专题1-1 集合题型归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

这是一份专题1-1 集合题型归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用），文件包含专题1-1集合题型归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练全国通用解析版docx、专题1-1集合题型归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练全国通用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。

\l "_Tc17993" 【题型一】 集合中的元素1
\l "_Tc26924" 【题型二】 集合中的元素个数2
\l "_Tc12217" 【题型三】 集合中元素个数求参4
\l "_Tc30563" 【题型四】 子集及子集个数5
\l "_Tc30563" 【题型五】 子集关系求参(难点）7
\l "_Tc30563" 【题型六】 子集综合应用9
\l "_Tc30563" 【题型七】 集合交集运算及求参10
\l "_Tc30563" 【题型八】 集合并集运算及求参12
\l "_Tc30563" 【题型九】 集合补集运算及求参14
\l "_Tc30563" 【题型十】 韦恩图15
\l "_Tc30563" 【题型十一】集合综合应用17
\l "_Tc21895" 二、真题再现20
\l "_Tc29376" 三、模拟检测23
【题型一】集合中的元素
【典例分析】
已知集合，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（2）（4）
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系判断．
集合有两个元素：和，
故选：B
【变式演练】
1.下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（ ）
A．②④⑤B．②③④⑤C．②④D．①⑤
【答案】A
【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.
中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；
空集是任一集合的子集，所以正确；
是的子集，所以错误；
任何集合是其本身的子集，所以正确；
a是的元素，所以正确.
故选：A.
2.集合（ ）
A．RB．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数的值域可得正确的选项.
，
故选：B.
3.若，则的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值.
，则，符合题设；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
时，则，符合题设；
∴或均可以.
故选：C
【题型二】集合中的元素个数
【典例分析】
若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【分析】根据已知可推出函数周期性，单调性以及函数值情况，由此可作出函数的图象，将问题转化为函数图象的交点问题解决.
由为R上的奇函数,
①，
又 ②，
由②－①为周期为2的周期函数,
而又，
当时当时,．
又当时，单调递增，且．
故可作出函数 的大致图象如图：
而集合A中的元素个数为函数与图象交点的个数，
由以上分析结合函数性质可知，3为集合A中的一个元素，
且y=f（x）与在（1，3），（3，5），...，（23，25）中各有一个交点，
∴集合中的元素个数为13．故选：C．
【变式演练】
1.已知全集，集合，若中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线均对称，且，则中的元素个数至少有
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
求出点关于原点、坐标轴、直线的对称点，其中关于直线对称点，再求它关于原点、坐标轴、直线的对称点，开始重复了．从而可得点数的最小值．
因为,中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线对称，所以所以中的元素个数至少有8个，
故选：C.
2.定义：当时，成为“格点”，则集合对应的图形有（ ）格点
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】由条件可得则，所以，即的取值为，分别讨论的取值，求得的值，从而得到答案.
由当，
则，所以，得到，所以的取值为
所以当时，的值为：
当时，的值为：
当时，的值为：
所以满足条件的点有9个
故选：C
3.已知集合，若中只有一个元素，则实数的值为（ ）
A．0B．0或C．0或2D．2
【答案】C
【分析】根据题意转化为抛物线与轴只有一个交点，只需即可求解.
若中只有一个元素，则只有一个实数满足，
即抛物线与轴只有一个交点，
∴，∴或2.
故选：C
【题型三】集合中元素个数求参
【典例分析】
已知集合，集合中至少有2个元素，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由于集合中至少有2个元素，所以,从而可求出的取值范围
解：因为集合中至少有2个元素，
所以，解得，
故选：D
【变式演练】
1.已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.
解：①当时，，此时满足条件；
②当时，中只有一个元素的话，，解得，
综上，的取值集合为，．
故选：D．
2.已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用元素与集合的关系求解.
因为，
所以，
解得．
故选：D．
3.已知方程的所有解都为自然数，其组成的解集为，则的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
当分别取时，，，排除，
当分别取时，，，排除，
