第2章 直线与圆的位置关系（培优卷）——2022-2023学年九年级下册数学单元卷（浙教版）（原卷版+解析版）

班级           姓名           学号           分数  ______

第2章   直线与圆的位置关系（B卷·能力提升练）

一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）

1．已知是半径为的外一点，且，，垂足为点，，则直线与的位置关系是（       ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

【答案】B

【分析】首先根据题意作出图形，由OT⊥PT，OP=13cm，PT=12cm，利用勾股定理，即可求得OT的长，又由⊙O的半径为5cm，即可得到直线PT与⊙O的位置关系．

【详解】解：如图：∵OT⊥PT，∴∠OTP=90°．

∵OP=13cm，PT=12cm，∴OT==5（cm）．

∵⊙O的半径为5cm，∴直线PT与⊙O的位置关系是：相切．

故选B．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系与勾股定理．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意判断直线和圆的位置关系的方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．

2．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=30°，则∠OCB的度数为（  ）

A．30° B．60° C．50° D．40°

【答案】B

【详解】解：∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴∠OBA=90°．∵∠BAO=30°，∴∠O=60°．∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB=60°．故选B．

3．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C在优弧上，∠P=80°，则∠C的度数为（   ）

A．50° B．60° C．70° D．80°

【答案】A

【分析】连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．

【详解】连接OA，OB,

∵PA是圆的切线．

∴∠OAP=90°，

同理∠OBP=90°，

根据四边形内角和定理可得：

∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-80°=100°，

∴

故选A．

【点睛】考查切线的性质以及圆周角定理，连接圆心与切点是解题的关键.

4．一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是．根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆半径是；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径是．所以它们的比为=．

【详解】解：设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是；

∵内切圆半径是，

外接圆半径是，

∴所以它们的比为=．

故选：D．

【点睛】本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，解题的关键是熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半．

5．如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（   ）

A．4 B．2 C．2 D．4

【答案】B

【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积．

【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H．

∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，

∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，

则∠BDH=60°，

∵BD=4，BD：CD=2：1

∴DH=2，BH=2，CD=2，

∴△DBC的面积为CD•BH=×2×2=2.

故选B.

【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．30﹣4π B． C．60﹣16π D．

【答案】A

【分析】先由切线长定理和勾股定理算出三角形另外两边的长，再根据图中阴影部分的面积=△ABC的面积-⊙O的面积，然后利用三角形的面积公式和圆的面积公式计算即可．

【详解】解：过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，

，

∴四边形CEOF是矩形，

，

∴四边形CEOF是正方形，

，

∵⊙O是△ABC的内切圆，

，

设，

在中，，

，

解得，

，

．

故选A．

【点睛】本题主要考查了切线长定理、勾股定理、三角形与圆的面积公式．

7．如图，在△ABC中， AG平分∠CAB，使用尺规作射线CD，与AG交于点E，下列判断正确的是（    ）  

A．AG平分CD

B．

C．点E是△ABC的内心

D．点E到点A，B，C的距离相等

【答案】C

【分析】根据作法可得CD平分∠ACB，结合题意即可求解．

【详解】解：由作法得CD平分∠ACB，

 ∵AG平分∠CAB，

∴E点为△ABC的内心

故答案为：C．

【点睛】此题考查了尺规作图（角平分线），以及三角形角平分线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．

8．如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，利用切线长定理得到，，，然后根据勾股定理得到，最后解方程即可．

【详解】解：设，

∵直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，

，

，，

在中，，解得，

即的长度为．

故选D．

【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理．

9．如图，已知、是的两条切线，、为切点，连接交于，交于，连接、，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（    ）

A．1，2 B．2，2

C．2，6 D．1，6

【答案】C

【分析】根据切线长定理及半径相等得，△APB为等腰三角形，△AOB为等腰三角形，共两个；

根据切线长定理和等腰三角形三线合一的性质，直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．

【详解】解：因为OA、OB为圆O的半径，所以OA＝OB，所以△AOB为等腰三角形，

根据切线长定理，PA＝PB，故△APB为等腰三角形，共两个，

根据切线长定理，PA＝PB，∠APC＝∠BPC，PC＝PC，所以△PAC≌△PBC，

故AB⊥PE，根据切线的性质定理∠OAP＝∠OBP＝90°，

所以直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．

故选C．

【点睛】此题综合考查了切线的性质和切线长定理及等腰三角形的判定，有利于培养同学们良好的思维品质．

10．如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形的面积为定值；丙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的是（    ）

