2022-2023年山东省高三下学期高考数学核心卷（含解析）

山东省2022-2023学年高三下学期高考考向核心卷

数学

一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，集合，则(   )

A. B. C. D.

2.若复数z满足，则复数z的虚部为(   )

A. B. C. D.

3.已知向量，，则“”是“”的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

4.如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次是、、，已知在系统正常工作的前提下，求只有K和正常工作的概率是(   )

A. B. C. D.

5.已知数列为等差数列，首项，若，则使得的n的最大值为(   )

A.2007 B.2008 C.2009 D.2010

6.已知函数(，，)的部分图象如图所示，(   )

A. B. C. D.

7.若正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是(   ).

A.或     B.或   C.    D.

8.记，设函数，若函数恰

有三个零点，则实数的取值范围的是(   )

A.  B.

C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是(   )

A.所有不同分派方案共种

B.若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种

C.若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种

D.若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种

10.已知是的导函数，且，则(   )

A.

B.

C.的图象在处的切线的斜率为0

D.在上的最小值为1

11.如图1，在菱形ABCD中，，，将沿AC折起，使点B到达点P的位置，形成三棱锥，如图2.在翻折的过程中，下列结论正确的是(   )

A.

B.三棱锥体积的最大值为3

C.存在某个位置，使

D.若平面平面ACD，则直线AD与平面PCD所成角的正弦值为

12.已知点，，，抛物线.过点G的直线l与C交于，两点，直线AP，AQ分别与C交于另一点E，F，则下列说法中正确的是(   )

A.

B.直线EF的斜率为

C.若的面积为(O为坐标原点)，则与的夹角为

D.若M为抛物线C上位于x轴上方的一点，，则当t取最大值时，的面积为2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数，过点作曲线的切线l，则l的方程为________.

14.己知，则________.（用数字作答）

15.已知函数，若对任意的实数x，恒有，则______________.

16.已知四棱锥的底面ABCD是边长为a的正方形，且平面ABCD，，点M为线段PC上的动点(不包含端点)，则当三棱锥的外接球的表面积最小时，CM的长为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知等比数列的前n项和为，且.

(1)求与；

(2)记，求数列的前n项和.

18.（12分）在①，②，③，.这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答.

已知中，内角所对的边分别为，且________.

(1)求的值；

(2)若，求的周长与面积.

19.（12分）由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表.

已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.

(1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？

(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系；

(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望.

附：，，

20.（12分）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
 

（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.

21.（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.

(1)求的面积；

(2)若 (O为坐标原点)，点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22.（12分）已知函数，.

（1）求函数的极值点；

（2）若恒成立，求实数m的取值范围.

山东省2022-2023学年高三下学期高考考向核心卷

参考答案

一、单项选择题

1.答案：D

解析：集合，集合，

.故选D.

2.答案：B

解析：由题意，得，所以，

则复数z的虚部为.故选.

3.答案：A

解析：若，则，所以；

若，则，解得，得不出.

所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.

4.答案：C

解析：设事件A为系统正常工作，事件B为只有K和正常工作，

因为并联元件、能正常工作的概率为，

所以，

又因为，

所以，故选C.

5.答案：B

解析：数列为等差数列，若，则与异号.又首项，则公差，所以，，则，即.由等差数列的前n项和公式及等差数列的性质可得，，所以使得的n的最大值为2008.故选B.

6.答案：B

解析：根据图像可得，，所以，

而，所以，代入点，得到

即，所以，即，

因为，所以，所以，

代入得，故选B.

7.答案：A

解析：因为正实数x、y满足，则，即，

所以

，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，因为不等式有解，则，即，即，解得或.故选A.

8.答案：B

解析：设，，

则函数在上递增，且，且函数至多有两个零点，

当时，，若函数在上有零点，则在上有零点，不妨设零点为，则，此时，则，与题意矛盾，故函数在上无零点.二次函数图象的对称轴为直线，若，当，解得时，设函数的两个零点为、，则，则，，函数有两个负零点，符合题意；若，且需符合题意时，函数在上有两个零点，所以，解得，综上，．故选B.

二、多项选择题

9.答案：BCD

解析：选项A，所有不同分派方案共种，故A错误；

选项B，若每家企业至少分派1名医生，先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配，则所有不同分派方案共（种）.故B正确；

选项C，若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业，

则A企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，

则所有不同分派方案共（种），故C正确；

选项D，若C企业最多派1名医生，则C企业可以有1名医生和没有医生两种情况，则不同分派方案共（种）.故A正确.

故选BCD.