当分别取时，，，排除，故选A.
【题型四】子集及子集个数
【典例分析】
设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为（ ）
A．14B．15C．16D．18
【答案】C
【分析】要想n的值大，则特征值要尽可能的小，，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，不妨令是只有1个元素的非空真子集，则，是含有两个元素的非空真子集，则时能保证n的值最大，同理可得：，以此类推，利用等差数列求和公式列出方程，求出n的最大值.
【详解】
由题意，要想n的值大，则特征值要尽可能的小，可令，，，，，则，解得：或（舍去）.
故选：C
【变式演练】
1.设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ）
A．32B．56C．72D．84
【答案】B
【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.
【详解】
若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；
若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有6+5+4+3+2+1=21个.
若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有5+4+3+2+1=15个.
若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有4+3+2+1=10个.
若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有3+2+1=6个.
若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有2+1=3个.
若6,8,10在在集合A内，只有1个.
总共有21+15+10+6+3+1=56个
故选：B.
2.已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49B．48C．47D．46
【答案】A
【分析】利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.
【详解】
集合知：
1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为，
而有 种集合，集合对(A,B)的个数为15；
2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：
的集合为，而B有种，
集合对(A,B)的个数为；
3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：
的集合为，而B有种，
集合对(A,B)的个数为；
4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：
的集合为，
而B有种，集合对(A,B)的个数为；
∴一共有个，
故选：A
3.若集合，，，则A，B，C之间的关系是（ ）
A．B．AB=CC．ABCD．BCA
【答案】B
【分析】先将A,B,C三个集合里面的分母统一为6，再去比较每个集合的关系.
【详解】
将各集合中元素的公共属性化归为同一形式，集合A中，，；集合B中，，；集合C中，，．由与p均表示整数，且，可得AB=C．
故选B.
【题型五】子集关系求参(难点）
【典例分析】
设集合，，，，其中，下列说法正确的是
A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集
D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集
【答案】B
【分析】运用集合的子集的概念，令，推导出，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断与的关系.
【详解】
解对于集合，，
可得当即可得，
即有，可得对任意，是的子集；
当时，，
可得是的子集；
当时，，
可得不是的子集；
综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集.
故选：
【变式演练】
1.已知且，若集合，且﹐则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出集合M，再由给定条件，对集合N分类讨论，构造函数，利用导数探讨函数最小值求解作答.
【详解】
依题意，，，令，
当时，函数在上单调递增，而，则，使得，
当时，，当时，，此时，因此，，
当时，若，，则恒成立，，满足，
于是当时，，当且仅当，即不等式对成立，
，由得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
，于是得，
即，变形得，解得，从而得当时，恒成立，，满足，
所以实数a的取值范围是或.
故选：D
2.集合或，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．
解：，①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得．
当时，可得，要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．故选：A．
3.，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
集合表示圆心为原点，半径为1的圆，集合表示四条直线围成的正方形，根据圆在正方形内求出的范围即可．
【详解】集合为圆内部或圆周 上的点集，为直线，，，围成的正方形，画出图象，如图所示，当直线与圆相切时，设切点为，连接，
为等腰直角三角形，，，，为斜边上的中线，
，即，，此时，
因为圆在正方形内，所以，故答案为：
【题型六】子集综合应用
【典例分析】
已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为
A．508B．512C．1020D．1024
【答案】B
