第6章 图形的相似（培优卷）——2022-2023学年九年级下册数学单元卷（苏科版）（原卷版+解析版）

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班级              姓名             学号             分数           第6章 图形的相似（B卷·能力提升练）（时间：120分钟，满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。）1．两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是（   ）A．1：1000000 B．1：100000  C．1：2000 D．1：1000【答案】B【解析】解：2000m=200000cm，所以这幅地图的比例尺为2：200000=1：100000．故选B．2．若，则下列等式成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A.由，可得，不符合题意；B.由，可得，不符合题意；C.由，可得，不符合题意；D.由，可得，符合题意；故选：D．3．已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且，则PQ的长为（  ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如图，根据黄金分割点的概念，可知，AQ=PB，AB=2，AQ=PB=，PQ=AQ+PB－AB=．故选：A．4．下列各组图形中，一定相似的是（　　）A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形C．两个平行四边形 D．两个菱形【答案】B【解析】任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故A错误；任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，故B正确；任意两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，故C错误；任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故D错误；故选B．5．如图，在中，点P在边上，则在下列四个条件中：；；；，能满足与相似的条件是（        ）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】A【解析】当，又∵，∴，故条件①能判定相似，符合题意；当，又∵，∴，故条件②能判定相似，符合题意；当，即，而，∴条件③不能判断相似，不符合题意；当，即，又∵，∴，故条件④能判定相似，符合题意；①②④能判定相似，故选：A．6．如图，是半圆的直径，，是半圆上任意两点，连结，，与相交于点，要使与相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（   ）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：，，，故A选项正确；，，，，，故B选项正确；，，，故C选项正确；，，，与不相似，故D选项错误．故选：D．7．如图，在中，，，记，，，则下列关于，，的关系式正确的是（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：设，，与间的距离为h，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，．故选：B．8．如图，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点D、E，相似比为，若，则的长为（　       　）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】D【解析】∵O是位似中心，点A，B的对应点分别为点D、E，∴，∵相似比为，∴，∵，∴．故选：D．9．如图，身高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（    ）A．6m B．7m C．8m D．9m【答案】A【解析】解∶∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF，∴，∴，，∴，，设DE=xm，DH=ym，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，∴，，∴y=4x，∴，∴，∴AH=6，故路灯AH的高度为6m．故选：A．10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①；②；③；④＝，⑤HG＝其中正确结论的个数是（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】解：四边形是边长为6的正方形，点是的中点，，，，，，，，故①正确，，，，，，且，，，，故②正确，，，，，，，，，故③正确，，，，，，，，，，，，，故④正确，如图，过点作，，，，，，，且，，，，，，，，，，，，，，故⑤正确，故选：D．二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分。）11．已知，则的值是________．【答案】【解析】解：设x=2k，y=3k，z=4k，所以，故答案为：．12．已知点P是线段的黄金分割点，，那么________．【答案】【解析】解：设的长为，由黄金分割点可知∴去分母得：解得（舍去）或经检验是方程的解∴的长为cm故答案为：．13．如图，在中，，，点E在边上且，点F在边上，过点F作的垂线交射线于点G，当Rt的一条直角边与的一边平行时，则的长为 _____．【答案】4或8【解析】解：过点C作CM⊥AB，∵，，∴，在Rt中，，∴，∵，∴，，①当时，由题意可得，∴，在Rt，，∴，，又∵，∴，∴，∴；②当时，此时，∴，∴；③当时，此时，过点F作，∴，，∵，，∴，在Rt中，，∴，综上，的长为4或8，故答案为：4或8．14．如图，、是以为直径的半圆上任意两点，连接、、，与相交于点，要使与相似，可以添加的一个条件是___________（填正确结论的序号）．①；②；③；④．【答案】①②③【解析】解：如图，∠ADC=∠ADB，①、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故①选项正确；②、∵AD=DE，∴，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故②选项正确；③、∵=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故③选项正确；④、∵CD•AB=AC•BD，∴CD：BD=AC：AB，但∠ADC=∠ADB不是对应夹角，故④选项错误．故答案为①②③．15．如图，在矩形中，P是上的动点，连接，若上存在三个不同位置的点P，使与相似，设，则d的取值范围是____________．【答案】【解析】解：∵与相似，且，∴只存在和两种情况，如图1所示，当点P是的中点时，∵四边形是矩形，∴，∵点P是的中点，∴，∴，∴；∵使与相似的P点有三个，除去这种情况的1个，∴使的P点有两个，即使的P点有2个，当时，则，∵，∴，∴，∴以BC为直径的圆必须要与有两个交点，∴，∴，故答案为： 16．