10.答案：BC

解析：，，令，则，故B正确；则，，

，故A错误；

的图象在处的切线的斜率为，故C正确；

，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在上的最小值为，故D错误.故选BC.

11.答案：ACD

解析：选项A，取AC的中点O，连接OP，OD，由于四边形ABCD为菱形，则，，又，平面POD，平面POD，所以平面POD，又平面POD，所以，故A正确；

选项B，在翻折过程中，当平面平面ACD时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥的体积，故B错误；

选项C，当时，易知，都是边长为2的等边三角形，取的中点，连接，，则，，又平面，平面，且，所以平面，所以，故C正确；

选项D，当平面平面ACD时，因为，所以，所以，所以的面积，设直线AD与平面PCD所成角为，点A到平面PCD的距离为d，则，即，解得，故，故D正确.故选ACD.

12.答案：ACD

解析：A选项：易知，，则直线PQ的方程为，又直线PQ过点，所以，A正确.

B选项：设，，则直线PE的方程为，又直线PE过点，所以，同理可得，所以，故B错误.

选项：，设，则，又，所以，所以与的夹角为，故C正确.

D选项：易知B为抛 物线的焦点，过M作MD垂直抛物线C的准线于点D，由抛物线的定义知，，即，当t取最大值时，取最小值，即直线AM与抛物线C相切.设直线AM的方程为，由，得，则，解得，此时即，所以1，又点M在x轴上方，故，则，故D正确.故选ACD.

三、填空题

13.答案：

解析：由题意可设切点坐标为，因为，所以，所以切线l的斜率，

整理得，，则，所以l的方程为，即.

14.答案：34

解析：令，得；令，得.

二项式的通项公式为，

又，，

所以.

故答案为：34.

15.答案：

解析：因为

，且对任意实数x恒有，所以，则，.

16.答案：

解析：连接MA，由题意可知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，则当三棱锥外接球的表面积最小时，四棱锥外接球的半径最小.设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点.当O与不重合时，连接，易知平面ABCD，则，

连接OC，在中，.当O与重合时，，所以当三棱锥的外接球的表面积最小时，O与重合，.设CM的中点为N，连接，易知，则，

所以，解得，所以.

四、解答题

17.解析：(1)由得，
当时，，得；
当时，，
得，·················································································2分
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
所以.···································································4分
(2)由(1)可得，

则，
，·······································6分

两式相减得，
所以

.·················································································10分

18.解析：(1)若选①：由正弦定理得，

故，······························································2分

而在中，，

故，又，

所以，则，·····························································4分

则，

故.·······························································6分

若选②：由，化简得，代入中，整理得，···························2分

即，

因为，所以，所以，·····································4分

则，

故.·······························································6分

若选③：因为，

所以，即，

则.···························································2分

因为，所以，························································4分

则，

故.···························································6分

(2)因为，且，

所以.························································8分

由(1)得，

则，

由正弦定理得，则.·······················10分

故的周长为，

的面积为.······················12分

19.解析：(1)由题意得，解得，

所以应从A地抽取(人)，从B地抽取(人).··············2分

(2)完成表格如下：

··································································································4分

所以的观测值

，所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.····························6分

(3)从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，

从A地区随机抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，

则，

，

，

.··································································10分

所以X的分布列为

.··········································12分

20.解析：（1）设点A到平面的距离为h，
因为直三棱柱的体积为4，
所以，···································2分
又的面积为，，
所以，

即点A到平面的距离为.··················································4分
（2）取的中点E，连接AE，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
又平面ABC，
所以，因为，所以平面，
所以.········································································6分
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知，，所以，，
因为的面积为，所以，所以，
所以，，，，，，······8分
则，，
设平面ABD的法向量为，
则即
令，得，································································10分
又平面BDC的一个法向量为，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.············································12分

21.解析：(1)依题意可知，，

则，

，··································2分

又，所以，

解得(舍去)，又，所以，则，所以的面积.····························································4分

(2)由(1)可解得.

所以双曲线C的方程为.········································6分

设，则，则，.

设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得，

由，得.········································8分

由一元二次方程根与系数的关系得，

所以.··········10分

则，

故为定值.·········································································12分

22.解析：（1）由已知可得，函数的定义域为，且，

当时，；当时，，························2分

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以是的极大值点，无极小值点.········································4分

（2）设，，

则，

令，，

则对任意恒成立，····································6分

所以在上单调递减.

又，，

所以，使得，即，则，

即.··········································································9分

因此，当时，，即，则单调递增；

当时，，即，则单调递减，

故，解得，

所以当时，恒成立.················································12分