【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是.
【详解】
因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作,则这些和的总和是.
故选B
【变式演练】
1.设集合,对的任意非空子集A，定义为集合A中的最大元素，当A取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，的任意非空子集A共有个，在所有非空子集中每个元素出现次，可知含有n的子集有个，不含n含有个，不含，含的有个以此类推有个子集不含n,n-1,n-2,…k-1,而含有k.利用错位相减法求出其和.
【详解】
由题意，的任意非空子集A共有个，在所有非空子集中每个元素出现次，可知含有n的子集有个，不含n含有个，不含，含的有个以此类推有个子集不含n,n-1,n-2,…k-1,而含有k,因为为集合A中的最大元素
所以，错位相减可得，所以=，故选A.
2.．已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】由集合的新定义结合，可得，由此即可求解
【详解】
因为集合且，
若，
则中也包含四个元素，即，
剩下的，
对于①：由得，故①正确；
对于②：由得，故②正确；
对于③：由得，故③正确；
故选：D
3.已知S1，S2，S3为非空集合，且S1，S2，S3⊆Z，对于1，2，3的任意一个排列i，j，k，若x∈Si，y∈Sj，则x－y∈Sk，则下列说法正确的是（ ）
A．三个集合互不相等B．三个集合中至少有两个相等
C．三个集合全都相等D．以上说法均不对
【答案】B
【分析】根据条件，若x∈Si，y∈Sj，则y﹣x∈Sk，从而(y－x)－y＝－x∈Si，这便说明Si中有非负元素，从而三个集合中都有非负元素．可以看出若0∈Si，任意x∈Sj，都有x－0＝x∈Sk，从而说明Sj⊆Sk，而同理可得到Sk⊆Sj，从而便可得出Sj＝Sk，这便得出3个集合中至少有两个相等．
【详解】
解：若x∈Si，y∈Sj，则y－x∈Sk，从而(y－x)－y＝－x∈Si，所以Si中有非负元素，由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a(由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在)，不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b＞a(否则b不可能大于a，只能等于a，所以b－a＝0∈S3，矛盾)，但是，这样就导致了0＜b－a＜b，且b－a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾，∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x－0＝x∈S3，∴S2包含于S3，对于任意y∈S3，有y－0＝y∈S2，∴S3包含于S2，则S2＝S3，综上所述，这三个集合中必有两个集合相等，
故选：B．
【题型七】集合交集运算及求参
【典例分析】
已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题知，进而分和空集两种情况讨论求解即可.
【详解】解：由题知，因为，
所以，当时，，解得，
当时，或，解得，
综上，实数a的取值范围是.故选：D
【变式演练】
1.设集合， ，记，则点集所表示的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析集合A，B所对应的几何图形，将问题转化为直线与圆的位置关系，如题图，其交集P对应的几何图形为线段AB，计算AB的长即可．
【详解】由题意的圆心为，半径为1，
而圆心（-3sinα，-3csα），满足（-3sinα）2+（-3csα）2=9，
故圆心在以（0，0）圆心，半径为3的圆上，
∴集合A对应的几何图形为圆x2+y2=4和x2+y2=16之间的圆环区域，
由于原点到直线的距离为，所以直线恰好与圆环的小圆相切．
所以表示的是直线截圆环的大圆所得的弦长．
故点集所表示的轨迹长度为．故选D．
2.已知集合，，若有2个元素，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题知，进而根据题意求解即可.
【详解】解：因为，，
若有2个元素，则或，解得或，
所以，实数的取值范围是.
故选：D．
3.已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先解出集合，考虑集合是否为空集，集合为空集时合题意，集合不为空集时利用或解出的取值范围.
【详解】由题意，，
当时，，即，符合题意；当，即时，，则有或，即
综上，实数的取值范围为.
故选：C.
【题型八】集合并集运算及求参
【典例分析】
已知，，若，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意,可先化简集合A,再由得,由此对B的集合讨论求a,由于集合B可能为空集,可分两类探讨,当B是空集时,与B不是空集时,分别解出a的取值范围,选出正确选项
【详解】解：由题意,,
由得
又
当B是空集时,符合题意,此时有解得
当B不是空集时,有解得
综上知,实数a的取值范围是
故选：D
【变式演练】
1.．若，，定义，
则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：由题意，
，
所以,
所以
2.．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】可解出集合，然后进行并集的运算即可．
【详解】，故选
3.设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）
【答案】B
【详解】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以的取值范围为，故选B.
【题型九】集合补集运算及求参
【典例分析】
设集合A＝，集合B＝.则AB＝（ ）
A．B．
C．D．R
【答案】D
求定义域确定集合，根据函数的单调性得集合，再由集合的运算计算．
【详解】由得，所以，
，时，，
