苏科版九年级下册第5章 二次函数5.1 二次函数测试题

班级              姓名             学号             分数           

第5章 二次函数（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：100分）

一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。）

1．下列函数中一定是二次函数的是（　　）

A．y＝2x2+ B．y＝ax2+bx+c

C．y＝3x﹣1 D．y＝2x（x﹣2）+1

【答案】D

【解析】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；B、当a＝0时，y＝ax2＋bx＋c不是二次函数，故此选项错误；C、是一次函数，故此选项错误；D、y＝2x（x﹣2）+1=2x2-4x+1是二次函数，故此选项正确；故选：D．

2．抛物线的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是（    ）

A．若，则  B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】解：如图，由题意对称轴为直线，

观察图象可知，，

A、若，则或，故选项错误，不符合题意；B、若，则或，故选项错误，不符合题意；C、若，则或，故选项错误，不符合题意；D、若，则，故选项正确，符合题意．

故选：D．

3．如图，二次函数的图象与轴交于点，其对称轴为直线，若，则下列结论中错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】A．抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，

故，正确，不符合题意；B．函数的对称轴为直线，则，

从图象看，当时，，

而，故，故B正确，不符合题意；C．，故，

，，故，

，

，

，

，故C错误，符合题意；D．从图象看，当时，，

故D正确，不符合题意；故选：C．

4．当或（）时，代数式的值相等，则当时，代数式的值为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】解：由可知抛物线的对称轴为直线，

∵当或（）时，代数式的值相等，

∴当或（）时，二次函数的函数值相等，

∴以a、b为横坐标的点关于直线对称，则，

∴，

∵，

∴，

当时，代数式．

故选：B．

5．如图，若抛物线y＝ax2与四条直线x＝1、x＝2、y＝1、y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围（   ）

A．≤a≤2 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤1

【答案】A

【解析】解：把(1,2)代入y=ax2得a=2，

把点(2,1)代入y=ax2得，

则a的范围介于这两点之间，故，

故选：A．

6．如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，其中点B的坐标为，抛物线的对称轴交x轴于点D，，并与抛物线的对称轴交于点E现有下列结论：①；②；③；④。其中正确结论个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】解：抛物线交轴有两个交点，

，故①错误，

该函数图象的开口向下，，，

，②正确；，抛物线与轴交于、两点，且，

当时，，

，③正确；，，

，可得：，故④正确．

故选：B．

7．已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于，的两个点，记的面积为，的面积为，有下列结论：

①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．

其中正确结论的序号是（    ）

A．②③ B．①③ C．①②③④ D．③

【答案】D

【解析】解：∵抛物线与轴的交点为和，

∴抛物线的对称轴为，

不妨假设．

①如图1中，当，，点，满足，

∵，

∴，

∵的面积，的面积，

∴，故①错误；

②当，，满足，

这时点，在抛物线对称轴的左侧，

∵

∴，

∵的面积，的面积，

∴，故②错误．

③∵，

∴，在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大，

∴，

∵的面积，的面积，

∴，故③正确．

④如图中，当，，点，满足，

∵，

∴，

∵的面积，的面积，

∴，故④错误．

故选：D．

8．如图是王叔叔晩饭后步行的路程（单位：）与时间（单位：）的函数图像，其中曲线段是以为顶点的抛物线的一部分．下列说法正确的是（    ）

A．线段的函数表达式为

B．，王叔叔步行的路程为

C．曲线段的函数表达式为

D．，王叔叔步行的速度由慢到快

【答案】C

【解析】解：A、设线段的函数解析式为，

把代入得，，

解得：，

∴线段的函数解析式为，故该选项不符合题意；B、，王叔叔步行的路程为m，故该选项不符合题意；C、当时，由图象可得m，即抛物线顶点为，

设抛物线的解析式为

将代入得：，

解得，

∴曲线段的函数解析式为，故该选项符合题意；D、在A点的速度为，

A到B点的平均速度为，

∴，王叔叔步行的速度由快到慢，故该选项不符合题意；

故选：C．

9．己知二次函数，点是图象上两点，下列说法正确的是(   )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【解析】解：∵

∴函数图像开口向下，对称轴为

当时，A、B两点关于对称轴对称，此时；当时，A、B在对称轴右侧或分别在对称轴两侧且A到对称轴的距离小于B到对称轴的距离，此时；当时，A、B在对称轴左侧或分别在对称轴两侧，且A到对称轴的距离大于B到对称轴的距离，此时；

由此可判断选项，只有A选项符合，故选A；

10．已知抛物线（c为常数）经过点，，，当时，则m的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】∵过点(4,c)，

