点E在边延长线上，，交延长线于点G，边交于点F，，以为半径的交边于点P、Q，交于点M，延长交边于点N．
(1)求证：．
(2)若，，求扇形的面积．
(3)延长交于点H，且，记，四边形的面积为S，求S关于x的函数表达式．
【答案】(1)见解析
(2)12π
(3)S＝x2
【分析】（1）根据四边形是矩形，证明，根据，证明，得到，根据，推出，得到；
（2）根据，推出，根据，，推出，得到，根据，推出，推出，推出；
（3）根据，得到，，推出，根据，，推出，得到，设，根据，推出，，，根据勾股定理推出，解得，（舍），根据三角形面积公式得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵中， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，（舍），
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形，全等三角形，扇形，等腰三角形，勾股定理，三角形面积等，解决问题的关键是熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的性质和面积公式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，解一元二次方程，三角形面积公式．