，，由勾形函数知在上递减，在上递增，
时，，时，，时，，所以，
所以，即，，
所以．
故选：D．
【变式演练】
1.已知全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数和指数函数的性质确定集合，然后由集合运算法则计算．
【详解】，
，，
所以．故选：B．
2.已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先确定集合中的元素，然后再由集合的运算法则计算．
【详解】由得或，∴，，
，，，∴ ，即，又，∴或2，即，∴．故选：A．
3.已知集合，，若，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
解分式不等式求得集合，对进行分类讨论，结合，求得实数的取值范围.
【详解】由或.所以或，所以.由，解得或.，当时，，此时，满足；当时，，由得，即且.综上所述，实数的取值范围是.
故选：B
【题型十】韦恩图
【典例分析】
已知集合，，图中阴影部分为集合M，则M中的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由Venn图得到求解.
【详解】如图所示，
，，解得且，
又，，，
，所以M中元素的个数为3
故选：C
【变式演练】
1.能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，，，而，易得是的子集，分析选项可得答案．
【详解】
，故选B.
2.若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数定义域和指数函数单调性得到集合，阴影部分表示的集合是，计算得到答案.
【详解】，，
阴影部分表示的集合是.
故选：D.
3.有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一 支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】A
【分析】【详解】设只持有A股票的人数为（如图所示），则持有A股票还持有其它股票的人数为（图中 的和），因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票，则只持有了B和C股票的人数和为（图中部分）．假设只同时持有了B和C股票的人数为（如图所示），那么：，即：，则：X的取值可能是：9、8、7、6、5、4、3、2、1．与之对应的值为：2、5、8、11、14、17、20、23、26．
因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得，即，故，时满足题意，故，，故只持有B股票的股民人数是，故选A.
【题型十一】集合综合应用
【典例分析】
定义集合，，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．若，，则由围成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面积一定相等
D．满足且的点构成区域的面积为
【答案】C
【分析】首先确定集合和所表示的区域，再数形结合判断选项是否正确即可.
【详解】对于集合，
原点到直线的距离为，
所以集合M表示圆上所有点的切线上的点，
对于集合，
当时，表示图中三角形AOD区域;
当时，表示图中三角形AOB区域;
当时，表示图中三角形BOC区域;
当时，表示图中三角形COD区域;
所以集合表示图中ABCD区域，
对于A选项，由图可知，不是空集，故A错；
对于B选项，表示图中圆内部挖去ABCD区域剩下的部分，不是空集，故B错；
对于C选项，表示在点处的切线，
表示在点处的切线，表示在点处的切线，三切点均在圆上，易知三切点构成正三角形，由对称性可知C正确；
对于D选项，由B选项知，且则P点在圆内部挖去ABCD区域剩下的区域内，面积为，故D错；
故选C.
【变式演练】
1.已知是等差数列，，存在正整数，使得，.若集合中只含有4个元素，则的可能取值有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】
考虑不符合题意，时，列举出满足条件的集合，再考虑时不成立，得到答案.
【详解】
当时，，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，即，，在单位圆的五等分点上不可能取到4个不同的正弦值，故不满足；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
故选：C
2.设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：(i)；(ii)对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是
A．B．，
C．D．
【答案】D
【详解】
对于A=N∗,B=N,存在函数f(x)=x−1,x∈N∗,满足：(i)B={f(x)|x∈A};(ii)对任意,当时,恒有，所以选项A是“保序同构”；
对于A={x|−1⩽x⩽3},B={x∣∣x=−8或0(i)B={f(x)|x∈A};(ii)对任意,当时,恒有，所以选项B是“保序同构”；
对于A={x|0(ii)对任意,当时,恒有，所以选项C是“保序同构”；
前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D.
故选D.
3.设定义在上的函数的值域为，若集合为有限集，且对任意，存在使得，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．3B．5C．7D．无穷个
【答案】B
【分析】
根据定义确定元素范围，再分类讨论元素个数.
【详解】
解：若中最大元素为大于1的元素为，则，不满足题意，故中最大元素不超过1，同理可得中最小元素不小于
若集合中只有一个元素，则，
若集合中有两个元素，则或，
当时（1舍去），此时即
当时，因此（1舍去）
即
若集合中有三个元素，则或或，
当时（1舍去），此时或，解得，舍去
当时， ，矛盾，舍去
当时， 即
若集合中有四个或四个以上元素，则由上推导可得，矛盾，即此时无解
综上所满足条件的集合可以为，，，，共 5个，
故选：B