A．只有甲正确 B．只有乙错误

C．乙、丙都正确 D．只有丙错误

【答案】D

【分析】过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，连接OB，根据三角形内心可得OD=OE，然后证明Rt△DON≌Rt△EOM（HL），得∠DON=∠EOM，因为∠B=60°，所以∠DOE=120°，即可得∠MON=∠EOM+∠EON=∠DON+∠EON=∠DOE=120°；根据Rt△DON≌Rt△EOM，可得四边形OMBN的面积=2S△BOD，根据点D的位置固定，可得四边形OMBN的面积是定值；过点O作OF⊥MN于点F，根据ON=OM，∠MON=120°，可得∠ONM=30°，MN=2NF=2ONcos30°=ON，所以△MON的周长=（+2）ON，可得当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长最小值，进而可做出判断．

【详解】解：如图，过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，连接OB，

∴∠ODN=∠OEM=90°，

∵点O为△ABC的内心，

∴OB是∠ABC的平分线，

∴OD=OE，

在Rt△DON和Rt△EOM中，

，

∴Rt△DON≌Rt△EOM（HL），

∴∠DON=∠EOM，

∵∠B=60°，

∴∠DOE=120°，

∴∠MON=∠EOM+∠EON=∠DON+∠EON=∠DOE=120°

所以甲的判断正确；

∵Rt△DON≌Rt△EOM，

∴四边形OMBN的面积=2S△BOD，

∵点D的位置固定，

∴四边形OMBN的面积是定值，  

所以乙的判断正确；

如图，过点O作OF⊥MN于点F，

∵ON=OM，∠MON=120°，

∴∠ONM=30°，

∴MN=2NF=2ONcos∠ONM=2ONcos30°=ON，

∴△MON的周长=MN+2ON=ON+2ON=（+2）ON，

∴当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长取得最小值，

∴丙的判断错误．

综上所述：判断正确的是甲、乙，判断错误的是丙．

故选：D．

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短问题，解直角三角形，解决本题的关键是掌握三角形内心定义．

二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）

11．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为________________cm．

【答案】r=

【详解】试题分析：如图，设△ABC的内切圆半径为r，由勾股定理得AD=12，再由切线长定理得AE=8，根据勾股定理求得r即可．

试题解析：如图，

∵AB=AC=13cm，BC=10cm，

∴BD=5cm，

∴AD=12cm，

根据切线长定理，AE=AB-BE=AB-BD=13-5=8，

设△ABC的内切圆半径为r，

∴AO=12-r，

∴（12-r）2-r2=64，

解得r=．

考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等腰三角形的性质．

12．如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BOC＝________°；

【答案】

【分析】根据三角形的内心的概念得到然后根据三角形内角和定理计算即可．

【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，

∴

∴∠BOC．

故答案为：．

【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．

13．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为             .

【答案】.

【详解】试题解析：连接OE、AE，

∵点C为OA的中点，

∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，

∴△AEO为等边三角形，

∴S扇形AOE=

∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）

=

=

=．

14．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是=____．

【答案】

【分析】先利用切线长定理求得OC=，再判断出当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值，

然后利用勾股定理求解即可．

【详解】解：⊙O 与Rt△ABC三边的切点分别为E、F、G，连接OE、OF、OG、OC，

∵⊙O是Rt△ABC内切圆，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，

∴CE=CF，BE=BG，AF=AG，则四边形OECF是正方形，AB==5，

设正方形OECF的边长为x，则BE=BG=3-x，AF=AG=4-x，

依题意得：3-x+4-x=5，

解得：x=1，

∴OC=，

∵CD⊥l，即∠CDO=90°，

∴点D在以OC为直径的⊙Q上，

连接QA，过点Q作QP⊥AC于点P，

当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值，

∴CP=QP=，AP=AC-CP=，⊙Q的半径为QD=，

∴QA=，

∴AD的最小值为AQ-QD=，

故答案为：．

【点睛】本题考查了内心的性质，切线长定理，圆周角定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

15．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI＝_____°．

【答案】55

【分析】由三角形的内心的性质可得∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，由外角的性质和圆周角的性质可得∠BID＝∠DBI，由三角形内角和定理可求解．