∴16+4b+c=c，解得b=-4，

∴，

∴则抛物线的对称轴为x=2，，

∵(p,m)和(q,m)的函数值相等，

∴(p,m)和(q,m)关于抛物线对称轴对称，

∴，即，

∵，

∴，解得：，

将点(q,m)代入，

有：，变形得：，

∵函数的自变量范围为，

∴当q=5时，m取最大值，m=c+5，

当q=时，m取最小值，，

∴m的取值范围为：，

故选：B．

二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分。）

11．若点A（a，-3）和B（b，-3）是二次函数y=mx2+4mx﹣3上的两个点，则a+b的值为_______．

【答案】-4

【解析】∵点A (a， -3)和B (b， -3)是二次函数y=mx2+4mx-3上的两个点，

∴-3= ma2 + 4ma- 3，

-3=mb2+4mb-3，

∴ma2 +4ma= mb2 + 4mb，

∴a2-b2+4a- 4b= 0，

∴(a-b)(a+b+4)=0，

∵点A(a， -3)和B(b， -3)是二次函数y= mx2 + 4mx - 3上的两个点，

∴a-b≠0，

∴ a+b+4= 0，

∴a+b=-4，

故答案为： -4．

12．如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为______．

【答案】

【解析】解：∵抛物线与轴交于点和点两点，

∴当时，，解得或1，

∴，，

∴，

当时，，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

作轴，交的延长线与，作的平分线，交于，则，

∴，

∴，

∴，

∴，

设直线的解析式为，

把的坐标代入得，，

∴，

∴直线的解析式为，

解

得或，

∴点的坐标为，

故答案为：

13．已知实数a，b，c满足，，当时，多项式的最大值为m，最小值为n，则______．

【答案】16

【解析】解：∵，，

∴

解得

设

对称轴为直线，开口向下，顶点为，

当时，

时，y取得最小值，最小值为

当x=1时，y取得最大值，最大值为m=0，

当时，最大值为m，最小值为n，

，

故答案为：16

14．若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，则这个二次函数的解析式为________________．

【答案】．

【解析】设二次函数的解析式为，

将（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点代入解析式得：

，解得：．

则二次函数解析式为．

故答案为：．

15．已知二次函数与一次函数的图象交于A、B两点，其坐标为．则时，x的取值范围是 _____．

【答案】当时，x的取值范围是或；当时，x的取值范围是．

【解析】求时，x的取值范围，即求函数的图象在函数的图象上方时，x的取值范围．

分类讨论：①当时，图象大致如图1所示，

由图可知当或时，函数的图象在函数的图象上方，

∴此时x的取值范围为：或；②当时，图象大致如图2所示，

由图可知当时，函数的图象在函数的图象上方，

∴此时x的取值范围为：．

故答案为：当时，x的取值范围是或；当时，x的取值范围是．

16．二次函数（）的图像与直线交于点、两点，则关于的不等式的解集为 _______．

【答案】

【解析】解：由题意，可大致画出函数图像如下，

则直线关于y轴对称的直线为，

根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点D、C，

则点C、D的横坐标分别为-1、2，

观察函数图像的解集为，

即关于的不等式解集为．

故答案为：．

17．如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上，点与点重合，让沿方向运动，当点与点重合时停止运动．运动中两个图形重叠部分的面积与的长度之间的函数关系式为__________，自变量的取值范围是_________．

【答案】         

【解析】解：是等腰直角三角形，四边形MNPQ是正方形

是等腰直角三角形

由题意可知，AM=MR=x，

故答案为：，．

18．已知，，是下列函数图像上的点：

①；②；③；④

其中，使不等式总成立的函数有__________． （填正确的序号）

【答案】④

【解析】解：，，是下列函数图像上的点

①，

故①不合题意，

②，

②不合题意

③

当

即时，

③不合题意

④

故④正确

故答案为：④

三、解答题（本题共8小题，共64分。）

19．（6分）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．

(1)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；(2)设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．

【答案】(1)或；

(2)（ⅰ）当时， 或；（ⅱ）当时， ．

【解析】（1）解：

，

抛物线顶点在轴上，

即当时，，

，

解得．

抛物线解析式为或；（2）解：抛物线的对称轴为直线，

关于直线的对称点为．

（ⅰ）当时，若，则或；（ⅱ）当时，若，则．

20．（6分）已知二次函数（m是常数）．

(1)若，

①该二次函数图像的顶点坐标为______；

②当时，该二次函数的最小值为______；③当时，该二次函数的最小值为______．

(2)当时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．

【答案】(1)①；②2；③3；(2)或

【解析】(1)解：时，则二次函数

①二次函数图像的顶点坐标为：，即；

②该抛物线的对称轴为x=1，

∵a=1>0，

∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；∴当时，该二次函数的最小值为2；③当时，该二次函数的最小值为．

(2)二次函数的对称轴为：

当时，，解得：（舍去）；当时，，解得：；当时，，解得：（舍去）；综上，常数m的值为：或．

21．（8分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为13m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．