1.已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4

【答案】A
【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
当时，；当时，；当时，；所以共有9个，故选：A.
2.若集合，，用表示集合中的元素个数，则
A．B．C．D．

【答案】D
当时，，，都是取，，，中的一个，有种，当时，，，都是取，，中的一个，有种，当时，，，都是取，中的一个，有种，当时，，，都取，有种，所以，当时，取，，，中的一个，有种，当时，取，，中的一个，有种，当时，取，中的一个，有种，当时，取，有种，所以、的取值有种，同理，、的取值也有种，所以，所以，故选D．
3.已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N={ x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A．B．C．D．

【答案】B
试题分析：先化简集合N，得N={﹣1，0}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案．
解：由N={x|x2+x=0}，得N={﹣1，0}．∵M={﹣1，0，1}，∴N⊂M，故选B．
4.已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.
5.已知全集，集合，则等于（ ）
A．B．C．D．

【答案】C
【分析】利用补集概念求解即可.
【详解】.
故选：C
6.设集合，则（ ）
A．B．C．D．

【答案】B
【分析】根据交集、补集的定义可求.
【详解】由题设可得，故，
故选：B.
7.已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．

【答案】C
【分析】分析可得，由此可得出结论.
【详解】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
8.设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素

【答案】A
【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【详解】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：A.
9.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4B．–2C．2D．4

【答案】B
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故选：B.
10.已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6