【详解】解：∵点I是△ABC的内心，

∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，

∵∠CAD＝∠CBD，

∴∠BAD＝∠CBD，

∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，

∴∠BID＝∠DBI，

∵∠ACB＝70°，

∴∠ADB＝70°，

∴∠BID＝∠DBI＝＝55°

故答案为：55．

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与圆心，圆周角的定理，等腰三角形的性质等知识，证明∠BID=∠DBI是本题的关键．

16．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为_________．

【答案】

【详解】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，

∵∠PAB＝∠ACP，

∴∠PAC+∠ACP＝60°，

∴∠APC＝120°，

∴点P的运动轨迹是，如图所示：

连接OA、OC，作OD⊥AC于D，

则AD＝CDAC＝1，

∵所对的圆心角＝2∠APC＝240°，

∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，

∵OA＝OC，

∴∠OAD＝30°，

∵OD⊥AC，

∴ODAD，OA＝2OD，

∴的长为π；

故答案为：π．

三．解答题（共7小题，共66分）

17．如图，中，，点O是的内心．求的度数．

【答案】117.5°

【分析】由点是的内心，，，根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即可求得与的度数，又由三角形内角和定理，即可求得的度数．

【详解】解：点是的内心，，，

，，

．

【点睛】此题考查了三角形内心的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．

18．作出△ABC的外接圆和内切圆，不写作图过程，保留作图痕迹．

【答案】作图见解析

【分析】作∠BAC和∠ACB的平分线交于点I，再过点I作IE⊥AB于点E，然后以I为圆心，IE长为半径作圆I即为所求；作AC和BC的垂直平分线交于点O，连接OB，再以O为圆心，OB长为半径作圆O即为所求．

【详解】解∶如图，⊙O，⊙I即为所求．

【点睛】本题考查作图——复杂作图，三角形的外接圆，内切圆等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型．

19．已知：．

(1)尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）

(2)如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积．

【答案】(1)作图见详解

(2)9.1

【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可；

（2）利用割补法，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，这样将△ABC分成三个小三角形，这三个小三角形分别以△ABC的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出三角形的面积．

（1）

解：如下图所示，O为所求作点，

（2）

解：如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，

∵内切圆的半径为1.3，

∴OD=OF=OE=1.3，

∵三角形ABC的周长为14，

∴AB+BC+AC=14，

则

故三角形ABC的面积为9.1．

【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键．

20．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．

(1)求证：EB=EI；

(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．

【答案】(1)见解析

(2)AI=4

【分析】（1）欲证明EB=EI，只要证明∠EBI=∠EIB；

（2）连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，证明△AEM≌△AEN和△BME≌△CNE，再利用勾股定理计算即可解决问题．

【详解】（1）证明：∵I是△ABC的内心，

∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，

∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，

∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，

∵∠CBE=∠CAE，

∴∠BIE=∠EBI，

∴EB=EI；

（2）解：连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，则EM=EN，

∵∠BAE=∠CAE，

∴=，

∴BE=EC=4．

∵AE=AE，EM=EN，

∴△AEM≌△AEN，

∴AM=AN．

∵BE=EC，EM=EN，

△BME≌△CNE(HL)，

∴BM=CN．

设BM为x，则8-x=6+x，解得x=1，即BM=1，

∴AM=7．

又∵BE=4，由勾股定理得，EM==．

∴AE==8，

∵EI=BE=4，

∴AI=AE−EI=4．

【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

21．已知为的直径，，C为上一点，连接．

(1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长；

(2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度；

（2）证明四边形为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案．

（1）

∵为的直径，

∴，

由C为的中点，得，

∴，得，

在中，，

∴；

根据勾股定理，有，

又，得，

∴；

（2）

∵是的切线，

∴，即，

∵，垂足为E，

∴，

同（1）可得，有，

∴，

∴四边形为矩形，

∴，于是，

在中，由，得，

∴．

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题．

22．如图，内接于，连接，．记，，．

(1)探究与之间的数量关系，并证明．

(2)设与交于点，半径为1，

①若，，求由线段，，弧围成的图形面积．

②若，设，用含的代数式表示线段的长．

【答案】(1)，理由见解析

(2)①；②

【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得．再由三角形内角和定理，即可求解；

（2）①根据，可得．从而得到．由，可得．从而得到．然后过点作于点，分别求出．，即可求解；②根据，可得，延长，交圆于点，连接，可得，然后过点作于点，则，．可得，再由，即可求解．

