数学第12章 二次根式12.1 二次根式当堂检测题

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第12章  二次根式（A卷·知识通关练）

核心知识1. 二次根式的定义与有意义的条件

1．如果是二次根式，那么x的取值范围是 　   　．

2．化简后是正整数，则整数m的最小值为 　   　．

3．当x＝﹣2时，二次根式的值是　   　．

4．（1）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　   　；

（2）若（1）0有意义，则x的取值范围是 　   　．

5．已知x，y都是实数，且y4，则y＝　   　．

6．已知|2004﹣a|a，则a﹣20042＝　   　．

7．若二次根式有意义，且关于x的分式方程2有正整数解，则符合条件的整数m的和是 　   　．

8．关于x的代数式有意义，满足条件的所有整数x的和是9，则a的取值范围为　   　．

核心知识2. 二次根式的性质与化简

1．当a＞3时，化简：|a﹣2|　   　．

2．实数m在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 　   　．

3．已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：　   　．

4．如果k＜1，则　   　．

5．小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝　   　．

6．观察：①1，②，③2．……按此规律，第8个等式的是 　   　．

7．若y，则（x+y）2021＝　   　．

核心知识3. 最简二次根式

1．二次根式化成最简二次根式是 　   　．

2．二次根式中：、、、是最简二次根式的是 　   　．

3．以下4个二次根式、、、中，最简二次根式是 　   　．

4．在，，，，中，最简二次根式有 　   　个．

5．写出一个实数x，使是最简二次根式，则x可以是 　   　．

6．若a是正整数，是最简二次根式，则a最小为　   　．

7．化简：﹣a化成最简二次根式为　   　．

核心知识4. 二次根式的乘除法与分母有理化

1．化简：

（1）　   　；

（2）　   　．

2．计算：　   　．

3．计算：　   　．

4．4的倒数是 　   　．

5．把（1﹣a）根号外的因式移入根号内，化简后的结果是　   　．

6．若ab＞0，a+b＜0．那么下面各式：①•；②•1；③b；④•a，其中正确的是　   　（填序号）

7．二次根式a的有理化因式可以是 　   　．

8．实数的整数部分a＝　   　，小数部分b＝　   　．

9．已知，，则a2﹣3ab+b2的值为　   　．

10．已知x，y．

（1）求x2+y2﹣xy的值；

（2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值．

11．已知：a2，b2，求：

（1）ab的值；

（2）a2+b2﹣3ab的值；

（3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．

12．阅读下列解题过程：

1；

2

……

解答下列各题：

（1）　   　；

（2）观察上面的解题过程，请计算；

（3）利用这一规律计算：（）（1）．

核心知识5. 同类二次根式

1．最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 　   　．

2．最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是 　   　．

3．若最简二次根式3与5可以合并，则m＝　   　．

4．若与是最简二次根式且是同类二次根式，则　   　．

5．若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝　   　．

6．已化简的和是同类二次根式，则a+b＝　   　．

7．解答下列各题：

（1）已知2b+1的平方根为3，3a+2b﹣1的立方根为2，求3a+2b的平方根．

（2）如果最简二次根式与同类二次根式，且0，求x，y的值．

8．如果最简二次根式与是同类二次根式．

（1）求出a的值；

（2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|．

核心知识6. 二次根式的加减法

1．计算：　   　．

2．计算的结果是 　   　．

3．若，则a＝　   　．

4．已知a+b＝﹣2，ab＝1，则　   　．

5．若，则x﹣x2的值为 　   　．

6．已知，则a＝　   　．

7．计算：．

8．观察下面的式子．

S1＝1，S2＝1，S3＝1，…，Sn＝1．

（1）计算：　   　，　   　；

（2）计算的值；

（3）计算：S（用n的代数式表示）．

9．已知a+b＝﹣8，ab＝12

（1）a2+b2的值．

（2）求的值．

10．先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足ab＝3﹣2，求ba的值．解：由题意得（a﹣3）+（b+2）0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8．

问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2yy＝8+4，求x+y的值．

核心知识7. 二次根式的混合运算与化简求值

1．计算：

（1）﹣222；

（2）．

2．计算：

（1）；

（2）（1）（3）．

3．已知a，求的值．

4．已知：a2，b2，求：

（1）ab的值；

（2）a2+b2﹣ab的值．

5．阅读下列材料，再解决问题：

阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．

例如：1．

解决问题：

（1）在括号内填上适当的数：⑤，①：　   　，②：　   　，③　   　，④：　   　，⑤：　   　；

（2）根据上述思路，试将予以化简．

6．已知x，y，求的值

7．（1）已知m1，n1，求代数式的值．

（2）已知x2，求的值．

8．已知x，y，求x2+y2+2016的值．

9．观察下列一组等式，解答后面的问题：

1

（1）化简：　   　，　   　（n为正整数）；

（2）比较大小：　   　（填“＞”，“＜”或“＝”）；

（3）根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：　   　．

核心知识8. 二次根式的应用

1．若直角三角形斜边长为4，周长为，则三角形面积等于 　   　．

2．海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记p（a+b+c），那么三角形面积可以表示为S．现已知一个三角形的三边长分别为5、6、7．那么这个三角形的面积为 　   　．

3．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是　   　．

4．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为9的三角形的三边满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 　   　．

5．斐波那契（1175～1250年）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为斐波那契数列．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数．斐波那契数列中的第n个数可以用[（）n﹣（）n]表示，斐波那契数中的第4个数是 　   　．

6．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度L（单位：m）之间满足关系t＝2π，当细线的长度为0.3m时，小重物来回摆动一次所用的时间是 　   　．

7．如图，以边长为6cm的正六边形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的12条线段，过截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边形的无盖柱形盒子，则它的容积为 　   　cm3．

8．点P（x，y）是平面直角坐标系中的一点，点A（1，0）为x轴上的一点．

（1）用二次根式表示点P与点A的距离；

（2）当x＝4，y时，连接OP、PA，求PA+PO；

（3）若点P位于第二象限，且满足函数表达式y＝x+1，求的值．

9．材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p，那么三角形的面积为S，这一公式称为海伦公式．

我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S，被称之为秦九韶公式．

（1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．

如图①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面积．

（2）在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为 　   　．

10．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：

对于两个数a，b，称为a，b这两个数的算术平均数，称为a，b这两个数的几何平均数，称为a，b这两个数的平方平均数．

小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：

（1）若a＝﹣1，b＝﹣2，则M＝　   　，N＝　   　，P＝　   　；

（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：

如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．

①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；

②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是 　   　．（把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．