(1)若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值；

(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

【答案】(1)2

(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为

【解析】（1）解：如图，∵，矩形的面积是矩形面积的2倍，

∴，

∴，

依题意得：，

解得： ，

当时，，不合题意，舍去，

故x的值为2；

（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，

由（1）得：，

∵墙的长度为13，

∴ ，

∴，

∵，

∴当时，S有最大值，最大值为，

即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．

22．（8分）物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点，且点的横坐标为．

(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)求的面积；(3)若点是轴下方拋物线上任意一点，已知的半径为2，当与坐标轴相切时，圆心的坐标是_____________．

【答案】(1)

(2)3

(3)或或

【解析】（1）解：设抛物线的表达式为，由题意得：，

把点B的坐标为，点代入得：，

解得，

∴抛物线的解析式为；（2）解：过点D作轴，

当时，，则，

由题意，，，，，，

，

，，

∴；

（3）解：①当与轴相切时，即到轴距离为2，

∴点纵坐标为，

∴，

解得：，，

∴点坐标为或；②当与轴相切时，即到轴距离为2，

∴点横坐标为，

∴，

∴点坐标为．

23．（8分）已知关于x的一元二次方程．

(1)求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

(2)若抛物线与x轴交于、两点，请用含有m的代数式表示和 ；(3)在（2）的条件下若，求m的值．

【答案】(1)见解析

(2)，

(3)或

【解析】（1）证明：∵

=

=

=，

故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）解：

∴

解得：，；（3）解：由，

得，

解得：或．

24．（8分）某药店老板到厂家选购A、B两种品牌的医用口罩，若购进A牌口罩4盒，B牌口罩6盒，需要260元：若购进A牌口罩5盒，B牌口罩4盒，需要220元．两种口罩以相同的售价销售，A牌口罩的销售量y1（盒）与售价x（元/盒）之间的关系为；当售价为40元/盒时，B牌口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售3盒．（售价不低于40元∕盒）

(1)求A、B两种品牌口罩每盒的进价分别为多少元？

(2)当商品售价为多少元时，A、B两种口罩的销售利润总和最大？最大利润是多少？

【答案】(1)A：20元/盒， B ：30元/盒

(2)售价为45元时，利润最大为3400（元）

【解析】（1）解：设A、B两种商品每件的进价分别为元，

由题意可知

解得 ．

（2）解：设总利润为W可得：

∴当时，W最大，最大利润为3400．

25．（10分）如图1，直线l：y＝kx+b（k＜0，b＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线．

(1)已知直线l1：，求直线l1的关联抛物线W1的表达式；(2)如图2，若直线l3：y＝kx+4（k＜0），G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若；

①求直线l3的关联抛物线W3的表达式；

②若点E在直线上运动，抛物线W3上是否存在一点F使得以A，B，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点F坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，将直线绕着点旋转得到新的直线，若点，与点，分别是抛物线与直线上的点，当时，，请直接写出的取值范围．

【答案】(1)W1：y=

(2)①直线的关联抛物线；②；(3)

【解析】（1）解：，

当时，，

；当时，即，解得，

，

由旋转的性质可知，，

．

设的解析式为，

解得，

直线的关联抛物线；（2）解：①如图，连接、，

为中点，为中点，

由旋转的性质可知：，，

是等腰直角三角形，

为中点，

，

，

在中，，

在中，，

，

直线，当时，，

点，即．

由旋转的性质可知，，

点．

在中，，

，

设的解析式为，

，

解得，

直线的关联抛物线；②如图，点在直线上运动，点在抛物线上，

四边形是平行四边形，

，，

，

过点作直线，于点，

，

，

，

点的横坐标为，

；（3）解：由旋转的性质可知，，

，

直线经过点，

，即，

根据题意可知，当时，，

分析与的位置关系可知，只需当时，即可，

，即，

，

解得：．

的取值范围是：．

26．（10分）如图，抛物线与抛物线相交于点T，点T的横坐标为1．过点T作x轴的平行线交抛物线C1于点A，交抛物线C2于点B．抛物线C1与C2分别与y轴交于点C，D．

(1)求抛物线C1的对称轴和点A的横坐标；(2)求线段AB和CD的长；(3)点P（﹣2，p）在抛物线C1上，点Q（5，q）在抛物线C2上，请比较p与q的大小关系并说明理由．

【答案】(1)，点的横坐标为

(2) ，

(3) ，理由见解析

【解析】（1）解：抛物线的对称轴为直线

的横坐标为1，点A与点T关于直线对称，

解得：

点的横坐标为．

（2）解：∵抛物线，的对称轴分别为直线，直线 ，

线段

是两条抛物线的交点，横坐标为1，

，即 ，

∵D（0，d），C（0，c），

的长为6．

（3）解：点A与点T关于直线对称，点T的横坐标为1

根据中点坐标公式得： ，解得：

A的横坐标为，

点B与点T关于直线对称，点T的横坐标为1

同理可得

点B的横坐标为3

点 在抛物线上，在直线的下方，

点 在抛物线上，在AB的上方，

．