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD，若B(3，0)，则点C的坐标为________．【答案】【解析】解：∵∠OCD＝90°，CO＝CD，∴是等腰直角三角形，∵与是位似图形，∴,即也是等腰直角三角形，，∵，∴，则,∴，∵与是位似图形，相似比为1：2，∴点C的坐标为，故答案为：．17．如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到的距离分别为、，则像的长是____________．【答案】【解析】过O点作于点E，交于点F，如图，由题意可得：，∴，∴结合题意有，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴（）﹒即的长为，故答案为：．18．如图，在中，∠C=90°，AC=3，BC=4，半径为2的⊙O与AC，BC分别相切于点D，E，将线段AB沿着射线CA的方向平移得到线段，若与⊙O相切于点F，连接EF，则EF的值为___________．【答案】【解析】解：连接OE、OF，延长CB与，相交于点M，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴,∵，∴，设，CM=4x，，∴∴，，CM=8，，∵OE⊥CM，OD⊥AC，∠C=90°，OE=OD，∴四边形OECD为正方形，CE=2，∴ME=6，由勾股定理可得：，在和中，∴（HL），∴ME=MF，∵ME=MF，OM平分∠EMF，∴OM垂直平分EF，四边形OEMF的面积，∴,解得：，故答案为：．三、解答题（本题共8小题，共64分。）19．（6分）（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）或【解析】解（1）设，则，，，．（2）∵，∴，，，联立得：，∴当时，，当时，∴或．20．（6分）已知：如图，在△ABC中，，以腰AB为直径作，分别交BC，AC于点D，E，连接OD，DE．(1)求证：．(2)若，求的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明：∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∵AB=AC，∴∠B=∠C， ∴∠ODB=∠C， ∴， ∴， ∴BD=DC；（2）∵AB=AC， ∴∠B=∠C=， ∴∠ODB=∠B=65°， ∵∠EDC=∠A=50°， ∴∠ODE=180°-∠ODB-∠EDC=180°-65°-50°=65°．21．（8分）如图，中，，点D在边上，以为直径画与交于点E．(1)求证是的切线；(2)若，求的长度．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）解：如图，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∵是直径，∴，即，又，∴，∴，∴，即，∵是半径，∴是的切线；（2）∵，∴，在中，，∵是的切线，∴，∴，又，∴，∴ ，即，∴，∴．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为的正方形，点的坐标分别为，先以原点为位似中心在第三象限画一个使它与位似，且相似比．(1)画出，点的坐标为____________．(2)求的面积．【答案】(1)见解析，；(2)6【解析】（1）依题意，，画出，如图所示，故答案为：（2）23．（8分）如图，建筑物BC上有一个旗杆，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，小明沿后退，发现地面上的点、树顶、旗杆顶端恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点、树顶、建筑物顶端恰好在一条直线上，已知旗杆米，米，米，米，点在一条直线上，点在一条直线上，均垂直于，根据以上信息，请求出这座建筑物的高．【答案】这座建筑物的高为 米【解析】解：由题意可得，，即，，由题意可得，，，即，，，，这座建筑物的高为 米．24．（8分）再读教材：宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出，使，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：(1)图③中＝      （保留根号）；(2)如图④中的黄金矩形是：__________________________；(3)请写出图④中的一个黄金矩形，说明理由．【答案】(1)(2)矩形，矩形(3)矩形是黄金矩形，理由见解析（答案不唯一）【解析】（1）解：∵四边形是正方形，∴，由折叠的性质得，，在中，根据勾股定理得，，故答案为：；（2）解：根据题意得，图④中的黄金矩形是矩形，矩形，故答案为：矩形，矩形；（3）矩形是黄金矩形，理由如下：解：∵，，∴，∴，即矩形是黄金矩形．25．（10分）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角．（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系是______；（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且．①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若的面积为，求的面积．【答案】（1）30°，；（2）①，证明见解析；（3）．【解析】解：（1）由题意知：，为等边三角形，，AB=BC=AC,，，，，，同理可证得出：，，故答案是：30°，．（2）①证明：∵是等腰直角三角形∴，即，∵，∴，又∵，∴.（3）∵是等腰直角三角形，∴，∴.∵，∴，∴，，，∴.∵，∴.在中，∵，，由勾股定理得，，∴，∴∴．26．（10分）（1）模型建立：如图1，在中，D是上一点，，求证：．（2）类比探究：如图2，在菱形中，分别为上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N，若．求：①的长；②的长．（3）解决问题：如图3，在菱形中，，，点E为的中点，在平面内存在点F，且满足，以为一边作（顶点F、A、P按逆时针排列），使得，且，请直接写出的最小值．【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）．【解析】（1）∵，，∴，∴，即；（2）①如图，连接．∵四边形为菱形，∴，．∵，∴，即，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，∴，即，解得：，∴；②由①同理可证，，∴，∴，即，解得：，∴；（3）∵，四边形为菱形，∴，∴．∵点E为的中点，∴． ∵，即，∴，∴，∴，∴点P在以点B为圆心，半径为2的圆上运动，如图，在上截取，连接， ∵，，∴，∴，∴当D，P，M三点共线时，的值最小，且最小值为的长，即的最小值为的长．如图，过点D作交延长线于点N，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴的最小值为，∴的最小值为．