【详解】（1）解∶与之间的数量关系为：．理由：

连接，如图，

，，

．

，

．

，

．

；

（2）解∶ ①，，

．

．

，，

．

，

．

．

，

．

．

．∠ODA=60°，

．

，

．

，

．

过点作于点，如图，

∴．

，

．

．

．

，

；

②，，

．

延长，交圆于点，连接，如图，

，

．

，

．

．

过点作于点，则，．

，，

，

．

设，则，

，

．

．

．

解得：．

．

【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，通过添加恰当的辅助线以充分利用圆周角定理是解题的关键．

23．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，点D是△ABC外一动点（点B，点D位于AC两侧），连接CD，AD．

(1)如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是         ；

(2)如图2，连接BD，当∠ADC＝135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE＝1，BE＝7时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．

【答案】(1)135°

(2)BDCD+DA，理由见解析

(3)△CDE面积的面积最大值为4，BD

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得∠COA＝90°，CO＝OA，再由等边三角形的性质得OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，然后求出∠ODC＝75°，即可求解；

 （2）过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，证△ACH≌△BCD（SAS），得BD＝AH＝HD+DACD+AD；

（3）连接OC，由勾股定理得CE＝5，过点O作ON⊥CE于N，延长ON交⊙O于点D，此时点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大，然后由三角形面积求出ON，则DN＝OD﹣ON，即可求解三角形CDE的面积最大值，最后用勾股定理借助（2）的结论求出AD，即可求出BD．

（1）

解：∵∠BCA＝90°，BC＝AC，点O是AB的中点，

∴∠COA＝90°，COAB＝OA，

∵△AOD是等边三角形，

∴OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，

∴OC＝OD，∠COD＝∠COA﹣∠DOA＝90°﹣60°＝30°，

∴∠ODC（180°﹣∠COD）（180°﹣30°）＝75°，

∴∠ADC＝∠ODC+∠ODA＝75°+60°＝135°，

故答案为：135°；

（2）

解：线段BD，CD，DA之间的数量关系为：BDCD+DA，

理由如下：

过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，如图2所示：

则∠CDH＝180°﹣∠ADC＝180°﹣135°＝45°，

∴△DCH是等腰直角三角形，

∴CH＝CD，HDCD，

∵∠BCA＝90°，

∴∠ACH＝∠BCD，

∴△ACH≌△BCD（SAS），

∴BD＝AH＝HD+DACD+AD；

（3）

解：连接OC，如图3所示：

∵∠BCA＝90°，BC＝AC，

∴△ACB是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝45°，

∵⊙O是△ABC的外接圆，

∴O是AB的中点，

∴OC⊥AB，OC＝OAAB（AE+BE）（1+7）＝4，

∴OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，

在Rt△COE中，由勾股定理得：CE5，

∵CE是定值，

∴点D到CE的距离最大时，△CDE面积的面积最大，

∵AB是⊙O的直径，

过点O作ON⊥CE于N，延长ON与⊙O的交点恰好是点D时，点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大，

∵S△OCEOC•OECE•ON，

∴ON，

∵OD＝OC＝4，

∴DN＝OD﹣ON＝4，

此时，在Rt△CNO中，CN，

在Rt△CND中，CD，

在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2＝82﹣AD2，

由（ 2）知，BDCD+ADADAD，

∴82﹣AD2＝（AD）2，

∴AD，

∴BDAD，

即△CDE面积的面积最大值为4，此时，BD．

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理的推论，三角形外接圆，三角形面积，本题属圆与三角形综合题目，难度较大，熟练掌握相关性质是解题的关键．