【答案】C
【分析】采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
故选：C.
1.已知集合，则集合中元素的个数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的描述知：集合A为以原点为圆心，为半径的圆(含圆上)满足条件的非负整数点，即可判断集合中元素的个数.
由集合A的描述知：且，
∴以原点为圆心为半径的圆(含圆上)，满足条件的非负整数点有，即集合中元素的个数为
故选：B.
2.如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
本题首先可根据图像得出，然后将转化为，最后根据棱长为以及即可得出结果.
由图像可知，，
则，
因为棱长为，，
所以，，
故集合中的元素个数为，
故选：A.
3.已知集合，若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别令和，求得后，验证是否满足集合元素的互异性即可得到结果.
当时，，此时，满足题意；
当时，或；
若，，满足题意；若，，不满足互异性，不合题意；
实数的取值集合为.
故选：.
4.已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用列举法列举出集合中所有的元素，即可得解.
由题意可知，集合中的元素有：、、、、、、、、、、、、，共个.
故选：D.
5.对于任意两个正整数 ，定义某种运算，法则如下：当都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ，则在此定义下，集合的真子集的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由题意，当 都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ；
若 都是正奇数，则由 ，可得 ，此时符合条件的数对为（ 满足条件的共8个；
若不全为正奇数时， ，由 ，可得 ，则符合条件的数对分别为 共5个；
故集合 中的元素个数是13，
所以集合的真子集的个数是
故选C．
6.若集合，实数a满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得，再根据元素与集合，集合与集合关系求解即可.
【详解】
解：因为，所以，解得，
因为，
所以.所以，，均为错误表述.
故选：D
7.设集合，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对于集合，令和，即得解.
【详解】
，，，，
对于集合，当时，，；
当时，，．
，故选：B．
8.已知集合，非空集合，，则实数的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
先化简集合，再由建立不等式组即可求解
【详解】
，由且为非空集合可知，
应满足，解得故选：B
9.设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（ ）
A．若有2个元素，则有3个元素
B．若有2个元素，则有4个元素
C．存在3个元素的集合，满足有5个元素
D．存在3个元素的集合，满足有4个元素
【答案】A
不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解.
【详解】若有2个元素，不妨设，
以为中至少有两个元素，不妨设，
由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设，
由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素，
当集合有个元素时，由②得：，则或.
当集合有多于个元素时，不妨设，
其中，
由于，所以，
若，则，但此时，
即集合中至少有这三个元素，
若，则集合中至少有这三个元素，
这都与集合中只有2个运算矛盾，
综上，，故A正确；
当集合有个元素，不妨设，
其中，则，所以，
集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D.
故选：A.
10.．从集合的非空子集中任取两个不同的集合和，若，则不同的取法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【分析】分别讨论集合中元素个数为或的时候，集合的取法数，由分步乘法和分类加法计数原理可求得结果.
【详解】若集合仅有个元素，则集合有种取法；集合有种取法；此时共有种取法；
若集合中有个元素，则集合有种取法；集合有种取法；此时共有种取法；
若集合中有个元素，则集合为的非空真子集，有种取法；此时共有种取法；
综上所述：不同的取法共有种.
故选：C.
11.已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．2B．1C．0D．无法确定
【答案】A
【分析】由题意的元素个数可以转化为直线和圆的交点个数，分、两种情况讨论即得解
【详解】时，与圆相交有两个交点
时，
∴直线与圆相交，有两个交点
故选：A
12.已知集合，，则集合与的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据函数定义域求集合M，再根据定义求集合Q，最后根据集合交集与并集定义确定选项.
【详解】由；
因为，所以;
,选C.
13.设集合，，集合中所有元素之和为8，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：B={1,4},两根是x=3，x=a，当a=0、1、3、4时，满足集合中所有元素之和为8，故选C.
14.非空集合，，，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题知，进而构造函数，再根据零点存在性定理得，解不等式即可得答案.
【详解】解：由题知，
因为，所以，
所以，
故令函数，
所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得：
，即，解得，
所以，实数的取值范围为.
故选：A
15.实数、满足，集合，，则集合可表示为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用均值不等式,得,再利用集合的补集的定义求出,利用两个集合的交集的定义求出即可得到答案.
【详解】因为,,, ,
或,或,故选D.
16.已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A．1个B．2个C．3个D．无穷个
【答案】C
【分析】由题意首先求得集合M，然后结合韦恩图求解阴影部分所示的集合的元素个数即可.
【详解】求解二次不等式可得，
集合表示所有的偶数组成的集合，
由韦恩图可知，题中的阴影部分表示集合，
由于区间中含有的偶数为，故，
即阴影部分所示的集合的元素共有3个.
本题选择C选项.
17.已知为实数集，集合，，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先确定集合A,B，然后结合Venn图求解阴影部分表示的集合即可.
【详解】求解分式不等式可得，
求解二次不等式可得，
则，
韦恩图中阴影部分表示的集合为，即.
本题选择D选项.
【点睛】
18.设函数f（x）＝sin（ωx+φ），，，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由题意求出﹣4≤x≤4，结合正弦函数的性质可得，从而可求出ω的取值范围.
【详解】
解：∵f′（x0）＝0，∴f（x0）是f（x）的最大值或最小值，
又f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值或最小值在直线y＝±1上，
∴y＝±1代入得，，解得﹣4≤x≤4，
又存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，∴ ，且ω＞0，
解得 ，∴ω的取值范围是．
故选：B．
【提分秘籍】
基本规律
1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
【提分秘籍】
基本规律
集合中元素个数：
1.点集多是图像交点
2.数集，多涉及到一元二次方程的根。
【提分秘籍】
基本规律
在根据元素与集合关系求解参数值的问题时，容易错的地方是忽略求得参数值后，需验证集合中元素是否满足互异性
【提分秘籍】
基本规律
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举
【提分秘籍】
基本规律
授课时讲透彻这个“顺序感”：子集是从“从空集开始，到自身结束”
【提分秘籍】
基本规律
1.借助于分类套路思想
2.借助于排列组合思想
【提分秘籍】
基本规律
1.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，,一般要在数轴上（或者坐标系中）表示出来，形象直观，一定要注意端点值和临界值，看是否包括。
2.＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
【提分秘籍】
基本规律
1.“并大交小”
2.＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
【提分秘籍】
基本规律
＝U；＝；＝A.
【提分秘籍】
基本规律
韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性”
【提分秘籍】
基本规律
解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：
紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.